大学物理(机械波篇)

简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的 波动规律是研究更复杂波的基础。
第12章 机械波
24
一、平面谐波的波函数（波动方程）
1.什么是波函数? 波函数——媒质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置 的位移（坐标为 y）随时间的变化关系
y y ( x, t )
各质点相对平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
y
a点的振动曲线
O
t
b点的振动曲线
y
O
t
第12章 机械波
17
c点的振动曲线
y
O
t
d点的振动曲线
y
O
t
第12章 机械波
18
例2 已知x=0处质元的振动曲线如图，画出t = 0时刻的 波形曲线(设波沿 +x方向传播)。 x=0 解: 由振动曲线看出: x=0处质元 在零时刻的振动状态为 T
y
y 0, v 0
2 T
x y A cos[ (t ) 0 ] u
——波动方程
T 2 k
u
t x y A cos[2 ( ) 0 ] T
y A cos[t kx 0 ]
第12章 机械波
26
方法二 ：
相位推迟法
P
相位上，P点振动落后于O点
u
x p O 2π x p 2π 0
4. 任意两点x1， x2振动相差：
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] u u 2 ( x1 x2 ) x u
5. 建立波动方程的方法： 确定传播方向，以及此波引起的A点的振动方程； 建立坐标；
任意点，不一定是波源
第12章 机械波
20
四、描述波动的参量
波长（） 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间 : 的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 波长反映了波的空间周期性。
周期（T） 波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了 : 波的时间周期性。
频率（） 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率 :
t 0
T t 4 T t 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t 0
t
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
T 4
T 2
t
t T
t
3 T 4
t
t T
t
3 T 4
5 T 4

5 T 4 3 t T 2

横
波
第12章 机械波
纵
波
5Hale Waihona Puke Baidu
三、波的传播
1.波是振动状态的传播
第12章 机械波
6
结论：
1)媒质中各质元受到弹性力作用.
2)媒质中各质元在各自平衡位置 附近运动.
3）上游的振动状态被下游重复,所以“波是振动状态的传播”。 4) 有些质元的振动状态相同，这些点称作同相位点。 相邻的同相点间的距离叫做波长 ，它们的相位差是2。
25
y p (t ) ?
第12章 机械波
方法一： 时间推迟法
解：时间上，P点振动落后于O点△t O的振动：yo A cos(t 0 )
P
u
o
x
x
P的振动： yP A cos[ (t t ) 0 ] yo (t t ) △t 是波从O点传播到P点所经历的时间， x x > 0，P点落后于O点 t u x < 0，P点超前于O点
u x t
波的传播速度
第12章 机械波
9
四、波形曲线(波形图)
1.波形曲线(yx曲线) x表示质元平衡位置的坐标, y表示t 时刻质元的位移. y - x曲线反映某时刻t各质元位移y在空间的分布情 况,称为t时刻的波形图
y A
o
u
x
第12章 机械波
10
不同时刻对应有不同的波形曲线
y
x yP A cos[ (t t ) 0 ] A cos[ (t ) 0 ] u
3. 若已知A点振动方程
u
y A A cos(t 0 )
u
o
L A
x
则波动方程： y A cos[ (t x L ) ] P 0
第12章 机械波
28
讨论
因此，波速必定与介质的惯性及弹性有关 在弦中传播的横波波速
量纲分析：速率：L/T (m/s)
惯性：由弦的质量线密度表示（ m / l ）（kg/m） 弹性：由弦的张力表示 F , 量纲（F=ma） （kg.m/s2） 显然： u C
F

C为无量纲的常数，可以证明C=1
第12章 机械波
22
波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。 弦中传播的横波波速： u 固体媒质中横波波速： u 固体媒质中纵波波速： u
机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播 出去，就形成机械波。 1、 条件 波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质 如声带
｛
如空气
真空
第12章 机械波
3
第12章 机械波
4
二、横波和纵波
横波
u
x 纵波 横波： 介质质点的振动方向和波传播方向相互垂直的波；
纵波： 介质质点的振动方向与波传播方向相互平行的波；
在x轴上任取一点P，根据波的传播方向，写出P点的 振动超前或落后A点的时间△t； 在A点振动方程中，加上△t （超前时）或减去△t （落后 时），即得到此坐标系中的波动方程； 纵波、横波的波动方程形式相同；
第12章 机械波
29
例 有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由此
波引起的A点的振动方程为： y A 3cos(4 t
第12章 机械波
13
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。 y t
振动曲线 波动曲线
y x
波形图： 某时刻 各点振动的位移 y (广义：任一物理量)与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
O
u
t0
t0 + t
x
波形曲线能反映横波(或纵波)的位移情况。 2.注意区别波形曲线和振动曲线 振动曲线：y t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。 不同质元的振动曲线不同，必须注明。
第12章 机械波
11
不同质元的振动曲线
第12章 机械波
12
3.要求（应掌握） 1)由t 时刻的波形曲线,画出另一时刻的波形曲 线； 2)由t时刻的波形曲线,确定某质元的振动方 向, 写出该质元的振动方程； 3)由某质元的振动曲线,画出某时刻的波形曲 线。
31
2. t固定
（t＝t0） x y A cos[ (t0 ) 0 ]
u
照像
——t0时刻的波形曲线，即t0时刻在波线上各质点离 开平衡位置的真实拍照。 （集体定格）
y( x, t0 ) y( x , t0 ) （波具有空间的周期性）
沿波的传播方向，波线上各点的振动相位依次落后。 t 时刻波线上x1点的相位
x0 2 x0 ) 0 ] A cos[ t 0 ] u
摄 像
—— 坐标x0处的质点的振动方程（独舞）。
y( x0 , t ) y( x0 , t T )
（波具有时间的周期性） x0点的振动只是在相位上比与o点落后(x0>0)
x0 2π
第12章 机械波
o
x
x

点P振动方程
y p (t ) A cos(t p ) x A cos(t 2 o )

2 T
t x y A cos[2 ( ) 0 ] T
第12章 机械波
27
1. 式中各量的物理意义： A——波幅， （各点振幅＝波源振幅） u——波速， T——周期， （同振动周期） λ——波长， x——任一质点平衡位置坐标， y——任一质点在任一时刻的振动位移， 讨论 2. 若平面谐波沿x轴负方向传播，则P点比O点超前，
第十二章
什么是波动？
振动在空间的传播过程。
机械波
波动分类
机械波：机械振动在弹性介质中的传播 （声波、绳波、水波……） 电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播 可见光、紫外光、无线电波、微波、x射线等 物质波: 近代物理研究发现，微观粒子具有明显的波 粒二象性，如电子、质子等微观粒子 机械波与电磁波的本质不同，传播机理不同， 但其基本传播规律相同。
第12章 机械波
14
例1
已知t = 0时刻的波形曲线,求
(1) 画出t +(T/4)， t +(T/2)， t +(3T/4)各时刻的波形曲线。
u
y
o
x
第12章 机械波
15
(2) 在题图上用小箭头示出a、b、c、d各质元的振动趋势， 并分别画出它们的振动曲线。
u
y
a
d
O
b
c
x
第12章 机械波
16
F

G
切变模量

弹性模量
Y

B
体积模量
在液、气体中只能传播纵波： u 如声音的传播速度

空气，常温 左右，混凝土
23
343 m s 4000 m s
第12章 机械波
§12-2 平面简谐波
简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中 各质点作同频率的谐振动。 波面为平面的简谐波
平面简谐波 说明
第12章 机械波
7
2.波是相位的传播
振动状态是由相位决定的，波的传播是“相位的传播”。 沿着波的传播方向，各质元的相位依次落后。 传播方向
a ·
x
b ·
x
b点比a点的相位落后
第12章 机械波
8
b点和a点相位差
2
x

a点在t时刻的相位经t的时间传给了b点。 b点在t +t时刻的相位与a点在t时刻的情况相同 振动状态的传播速度
2.如何求波动函数? b.波以u向x方向传播 已知条件： a.介质无耗 P c.振动角频率为，质元的振动振幅A 讨论：沿+x方向传播的平面简谐波的波函数. y y ( x, t ) 求波函数的问题
u
o
x
x
演变为：已知参考点o点的振动方程
求任意p点的振动方程
y0 (t ) A cos(t 0 )
O
t
不论在振动曲线中,还是在波形图中, 同一质元的振动状态不会改变.
y
x=0处质元,当t=0时有
u
x
y 0, v 0
t = 0时刻的波形曲线
O
第12章 机械波
19
三. 机械波的几何描述
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。 波前的形状决定了波的类型 波面 波线 球面波 球面波 平面波 波面 波线 平面波
x1 t x1 1 (t ) 0 2 π( ) 0 u T
两点的相位差
t时刻波线上x2点的相位
2 1 x2 x1 2π x 2π 32
x2 t x2 2 (t ) 0 2 π( ) 0 u T
波程差
x x2 x1
第12章 机械波
3. 当x，t均变化时，y＝f（x, t）表示任一时刻在波的传播方 向上，任一质点的位移随时间的变化规律。（行波）
求下列各情况下的波动方程。
y A o y L

2
)
t xL u
u
x
x （落后）
x t u
u
A
o
x
x
（落后）
x y 3cos[4 (t ) ] u 2
y 3cos[4 (t
xL ) ] u 2
y L
u
A
o
x
x （超前）
xL t u
y L A
u o
x
x （超前）
xL t u
xL y 3cos[4 (t ) ] u 2
第12章 机械波
xL y 3cos[4 (t ) ] u 2
30
二、波函数的物理意义
1. x固定 （x＝x0）
y ( x0 , t ) A cos[ (t
x y A cos[ (t ) 0 ] u
第12章 机械波
1
第十二章
机械波
§12-1 机械波的产生和传播
§12-2 平面简谐波的波函数 * §12-3 波的能量 波的强度
* §12-4 声波
§12-5 惠更斯原理 §12-6 波的叠加原理 波的干涉 *驻波
* §12-7 多普勒效应
第12章 机械波
2
§12-1 机械波的产生和传播
一、机械波的产生
与周期的关系为
1/T
u
波速（u） 振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周 :
期和频率的关系为 由介质决定
第12章 机械波

T

由波源决定
由介质和波源决定
21
由介质的弹性及惯性决定波速
当机械波在介质中（如水或空气）中传播时，必定引起介质中 质点的震动。因此，介质必具有惯性——以储存动能；弹性— —以储存势能