层次分析法案例

层次分析法

一. 层次分析模型和一般步骤

二. 建立层次结构模型

三. 构造成对比较矩阵

四. 作一致性检验

五. 层次总排序及决策

一. 层次分析模型和一般步骤

层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。

层次分析的四个基本步骤：

（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；

（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；

（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；

（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并进行决策。

二. 建立层次结构模型

将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等，也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内，用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。

〔例1〕购物模型

某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：

〔例2〕选拔干部模型

对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：

〔例3〕评选优秀学校

某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素：

（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）

（2）教学设施

（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）

（4）文体活动

自己动手将这些因素分层构成层次分析模型。

三. 构造成对比较矩阵

比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量

化的相对权重来描述。设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。

成对比较矩阵中的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。

在 19 及其倒数中间取值。

●元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；

●元素 i 比元素 j 略重要；

●元素 i 比元素 j 重要；

●元素 i 比元素 j 重要得多；

●元素 i 比元素 j 的极其重要；

●，元素 i 与 j 的重要性介于与

＝2n＋1之间；

●，当且仅当。

成对比较矩阵的特点：，，。

对例 2，选拔干部考虑5个条件：品德，才能，资历，年龄，群众关系。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：

=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。

四. 作一致性检验

从理论上分析得到：如果是完全一致的成对比较矩阵，应该有

。

但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。

由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特

征值和该矩阵的维数相差不大。

检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：

计算衡量一个成对比矩阵 A（>1 阶方阵）不一致程度的指标：

其中是矩阵 A 的最大特征值。

从有关资料查出检验成对比较矩阵A一致性的标准：称为平均随机

一致性指标，它只与矩阵阶数有关。

按下面公式计算成对比较阵A的随机一致性比率 CR：

判断方法如下：当时，判定成对比较阵A具有满意的一致性，或

其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A，直到达到满意的一致性为止。

例如：对例 2 的矩阵

计算得到，，查得

，

这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此时的最大特征值对应的特征向量为：

。

这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。该特征向量标准化后变成

。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量的各分量所确

定。

求的特征值的方法：可以用 MATLAB 语句求的特征值:love78921

〔Y,D〕=eig（A），Y 为成对比较阵的特征值，D的列为相应特征向量。

在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵的最大特征值

和相应特征向量的近似值。

定义，可以近似地看作的对应于最

大特征值的特征向量。

计算

可以近似看作的最大特征值。实践中可以由来判断矩阵的一致性。

小结：成对比较矩阵一致性检验的步骤为：

●计算的最大特征值；

●计算指标；

●查表求得；

●计算；

●按的大小判断是否有满意的一致性，或是否要调整。

五. 层次总排序及决策

现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人、、中选一个总

体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人分别

比较他们的品德，才能，资历，年龄，群众关系。先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵：