层次分析法案例

层次分析法
一. 层次分析模型和一般步骤
二. 建立层次结构模型
三. 构造成对比较矩阵
四. 作一致性检验
五. 层次总排序及决策
一. 层次分析模型和一般步骤
层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。

这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。

层次分析的四个基本步骤：
（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；
（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；
（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；
（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并进行决策。

二. 建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等，也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。

把各种所要考虑的因素放在适当的层次内，用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。

〔例1〕购物模型
某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
〔例2〕选拔干部模型
对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：
〔例3〕评选优秀学校
某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。

主要考虑以下几个因素：
（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）
（2）教学设施
（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）
（4）文体活动
自己动手将这些因素分层构成层次分析模型。

三. 构造成对比较矩阵
比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量
化的相对权重来描述。

设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。

成对比较矩阵中的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。

在 19 及其倒数中间取值。

●元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；
●元素 i 比元素 j 略重要；
●元素 i 比元素 j 重要；
●元素 i 比元素 j 重要得多；
●元素 i 比元素 j 的极其重要；
●，元素 i 与 j 的重要性介于与
＝2n＋1之间；
●，当且仅当。

成对比较矩阵的特点：，，。

对例 2，选拔干部考虑5个条件：品德，才能，资历，年龄，群众关系。

某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。

四. 作一致性检验
从理论上分析得到：如果是完全一致的成对比较矩阵，应该有。

但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。

因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。

由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。

对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特
征值和该矩阵的维数相差不大。

检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：
计算衡量一个成对比矩阵 A（>1 阶方阵）不一致程度的指标：
其中是矩阵 A 的最大特征值。

从有关资料查出检验成对比较矩阵A一致性的标准：称为平均随机
一致性指标，它只与矩阵阶数有关。

按下面公式计算成对比较阵A的随机一致性比率 CR：
判断方法如下：当时，判定成对比较阵A具有满意的一致性，或
其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A，直到达到满意的一致性为止。

例如：对例 2 的矩阵
计算得到，，查得
，
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此时的最大特征值对应的特征向量为：。

这个向量也是问题所需要的。

通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。

该特征向量标准化后变成。

经过标准化后这个向量称为权向量。

这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。

各因素的相对重要性由权向量的各分量所确
定。

求的特征值的方法：可以用 MATLAB 语句求的特征值:love78921
〔Y,D〕=eig（A），Y 为成对比较阵的特征值，D的列为相应特征向量。

在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵的最大特征值
和相应特征向量的近似值。

定义，可以近似地看作的对应于最
大特征值的特征向量。

计算
可以近似看作的最大特征值。

实践中可以由来判断矩阵的一致性。

小结：成对比较矩阵一致性检验的步骤为：
●计算的最大特征值；
●计算指标；
●查表求得；
●计算；
●按的大小判断是否有满意的一致性，或是否要调整。

五. 层次总排序及决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人、、中选一个总
体上最适合上述五个条件的候选人。

对此，对三个候选人分别
比较他们的品德，才能，资历，年龄，群众关系。

先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵：
经计算，的权向量
，，。

故的不一致程度可接受。

可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。

类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵：
通过计算知，相应的权向量为
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。

经检验
知的不一致程度均可接受。

最后计算各候选人的总得分。

的总得分为：
从计算公式可知，的总得分实际上是各条件得分，
,,的加权平均, 权就是各条件的重要性。

同理可得、的得分为
, 。

比较后可得：候选人是第一干部人选。

小结：在决策时，要先计算各方案的“总得分”，按总得分决定取舍。

计算总得分的方法与通常的打分评比的方法类似，计算下一层因素在各准则项上的得分，再按各准则项在总目标中的权重求总。