3-2 特征标表

对于绕主轴 对于绕主轴 Cn 转动 2π/n 对称（特征标等于 +1 ）的一维表示用 π 对称（ A ，反对称（特征标等于 -1 ）的用 B。 反对称（ 。
附加到 A 或 B 上的下标 1 和 2 ，用来分别标记它们对于副轴 C2 上的下标 用来分别标记它们对于副轴 是对称的还是反对称的。 轴时， 是对称的还是反对称的。如果没有这种 C2 轴时，标记对于 σv 是对 称的或是反对称的。 称的或是反对称的。
3.5 特征标表
群论和分子对称性的全部应用， 群论和分子对称性的全部应用，都要不断用到点群的不可约表 示的特征标。所以将它们组合在一起，称为特征标表。 示的特征标。所以将它们组合在一起，称为特征标表。如：
C3v 点群的特征标表
C3v A1 A2 E
ˆ ˆ E 2C 3 1 1 1 2 1 −1
ˆ 3σ v 1 −1 0
一维表示（或称非简并表示） 一维表示（或称非简并表示）标记为 A（a） 或 B（b）。如果 （ ） （ ） 与原子轨道联系的话（即以原子轨道作为表示的基），一维表示就 与原子轨道联系的话（即以原子轨道作为表示的基），一维表示就 ）， 意味着只有一个轨道，且不可约表示与该轨道的对称性相同。 意味着只有一个轨道，且不可约表示与该轨道的对称性相同。 二维表示（或称二重简并表示） 二维表示（或称二重简并表示）标记为 E（e）。如果与原子轨 （ ） 道联系的话（即以原子轨道作为基），二维表示就意味着只有二个 道联系的话（即以原子轨道作为基），二维表示就意味着只有二个 ）， 能量相同的轨道，且不可约表示与轨道的对称性相同。 能量相同的轨道，且不可约表示与轨道的对称性相同。 三维表示（或称三重简并表示） 三维表示（或称三重简并表示）标记为 T（t）。如果与原子轨 （） 道联系的话（即以原子轨道作为基），三维表示就意味着只有三个 道联系的话（即以原子轨道作为基），三维表示就意味着只有三个 ）， 能量相同的轨道，且不可约表示与轨道的对称性相同。 能量相同的轨道，且不可约表示与轨道的对称性相同。
群由六个元素组成，分成三类： ， 例2：C3v 群由六个元素组成，分成三类：E，2C3，3σv。因此 ： 这个群有三个不可约表示（规则 ）。规则1 ）。规则 这个群有三个不可约表示（规则4）。规则 还要求这些不可约表示 ），因此 的维数的平方和也等于 6（群的阶），因此， C3v 群有一个二维和二 （群的阶），因此， 个一维的不可约表示。 个一维的不可约表示。 利用上述规则，我们实际上还能求出这些不可约表示的特征标， 利用上述规则，我们实际上还能求出这些不可约表示的特征标， 这部分内容稍后再讨论。 这部分内容稍后再讨论。
i
对于一个不可约表示 Γµ ，其特征标记为
χ ( R) = Tr [D ( R )]
µ
µ
矩阵的迹对于相似变换不变，因此， 矩阵的迹对于相似变换不变，因此，等价表示的各个对应矩阵 有相同的特征标。 有相同的特征标。即，特征标不随基函数的选择而变化。 特征标不随基函数的选择而变化。 逆命题：如果二个表示的特征标相等，则二个表示必定等价。 逆命题：如果二个表示的特征标相等，则二个表示必定等价。 对一个群的所有元素，一个给定表示的特征标的完全集合， 对一个群的所有元素，一个给定表示的特征标的完全集合，称 为该表示的特征标。 为该表示的特征标。
不可约表示的标记
在点群的特征标表中，最上面一行是目录， 在点群的特征标表中，最上面一行是目录，在左上角是群的熊 夫里记号。往后，是按类列出的群元素， 夫里记号。往后，是按类列出的群元素，并在其前加上该类操作的 数目。每列之首是每一类的代表元素。 数目。每列之首是每一类的代表元素。 往下，每一行是一个特定的不可约表示。 往下，每一行是一个特定的不可约表示。 在特征标表中， 提出的符号标记。 在特征标表中，不可约表示采用 Mulliken 提出的符号标记。
群表示理论
目录
3 群表示理论（2） 群表示理论（ ）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表） 某些群的不可约表示（特征标表）
3.4 广义正交定理
对于群 G 的每个操作 R ，Γµ 和 Γν 是具有矩阵 Dµ (R) 和 Dν (R) 的二个不等价不可约酉表示，那么， （维数分别为 nµ 和 nν ）的二个不等价不可约酉表示，那么，它们 的矩阵元之间满足下列方程。 的矩阵元之间满足下列方程。
µ 3）对于同一表示的相同行列位置的矩阵元 Dik (R) ，则 ）
g ∑ [Dik (R)] = n R µ
µ
2
（12-4-4） ）
求和遍及所有的操作 R 。这表明：任何一个由矩阵元组成的向 这表明： 量的长度的平方等于方程右边的值。 量的长度的平方等于方程右边的值。 广义正交定理是群表示理论的核心。它描述了点群的不等价不 广义正交定理是群表示理论的核心。 可约酉表示之间的正交性，以及同一表示矩阵中行与列的正交性。 可约酉表示之间的正交性，以及同一表示矩阵中行与列的正交性。
例3：对于 C3v 群，下面给出不可约表示 Γ1，Γ2 和 Γ3 的特征标 ： 的特征标： 和二个可约表示 Γa 和 Γb 的特征标：
C3v Γ1 Γ2 Γ3 Γa Γb
E 1 1 2 5 7
2C 3 1 1 −1 2 1
3σ v 1 −1 0 −1 −3
利用规则 5，我们可以求出不可约表示 Γµ 在可约表示中出现的 ， 次数 aµ 。
R 的）表示矩阵的二个第 i 行和第 k 列的矩阵元，则 列的矩阵元，
g ∑ Dik (R)Dik (R)* = n δ µν = 0 R µ
µ ν
（12-4-2） ）
这表明：不同表示中， 求和遍及所有的操作 R 。这表明：不同表示中，即使是相同行 列位置的矩阵元亦是正交的；或者说， 列位置的矩阵元亦是正交的；或者说，选自不同表示矩阵的向量是 相互正交的。 相互正交的。
z Rz
x 2 + y 2 ; z2
( x , y ); ( R x , Ry ) ( xz , yz); ( x 2 − y 2 , xy )
C2v 群的特征标表
C2 v A1 A2 B1 B2 ˆ ˆ ˆ E C 2 (z) σ XZ 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 ˆ σ YZ 1 −1 −1 1 z Rz x , Ry y , Rx x 2 , y 2 , z2 xy xz yz
且与其它不可约表示的相似向量正交。 且与其它不可约表示的相似向量正交。由于正交 k 维向量的最大数 目是 k，因此，不等价不可约表示的最大数目也必须是 k 。 ，因此，
4）群的不等价不可约表示的数目等于群中类的数目。 ）群的不等价不可约表示的数目等于群中类的数目。 5）约化公式：不可约表示 Γµ 在一个可约表示中出现的次数 aµ ）约化公式： 等于
g i χ µ (Ci )χ ν (C i ) * = gδ µν ∑
k
（12-4-8） ）
式中求和只要遍及不同的类，χµ ( Ci ) 是不可约表示 Γµ 的第 i 式中求和只要遍及不同的类， 类任意操作的特征标。 类任意操作的特征标。
g i χ µ (C i )可解释为 k 维向量的分量，并 维向量的分量， 上式加和号下的数字
3 2 −1 2 − 3 2 1 2 − 3 2 12
d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
3）由二个不同的不可约表示的特征标作为分量的向量正交。 ）由二个不同的不可约表示的特征标作为分量的向量正交。
χ µ ( R)χ ν ( R) * = gδ µν = 0 ∑
∑g
i=1
k
i
=gБайду номын сангаас
例如，对于 C3v 群，我们有 例如，
ˆ C1 = E = E ˆ ˆ2 C 2 = 2C3 = C 3 C3 ˆ′ ˆ′ ˆ′ C3 = 3σ v = σ v σ v′ σ v′′
g1 = 1 g2 = 2 g3 = 3 g=6 k=3
由于同一类操作的特征标恒等，我们可以把方程（ 由于同一类操作的特征标恒等，我们可以把方程（12-4-6）与 ） （12-4-7）合并改写为 ）
1 µ aµ = ∑ χ ( R )χ ( R ) g R 1 k = ∑ g i χ (C i )χ µ (C i ) g i
现在，我们举例说明以上规则的应用。 现在，我们举例说明以上规则的应用。 群由四个元素组成，每个元素自成一类。 例1：C2v 群由四个元素组成，每个元素自成一类。因此这个群 ： 有四个不可约表示（规则4）。规则 还要求这些不可约表示的维数 ）。规则 有四个不可约表示（规则 ）。规则1 ），因此 的平方和也等于 4（群的阶），因此， C2v 群有四个一维的不可约表 （群的阶），因此， 示。
g ∑ Dik (R)Dmj (R)* = n δ µν δ ijδ km R µ
µ ν
（12-4-1） ）
其中， 为群的阶， 其中，g 为群的阶，加和遍及所有的操作 R。 。
广义正交定理包括以下三种情况： 广义正交定理包括以下三种情况：
µ 1）如果 Dik (R ) 和 Dν (R ) 代表在表示 Γµ 和 Γν 中（关于操作 ） ik
R
（12-4-6） ）
R
E
C3
2 C3
′ σv
′ σ v′
′ σ v′′
Γ1
1
1
1
1
1
1
Γ2
3 2 −1 2 − 3 2 1 0 −1 2 1 0 −1 2 0 1 − 3 2 −1 2 3 2 −1 2 0 −1 3 2
释例
d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
R E C3
2 C3
′ σv
′ σ v′
′ σ v′′
Γ1