空间两个平面之间的位置关系1
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面的位置关系是一项重要的研究内容。
平面是一个无限大的二维空间，由无数个点组成，而两个平面之间的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交、重合。
本文将对这三种平面与平面的位置关系逐一进行说明。
一、平行的平面两个平行的平面是指在空间中永远不会相交的两个平面。
平行的平面具有以下特点：1. 平行平面之间的任意两个点之间的距离相等。
2. 平行的平面在空间中永远不会相交，它们之间始终保持一定的距离。
3. 平行平面之间的夹角为零度。
以图示的方式，可以更直观地理解平行平面的位置关系：（插入示意图）二、相交的平面两个相交的平面是指在空间中有一条直线可以同时属于这两个平面。
相交的平面具有以下特点：1. 相交平面之间的夹角不为零度，可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交的平面在相交的直线上具有共同的点。
3. 相交的平面之间没有交点。
相交平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）三、重合的平面两个重合的平面是指在空间中完全重合的两个平面，它们的所有点都是重合的。
重合的平面具有以下特点：1. 重合平面之间的夹角为零度。
2. 重合的平面在空间中完全重合，它们的每个点都是重合的。
3. 重合的平面在位置上无区别，可以互换位置。
重合平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）综上所述，空间几何中的平面与平面的位置关系主要可以分为平行、相交和重合三种情况。
通过对这三种关系的理解，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识，为实际问题的求解提供帮助。
两个平面的位置关系
证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n,
过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。
，
同理PN⊥ＮＱ．
因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°，
故∠MQN= 90°∠MＰN= 9０°
即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n
2.自二面角内一点分别向这个二面角得两个面引垂线,求证：它们所成得角与这个二面角得平面角互补。
∴ＡN/／平面BEFD。
同理:ＡM／/平面BEFＤ。
∴平面∥平面.
二。平面与平面得垂直
例 4已知平面∥平面,平面⊥,求证：⊥。
证明:设在γ内作
。
例 5在三棱锥中,∠∠,∠，，求证:平面SAＢ⊥平面SＡC.
证明:作ＢＤ⊥SA于D,DE⊥ＳＣ于E,连接BE,设SＤ＝ｘ,则SB=2x，
５。设S为平面外得一点,SA=SB＝ＳC，,若，求证：平面ASＣ平面ABC.
解析:（1）把角得关系转化为边得关系
(２）利用棱锥得性质（三棱锥得侧棱相等，则顶点在底面上得射影为底面三角形得外心）
证明：设D为AＢ得中点
同理
且
即为且Ｓ在平面上得射影O为得外心
则Ｏ在斜边AC得中点。
平面AＢC
平面SＡC
平面ＡSC平面ABＣ
三.两个平面得位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系.
2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行．
(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行。
（3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。
空间两个平面之间的位置关系
交线性质
交线是两个平面的公共部分，它既在 第一个平面上，又在第二个平面上。
平面间的夹角
01
02
03
夹角定义
两个平面相交时，它们之 间的锐角或直角称为它们 之间的夹角。
夹角性质
夹角的大小与平面间的相 对位置有关，且两个平面 间的夹角是固定的。
夹角的度量
可以用角度或弧度来度量 两个平个平面在某一点 上仅有一个公共点时， 它们之间形成相切关 系。
相切关系在几何学中 常用于曲线和曲面的 研究。
在相切位置，两个平 面的法线方向相同或 相反。
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02
平面间的垂直关系
定义和垂直公理
定义
两个平面如果相交成90度的角，则称这两个平面互相垂直。
垂直公理
如果一条直线与两个平面分别相交，且与这两个平面的交线都垂直，则这条直 线与这两个平面垂直。
垂直线的性质和判定
性质
垂直线与被它所垂直的平面内的任意直线都垂直。
判定
如果一条直线与平面内的两条相交的直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
距离定义
01
两个平行平面间的距离是指一个平面与另一个平面平行且与它
们等距的平面的位置。
距离性质
02
两个平行平面间的距离是一个固定的数值，它等于两个平行平
面之间的垂直距离。
距离的度量
03
可以用长度单位来度量两个平行平面间的距离。
04
平面间的其他关系
平面间的斜交关系
斜交关系
当两个平面不平行且不垂 直时，它们之间形成斜交 关系。
垂直平面的性质和判定
性质
垂直平面与被它所垂直的平面内的所有直线都垂直。
判定
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
解析几何中两个平面的位置关系
解析几何中两个平面的位置关系在解析几何中，平面的位置关系是一个关键概念，它描述了两个平面之间的相对位置和方向。
有时候，我们需要知道两个平面之间的位置关系，以便确定它们交点的位置或者判断它们是否相交。
在这篇文章中，我们将会深入探讨两个平面的位置关系，并讨论如何确定它们之间的相对位置。
一、两个平面的位置关系在解析几何中，两个平面的位置关系可以分为三种不同的情况，分别是平行、相交和重合。
现在，我们分别对这三种情况进行分析。
1.平行两个平面如果平行，则它们永远不会相交。
在这种情况下，这两个平面之间的距离是一个恒定的值。
我们可以通过计算垂直于平面的任意一条直线与另一个平面之间的距离来确定它们之间的距离。
2.相交如果两个平面不平行，则它们必须相交。
在这种情况下，它们的交线是一条直线。
这条直线被称为两个平面的交线。
我们可以使用各种方法来计算这条交线的位置和方向。
例如，我们可以使用向量法、截距法或者标准方程法来求解两个平面的交线。
3.重合如果两个平面完全重合，则它们是同一个平面。
在这种情况下，所有的点都位于同一平面内，所以两个平面没有任何位置关系。
这种情况只会在理论上出现，因为在实际中，两个平面几乎不可能彻底重合。
二、如何确定两个平面之间的位置关系现在，我们讨论如何确定两个平面之间的位置关系。
在解析几何中，我们可以通过计算两个平面之间的距离来确定它们是否平行。
如果两个平面之间的距离是0，则它们是相交或者重合的。
如果两个平面之间的距离不为0，则它们必须平行。
在这种情况下，我们可以通过计算垂直于平面的任意一条直线与另一个平面之间的距离来确定它们之间的距离。
对于两个相交的平面来说，我们可以使用向量法或截距法来确定它们的交线。
向量法利用两个平面的法向量来确定它们的交线。
而截距法则使用两个平面的截距来计算交线的位置。
在求解两个平面之间的位置关系时，我们可以采用一些简单的技巧来简化计算。
例如，我们可以将平面方程转换成向量方程，然后使用向量法来计算交点的位置和方向。
空间平面的位置关系
空间平面的位置关系空间平面的位置关系是指在三维空间中，不同平面之间的相对位置和相互关系。
了解和理解空间平面的位置关系对于几何学和工程等领域的研究具有重要意义。
本文将从水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系三个方面探讨空间平面的位置关系。
一、水平位置关系所谓水平位置关系，是指在水平方向上不同平面之间的相对位置。
在三维空间中，我们可以将水平视为地平面方向。
在这种情况下，如果两个平面的法线向量的水平分量相等（即两个平面的倾斜角度相等），则可以说它们在水平位置上是平行的。
相反，如果两个平面的法线向量的水平分量不等，则可以说它们在水平位置上是交叉的。
二、垂直位置关系垂直位置关系是指不同平面之间的垂直关系。
在三维空间中，我们可以将垂直视为垂直于地平面的方向。
如果两个平面的法线向量互相垂直，则可以说它们在垂直位置上是正交的。
正交的平面之间的夹角为90度。
相反，如果两个平面的法线向量不垂直，则可以说它们在垂直位置上是斜交的。
斜交的平面之间的夹角不为90度。
三、倾斜位置关系倾斜位置关系是指在水平和垂直方向上不同平面之间的相对位置。
在三维空间中，我们可以将倾斜视为不平行也不垂直的方向。
如果两个平面既不平行也不垂直，则可以说它们在倾斜位置上是倾斜的。
倾斜的平面之间的夹角可以是任意角度。
在实际应用中，空间平面的位置关系常常与几何图形的相交关系和相切关系有着密切联系。
例如，在建筑设计中，如果两个平面相交，则会产生交线，可以用于确定建筑构件的位置和尺寸。
而如果两个平面相切，则可以用于确定曲面的接触点和接触角度。
在计算机图形学和三维建模等领域，对于空间平面的位置关系的准确描述和计算也是非常重要的。
通过合理的算法和数学模型，可以准确地判断平面之间的位置关系，从而实现各种复杂的图形操作和几何计算。
总结起来，空间平面的位置关系涉及到水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系。
这些关系在几何学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
空间平面与平面位置关系
空间平面与平面位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要但常常容易被忽视的问题。
了解空间平面与平面的位置关系对于解决几何问题以及应用到实际生活中具有重要的意义。
本文将探讨空间平面与平面的四种基本位置关系：平行、相交、重合和互相垂直，并通过实际例子来说明其应用。
1. 平行关系当两个平面在空间中没有相交的情况下，它们被认为是平行的。
平行平面可以永远延伸下去而不会相交。
把手中的书放在桌子上可以形成一个例子，桌子和书页所在的平面就是平行关系。
平行关系在建筑设计、工程测量以及地理测量等领域中有着广泛的应用。
2. 相交关系当两个平面在空间中有一条直线进行交叉的情况下，它们被认为是相交的。
相交关系可以理解为两个平面在某一点或某一线上相遇。
例如，两扇门相互垂直地打开形成的平面相交于门口的一条直线。
相交的平面关系在日常生活中随处可见，例如建筑物的墙壁与天花板的相交以及道路与桥梁的相交等。
3. 重合关系当两个平面在空间中完全重复时，它们被认为是重合的。
即两个平面在每一点都完全重叠，没有任何区别。
考虑一块平行光线照射在墙壁上并被反射，反射光线与原来的光线所在的平面完全重合。
在几何学中，研究平面重合关系有助于解决与对称性和对称图形相关的问题。
4. 垂直关系当两个平面的交线是垂直于另一平面时，它们被认为是互相垂直的。
垂直关系可以通过角度判断，当两个平面的交线与另一个平面的法线成直角时即可确认垂直关系。
例如，地面与墙壁的交线与墙壁的法线垂直。
垂直关系在建筑设计、物理学以及工程中都有重要的应用，例如计算斜坡的可行性以及研究天体运动。
总结起来，空间平面与平面之间有四种基本的位置关系：平行、相交、重合和互相垂直。
了解这些关系对于解决几何问题和应用到实际生活中具有重要的作用。
无论是建筑设计、工程测量还是物理学研究，几何学的基本原理都是无处不在的。
通过对空间平面与平面位置关系的研究，我们能够更好地理解和应用几何学的知识。
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点平面与平面的位置关系知识点在空间几何中，平面与平面的位置关系是一个重要的知识点。
理解和掌握平面与平面之间的位置关系，对于解决几何问题和应用于实际生活中的空间建模具有重要意义。
本文将介绍平面与平面的四种位置关系：平行、相交、重合和异面，并探讨它们的特性和应用。
1. 平行关系：当两个平面不存在交点时，它们被称为平行平面。
平行平面的特点是：它们的法向量垂直且相等。
简单来说，如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直且长度相等，那么这两个平面是平行的。
平行平面在实际问题中的应用非常广泛，例如建筑设计中的墙面或屋顶。
2. 相交关系：当两个平面存在且仅存在一条交线时，它们被称为相交平面。
相交平面的特点是：它们的法向量不相等。
相交平面可以形成各种不同的几何形状，如平行四边形、直角梯形等。
相交平面的研究有助于我们理解空间中不同几何体的关系，例如研究两个交叉的墙面如何构成室内空间的结构。
3. 重合关系：当两个平面的所有点完全重合时，它们被称为重合平面。
重合平面的特点是：它们的法向量相等且共线。
重合平面意味着这两个平面没有任何区别，它们在空间中完全重合。
在实际问题中，判断平面是否重合对于确定物体的位置和形状至关重要，例如在机械设计中，确保两个零件的平面配合要求是一致的。
4. 异面关系：当两个平面不存在任何交线时，它们被称为异面平面。
异面平面的特点是：它们的法向量不相等且不共线。
异面平面在几何学中是最常见的情况，例如地球表面上的各个大陆就可以看作是一组异面平面的集合。
异面平面的研究帮助我们理解空间中不同平面的分布和相对位置。
总结起来，平面与平面的位置关系涉及四种情况：平行、相交、重合和异面。
通过研究和理解这些位置关系，我们可以更准确地描述和解决空间几何问题。
在实际应用中，我们可以利用这些知识点来进行建模、设计和分析，例如建筑设计中的空间布局、机械设计中的零件配合等。
因此，掌握平面与平面的位置关系知识是学习几何学的重要一步，也对我们的日常生活具有实际应用的意义。
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。
1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。
两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。
这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。
在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。
这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。
符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。
2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。
这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。
如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。
这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。
3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。
这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。
其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。
总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。
这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。
掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。
空间平面与平面的位置关系
空间平面与平面的位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
正确认识空间平面与平面的位置关系，对于解决各类几何问题具有重要的指导意义。
本文将从不同的角度出发，探讨空间平面与平面的位置关系以及相应的几何定理和性质。
一、平行关系在空间几何中，两个平面若不相交，且它们的法向量平行，则称这两个平面是平行的。
平行的平面具有以下性质：1. 平行平面上的任意一点到另一平面的距离是相等的；2. 平行面之间的夹角是等于它们的法向量夹角的。
二、垂直关系在空间几何中，两个平面若它们的法向量相互垂直，则称这两个平面是垂直的。
垂直的平面具有以下性质：1. 垂直平面上的任意一条直线与另一平面的交线是垂直的；2. 垂直平面之间的夹角是直角。
三、相交关系在空间几何中，两个平面若有一条公共直线，则称这两个平面是相交的。
平面相交时，可以分为以下情况：1. 平面相交于一条直线，称为交线；2. 平面相交于一点，称为交点；3. 平面相交于无穷多点，称为部分重合。
四、位置关系除了平行、垂直、相交的关系外，空间平面与平面还可能存在其他的位置关系：1. 相互包含：一个平面完全位于另一个平面的内部，或者一个平面完全包含另一个平面的内部；2. 平行于同一直线：两个平面分别通过同一条直线，且这两个平面之间没有交点。
总结：空间平面与平面之间的位置关系是通过平行、垂直、相交等关系来刻画的。
这些关系以及相应的性质和定理，在解决几何问题时具有重要的应用价值。
通过以上对空间平面与平面的位置关系的讨论，我们可以看到几何学在研究和描述空间中各个图形的位置关系时，为我们提供了一种客观、明确的数学语言。
通过几何学的工具和方法，人们可以更好地理解和应用空间几何学，在解决实际问题中发挥着重要的作用。
本文提供了对空间平面与平面的位置关系的初步了解，但是由于篇幅和深度的限制，并未对每个关系进行详尽的论述和证明。
读者可以基于本文的探讨，进一步深入学习和理解空间几何学的相关知识，探索更多有关空间图形位置关系的问题。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面是一个基本的几何概念，而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。
本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系，包括平行、交叉、相交和重合。
一、平行关系两个平面如果永远不相交，它们被称为平行的。
平行关系是最简单的一种平面位置关系。
例如，在一个立方体中，底面和顶面是平行的，它们永远不会相交。
二、交叉关系两个平面如果有交点，但交点不在任何一个平面上，它们被称为交叉的。
交叉关系可以分为两种情况：交叉于一点和交叉于一线。
1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时，它们被称为交叉于一点的。
例如，一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。
2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时，它们被称为交叉于一线的。
例如，两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。
三、相交关系两个平面如果有公共部分，它们被称为相交的。
相交关系可以分为两种情况：相交于一点和相交于一线。
1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时，并且交点同时存在于两个平面上，它们被称为相交于一点的。
例如，两个平面的法向量相互垂直，它们相交于一点。
2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时，并且交线不在任何一个平面上，它们被称为相交于一线的。
例如，两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。
四、重合关系如果两个平面重合，它们被称为重合的。
两个重合的平面完全相同，它们所有的点都重合在一起。
例如，两张完全相同的平桌面重合在一起。
总结：空间几何中，平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系：平行、交叉、相交和重合。
平行的平面永远不会相交，交叉的平面有交点但不共面，相交的平面有公共部分且可能共面，而重合的平面完全相同。
通过研究平面与平面之间的位置关系，我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念，例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。
掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。
空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识，对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、选择题:1.以下四个命题中,正确命题的个数是( )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A 、B 、C 、D 共面,点A 、B 、C 、E 共面,则A 、B 、C 、D 、E 共面;③若直线a 、b 共面,直线a 、c 共面,则直线b 、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.32.已知a,b 是异面直线,直线c∥直线a,则c 与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3.如图,α∩β=l,A 、B∈α,C∈β,且C ∉l,直线AB∩l=M,过A 、B 、C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M4.已知直线l,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为3(定值);m 与l 的距离为π.那么,这样的直线m 的条数为( )A.0B.2C.4D.无穷5.如图,E 、F 是AD 上互异的两点,G 、H 是BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与CD 互为异面直线;②FH 分别与DC 、DB 互为异面直线;③EG 与FH 互为异面直线;④EG 与AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②6.以下命题中：①点A ，B ，C ∈直线a ，A ，B ∈平面α，则C ∈α；②点A ∈直线a ，a ⊄平面α，则A ∈α；③α，β是不同的平面，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是A 1B 1、CC 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) 1342 (5555)A B C D 8.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A.510 B.1010 C.55 D.10510．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题:1.在空间四边形ABCD 中,各边边长均为1,若BD=1,则AC 的取值范围是________.2.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DD 1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成角的大小等于________.3.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列五个命题:①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内;②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1,则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1;③由点A 、O 、C 可以确定一个平面;④由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1;⑤若直线l 是平面AC 内的直线,直线m 是平面D 1C 内的直线;若l 与m 相交,则交点一定在直线CD 上.其中真命题的序号是________.4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．三、解答题:1、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ 12AD,BE ∥ 12FA,G 、H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形.(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么?2. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．3.如图所示,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是AB 和SC 的中点,求异面直线SM 和BN 所成角的余弦值.4、空间四边形ABCD 中,AB=CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E、F 分别是BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小.。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面之间的位置关系是一项重要的研究内容。
平面是由无数个平行的直线构成的，它们之间没有交点，所以平面是没有厚度的。
平面可以通过两点确定，这两点和平面上的其他任意一点均在同一平面内。
那么在空间中，两个平面之间可以有不同的位置关系，如相交、平行、重合等。
一、相交当两个平面有一条公共线时，它们就是相交的。
这条公共线被称为交线。
相交的平面可以有不同的交线形式，如交于一点、交于一条直线、交于一条线段等。
当两个平面相交于一点时，这个点被称为交点，两个平面是不同的平面。
当两个平面相交于一条直线时，这个直线被称为交线，两个平面的其余部分是平行的。
当两个平面相交于一条线段时，这个线段是两个平面的公共部分，两个平面在该线段上是重合的。
二、平行当两个平面没有交点时，它们是平行的。
平行的平面在空间中始终保持相同的距离，永远不会相交。
平行平面的法线是平行的，法线是垂直于平面的直线。
平行平面可以是同一个平面的平行副本，也可以是不同平面的平行关系。
三、重合当两个平面重合时，它们是完全相同的，每一点都在两个平面上。
两个平面重合意味着它们的所有点、所有直线都重合，没有任何区别。
重合的平面有着相同的法线。
在空间几何中，还有一种特殊的平面位置关系，即垂直。
两个平面垂直时，它们的法线互相垂直。
垂直平面可以相交于一条直线，也可以平行。
两个平面垂直时，它们的交线是两个平面互相垂直的直线。
总结起来，空间几何中的平面与平面的位置关系可以分为相交、平行、重合以及垂直四种情况。
相交的平面可以有各种交线形式，平行的平面保持相同的距离，重合的平面完全相同，垂直的平面的法线互相垂直。
这些位置关系在空间几何的研究中具有重要的意义，对于解决实际问题、构建模型等都起着重要的作用。
通过对平面与平面的位置关系的研究，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识。
空间平面的位置关系
空间平面的位置关系在三维空间中，存在着各种各样的几何图形，它们之间的位置关系也是十分复杂的。
为了描述几何图形之间的相对位置，我们需要利用空间平面的位置关系。
本文将介绍一些常见的空间平面的位置关系，包括平行、垂直、相交和重合。
一、平行关系平行是指两个平面在空间中永远不会相交。
如果两个平面的法向量平行且不重合，那么它们是平行的。
换句话说，如果两个平面的法向量的夹角为零或者180度，则这两个平面是平行的。
平行的例子包括地面和桌面、两块墙面等。
二、垂直关系垂直是指两个平面之间的交角为90度。
如果两个平面的法向量垂直，则它们是垂直的。
换句话说，如果两个平面的法向量的点积为零，则这两个平面是垂直的。
垂直的例子包括地面和墙面、桌面和屋顶等。
三、相交关系相交是指两个平面在空间中有公共的交线。
如果两个平面既不平行也不垂直，则它们是相交的。
相交的例子包括两片交叉的纸张、两片交叉的墙面等。
四、重合关系重合是指两个平面完全相同，它们的所有点都是重合的。
换句话说，如果两个平面的方程式完全相同，则它们是重合的。
重合的例子包括完全一样的两块墙面、两张完全一样的纸张等。
实际应用中，空间平面的位置关系是广泛运用在建筑、几何学、计算机图形学等领域。
例如，在建筑设计中，将地面和墙面视为两个平面，我们需要考虑它们的垂直关系，以确保结构的稳定性。
而在计算机图形学中，我们需要利用空间平面的位置关系来进行三维模型的渲染和显示。
总结起来，空间平面的位置关系包括平行、垂直、相交和重合。
通过深入研究和应用这些位置关系的特性，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形之间的相互关系。
两个平面的位置关系
两个平面的位置关系两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0，180]（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1）侧棱交于一点。
侧面都是三角形（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
空间中的位置关系认识平面和空间中的位置关系
空间中的位置关系认识平面和空间中的位置关系空间中的位置关系认识——平面和空间中的位置关系空间中的位置关系是我们在日常生活中经常遇到的一个概念。
我们所处的世界是一个三维空间，其中包含平面和空间中的位置关系。
通过对位置关系的认识，我们可以更好地理解和描述物体在空间中的位置和相互关系。
本文将介绍平面和空间中的位置关系的概念和基本要素，并探讨如何通过图形和数学工具来表示和分析它们。
一、平面中的位置关系认识平面是一个有长度和宽度的二维空间，它是我们日常生活中最常接触到的空间之一。
在平面中，我们经常涉及到点、线和面等基本要素。
1. 点的位置关系点是平面上最基本的要素，它没有长度和宽度，只有位置。
在平面中，点可以唯一地用坐标表示，常见的表示方法是使用笛卡尔坐标系。
通过确定点的坐标，我们可以准确地描述点在平面中的位置。
2. 线的位置关系线是由无数个点组成的，它具有长度但没有宽度。
在平面中，我们经常遇到直线和曲线。
直线由两个点确定，通过这两个点可以唯一地定义一条直线。
曲线则没有这样的唯一性。
在平面中，我们还关心线与线之间的相对位置关系。
例如，两条直线可能相交，也可能平行或重合。
这些相对位置关系对于几何图形的分类和性质分析非常重要。
3. 面的位置关系面是平面上的一个区域，它是由无数个点和线组成的。
在平面中，我们经常涉及到三角形、四边形、圆等不同形状的面。
面与面之间的位置关系也是我们常常需要讨论的一个问题。
两个面可能相交，也可能平行或重合。
比如，两个三角形可能相互重叠，也可能只是有一些边重合。
二、空间中的位置关系认识空间是一个有长度、宽度和高度的三维空间，相比平面，它更加复杂。
在空间中，我们需要考虑点、直线、平面以及它们之间的位置关系。
1. 点的位置关系空间中的点与平面中的点类似，可以通过坐标来表示。
不同之处在于，空间中的点除了具有平面中的坐标外，还需要有高度的坐标。
通过这三个坐标，我们可以准确地描述空间中的点的位置。
两平面的位置关系
在计算机图形学中，判断两个平 面是否相交，以实现三维模型的
渲染和显示。
04
两平面垂直
定义和性质
定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角（平面角 是直角），则这两个平面互相垂直。
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面。
性质 垂直于同一平面的两个平面互相平行。
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数学建模
在解决一些实际问题时，可以将问题抽象为两个平面的位置关系问题，通过判断两个平面 是否垂直来解决问题。例如，在三维空间中求解点到直线的距离时，可以通过判断点所在 的平面与直线所在的平面是否垂直来简化计算过程。
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两平面斜交
定义和性质
定义
两平面不平行也不重合，且它们的交线是一条斜线，则称这两个平面斜交。
方程联立法
通过联立两个平面的方程，求解得到它们的交线方程。若交线方 程有解，则两平面相交。
向量法
利用向量的点积或叉积判断两个平面的法向量是否平行。若法向 量不平行，则两平面相交。
应用举例
在建筑设计中，判断两面墙是否 相交，以确定房间的布局和形状。
在机械制图中，判断两个平面是 否相交，以确定零件的几何形状
判定方法
直接判定
如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂 直。
间接判定
如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直。
应用举例
建筑学
在建筑设计中，经常需要确定两个墙面是否垂直，以确保建筑物的稳定性和美观性。
工程学
在机械设计和制造中，需要确保两个零件的表面垂直，以确保零件的精度和可靠性。
针对两平面位置关系的计算效率和精 度问题，我们将研究更高效的算法和 更精确的数值计算方法，以提高实际 应用中的性能。