平行线的有关证明(经典)
平行线的性质及推导方法
平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。
一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。
证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。
由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。
2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。
证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。
先证明内错角相等，连接AC、BD。
由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。
同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。
二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。
证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。
若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。
由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。
又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。
由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。
同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。
综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍几种常见的证明方法。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条第三条直线所切割时，位于这两条直线同侧的对应角。
如果两条直线被一条第三条直线所切割，而同位角相等，则可以证明这两条直线平行。
这是由于同位角相等是平行线的必要条件。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组同位角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
2. 转角相等法。
转角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的内部转角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
3. 垂直线法。
垂直线法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的交叉角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量交叉角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
4. 对应角相等法。
对应角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的对应角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组对应角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
5. 平行线性质法。
平行线性质法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的一组内部转角之和为180度，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们之和为180度，则可以得出结论，这两条直线平行。
综上所述，证明两条直线平行的方法有同位角相等法、转角相等法、垂直线法、对应角相等法和平行线性质法等多种。
在实际操作中，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
希望本文介绍的方法能够对大家理解和掌握平行线的证明提供帮助。
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。
如果两条直线在平面上的任意一点处的夹角都相等，则这两条直线是平行线。
二、方法一：同位角定理同位角定理是证明线面平行中常用的一种方法。
同位角是指两条平行线被一条横截线所切割的角，它们在同一边的对应角。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条平行于AB和CD的横截线EF。
2.判断同位角：观察EF与AB和CD所形成的角，如果这些角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明同位角相等：可以利用已知角度相等的定理，如垂直角定理（两条直线相交时，所形成的四个角中相对的角度相等）或同旁内角互补定理（两条直线切割同位角时，同位内角和邻补角的和为180度）来证明同位角相等。
三、方法二：转角定理转角定理也是证明线面平行中常用的一种方法。
该定理表明，如果两条直线所形成的转角相等，则这两条直线是平行线。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.观察EF与AB和CD所形成的转角，如果这些转角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明转角相等：可以利用已知角度相等的定理，如同位角定理、垂直角定理或同旁内角互补定理来证明转角相等。
四、方法三：等边三角形法等边三角形法是证明线面平行的另一种常用方法。
该方法利用了等边三角形的性质，即等边三角形的对边是平行的。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.构造一个等边三角形AEF，其中AE=EF=AF，使得EF与CD重合。
3.由于AEF是等边三角形，所以DE=DF。
4.由于DE=DF且EF与CD重合，可以得出DE与CD重合，即DE和CD是平行线，从而得出AB和CD是平行线。
五、总结通过同位角定理、转角定理和等边三角形法，我们可以方便地证明线面平行的关系。
这些证明方法在几何学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究和解决与平行线有关的问题。
在实际生活中，平行线的概念和性质也有着广泛的应用，如建筑、制图等领域。
平行线的证明题及答案
平行线的证明题及答案关于平行线的证明题及答案平行线是几何的知识，关于平行线的证明该怎么解决呢?这类的证明蕴含着那些数学原理呢?下面就是店铺给大家整理的平行线的证明内容，希望大家喜欢。
平行线的证明方法一当∠BPD=∠B+∠D时可以判断AB∥CD过P作PE∥AB则∠BPE=∠B而∠BPD=∠B+∠D∴∠EPD=∠D故PE∥CD∴AB∥CD证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)平行线的证明方法二“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC 的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。
平行线与垂直线的判定与证明
平行线与垂直线的判定与证明在几何学中，平行线和垂直线是基本概念，它们在直角三角形、平行四边形等形状的研究和解题过程中扮演着重要角色。
本文将介绍如何判断两条线是否平行或垂直，并给出相应的证明方法。
一、平行线的判定与证明平行线是指在同一平面内永远不相交的两条直线。
以下介绍几种常用的判定方法及其证明过程。
1. 两条直线的斜率相等判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的斜率分别为k1和k2，并且k1 = k2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的斜率分别为k1和k2，且k1 = k2。
设L1和L2上存在两个不同的点P1和P2。
点P1的坐标为(x1, y1)，点P2的坐标为(x2, y2)。
根据斜率的定义，k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，即(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)。
同理，k2 = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
由于k1 = k2，所以(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)，即点P1和P2满足L1和L2的直线方程，因此L1和L2是平行线。
2. 两条直线的法向量相同判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的法向量分别为n1和n2，并且n1 = n2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的法向量分别为n1和n2，且n1 = n2。
设L1上存在一点P0，并且L1的法向量n1与点P0的向量p1垂直，即n1·p1 = 0。
设L2上任意一点P2，并且L2的法向量n2与点P2的向量p2垂直，即n2·p2 = 0。
由于n1 = n2，所以n1·p1 = n2·p2。
即n1·(p1 - p2) = 0。
因此，向量(p1 - p2)与n1垂直，即向量(p1 - p2)与L1平行。
由此可知，L1与L2是平行线。
二、垂直线的判定与证明垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线。
几何形的平行和垂直的证明
几何形的平行和垂直的证明平行线是几何学中非常基础的概念，它在许多几何问题的证明中起到了重要作用。
而垂直线，则是平行线的特殊情况。
本文将从几何形的平行和垂直角度出发，探讨其证明方法。
一、平行线的证明平行线的定义是：在同一个平面内，不相交且在同一方向延伸的两条直线被称为平行线。
证明两条直线平行的方法主要有以下几种：1. 同位角法同位角法是平行线判定中较为简单的方法之一。
根据同位角的性质，如果两条直线的同位角相等，则这两条直线是平行的。
因此，通过计算角度的大小可以进行平行线的证明。
2. 对称性法对称性法是利用平行线具有对称性的特点进行证明。
当两条平行线被一条横截线所分割时，横截线上的对应角互为对应角，根据对应角相等的性质，可以证明两条直线平行。
3. 反证法反证法是通过假设两条直线不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条直线是平行的。
这种方法常用于间接证明。
二、垂直线的证明垂直线是指两条直线相交于一点，并且相交时，相邻的四个角中有两个角是直角的线。
证明两条直线垂直的方法包括：1. 垂直定理垂直定理是判断两条直线是否垂直的简单方法之一，它的表述为：若两条直线分别与一条直线相交，并且所成的对应角互为补角，则这两条直线是垂直的。
2. 斜率法斜率法是判断两条直线是否垂直的一种常见方法。
根据直线的斜率公式，如果两条直线的斜率乘积为-1，即斜率之积为-1，那么这两条直线是垂直的。
3. 垂直角法垂直角法是利用垂直线的特点进行证明。
当两条直线相交于一点时，相交处的四个角互为垂直角，根据垂直角的性质，可以得出两条直线是垂直的结论。
三、几何形的平行和垂直证明在实际问题中，不仅仅涉及到直线的平行和垂直的问题，还有许多几何形的平行和垂直的证明。
下面以矩形和平行四边形为例，介绍如何证明几何形的平行和垂直关系。
1. 矩形的平行和垂直证明矩形是一种特殊的四边形，其中的对边是平行且相等的。
矩形的平行和垂直关系可以通过以下证明方法得到：（正文部分正常书写，以下是示例）（证明一）：证明矩形的对角线互相垂直。
平行线的性质及判定典型例题
1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．证明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝∠DCF，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠ECD＝∠ACB，又∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD，∴AB∥CE．2．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？解：AE∥BF．理由如下：因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．因为∠1＝∠2（已知），所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），即∠EAB＝∠FBG，所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF．证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．证明：∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DC∥AB．5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．解：AB∥ED，理由：如图，过C作CF∥AB，∵∠B＝25°，∴∠BCF＝∠B＝25°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，又∵∠D＝42°，∴∠DCF＝∠D，∴CF∥ED，∴AB∥ED．6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：BC∥AD．理由如下：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC．7．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ACD（两直线平行，错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCA，∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为135°．②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为40°．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°；②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°故答案为：40°；（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（3）30°、45°．理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；当EB∥AC时，∠ACE＝45°．9．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED＝∠AOB＝90°，∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，错角相等），∵∠EDO＝∠CFB，∴∠BOD＝∠CFB，∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．证明：∵∠E＝∠F，∴AE∥CF，∴∠A＝∠ADF，∵∠A＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∴AD∥BC．11．已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：∠BEF+∠DFE＝180°．解：∵EG∥HF∴∠OEG＝∠OFH，∵∠1＝∠2∴∠AEF＝∠DFE∴AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°．12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．解：AB∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，错角相等）∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°，（等量代换）∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝50°，∵CEF＝130°，∴∠E+∠DCE＝180°，∴EF∥CD，（同旁角互补，两直线平行）∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）13．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，又∵∠EFC＝140°，∴∠BCF+∠EFC＝180°，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD．14．完成下列推理过程：已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B求证：∠EDG+∠DGC＝180°证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等）∴EF∥AB（错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠EDG+∠DGC＝180°（两直线平行，同旁角互补）15．已知：如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）解：∵BE∥GF（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行同位角相等）∵∠1＝∠3（已知）∴∠1＝（∠2 ）（等量代换）∴DE∥（BC）（错角相等两直线平行）∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行同旁角互补）∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）∵∠DBC＝（70°）（已知）∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°16．如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：（1）AF∥ED；（2）∠BED＝∠A；（3）∠1＝∠2（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠AFC，∵∠A＝∠D，∴∠AFC＝∠D，∴AF∥ED；（2）证明：∵AF∥ED，∴∠BED＝∠A；（3）证明：∵AF∥ED，∴∠1＝∠CGD，又∵∠2＝∠CGD，∴∠1＝∠2．17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证∠A＝∠F证明：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（对顶角相等）∴∠1＝∠DGF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁角互补）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代换）∴AC∥DF（同旁角互补，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，错角相等）18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．（1）求∠α和∠β的度数．（2）求∠C的度数．解：（1）解方程组，得．（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，∴AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°．19．如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，求∠P的度数．解：过P作PM∥直线a，∵直线a∥b，∴直线a∥b∥PM，∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPM＝∠2＝30°，∠FPM＝∠1＝45°，∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°+45°＝75°，20．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，求∠E．解：∵AB∥CD，∠A＝60°，∴∠DOE＝∠A＝60°，又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，∴∠E＝∠DOE＝30°．21．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？为什么？解：∠BAC＝∠DCA，理由：∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，∴∠CFE+∠1＝180°，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠B，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠AEF，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格填空或在括号填写理由）．理由：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥AC，（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠DAC．（两直线平行，错角相等）又∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠3+∠DAC＝180°．（等量代换）∴AD∥EF，（同旁角互补，两直线平行）∴∠ADC＝∠EFC．（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．24．已知：如图，FE∥OC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．（1）求证：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度数．（1）证明：∵FE∥OC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠C，∴AB∥DC；（2）解：∵AB∥DC，∴∠D＝∠B，∵∠B＝30°∴∠D＝30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE＝∠D+∠1，∵∠1＝65°，∴∠OFE＝30°+65°＝95°．25．（2018秋•牡丹区期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．证明：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝30°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝30°．26．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．平分．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠3，（两直线平行，错角相等）∠E＝∠1，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E＝∠3（已知）∴∠1＝∠2（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．27．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系？并说明理由；（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．解：（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：∵EF∥AB，∠EFB＝130°，∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°，又∵∠CBF＝20°，∴∠ABC＝70°，∵∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC，∴CD∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝70°，∴∠ECD＝110°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝40°．28．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵ED∥BC（已知）∴∠5＝∠2（两直线平行，错角相等）∴∠1＝∠5（等量代换）∵∠4＝∠5（已知）∴EF∥BD（错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠3＝∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）。
七年级数学平行线的证明
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法在几何学中，线线平行是一个重要的概念，它在解决几何问题时经常被应用。
那么，如何证明两条线是平行的呢？下面我们将介绍几种常见的证明方法。
1. 同位角相等法则。
同位角相等法则是证明线线平行的常用方法之一。
当一条直线被一对平行线所截断时，同位角相等的性质可以帮助我们证明这两条线是平行的。
具体来说，如果两条直线被一条截线所截断，且同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 交叉线法则。
交叉线法则是另一种常见的证明线线平行的方法。
当一条直线被两条平行线所截断时，交叉线法则可以帮助我们证明这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
具体来说，如果一条直线与一对平行线所形成的内错角相等，那么这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
3. 垂直线法则。
垂直线法则是在证明线线平行时也经常被使用的方法之一。
当两条直线被一条横截线所截断时，垂直线法则可以帮助我们证明这两条直线是平行的。
具体来说，如果一对内错角的补角相等，那么这两条直线就是平行的。
4. 转角相等法则。
转角相等法则也是证明线线平行的常用方法之一。
当一条直线被两条平行线所截断时，转角相等法则可以帮助我们证明这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
具体来说，如果一对同旁内角相等，那么这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
通过以上几种常见的证明方法，我们可以准确地判断两条直线是否平行。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，从而解决几何问题。
总之，线线平行的证明方法是几何学中重要的内容，掌握了这些方法，可以帮助我们更好地理解几何知识，提高解题能力。
希望本文介绍的内容对您有所帮助，谢谢阅读！。
平行线有关证明范文
平行线有关证明范文平行线是指在同一个平面上没有任何交点的两条直线。
在数学中，有一些经典的平行线性质可以通过证明来得到。
下面将介绍其中几个较为常见和重要的平行线性质的证明。
1.在一个平面内，如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线也必然相交。
证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F。
为了证明EF与BD不相交，我们假设它们相交，交点为G。
因为EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：BE/EA=BG/GF。
又因为EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：FD/DE=FG/GC。
我们将上面的两个等式相加，得到：(BE/EA)+(FD/DE)=(BG/GF)+(FG/GC)。
因为AB和CD是平行线，所以根据平行线的定义，BE/EA=FD/DE，所以上面的等式可以化简为：2(BE/EA)=2(BG/GF)。
由于左右两边相等，我们可以得到BE/EA=BG/GF。
根据相交线段定理，这意味着EF与BD平行，与我们的假设相矛盾。
因此，EF与BD不相交，证明了EF与BD平行。
2.平行线之间的夹角等于与这两条平行线相交的直线上所夹的对应角。
证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F，交线与AB、CD的交点分别为G和H。
与AG、CF平行的直线分别为JK和LM，交线与JK、LM交点为N。
我们需要证明∠EFG=∠JMH。
首先，根据平行线性质可知，∠FDC=∠HDC，∠DAF=∠GAF。
同理，根据平行线性质可知，∠EAB=∠GAB，∠CEF=∠CEF。
由于EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(BE/EA)=(BF/FA)。
同理，EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(DF/DC)=(DE/EC)。
由于和之前的证明过程相同，我们可以得到：(BE/EA)=(DF/DC)。
根据等比例线段定理，我们可以得到：BF/FA=DF/DC。
证平行线的方法
证平行线的方法证明两条直线平行是几何学中常见的问题。
这里将介绍10种证明直线平行的方法，并提供详细描述。
方法一：使用平行线定理平行线定理是证明两条直线平行的最常用方法之一。
该定理表明：如果两条直线在平面上被一条直线所截，使得同侧内角和小于180度，则这两条直线将平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。
2. 根据角度关系计算同侧内角和。
3. 如果同侧内角和小于180度，则这两条直线平行。
方法二：使用垂直线段的特性两条直线垂直时，它们是平行的直线之一。
我们可以使用两条垂直线段的特性来证明两条直线平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和两条垂直线段。
2. 如果两条垂直线段长度相等，则这两条直线平行。
方法三：使用相似三角形的特性相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
我们可以使用相似三角形的特性来证明两条直线平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和相似三角形。
2. 如果这两条直线分别与相似三角形的两个平行边相交，则它们平行。
方法四：使用平移变换平移变换是一种几何变换，可以将图形平移或移动。
如果两条直线平移后仍平行，则它们是平行线。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们的中垂线。
2. 对图形进行平移变换，将其中一条直线平移至另一条直线的位置。
3. 如果两条直线在平移过程中一直保持平行，则它们是平行线。
方法五：使用对顶角的特性对顶角是指两条直线交叉形成的相对角。
如果这些角度相等，则这两条直线是平行线。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们之间的交点。
2. 计算对顶角。
3. 如果对顶角相等，则这两条直线是平行线。
方法六：使用欧几里德公理欧几里德公理是几何学中的三个基本公理之一，其中一个公理表明：如果一条直线被另一条直线截断，并且同侧内角和小于180度，则两条直线之间没有交点。
详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。
2. 根据欧几里德公理，如果同侧内角和小于180度，则这两条直线之间没有交点，因此是平行线。
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的两条直线。
那么，如何证明两条直线是平行的呢？下面我们将介绍几种证明平行线的方法。
首先，我们可以利用平行线的定义来证明。
平行线的定义是指在同一平面上不相交的两条直线。
因此，如果我们能够证明两条直线在同一平面上且不相交，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于简单的几何题目，通过观察图形的特点，我们可以直接得出结论。
其次，我们可以利用平行线的性质来证明。
平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的对应角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于复杂的几何题目，通过分析角度关系，我们可以得出结论。
另外，我们还可以利用平行线的判定定理来证明。
平行线的判定定理包括同位角相等定理、内错角相等定理、对顶角相等定理等。
通过利用这些定理，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的内错角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要严格证明的几何题目，通过利用定理，我们可以严谨地得出结论。
最后，我们还可以利用平行线的推论来证明。
平行线的推论包括平行线的性质推论、平行线的判定定理推论等。
通过利用这些推论，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要推理的几何题目，通过利用推论，我们可以得出结论。
综上所述，证明平行线的方法包括利用平行线的定义、性质、判定定理和推论。
通过灵活运用这些方法，我们可以准确地证明两条直线是平行的。
在解决几何问题时，我们可以根据题目的要求选择合适的方法来进行证明，从而得出正确的结论。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解证明平行线的方法。
如何证明平行线的性质
如何证明平行线的性质平行线的性质是几何学中的基本概念之一，它们具有一些特殊的性质和定理，这些性质和定理在证明几何问题时起到了重要的作用。
本文将介绍如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明平行线的方法、相关的定理以及一些实际应用。
1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
这意味着平行线之间的距离始终相等，且它们的斜率也相等。
2. 证明平行线的方法（1）使用平行线的定义证明：假设有两条直线AB和CD，要证明它们平行，则需要证明AB和CD的斜率相等。
首先利用两点间的斜率公式计算出AB和CD的斜率，然后比较它们的值，如果相等则可得出结论。
（2）使用平行线的性质证明：平行线具有一系列重要性质，例如在直线上的平行线上的任意一对相交的角度都相等，内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系。
可以根据这些性质来进行证明。
（3）使用横截线和平行线的性质证明：如果有一条直线与两条平行线相交，那么相交角的两边对应的内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系也成立，根据这些角度关系可以证明平行线。
3. 相关定理（1）同旁内角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁内角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（2）对顶角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得对顶角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（3）同旁外角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁外角对应的两个外角相等，则这两条直线平行。
4. 实际应用平行线的性质在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，在建筑设计和土木工程中，需要合理布置平行线来确保建筑物的结构稳定和施工的准确性。
在航空航天领域，平行线的性质也用于制定飞行路线以及预测天体运动。
此外，平行线还被应用于地图绘制、电路设计等众多领域中。
总结：本文介绍了如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明方法、相关定理以及实际应用。
通过深入理解平行线的性质和定理，可以更好地应用它们解决实际问题，并进一步推动几何学的发展与应用。
平行线的性质定理和判定定理
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行， 同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行， 内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补， 两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件 和结论正好相反
互逆命题
原命题 逆命题
平行线的证明
平行线的证明平行线是几何学中的基本概念之一。
当两条直线在同一个平面上，且在任意一点处的夹角都相等时，我们称这两条直线为平行线。
平行线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。
本文将介绍平行线的证明及相关性质。
平行线的证明可以使用多种方法，其中最常见的方法是使用副角定理和对偶定理。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 副角定理的证明副角定理是证明平行线的常用方法之一。
该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。
证明过程如下：假设AB和CD不平行。
那么它们必定会在某个点O相交。
根据副角定理，AOE和COF的内角之和为180度，BOE和DOF的内角之和为180度。
由于AOE和DOF是同旁内角，根据同旁内角定理，它们的外角之和等于180度。
但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。
这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。
根据副角定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。
2. 对偶定理的证明对偶定理是另一种证明平行线的方法。
该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。
证明过程如下：假设AB和CD不平行。
那么它们必定会在某个点O相交。
根据对偶定理，AOE和COF的同旁内角相等，BOE和DOF的同旁内角相等。
由于AOE和DOF是同旁内角，它们的外角之和等于180度。
但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。
这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。
根据对偶定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。
(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。
证明平行的五种方法
证明平行的五种方法嘿，咱今儿个就来聊聊证明平行的五种方法呀！这可是几何世界里相当重要的玩意儿呢！第一种方法，那就是同位角相等啦！你就想象一下，两条线被第三条线所截，那同位角就像是一对双胞胎，长得一模一样，只要它们相等，那两条线就乖乖地平行啦！这就好比两个人走在路上，步伐一致，那肯定是朝着同一个方向前进呀，是不是很形象？再来说说内错角相等。
这就像是两个在幕后悄悄配合的小伙伴，它们默默地达成一致，只要它们相等了，那两条线也就平行咯！就好像一场精彩的魔术表演，观众看到的是神奇的效果，而背后是内错角这两个小伙伴在默契配合呢！同旁内角互补也能证明平行哦！这就好像是两个相互扶持的朋友，一个有了缺点，另一个就来补足，它们加起来就是一个完整的整体，这样一来，那两条线也就平行啦！你想想看，要是没有这种互补，那可就乱套啦！还有平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这就像是在一条大道上，大家都朝着同一个方向走，那肯定都是平行的呀！多简单直接的道理呢！最后一种，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
这就好比两根柱子直直地立在那里，它们都和地面垂直，那它们之间肯定也是平行的呀！哎呀，这五种方法是不是很有意思呀！在几何的世界里，它们就像是我们的秘密武器，帮助我们解开一个又一个难题。
每次用这些方法成功证明出两条线平行的时候，那种成就感，简直无与伦比！大家可别小瞧了这五种方法哦，它们可是几何学习中的宝贝呢！就像我们生活中的各种小技巧一样，掌握了就能让事情变得更轻松、更有趣。
当你在做几何题的时候，就试着把这些方法都用上，看看哪个最适合，就像挑选最合适的工具去完成一项任务一样。
所以呀，大家一定要把这五种方法牢记在心，多去练习，多去运用。
相信我，一旦你熟练掌握了，几何的大门就会为你敞开，里面有着无数的奇妙和惊喜等待着你去发现呢！让我们一起在几何的海洋里畅游吧！。
证平行的方法范文
证平行的方法范文证明平行的方法有很多种，本文将介绍几种常见的证明平行的方法。
一、使用平行线定理证明平行平行线定理是证明平行的基本方法之一、平行线定理有三种形式：同位角平行线定理、内错角平行线定理和外错角平行线定理。
1.同位角平行线定理证明平行同位角平行线定理是最常见的证明平行的方法之一、当两直线被一条横截线切割时，同一侧与截线相交的内角和为180度，则这两条直线平行。
证明步骤如下：a.画出两条直线以及一条横截线，形成两个同位角集合。
b.通过已知条件，求出同位角的和，并确保和为180度。
c.如果同位角和为180度，则这两条直线平行。
2.内错角平行线定理证明平行内错角平行线定理是另一种常见的证明平行的方法。
当两条平行线被两条截线切割时，由截线与平行线之间的错角性质可得，两条截线上的错角相等。
证明步骤如下：a.画出两条平行线以及两条截线，形成两对内错角对。
b.通过已知条件，求出两对内错角的大小，并确保两对内错角相等。
c.如果两对内错角相等，则这两条直线平行。
3.外错角平行线定理证明平行外错角平行线定理是类似于内错角平行线定理的方法。
当两条平行线被两条截线切割时，由于错角性质可得，两条截线上的外错角相等。
证明步骤如下：a.画出两条平行线以及两条截线，形成两对外错角对。
b.通过已知条件，求出两对外错角的大小，并确保两对外错角相等。
c.如果两对外错角相等，则这两条直线平行。
二、使用三角形内角和定理证明平行三角形内角和定理是证明平行的另一种常见方法。
当两条直线被一条横截线切割时，如果两个三角形的内角和相等，则这两条直线平行。
证明步骤如下：a.画出两条直线以及一条横截线，形成两个三角形。
b.通过已知条件，求出两个三角形的内角和，并确保它们相等。
c.如果两个三角形的内角和相等，则这两条直线平行。
三、使用向量证明平行向量也可以用来证明平行。
当两个向量的方向相同或相反时，说明这两条向量所在的直线是平行的。
证明步骤如下：a.给出两个向量。
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1．如图，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF 平分∠EOD ，试说明AB ∥CD ．
2、已知：如图，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．
3、如图，已知∠D=∠A ，∠B=∠FCB ，试问ED 与CF 平行吗 E D
C F
A B
二、合作交流，规范语言表达
1、如图，AB ∥CD ，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠MND ，且MG 与NH 相交于点O ，证明：MG ⊥NH
Ａ D H G
B C N M
O
2．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F, ∠CFE=∠∥BC 吗试写出推理过程。
2
1F
E D C B A
3．如图，已知∠ADE=∠B ，∠1=∠2，GF ⊥AB ，求证：CD ⊥AB.
F A
G
E D
C B 1
2
三、巩固提升
1.如图，已知：∠A=∠C ， ∠CDF=∠ABE,
求证：∠FDB=∠EBD. O F E
D
C B A
2.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4, AD ∥BC ,试说明∠5=∠6. E 1C
B A
32
654D
四、课后练习
1、如图，AD 是∠ABC 的角平分线。
DE ∥AC,DE 交AB 于E,DF ∥AB,DF 交AC 于F 。
图中∠1与∠2有什么关系请说明理由. A
B C D F E
12
2．如图,已知DE ∥BC,EF 平分∠AED,EF ⊥AB,CD ⊥AB,试说明CD 平分∠ACB.
B D
F
C E A
3．如图，∠ABC=∠ACB,BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∠DBC=∠F ，试说明CE ∥DF. B F E D C A
4、如图，已知∠A=∠C ，∠FBC 与∠BFD 互补，试说明AB ∥CD 。
Ａ
F D E C B
5、如图，若∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A 与∠F 有什么关系并说明理由.
A B C F E
D 2
1
6. 已知如图:∠1=∠2，CE ∥BF ，求证： AB ∥CD ．
F
E D C B A
21
7．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行说理．。