数学解题中的思想方法——正向思维与逆向思维
思维方法正向思维和逆向思维
思维方法正向思维和逆向思维
正向思维和逆向思维
所谓正向思维就是“循规蹈矩”，从问题的始态到终态，顺着物理过程的发展去思考问题．而逆向思维则是反其常规，是将问题倒过来思考的思维方法．有很多物理习题，利用正向思维方法解决比较困难或解决起来十分繁琐，而利用逆向思维却能收到很好的效果．【例题】物体以速度ｖ０被竖直上抛，不计空气阻力，在到达最高点前0．5ｓ内通过的位移为多大？（ｇ＝10ｍ／ｓ2）
【分析求解】本题用正向思维不好求解，但利用逆向思维可很快求出答案．
若将物体从被上抛至到达最高点这一过程逆向看，将是一个自由落体运动，而此题所求的“到达最高点前0．5ｓ内的位移”，正是自由落体前0．5ｓ内的位移．则
ｓ＝（1／2）ｇｔ2＝（1／2）×10×（0．5）2＝1．25（ｍ）．。
十七种数学思维方法
十七种数学思维方法在学习数学的过程中，我们需要掌握一些数学思维方法，这些方法可以帮助我们快速解决问题，提高解题能力。
下面介绍十七种数学思维方法，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 分类思维法：将问题进行分类，找到相同的特点或规律，再运用相应的方法解决问题。
2. 模型思维法：将问题转化为数学模型，再用数学方法去解决问题。
3. 反证法：采用反证法可以帮助我们证明一个命题是否成立，即通过假设该命题不成立，再推导出矛盾的结论，从而证明该命题成立。
4. 数学归纳法：通过证明某个命题在某个条件下成立，再通过归纳证明该命题在所有条件下都成立。
5. 递归思维法：将问题划分为一个个较小的子问题，再一步步求解，最终得到整个问题的解。
6. 等价变形法：通过等价变形将复杂的问题简化为易于求解的问题。
7. 双重否定法：通过连续使用双重否定可以得到肯定的结论，例如“不是不道德就是道德”。
8. 约束条件法：在解题过程中，我们需要注意问题中的约束条件，并将其纳入解题思考过程中。
9. 分析与综合法：通过将问题分解为多个部分进行分析，再将分析结果综合起来解决问题。
10. 归纳与演绎法：通过归纳和演绎，可以得到证明某个命题是否成立的结论。
11. 枚举法：通过枚举所有可能的情况，找到问题的解。
12. 推理法：通过逻辑推理和数学推理，可以推导出问题的解。
13. 逆向思维法：通过从问题的最后一步开始思考，逆向推导出问题的解。
14. 数学建模法：将实际问题转化为数学问题，并用数学方法解决问题。
15. 平衡思维法：在解题过程中，需要考虑各种因素的平衡，避免出现错误的结论。
16. 比较思维法：通过比较不同解法的优劣，选出最优解。
17. 假设与验证法：通过假设问题的解，再验证其是否正确。
以上就是十七种数学思维方法，希望对大家的数学学习有所帮助。
在实际的解题过程中，我们可以根据问题的不同情况，采用不同的思维方法解决问题。
举例说明正向思维和逆向思维
举例说明正向思维和逆向思维今天咱们来聊聊正向思维和逆向思维，这就像两个超级有趣的魔法，能帮助我们解决好多好多问题呢！先说说正向思维吧。
正向思维就是按照我们平常习惯的、从前往后的顺序去思考问题。
比如说，我们要做一个纸飞机。
那我们就会先找一张纸，然后按照记忆中的步骤，把纸对折，再折出机翼，一步一步地，最后折出一个纸飞机。
这就像我们走路，顺着一条路一直往前走，从开始走到结束。
再我们在学校打扫卫生。
老师说要把教室打扫干净，那我们就会先扫地，把地上的垃圾都扫到一起，然后把垃圾倒掉，接着再擦黑板、擦桌子，最后把凳子摆放整齐。
这就是正向思维在生活中的体现，按照事情发展的正常顺序去做。
那逆向思维呢？逆向思维就像是反过来走路，从终点开始想问题。
我给你们讲个小故事。
有个老爷爷要去山上的寺庙，他走了一会儿觉得很累，就想啊，这要走到什么时候才能到呢？这时候他就换了个想法，他想，要是我从寺庙往回走，那现在离寺庙的距离就越来越近啦。
虽然他没有真的从寺庙往回走，但是这个想法让他心里轻松了很多，脚步也变得轻快了。
还有一个例子哦。
我们做数学题的时候，有时候按照常规的正向思维去做很难。
比如说有这样一道题，一个数加上5，再乘以3，然后减去6，最后除以2得到12，这个数是多少？如果我们用正向思维，顺着题目列方程，可能会有点复杂。
但是如果我们用逆向思维，从最后的结果12开始。
因为是除以2得到12，那在除以2之前就是12乘以2等于24；减去6得到24，那没减6之前就是24 + 6 = 30；乘以3得到30，那没乘3之前就是30除以3等于10；加上5得到10，那这个数就是10 - 5 = 5。
看，逆向思维有时候就像一把神奇的钥匙，能打开那些看起来很难的问题的锁。
在生活中，正向思维和逆向思维都很有用。
正向思维就像我们日常的小助手，让我们按部就班地完成事情。
而逆向思维就像一个小机灵鬼，在我们遇到难题的时候，从不一样的角度给我们灵感。
以后我们在遇到问题的时候，就可以试试这两种思维方式，说不定能让我们变得更聪明呢！。
数学解题中的思想方法——正向思维与逆向思维
3 2
1,例Leabharlann 2、已知函数yax2
(2a
1) x
3在
3 2
,2
上的最大值为
1，求实数
a
的值。
答案： 3 或 3 2 42
例 3、在 ABC中，E 为 BC 中点，过 E 作 BC 的垂线交 AC 于 F，交 BA 的延长线于 G，
且 EF=FG。（1）求证： sin A 3sin(B C) ；（2）求证： GA: GB 为常数。
答案：略
3、已知 a1, a2 ,b1,b2 为正数，求证： a1 b1a2 b2 a1a2 b1b2
答案：略
4、设正数数列 an 满足 2 Sn an 1，求 an 。
答案： an 2n 1
5、已知 a,b, c 0,1，求证： 1 ab,1 bc,1 ca 中不能都大于 1 。
4
x
y
答案：略
8、设 0 a,b, c, d 1，又设 x 4a(1 b), y 4b(1 c), z 4c(1 d),t 4d(1 a) ，求证：
x, y, z,t 这四个数中，至少有一个不大于 1.
答案：略
9、对于集合 A x x2 2ax 4a 3 0 ， B x x2 2 2ax a2 a 2 0 ，问是否
3 例 5、如图，平行六面体 AC1 的底面 ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD 60
（1）求证： C1C BD ；
（2）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明。
答案：（1）略；（2）1.
例 6、已知关于 x 的实系数二次方程 x2 ax b 0 有两个实数根, ，求证：
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法
数学解题涉及到多种基本思想和方法，以下是高考数学中常见的七大基本思想方法：
1. 分析思想：对问题进行分析，了解问题的背景和条件，理清问题的主要要求和关键点。
通过理性思考，找出问题的关键信息和解题的具体思路。
2. 归纳思想：在解题过程中，通过观察和分析一系列具体问题的特点和规律，总结出普遍规律和定理。
通过推理和归纳，用普遍的结论解决具体的问题。
3. 定义思想：利用定义和性质，将一个复杂的问题转化成一个或多个简单的问题，从而得到解题的线索和方法。
通过准确的定义和原理，避免解题过程中的模糊和混乱。
4. 逆向思维：通过逆向思考，将问题的推理过程倒转，从后往前寻找解题的线索和方法。
当直接求解困难时，可以通过反向思考，先假设结论成立，然后倒推出问题的可能解。
5. 近似思想：在实际解题中，可能遇到问题过于复杂或计算困难的情况。
可以通过近似思想，将问题简化成近似问题，从而得到解题的方法和结果。
通过适当的近似和简化，可以减少计算量和复杂度。
6. 映射思维：通过建立不同对象之间的映射关系，将原问题转化成已知问题或同类问题。
通过找出问题之间的联系和相似性，来解决具体的问题。
7. 模型思想：将实际问题抽象成数学模型，通过建立数学模型和方程式来求解问题。
通过对实际问题的抽象和建模，可以将问题转化成更容易解决的数学问题。
这些思想方法在解决高考数学问题中都很有用，需要根据具体问题的特点和要求选择合适的思想方法。
最有用的17个数学思维方法
最有用的17个数学思维方法数学思维方法是指在解决数学问题时使用的特定思考模式或技巧。
这些方法旨在帮助学生建立更好的数学思维能力，并提高解决问题的效率。
在本文中，我们将介绍最有用的17个数学思维方法，希望对读者们的数学学习和问题解决有所帮助。
1.抽象思维：抽象思维是一种将问题简化并提炼出其核心要素的能力。
通过抽象思维，学生可以将复杂的数学问题转化为更易于理解和解决的形式。
2.结构思维：结构思维是一种将问题分解为更小的部分并理解其组织结构的能力。
通过分析数学问题的结构，学生可以更好地理解问题的本质和关键因素。
3.逆向思维：逆向思维是一种从已知结果倒推推理的能力。
通过逆向思维，学生可以从问题的解决方案出发，推导出问题的不同可能情况或解决路径。
4.推理推导：推理推导是一种基于逻辑推理和数学原理来解决问题的能力。
通过推理推导，学生可以从已知条件出发，得出结论或解决问题。
5.数组思维：数组思维是指将问题中的数值或变量组织成数组或矩阵的能力。
通过数组思维，学生可以更好地理解数学问题的结构和关系，从而更容易解决问题。
6.模式发现：模式发现是一种寻找数学问题中重复或规律性的能力。
通过模式发现，学生可以发现数学问题的规律并应用到其他类似的问题中。
7.反证法：反证法是一种通过假设问题的对立面来证明问题的方法。
通过反证法，学生可以验证问题的正确性或找到问题的反例。
8.数学词汇：数学词汇是指理解和运用数学术语的能力。
通过学习和理解数学词汇，学生可以更好地理解数学问题的描述和条件。
9.分析思考：分析思考是一种对问题进行深入分析并寻找问题本质的能力。
通过分析思考，学生可以更好地理解问题的关键因素和解决路径。
10.直觉思考：直觉思考是一种凭直觉进行问题分析和解决的能力。
通过直觉思考，学生可以更快地找到问题的解决方案。
11.数学符号：数学符号是数学表达和计算的基础。
通过学习和运用数学符号，学生可以更准确地表达数学问题和推导过程。
数学解题中逆向思维的运用
数学解题中逆向思维的运用摘要逆向思维是区别于传统正向思维的一种思维方法，它不是从已知条件出发求得结果，而是从结果或未知条件出发逆向回推已知条件，逆向思维在数学解题中的应用较多，本文以比较数的大小、解方程式和生活中的实际应用题举例进行简要分析，指出了使用逆向思维可以使用倒推、分析和反证法，除此之外，逆向思维在函数和几何图形中的运用也非常广泛。
关键词：数学；解题；逆向思维一、逆向思维的概念逆向思维是相对于正向思维而言的，传统的正向思维是指从数学题目的开始到结果按照先后顺序进行解题，逆向思维反其道而行之，指的是从结果到开始或从已知条件的反方向逆向推理的思考过程。
逆向思维可以解决正向思维中很多难以解决的问题，例如数学计算中面临较大的运算量或已知条件难以下手的题目，可以考虑采用逆向思维的方法进行解题，对部分可以使用逆向解题的题目来讲，可以更快得出结论，提高解题效率和学生的思维灵活性。
二、在数学解题中使用逆向思维的方法（一）运用分析法使用逆向思维要想学会使用逆向思维方法，首先应引导学生学会使用分析法，帮助学生学会从已知条件入手，分析已知条件的数量并确定其是否可用，已知条件中涉及到的知识点有哪些，联想相关知识点的解题方法和所求结果的联系，从整体上对题目的要求和范围进行把握，只有从宏观上掌握了题目和考查的知识点，才更容易运用逆向思维。
在题目“已知一个圆形花坛的周长是16米，求这个花坛的面积是多少？”中，对于初次接触此种题目的学生来讲，求圆形面积的正向思维是利用求圆形面积的公式S=πr²，但是在本题目中没有给出半径的大小，只知道周长，因此可以再通过圆的周长反推出半径，再将半径的数值代入公式，求得花坛的面积。
（二）运用反证法发展学生逆向思维反证法也称为逆证法，它摒弃了传统的从已知推论未知的方法，而是假设命题的反面成立，假设的反面命题必须与原命题是相关矛盾的关系，当推论出假设的反命题不成立时，便可以推导出原命题是成立的，对于一些不好推理的命题使用反证法可以得到意想不到的效果，其基本思想是否定之否定。
小学数学八大思维方法
小学数学八大思维方法1.分类思维：将问题中的对象、概念、现象按照其中一种特征或规则进行归类，进而发现问题的本质，找到问题的解题方法。
2.比较思维：将两个或多个对象或概念相互比较，找出其相同点和不同点，从中发现问题的规律和特点。
3.推理思维：根据已知条件和问题要求，运用逻辑推理和推断，推导出答案的合理性和正确性。
4.分析思维：将问题分解为几个小问题，逐步进行分析和解决。
通过分析每个小问题的解决过程，最终得出整个问题的解答。
5.逆向思维：从问题的结果出发，逆向推导出解决问题的方法和过程。
逆向思维常常能够突破传统思维的局限，找出解决问题的新途径。
6.归纳思维：从具体的事物、现象中归纳出一般的规律或结论。
通过对具体事物的观察和总结，总结出普遍规律，应用于解决类似的问题。
7.演绎思维：根据已有的规律或定理，运用逻辑关系进行推导和演绎。
从已知条件出发，通过演绎得出结论，运用于解决问题。
8.反证思维：采用假设反向地证明问题。
假设问题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而得出问题的正向解答。
这八大思维方法在小学数学教学中都有着重要的应用和意义。
帮助学生培养和提高逻辑思维能力，激发对数学的兴趣，同时也促进他们解决实际问题的能力和创新能力的发展。
分类思维是指将问题中的对象、概念、现象按照其中一种特征或规则进行整合和归类。
通过将问题进行分组和分类，可以更加清晰地看到问题的本质和规律。
例如，当学生遇到类似于求面积或体积的问题时，可以根据几何形状的不同将问题按照圆、矩形、三角形等进行分类，然后应用相应的公式进行求解。
比较思维是将两个或多个对象或概念进行对比，找出其相同点和不同点。
通过比较，可以更好地理解问题的特点和规律。
例如，当学生学习数字大小比较时，可以通过比较数字的大小顺序，找出其中规律和特点。
推理思维是根据已知条件和问题要求，运用逻辑推理和推断，推导出答案的合理性和正确性。
通过推理，可以从已有的信息中推导出新的信息，进而解答问题。
数学解题中转化思维的十种策略(完整版)实用资料
数学解题中转化思维的十种策略（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）数学解题中转化思维的十种策略数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化。
策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。
例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。
A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。
解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。
策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（）A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。
策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。
例3：在等差数列中，若，则有等式（成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立。
初中数学几何题解题思路与总结，要做到先思后解
初中数学几何题解题思路与总结，要做到先思后解很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
证明题要掌握三种思考方式● 正向思维对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
● 逆向思维顾名思义，就是从相反的方向思考问题。
在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去。
这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。
● 正逆结合对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。
正逆结合，战无不胜。
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
证明题要用到哪些原理● 证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
数学思维的一般方法
数学思维的一般方法数学思维是指解决数学问题所采用的一种思维方式和方法。
好的数学思维能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解题能力。
在这篇文章中，我将介绍一些常用的数学思维方法。
1.抽象思维：抽象思维是指将具体的问题转化为抽象的问题，以便更好地理解和解决问题。
这需要我们将问题中的各种信息进行提取和归纳，找出其中的规律和关系。
例如，当解决代数方程时，我们将问题中的具体数值用字母表示，以便更好地研究其性质和解的方法。
2.归纳思维：归纳思维是指从具体的例子中找出普遍规律或者推广结论的能力。
从多个特例中发现共同之处，进而形成一般性的结论。
归纳思维在解决数列、函数等问题时尤为重要。
例如，当我们求一个数列的通项公式时，我们可以先观察数列中的几个连续的项，找出它们之间的关系，然后运用归纳的方法推广到整个数列。
3.演绎思维：演绎思维是指从已知结论或已知条件出发，逐步推导出一个新的结论。
演绎思维往往用于构造证明过程。
例如，在证明一个数学定理时，我们从已知条件出发，通过一系列逻辑推理，逐步推导出所要证明的结论。
4.直觉思维：直觉思维是指凭借直觉来解决问题的一种思维方式。
有些数学问题可能没有明确的解题步骤，但我们可以通过直觉来获取一些关键信息或者启发。
直觉思维需要经过长期的学习和实践积累，通过培养良好的数学直觉，我们可以更好地把握问题的关键点，减少解题的复杂度。
5.反证法：反证法是一种常用的证明方法，也是一种重要的思维方法。
通过假设所要证明的结论不成立，可以推导出矛盾的结论，从而证明原始的结论成立。
反证法常用于证明一些重要的数学定理，例如费马大定理。
在应用反证法时，我们需要通过可行性分析和逻辑思考，找出可能导致矛盾的假设，然后通过推理和逻辑关系推导出矛盾的结论。
6.逆向思维：逆向思维是指从问题的结果出发，逆向分析问题的方法。
当我们从正向思维无法得到有效的解决方案时，可以尝试从问题的解决结果出发思考。
逆向思维常用于解决逻辑难题和一些较为复杂的数学问题。
数学解决问题的思维方法
数学解决问题的思维方法数学是一门在解决问题时起到重要作用的学科，而解决数学问题的思维方法也是非常关键的。
在本文中，我们将探讨几种常用的数学解决问题的思维方法，并从中得出一些有用的启示。
一、归纳法归纳法是一种通过找规律来解决问题的方法。
它基于对问题中的特殊情况进行观察和研究，然后通过总结特殊情况中的共同点来得出一般规律。
归纳法的关键在于观察和找出问题中的模式，并通过举例子、列举数据等方式来验证自己的猜测。
例如，我们考虑以下数列：1，3，5，7，9...通过观察可以发现，这个数列中的每个数都是前一个数加2得到的。
因此，我们可以猜测这个数列的通项公式为n=2n-1，其中n代表数列中的第n个数。
为了验证这个猜测，我们可以通过列举一些数据来证明。
通过归纳法，我们可以得出一个重要的启示，即在解决数学问题时，要善于观察和总结规律，从而找到问题的关键点。
二、逆向思维逆向思维是一种从问题的解决思路的反面来思考问题的方法。
它要求我们换位思考，从问题的最终结果开始，逆推回问题的起点。
逆向思维可以帮助我们找到解决问题的关键步骤和策略，并缩小问题的范围。
例如，我们考虑以下问题：某人今天有100元钱，他每天花费一半的钱，问多少天后他会花完？通过逆向思维，我们可以从问题的最终结果开始思考。
假设花完需要花费的天数为n天，那么可以得出以下等式：100 * (1/2)^n = 0。
通过解这个方程，我们可以求解出n的值，从而得到答案。
逆向思维的重要性在于，它能够帮助我们找到解决问题的有效路径，减少不必要的尝试和错误。
三、分解与抽象分解与抽象是一种将复杂问题分解成简单问题，并通过抽象找到它们之间的联系的方法。
这种思维方法可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而更好地解决问题。
例如，我们考虑以下问题：有一片田地，其中一半种植了玉米，三分之一种植了小麦，剩余的一半种植了蔬菜。
问田地的总面积是多少？通过分解与抽象的方法，我们可以将问题分解为三个简单的部分：种植了玉米的面积、种植了小麦的面积和种植了蔬菜的面积。
数学思维能力培养系列谈-正向思维与逆向思维
正向思维与逆向思维一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。
正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。
听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。
看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。
”“好啊，你要借多少？”“1美元。
”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。
”“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。
“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。
”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。
在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。
”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。
正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。
数学知识本身就充满着正反两方面的转换。
例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。
两种思维的培养同样重要。
事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。
另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。
因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。
二、逆向思维培养示例1.新授课中的培养方式。
（1）逆用定义。
小学数学解题思维方法整理
小学数学解题思维方法小学数学学习过程中常用的解题方法及思维方式整理，希望能帮到需要的同学。
一、逆向思维方法小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。
逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。
逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。
正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。
列式计算为：此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉序是一致的。
如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法：①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少列式计算为：由此，可得出下列算式：答：（同上）掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。
二、对应思维方法对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。
对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。
例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。
一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。
这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。
这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。
在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。
这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。
正向思维与逆向思维
数学思维能力培养系列谈③正向思维与逆向思维厦门第一中学 郑辉龙 姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。
正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。
听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。
看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。
”“好啊，你要借多少？”“1美元。
”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。
”“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。
“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。
”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。
在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。
”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。
正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。
数学知识本身就充满着正反两方面的转换。
例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。
两种思维的培养同样重要。
事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。
另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。
因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。
二、逆向思维培养示例1.新授课中的培养方式。
最有用的17个数学思维方法
最有用的17个数学思维方法数学思维方法是指在解决数学问题时所采用的一系列思维策略和技巧。
以下是最有用的17个数学思维方法：1.归纳法：从具体到一般，通过观察具体的例子，总结出一般规律。
2.反证法：通过假设所求结论不成立，推导出矛盾的结果，证明所求结论是正确的。
3.化复杂为简单：将复杂的问题分解成一系列简单的子问题，逐步解决。
4.利用对称性：利用图形、方程式或函数的对称性质简化问题。
5.逆向思维：从所求结果出发，倒推回问题的起点，找出解决问题的关键。
6.利用模式识别：找出问题中的模式或规律，从而快速解决问题。
7.推理和演绎：利用已知条件进行推理，从而得出结论。
8.利用类比：将一个复杂的问题与一个已知的简单问题进行类比，从而找到解决方法。
9.利用猜想：通过猜测和试验找到问题的解法，然后进行证明。
10.利用约束条件：利用已知的条件或限制条件，缩小问题的范围。
11.利用反向思维：将问题转化为相反的问题，从而得到解决方法。
12.利用最小化和最大化：通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。
13.利用概率和统计：通过利用概率和统计原理，解决具有随机性的问题。
14.利用图像和图表：通过绘制图像和图表，直观地理解和解决问题。
15.利用类别和分类：将问题分为不同的类别和分类，从而简化解决方法。
16.利用逻辑和推理：通过逻辑推理和推断，找到问题的解决方法。
17.利用数学语言和符号：通过运用数学语言和符号，准确地描述和解决问题。
这些数学思维方法在解决数学问题、理解数学概念和推导数学公式等方面都具有重要的作用。
通过应用这些方法，可以提高数学问题的解决能力和创造性思维。
数学中的思维方法与技巧
数学中的思维方法与技巧数学作为一门科学，既需要良好的数学基础，也需要独特的思维方法和技巧。
本文将介绍一些数学中常用的思维方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、归纳法：从实例中总结规律归纳法是一种从具体实例中总结出一般规律的思维方法。
通过观察并找出实例之间的相似之处，可以总结出一般性的结论。
以求前n项和公式为例，我们可以通过观察数列的形式，发现求前n项和的公式为n(n+1)/2。
这种归纳法的思维方法可以帮助我们更好地理解和推广数学知识。
二、逆向思维：从结果出发寻找解决方法逆向思维是一种从结果出发，寻找解决问题的方法。
在解决一些复杂的数学问题时，我们可以先假设答案是已知的，然后逐步推导出问题的解决方法。
例如，在解决方程问题时，我们可以从方程的解出发，逆向推导出满足这些解的方程等。
逆向思维可以帮助我们更灵活地应用数学知识，解决复杂的问题。
三、抽象思维：将具体问题抽象为数学模型抽象思维是数学中的一种重要思维方法。
将具体问题抽象为数学模型，可以帮助我们更好地理解问题，并运用相应的数学方法进行求解。
例如，在解决几何问题时，我们可以将具体的几何图形抽象为一系列的坐标点，然后运用代数方法进行求解。
抽象思维可以帮助我们将实际问题转化为数学问题，并利用数学工具进行求解。
四、推理思维：基于已知条件进行逻辑推理推理思维是一种基于已知条件进行逻辑推理的思维方法。
在解决一些证明问题时，我们可以基于已知条件，通过逻辑推理得出结论。
推理思维需要运用逻辑思维和数学推理的方法，有助于我们理清思路，形成严密的证明过程。
五、几何思维：运用图形直观思维解决问题几何思维是数学中的一种重要思维方式。
通过运用图形和直观的思维方式，可以帮助我们解决几何问题。
几何思维需要对几何概念、性质和图形有深入的理解，能够通过观察和分析图形，找出问题的解决方法。
六、证明思维：寻找严密的证明过程证明思维是数学中的一种基本思维方式。
在解决数学问题时，我们需要遵循严谨的证明步骤，从已知条件出发，逐步推导出结论。
数学解题的八种思维方法
数学解题的八种思维方法数学解题的八种思维方法解答数学题有八大常见的思维方法：抽象思维，逻辑思维，数形结合，分类讨论，方程思维，普适思维，深挖思维，化归思维。
下文带大家具体分析下这些数学思维方法如何应用!数学常见的八种思维方法一、解答数学题的转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。
二、逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。
敢于反其道而思之，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。
三、逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。
逻辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。
四、创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提得出与众不同的解决方案。
可分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。
五、类比思维是指根据事物之间某些相似性质，将陌生的、不熟悉的问题与熟悉问题或其他事物进行比较，发现知识的共性，找到其本质，从而解决问题的思维方法。
六、对应思维是在数量关系之间(包括量差、量倍、量率)建立一种直接联系的思维方法。
比较常见的是一般对应(如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系)和量率对应。
七、形象思维，主要是指人们在认识世界的过程中，对事物表象进行取舍时形成的，是指用直观形象的表象，解决问题的思维方法。
想象是形象思维的高级形式也是其一种基本方法。
八、系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对具体题目所涉及到的知识点有一个系统的认识，即拿到题目先分析、判断属于什么知识点，然后回忆这类问题分为哪几种类型，以及对应的解决方法。
数学学不好与哪些因素有关做题慢和数学成绩不理想，往往不是因为做题少、花费时间短和学习不努力，而是由于不会观察和灵活思考，没有养成机制灵活的做题习惯。
十七种数学思维方法
十七种数学思维方法
数学是一门需要深思熟虑的学科，需要有一定的数学思维方法才能更好地理解和解决数学问题。
下面将介绍17种常用的数学思维方法。
1. 归纳法：从具体情况出发，通过总结归纳而得出一般性规律。
2. 演绎法：从一般性原理出发，推导出具体的结论。
3. 反证法：采用反证的方法证明某个命题或结论。
4. 分类讨论法：将问题分成几种情况分别考虑，最终得出结论。
5. 构造法：通过构造特殊的例子，来推导出一般性的结论。
6. 比较法：将两个物体或数值进行比较，找出它们之间的关系。
7. 描述法：用语言或符号来描述问题，使问题更加清晰明了。
8. 推广法：将一个已知的结论推广到更广泛的情况下，得出新的结论。
9. 逆向思维法：从已知的结果出发，倒推出问题的解决方案。
10. 抽象化思维法：将具体的问题抽象成一般化的形式，更容易得到解决方法。
11. 迭代法：通过反复递归计算来得到问题的解决方案。
12. 最小化思维法：寻找问题的最小值或最优解，得出问题的最终解。
13. 几何思维法：通过几何图形的分析来解决问题。
14. 概率思维法：通过概率的计算来得出问题的解决方案。
15. 矩阵思维法：通过矩阵的运算来解决问题。
16. 统计思维法：通过统计学原理来分析和解决问题。
17. 数学建模思维法：将实际问题转化为数学模型，通过数学方法来解决问题。
以上17种数学思维方法在数学学习中都有重要的应用，掌握这些方法可以更好地解决和理解数学问题。
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典型例题剖析：
例 1、若三个方程：x2 4kx 4k 3 0, x2 (k 1)x k 2 0, x2 2kx 2k 0 ，至少有
一个方程有实数解，试求实数 k 的取值范围。
答案：
,
答案：（1）可用分析法；（2） GA : GB 1 3
例 4、直线 l 的方程为 x p , p 0 ，椭圆中心为 D 2 p ,0 ，焦点在 x 轴上，长半轴长
2
2
为 2，短半轴长为 1，它的一个顶点为 A p ,0 ，问当 p 在哪个范围内取值时，椭圆上有不 2
同的四个点，它们中的每一个点到 A 的距离等于该点到直线 l 的距离。 答案： p 0, 1
x
y
答案：略
8、设 0 a,b, c, d 1，又设 x 4a(1 b), y 4b(1 c), z 4c(1 d),t 4d(1 a) ，求证：
x, y, z,t 这四个数中，至少有一个不大于 1.
答案：略
9、对于集合 A x x2 2ax 4a ，问是否
3 例 5、如图，平行六面体 AC1 的底面 ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD 60
（1）求证： C1C BD ；
（2）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明。
答案：（1）略；（2）1.
例 6、已知关于 x 的实系数二次方程 x2 ax b 0 有两个实数根, ，求证：
答案：略。
自我测试作业：
1、已 知 A a1, a2, a3, a4, a5 , B a12, a22, a32, a42, a52 ， ai N , i 1,2,3,4,5 ， 设
a1 a2 a3 a4 a5 ，且 A B a1, a4， a1 a4 10 ，又 A B 元素之和为 224，求：
数学解题中的思想方法——正向思维与逆向思维
知识技能梳理： 通过对结论及其反面的分析，执果索因去寻找解题的途径，这就是逆向思维。常有逆推法， 补集（余）的思维法，反证法等。 逆向思维法与顺向思维法是并立的。当顺推法不易处理，陷入困境时，逆向思维会使“茅塞 顿开”。在用逆向思维考虑解题途径时，必须注意推理的充要性，结论变形的等价性。 因此，正难则反——巧用等价命题；
存在实数 a ，使得 A B ？若不存在，说明理由；若存在，求出 a 的值。
答案：存在 a 1,2
10、已知函数 y f (x) 是 R 上的单调函数，求证：方程 f (x) 0 在 R 上至多有一个实根。
答案：略
11、设函数
f
(x)
2x4
(2
a)x2
a2
2a ，是否存在实数 a
，使
f
答案：略
3、已知 a1, a2 ,b1,b2 为正数，求证： a1 b1a2 b2 a1a2 b1b2
答案：略
4、设正数数列 an 满足 2 Sn an 1，求 an 。
答案： an 2n 1
5、已知 a,b, c 0,1，求证： 1 ab,1 bc,1 ca 中不能都大于 1 。
4
答案：略
14、已知 a,b, c 是实数，函数 f (x) ax2 bx c, g(x) ax b ，当 1 x 1 时，
f (x) 1
（1）求证： c 1；
（2）求证：当 1 x 1 时， g(x) 2 ；
（3）设 a 0 ，当 1 x 1 时， g(x) 的最大值为 2，求 f (x)
（1）如果 2, 2 ，那么 2 a 4 b ，且 b 4 ；
（2）如果 2 a 4 b ，且 b 4 ，那么 2, 2 。
答案：略。
例 7、求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , n N
n1 3 5
2n 1 n 2 4 6
2n
（1） a1, a4 ；（2） a2 a3 a5 a12 a32 a52 ；（3） a5 ；（4） A
答案：（1） a1 1, a4 9 ；（2）142；（3）5；（4） A 1,2,4,9,10
2、设 x, y, z 为实数， A B C ，求证：
x2 y2 z2 2 yz cos A 2xz cos B 2xy cosC
(x)
在 ,
1 2
内
递减，在
1 2
,0
内递增？
答案：存在 a 3
12、在三角形 ABC中，若 a4 b4 c4 2c2 a2 b2 ，求 C
答案： 45 ,135
13、在三角形 ABC中，R 为外接圆半径，求证：a2 b2 c2 8R2 (1 cos Acos B cosC
3 2
1,
例
2、已知函数
y
ax2
(2a
1) x
3在
3 2
,2
上的最大值为
1，求实数
a
的值。
答案： 3 或 3 2 42
例 3、在 ABC中，E 为 BC 中点，过 E 作 BC 的垂线交 AC 于 F，交 BA 的延长线于 G，
且 EF=FG。（1）求证： sin A 3sin(B C) ；（2）求证： GA: GB 为常数。
答案：略
6、已知函数 f (x) 是 ,上增函数， a,b R 。
（1）求证：若 a b 0，则 f (a) f (b) f (a) f (b) ；
（2）判断（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论。 答案：（1）略；（2）逆命题成立，证明略。
7、已知 x 0, y 0 ，且 x y 2 ，求证： 1 y 与 1 x 中至少有一个小于 2.
答案：（1）略； （2）略；
（3） f (x) 2x2 1