刚体角动量定理

2 3
L
例8.
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一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为m的人 抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2的重物，如图
所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮与重物为系统
R
o
m 4
v
对O轴，系统所受的外力矩为：
⋅ M
=
Rmg
−
R⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎞ g ⎠
=
1 2
(1 4
M )R2
J2
=
J3
= mr 2=
⎜⎛ 1 M ⎟⎞⎜⎛ ⎝ 4 ⎠⎝
R
⎟⎞
2
=
2⎠
1 MR 2 16
例2.
解
∵ ω 人对地 = ω 人对台 + ω台对地
v
=
rω ∴
ω2 = ω3
=ω−1
=
2v
ω
+
4
ω
=
′
R
2
v R
+ω′
v
2v o ⋅
2v
R
ω0
由 以上各式解出： ω ′ = ω 0
v
第二问答案：
轴o对细杆的水平切向力Fx为零，称该点为打击中心。试求：
（1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 （2）如果用质量为m=M，速度为v的
Fy
弹性球沿水平方向击中A点，碰撞后
轴o对细杆的作用力将如何？
o
RA Rc
Fx c
A F
例6.
解(1)由转动定律：
FRA
=
Jα
=
1 3
ML2α
质心运动定理：F = Macτ
J1 + J2
摩擦力矩作负功， 有机械能损失
例2.
质量为M、半径为R的圆盘绕竖直轴O作以角速度ω0的匀速 转动。人的质量m=¼M。现有四个质量相同的人其中两人沿圆盘 边缘顺着转盘的转向、相对于转盘以速度v奔跑而另外两人在距 轴心为R/2处逆着转盘的转向、相对于转盘以速度2v奔跑。设原 来四人的相对位置如图示，四人相对静止，轴摩擦可略，求： 1、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速ω' 2、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速ω"
= mg 3 L(1− cosθ )+ Mg L (1− cosθ )
4
2
⎜⎛ 3 m + 1 M ⎟⎞⎜⎛ 9 m + 1 M ⎟⎞gL − 9 m2υ2
θmax = arccos⎝ 4
2 ⎠⎝16 3 ⎠ 16 ⎜⎛ 3 m + 1 M ⎟⎞gL
⎝4 2 ⎠
例5.
质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩擦系数为μ的
由角动量定理：M = dL
dt
当合外力矩为零 L = 常矢量 ——角动量守恒定律
定轴转动：M z
=
dLz dt
若M z = 0
Lz = const Jω = const
若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此
固定轴的角动量保持不变 ---对定轴的角动量守恒
若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，
∑ 当M 外z = 0时， J izω i = const 但角动量可在内部传递 i
M
8
=
dL
dt
⇒ 1 mgR = d ⎜⎛13 mRv− mRu⎟⎞
2
dt ⎝ 8
⎠
∵du = 0 ∴a = dv = 4 g
dt
dt 13
例9.
一匀质细棒长度为l，绕垂直于棒一端的水平轴O无
摩擦地转动。当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置 上与放在地面上的物体相撞(质量也为m) 。物体与地面
的摩擦系数为μ。相撞后，物体沿地面滑行一距离s而停
棒上升: 1 Jω′2 = mg⎜⎛ h − l ⎟⎞
2
⎝ 2⎠
ω′ = 3gl − 3 2μgs h = l + 3μs − 6μsl
l
作业
教材 P140
3.12 3.13 3.14 3.22
均匀细杆。如果打击点A选择得合适，在打击的过程中，支撑轴o
对细杆的水平切向力Fx为零，称该点为打击中心。试求：打击中
心A与支撑轴o之间的距离RA。
解(1)由转动定律：
Fy
FRA = Jα
= 1 ML2α
3
o
质心运动定理：
F = Macτ
acτ
=rcα
=
Lα
2
RA Rc F
Fx c A
联立可得：
RA
=
J = 1 ML2
（2）
3
v2 v1
碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
例5.
mv 1 L = − mv 2 L + Jω （1）
J = 1 ML2 （2） 3
解
o ω dm = λdx
v1
x
碰后任意质点所受阻力：df = μdN = μgdm = μgλdx
任意质点所受阻力矩： dM f = − xdf
1 2
mv12=
1 2
mv 2 2
+
1 2
⋅
1 3
ML2
⋅ ⎜⎜⎝⎛
Vc L2
⎟⎟⎠⎞2
⋅ Vc
v 1
L2
Vc
=
6 7
v
Fy
= Mg + MVc2
/
Rc
例7.
质量为M，长为l 的均匀棒，如图，若用水平力F 打击在离轴下y 处，求：轴对棒的作用力？ Ry
解：设轴的作用力为: Rx 由转动定律: yF =
acτ
=
rcα
=
Lα
2
联立可得：
RA
=
2 3
L
解
Fy
o
RA Rc
Fx c
A F
例6.
解
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力
Fy
球和棒系统，水平方向动量守恒
o
mv1 = mv2+ MVc
系统角动量守恒
RA Rc c A
RA
⋅
mv1
m=
= RA
M
⋅
mv2
RA
+
=
Jω
2L 3
=
RAmv2
+
1 3
ML2
弹性球碰撞，机械能守恒
v
2v
0
2v
v
ω0
例2.
解
v 2v
解：选四人和转台为系统，对O轴 合外力矩 M=0,角动量守恒。
( ) 2v o ⋅ R v
ω=0
Jω ′
J
+
+ J1 + J2 + J3 + J4 ω0
J1ω 1 + J 2ω 2 + J 3ω 3 +
=
J 4ω 4
其中： J = 1 MR 2 2
J1
=
J4=
mr 2=
∫ ∫ M f =− xdf
由角动量定理：L
=−
L x ⋅ μ (λdx )⋅ g = − 1 μMgL
0
2
（3）
∫ ∫ Mdt = Jdω
有：
t
0 Mf dt
=
J
0
dω
ω
（4）
由以上四式解出： t = 2m(v1 + v2 )
μMg
例6.
如图所示，以水平力F打击悬挂着的质量为M、长度为L
的均匀细杆。如果打击点A选择得合适，在打击的过程中，支撑
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升
m
的速度, 则系统对o轴的角动量为:
m 2
L = R⎜⎛ m⎟⎞v − Rm(u − v)+ Jω J = 1⎜⎛m⎟⎞R2
⎝2⎠
2⎝ 4 ⎠
⇒L =13mRv−mRu
8
例8.
R
o
m 4
v
m
m 2
解
M = 1 Rmg L = 13 mRv − mRu
2
根据角动量定理：
二、刚体（对轴）的角动量 L = Jω
三、角动量定理
M = dL = d (Jω) ⇒ Mdt = d (Jω)
dt dt
∫ ∫ t2 Mdt =
t1
L2 L1
dL
=
L2
−
L1
= J 2ω 2 − J 1ω 1
合外力矩M在dt时间内的冲量矩
刚体角动量定理 —作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量
四.角动量守恒定律
mv2
−
1 2
mv02
刚体的定轴转动
ω = dθ
dt
α = dω = d2θ
dt dt2
L = Jω
EK
=
1 2
Jω 2
M
J
d A = M dθ M dt
M = Jα
∫ M d t = L − L0
∫M
dθ
=
1 Jω 2
2
−
1 2
Jω02
例1.
两摩擦轮对接. 若对接前两轮的角速度分别为ω1,ω2 求：1）对接后共同的角速度ω
3L θ
4 L
mv
Ep =0
M
）
例4.
动量是否守恒？
解:(1)碰撞过程对水平轴角动量守恒
mυ
3 4
L
=
(Jm
+
JM
)ω
JM
=
1 ML2 3
Jm
=
m⎜⎛ ⎝
3 4
L ⎟⎞2 ⎠
3 mυ
ω=
9
4 mL + 1 ML
16 3
3L θ
4 L
mv
Ep =0
M
）
例4.
解
2）上摆过程机械能守恒
1 2
(JM
+
Jm )ω 2
止。求相撞后棒的质心离地面的最大高度h？并说明棒 在撞后左摆或右摆的条件。
Ol
C Ep = 0
m
例9.
解
Ol C Ep = 0
过程1：棒下摆，机械能守恒 mg l = 1 Jω 2
22
过程2：棒与物体碰撞，角动量守恒
Jω = mvl + Jω′
过程3：物体滑行，棒上升
m
物体滑行: − μmg = ma − v2 = 2as
ω
′′
=
ω0
−
8v 9R
(自己作)
例3.
人和转盘的转动惯量为J0，哑铃的质量为m，初始转速为
ω1，求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量？
解：由角动量守恒：
m
m
(J0 + 2mr12 )ω1 = (J0 + 2mr22 )ω2
ω2
=
(J0 (J0
+ +
2mr12 2mr22
) )
ω1
ω1
ΔEk
=
1 2 (J0
+ 2mr22 )ω22
−
1 2 (J0
+ 2mr12 )ω12
( ) = 1 2
J0 + 2mr22
ω12
⎛ ⎜ ⎝
J0 J0
+ +
2mr12 2mr22
⎞ ⎟ ⎠
−1
>
0
r2 r1
J0
非保守内力作正功，机械能增加
例4.
一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由 转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡 皮泥以速度v和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘 在一起。 求:碰撞后系统的角速度和杆子能上摆的最大角度
2）对接过程中的机械能损失
解：由角动量守恒得：
J1ω1 − J 2ω2 = (J1 + J2 )ω
⇒ ω = J1ω1 − J2ω2
J1 + J2
J 1
ω
1
J 2
ωω
2
ΔEk =
1 2
(
J1
+
J
2
)ω
2
−
⎜⎛ ⎝
1 2
J1ω
2
1
+
1 2
J
ω2
22
⎟⎞ ⎠
= − ( J1J2 ω1 + ω2 )2 < 0
水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一
水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰
撞，设碰撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为V1和V2. 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
解： m与M碰撞过程，
o
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv1 L = −mv 2 L + Jω （1）
复习上一次课的内容
1.刚体定轴转动定律： M = Jα
2.刚体转动的功和能：
∫ A = θ2 Mdθ θ1
3.机械能守恒定律 :
Ek
=
1 Jω 2
2
E p = mghc
当只有保守力矩作功 ⇒ Ek + Ep = 恒量
§3.4 冲量矩 角动量守恒定律
一、质点的角动量（动量矩） L = r × p L = rp sinϕ
例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作
再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动 (质点)
v= dx dt
a
=
dv dt
=
d2 x dt2
P = mv F
EK
=
1 2
mv2
m
d A= Fdx Fdt
F = ma
∫ F d t = P − P0
∫F
d
x
=
1 2
Ry J
dω
Rx
Δt 为作用时间
得到： Δω = ω − ω0
由质心运动定理：
dt
=ω =
yF J
Δt
F
y
切向：F
+
Rx
=
m
l 2
dω
dt
法向：Ry
−mg=
ml ω2
2
于是得到：
Rx
=
−(1−
3y)F 2l
Ry
=
mg+
9F 2 y2 (Δt)2 2l3m
例7.
如图所示，以水平力F打击悬挂着的质量为M、长度为L的