高中数学知识点精讲精析导数的加法与减法法则

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4.1导数的加法与减法法则(公开课)

P(2, 14 ) 3
求：
（1）点P处的切线的斜率.（2）点P处的切线方程.
解析：(1)由导数公式，得 f (x) (1 x3 x) 3
1 3 x2 1 x2 1. 3
故点P处的切线斜率：f (2) 22 1 5.
（2）点P处的切线方程为：
y 14 5(x 2),即3y 15x 16 0. 3
（1）y x2 +2x （2）
【变式练习】
求下列函数的导数：
(1)y

3x

x3.(2)y

ex

1

1
x3.
x
探究2 函数和与差求导法则的推广
思考：导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导
数的运算还成立吗？
[f1(x) f2(x) fn (x)]' ?
提示:成立.
[f1(x) f2 (x) fn (x)]
1.函数
的导数为（ B ）
A.
y

1 x2
sin x
B.
y

1 x2
sin x
C.
y
1 x2
sin x
D.
y
1 x2
sin x
２.函数y 2x 3 3x 2 4x 1 的导数为 ______________.
３.已知曲线 y

1 3
x3

x 上一点

f1
(x
)

f

2
(x)

f

n
(x
).

高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习

5.2.2 导数的四则运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程．解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22，即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．解由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2，所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)．所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________．答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x，由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________．答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

导数加减法公式

导数加减法公式好的，以下是为您生成的关于“导数加减法公式”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，导数加减法公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。

先来说说这导数加减法公式到底是啥。

简单来讲，假如咱们有两个函数，一个是$f(x)$，另一个是$g(x)$，那么它们的和的导数，也就是$(f(x) + g(x))'$，就等于$f'(x) + g'(x)$；它们的差的导数，也就是$(f(x) - g(x))'$，就等于$f'(x) - g'(x)$。

这看起来好像挺简单的，是吧？但要真正掌握它，还得下点功夫。

我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。

当时有个学生，叫小李，他一脸困惑地看着我，眼睛里满是迷茫。

我就问他：“小李，咋啦，没听懂？”他点点头，小声说：“老师，我觉得这个公式太抽象了，不好理解。

”我想了想，决定给他举个实际的例子。

我说：“小李，你想想看，假如咱们有一辆车，它的速度函数是$f(x)$，然后另一辆车的速度函数是$g(x)$。

现在这两辆车一起跑，那它们整体的速度变化，不就是各自速度变化的加和嘛。

”小李听了，眼睛一下子亮了起来，说：“老师，我好像有点明白了。

”其实啊，导数加减法公式在很多实际问题中都特别有用。

比如说，在研究经济增长的时候，一个企业的收入增长函数和成本增长函数，通过这个公式就能算出利润的增长情况。

又比如在物理中，研究两个力共同作用下物体的加速度变化，也能用到这个公式。

再深入一点，咱们来看看怎么用这个公式解题。

比如说，给你两个函数$f(x) = x^2$和$g(x) = 3x$，那先分别求它们的导数，$f'(x) = 2x$，$g'(x) = 3$。

现在要求$(f(x) + g(x))'$，那就是$2x + 3$。

做题的时候，可别粗心大意哦。

有时候一个小符号的错误，就能让整个答案都错了。

学习导数加减法公式，就像是攀登山峰，一开始可能觉得陡峭难爬，但只要一步一个脚印，掌握好每个细节，就能爬到山顶，看到美丽的风景。

导数的加法与减法

y′＝ lim
Δ x→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
ΔΔxf ＋ΔΔgx＝Δlixm→0
ΔΔxf ＋Δlixm→0
ΔΔgx，
即 y′＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．导数的加法与减法法则的应用
对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (1)对于有限个函数的和(差)进行求导，都可用求导法则． (2)在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量． (3)对根式求导时，要先化成指数幂的形式.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【训练 1】求下列函数的导数： (1)y＝15x5－43x3＋3x＋ 2； (2)y＝sin44x＋cos44x.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋

2′

＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3.
(2)∵y＝sin24x＋cos24x2－2sin24xcos2
x 4
＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【解题流程】
课前探究学习
课堂讲练互动

导数的加法与减法法则

C．(3x =3xlog3eD．(x2cosx =－2xsinx
2．(2005年高考·江苏卷14)曲线在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
3．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 .求函数的解析式.
由于d=2，所以
由在处的切线方程是，知
二、抽象概括四、小结与练习
教学反思
三、实例分析
例1求下列函数的导数：
（1）（2）
分析：可利用四则运算法则予以讨论。
解（1）（2）
例2求曲线上点（1,0）处的切线方程。
解首先求处函数在处的导数
将代入导函数的3×1+1=4
即曲线在点（1,0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为
即
四、练习（选做）
1．下列求导运算正确的是
A．(x+ B．(log2x =
情感态度、价值观
1．体会从特殊到一般的知识发现过程，养成科学的思维习惯。
2．激发学生的求知欲，使学生树立健康心态。教学重点来自函数和、差导数公式的的应用
教学难点
理解导数的加法与减法法则并能简单应用。
教学方法
观察、、探究、类比、应用举例
学法指导
分析、思考、训练
教具、仪器
配套光盘
教学过程
教师活动
学生活动
备注
故所求的解析式是
五、课堂小结
1、导数的加法与减法法则
2、注重对问题的分析，会计算函数在一点处的切线方程。
六、作业
课本P48，习题2-4，1题，2题
类比分析
建议让学生先独立
完成
切线的求法。
学生
练习

求导的四则运算法则公式

求导的四则运算法则公式求导是微积分中的一个重要概念，而求导的四则运算法则公式更是我们解决导数问题的有力工具。

先来说说加法法则。

假设我们有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的导数分别为 f'(x) 和 g'(x) ，那么 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 。

这就好比你有两堆苹果，一堆每天增加的数量是按照 f'(x) 的规律，另一堆按照 g'(x) 的规律增加，那么把这两堆合在一起每天增加的总数，就是这两个规律相加。

举个例子吧，比如说 f(x) = x²，它的导数 f'(x) = 2x ； g(x) = 3x ，它的导数 g'(x) = 3 。

那么 (f(x) + g(x)) 就是 x² + 3x ，它的导数就是 (f(x) + g(x))' = 2x + 3 ，正好就是 f'(x) + g'(x) 。

再看减法法则，(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) 。

这就像你有两群羊，一群每天减少的数量按 f'(x) 的规律，另一群按 g'(x) 的规律减少，那么两群羊合在一起每天减少的总数就是这两个规律相减。

比如说 f(x) = 5x²，导数 f'(x) = 10x ； g(x) = 2x ，导数 g'(x) = 2 。

那么 (f(x) - g(x)) 就是 5x² - 2x ，它的导数就是 (f(x) - g(x))' = 10x - 2 ，正是 f'(x) - g'(x) 。

乘法法则稍微复杂点，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 。

这有点像两个人合作完成一项任务，一个人的效率变化规律是 f'(x) ，另一个人的工作总量是 g(x) ；反过来，另一个人的效率变化规律是 g'(x) ，这个人的工作总量是 f(x) ，那么他们合作的成果增加的速度就是这两部分相加。

4.1导数的加法与减法法则

即曲线y x 在1 点（1,0）处的切线斜率为2， x
从而其切线方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0
【提升总结】运用导数的运算法则解决曲线切线问题的方法求曲线在某点处的切线方程，则切线的斜率就是该点处的导数值。利用求导公式和导数运算法则求出该点处的导数值，即得切线的斜率，再切线方程.
2x 2x ln 2.
（2）函数 y x是函ln 数x 与f x x gx ln x
的差，由导数公式表分别得出
f x 1 , gx 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则可得

x ln x f x gx
1 1. 2x x
则此函数解析式为（ B ）
A. f (x) x4 B. f (x) x4 2 C. f (x) x4 1 D. f (x) x4 2
解析： f x知 4x3 f (x) x将4 x=c1,代入得c=-2，
故f(x)=x4-2.
3. y ax ex (a 0,a 1) 的导数为__a_x__ln__a____e_x_.
函数 y x是3 函1数 x
f x的差x，3与gx 1
x
由导数公式表分别得
f

x

3x
2
,
g

xຫໍສະໝຸດ 1 x2.
根据函数差的求导法则可得
(x3

1 x
)

f
x

gx

3x 2

(
1 x2
)

3x 2

1 x2
.
将x=1代入导函数得y′= 3×1+1=4 .

北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思

北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思一、教学目标1.理解导数与函数的概念；2.掌握导数的加法和减法法则；3.能够应用导数的加法和减法法则解决相关问题。

二、教学内容1. 复习本节课的内容是导数的加法和减法法则，属于高一数学选修1的内容。

在进行本节课的学习之前，需要先复习前面所学的导数基本概念、导数的定义及其计算方法等。

2. 导数的加法法则处可导，导数的加法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x则它们的和函数(f+g)(x)在x处也可导，并且有(f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)在讲解导数的加法法则的时候，我们可以先通过几个例子，让学生感性理解这个法则。

例如：例1.求函数f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数。

解：由导数的加法法则可知，(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)因此，(x2+2x)′=2x+2=4所以f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数为4。

3. 导数的减法法则处可导，导数的减法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x处也可导，并且有则它们的差函数(f−g)(x)在x(f−g)′(x0)=f′(x0)−g′(x0)同样地，我们也可以通过几个例子，让学生感性理解这个法则。

例如：例2.求函数ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数。

解：由导数的减法法则可知，(ℎ(x)−i(x))′=ℎ′(x)−i′(x)因此，(x2−2x)−(2x−1)′=(2x−2)−(2)=0所以ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数为0。

4. 课堂练习为了让学生更好地掌握导数的加法和减法法则，我们需要在课堂上进行相关的练习。

这些练习可以是教师布置的作业，也可以是课堂上解题的演示。

例如：练习1.求函数$f(x)=\\sqrt{x}+2$和$g(x)=\\frac{1}{x}$在x=4处的导数。

练习2.求函数ℎ(x)=x3+2x−1和i(x)=3x2−2x+1的公切线方程。

41导数加法和减法法则.doc

§ 4. 1导数的加法与减法法则姓名___________________一、学习目标：1.了解两个函数的和、差的求导公式；2.会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3.能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、学习过程(%1)复习【自主及时完成】：1・设函数=/(x),当自变量X从必变到孟时，函数值从/(兀())变到f(x}),函数值y关于X的平均变化率为0 二 /(兀1)—/(兀0)二 /(兀0 + 心)一/(兀0)Ax x x -x0Ar当岳趋于必，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ___________________ (这个值称为：当筑趋于必时，平均变化率的极限)，那么这个值就是函数y = /(X)在点必的_____________________ 。

在数学上，称瞬时变化率为函数y = /(x)在点師的 _______________ ,通常用符号广(兀。

)或/|_0表示，记作/z(x0)= ____________________________ o2.导数(函数的瞬时变化率)的几何意义：函数y=fix)在x=x0处的导数等于在该点( _________________ , _________ )处的切线的斜率k,即广(兀o)= _____________________________ o3・函数y=/U)在点兀°处切线的方程是________________________________________________ .(1)求曲线在P点处的切线方程的基本步骤：①求出确定P 点的坐标(x(),/(x0))；②求出函数在点忑处的变化率(函数在x= X R处的导数)/z(x0) = lim = k ,得到曲线在点u AVT O Ar(勺,/(勺))的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.导函数【自主完成】一般地，如果一个函数/U)在区间S，〃)上的每一点兀处都有导数，导数值记为_____________ :f (x)=lim _______________ ,则f(X)是关于X的函数，称f (工)为/U)的导函数，通常也简称为导数.5・求导公式常数函数的导数：①若f(x)=C f则f (x)= __________ :幕函数的导数：②若/U)=X"(XWN+),则/‘(x)= ___________ ；三角函数的导数：③若f(x)=sinx,则f (x)= __________ ；④若f(x)=cosx f则f (x)= ___________ ;指数函数的导数：⑤若f(x)=a x t则f (x)= _______________ («>0)；⑥若/(x)=e\则f (x)= ___________ ；对数函数的导数：⑦若f(x) = log«x ,贝U f (x) = __________________________ (<z>0 ,且aHl)；⑧若/(x)=lnx,则f (x)= _________ ・(%1)自主解答课本42页“实例分析”：求函数y=f(x)=x4-%2导函数。

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则是研究导数的基本运算规则和规律，包括加法、减法、乘法、除法、复合函数等运算法则。

基于这些运算法则，我们可以快速准确地求出导数。

一、加法法则（1）导数的加法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数与g(x)在点x处的导数的和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）减法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的差函数(f-g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数减去g(x)在点x处的导数。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)二、乘法法则（1）导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的积函数(f·g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数乘以g(x)，再加上f(x)乘以g(x)在点x处的导数。

即：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)三、除法法则（1）导数的除法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，且g(x)≠0，则它们的商函数(f/g)(x)在点x处的导数等于[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2即：(f/g)'(x)=[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2四、复合函数的求导法则记y=f(u)，u=g(x)，即y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则复合函数y的导数可以通过链式法则求得。

链式法则：若y = f(u)，u = g(x)，则dy/dx = dy/du · du/dx，即d y/dx = f'(u) · g'(x)以上是导数的基本运算法则及其应用。

导数的基本公式和四则运算法则

导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。

首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。

2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。

4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。

其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。

四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。

3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。

通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。

在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。

求导法则及基本求导公式

求导法则及基本求导公式
1. 求导法则：
- 常数法则：导数为0。

- 加法法则：导数等于各项的导数之和。

- 常数倍法则：导数等于常数倍的导数。

- 乘法法则：导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数，再加上第一个函数的导数乘以第二个函数。

- 除法法则：导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

- 复合函数求导法则：导数等于外层函数对内层函数求导，再乘以内层函数对自变量求导。

- 指数函数求导法则：对于以常数e为底的指数函数，导数等于指数函数的常数倍。

- 对数函数求导法则：对于以常数e为底的对数函数，导数等于函数的倒数。

2. 基本求导公式：
- 常数函数：导数为0。

- 幂函数：对于函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。

- 指数函数：对于函数y=a^x（其中a>0，a≠1），导数为
y'=a^xlog(a)。

- 对数函数：对于函数y=log_ax（其中a>0，a≠1），导数为y'=(1/x)log_ae。

- 三角函数：对于函数y=sin(x)，导数为y'=cos(x)；对于函数y=cos(x)，导数为y'=-sin(x)；对于函数y=tan(x)，导数为
y'=sec^2(x)。

其中sec^2(x)是sec(x)的平方。

- 反三角函数：对于函数y=arcsin(x)，导数为y'=1/√(1-x^2)；对于函数y=arccos(x)，导数为y'=-1/√(1-x^2)；对于函数
y=arctan(x)，导数为y'=1/(1+x^2)。

导数的加减法法则

第四页，课件共有16页
求 f (x) x x2 的导函数。
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
所以
同理
第五页，课件共有16页
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
及求导公式可得：
将x 1 代入上式得：
故所求切线方程为：
即 k切线 4
即 4x y 4 0 巩固练习
第十六页，课件共有16页
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。
第九页，课件共有16页
小结
＊求导的加减法法则：
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
第六页，课件共有16页
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
例2 求曲线 y x3 1 过点 x
分析的切线方程。
分析
第七页，课件共有16页
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
y
1 2x
1 cos2
x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x值有几
个？
两个，±1
例2
第八页，课件共有16页
动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。

高中导数运算法则

高中导数运算法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

在高中阶段，我们学习了一些常用的导数运算法则，这些法则可以帮助我们快速求解函数的导数，进而解决各种数学问题。

一、导数的定义在开始讲解导数运算法则之前，我们先回顾一下导数的定义。

对于函数f(x)，在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h表示x的增量。

这个定义可以理解为函数在x点附近的平均变化率，而导数则表示了函数在x点的瞬时变化率。

二、导数的基本法则1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是常数，那么f'(x) = 0。

这是因为常数的导数为0，表示函数在任何点上的变化率都为0。

2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这个法则可以帮助我们求解多项式函数的导数。

3. 和差法则：对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

这个法则可以帮助我们求解函数的导数和。

4. 积法则：对于函数f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。

这个法则可以帮助我们求解函数的乘积的导数。

5. 商法则：对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，且h(x) ≠ 0，那么f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。

这个法则可以帮助我们求解函数的商的导数。

6. 复合函数法则：对于复合函数f(g(x))，其中g(x)是可导函数，而f(x)是一个在g(x)处可导的函数，那么f'(g(x)) = f'(u) * g'(x)，其中u = g(x)。

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4.1 导数的加法与减法法则
1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有
[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )
2．导数的基本公式
（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。

这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。

（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。

（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。

（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。

（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。

3．对求导公式作如下两点说明:
(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即
})]([{'x f ϕ=x
x f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即
)]([x f ϕ'=)
(d )]([d x x f ϕϕ.
1．已知函数),2()(3
1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；
（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.
【解析】
（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………
因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数
所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……
即2,1>≤+x x k 又恒成立
所以1,21≤≤+k k 故……
当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，
故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.
所以k 的取值范围为k ≤1.………
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令10)(==='x k x x h 或得………
由（1）知k ≤1，
①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…
②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：
……………………11分
由于)()(,02
1x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点，即方程)()(x g x f =
也即0)(=x h 有三个不同的实根
故需03
12623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,0
2212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分
2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】
2()32s t t bt c '=++
由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值
则(1)0,(3)0s s ''==
即320627609
b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)
1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭
'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0
当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d
又s(4)=4+d
故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413
s t d d d
d d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦
∴+<><-2
max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。