画法几何之线基础

A
B
a′
b′
c′
C
X
a
c ab
H
c 直角投影规律：
O b
空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的 平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投 影反映直角关系。
两直线交叉垂直
A
N C
a′
B
Xm a
b′ n
O
a
M
c
n
m
b H
nb m
【例题12】求点K到直线AB的距离 。
k′
△ZK
L
a′
b′
两直线交叉
d’ b’
1’(2’)
B
a’ c’
2
D
X A
O
1
2
a
C
c
1
b d
两直线交叉的投影特性：
1’(2’)
a’
X
c’
2
a
1
c
d’ b’
O
b d
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相 交的投影特性，均属于两直线交叉.
【例题8】判断两直线的相对位置（方法一）
Z
c′ b′
a′ d′
X
a
d
d″
a″ YW b
a
Y
a
一般线的投影特性：
YH
一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长， 也不反映直线与投影面的倾角。
投影面平行线
直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：
投影面 平行线
水平线 直线平行于H面，倾斜于V、 W面。
正平线 直线平行于V面，倾斜于H、 侧平线 W 直线面平。行于W面，倾斜于H、
2 、abc、 a′b′c′为 ABC的类似形 ；
侧垂面的迹线表示法
V
Z
SV
Z SV
β SW
X
SW W
X
SO
α
O
YW
H
SH
Y
SH
YH
投影面平行面——水平面
V
z
a′ b′ c′
b″
B
a″
A
x
W
c″
C
O
ab
z a ′ b ′ c ′ b ″a ″ c ″
X
o
YW
b
a
c
H
Y
水平面的投影特性：
c YH
k′
a′
X
a
Z b′
a″
O
b″
K
点
k″
在
直
YW
线
AB
上
k
b YH
【例题2】判断点K是否在直线AB上。
a′
k′ b′ X
a
k
Z a″
k″ O
K
点
不
在
直
b″
线
YW
AB
上
b YH
【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点 的两面投影。
b′
C′
a′
X
O
a c
b
【例题4】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点 C的投影。
A
a″
a′
X
b
a
直角三角形法
△YAB
Y
a
量取
△ZAB
AB真长 b′
β △ZAB
b α
AB真长
直角三角形法
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一 条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长； 真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。
实长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α、β、γ
H、V、W投影长
侧平面 ∥W面，⊥H面，⊥V面
一般位置平面
b′ Z
a′
B
b″
b′ Z b ″ a″
a′
XA
X
c′
o
a″
b
c ″ YW
b C c″
c
a
cY
a
YH
一般位置平面的投影特性:
1、abc 、 a′b′c′和 a″b″c″均为ABC的类似形。
2、不反映 、、 的真实角度 。
投影面垂直面——铅垂面
V
z
b′
c′
ΔZAB
a′
X
aA
在AB上量取 AC=25mm
O
C c
B
=ΔZAB
b
【例题5】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影。
△YAB
a′ a
b′
量取△YAB b
【例题6】已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。
b′ β
△YAB
a′
a
量取△YAB
b
【例题7】已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。
B
PW
xA o
a b PH
H
C c
Y
铅垂面的投影特性：
c′ z
a′ a″
X
b′
a
o
c
c″
b″ YW
b YH
1、平面的水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、 OY夹角反映了平面与V、W面的、 角，其α= 90 ゜；
铅垂面迹线表示法
V
z
Z
PV
PV
a′
W
a″ PW
x
P
A
X
o
PW
β
YW
PH a
例：判断两直线是否相交。
c'
b'
k'
a'
X
c k1
d'
O
b
a
k2
d
不相交
c'
a'
X
b' k'
d'
O
c
b
a
kd
相交
两直线平行
b ´c
d ´
D
a
B´
x´
A
Co
a´
x
b
b
a
c
a 两直线平行的投影特性：
b´ d´ c´
o
b
d
c
两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即AB∥CD， 则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。
k
f
a
例：完成平行四边形ABCD的投影。
b'
Z b"
注意：点C应符
合点的投影规律。
c'
a'
c"
a"
X
d'
O
d"
YW
b
c
若需完成其侧投
影时，要保证作
a
图的准确性。
d
YH
解题步骤： ∵ DC∥AB,BC∥AD ∴ d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’b’； dc∥ab，bc∥ab。
例：判断AB与CD是否平行。
1、a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线，具有积聚性。
2、水平投影 abc 反映 ABC实形。
投影面平行面——正平面
V b′ z
b′ Z
b″
a′
B
b″
c′
W
A a″
X
C
O
c″
c′
X
a″ a′
o c ″ YW
c ba
H
Y
c
正平面的投影特性：
ba YH
1、abc 、a″b″c″积聚为一条线，具有积聚性。
2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY 轴。
侧垂线
a′
A X
Z b′
a″(b″)
B
a′
X
Z
b′ a（″ b″）
YW
a
b
a
Y
侧垂线投影特性：
b YH
1、侧垂线的W投影积聚为一点；
2、侧垂线的V、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。
一般线的实长与倾角
b′ Z B
量取
b″ △YAB
a′ βγ α
2、直线在平面上的几何条件：
若直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个已 知点或通过平面上的一个点且平行于平面上某一直线。
3、基本作图：
⑴ 判定点或直线是否在平面上； ⑵ 在平面上进行定点或定直线。
【例题1】判定点K是否在平面ΔABC上？
b'
e'
k'
a'
b
e
a
k
K点不在ΔABC上
c'
c
【例题2】试在平面ΔABC上确定一点K，使点K到V、H投影 面的距离均为25mm。
方法一：
利用侧投影判断
a'
求得结果：
a”b” 不平行于c”d” ，
所以AB与CD不平行。
b'
X
方法二：
b
若 AB∥CD，
则有：a‘b’∥c‘d’，ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’，ab∥dc， a
所以 AB与CD是不平行。
Z
c'
c"
a"
b" d'
O
c
d
YH
d"
YW
5、一边平行于投影面的直角投影
Ba c
b
E DF
d e ( f )H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。 投影面平行线 —— 直线平行于其中的一个投影面，
倾斜于另外两个投影面。 投影面垂直线 —— 直线垂直于某一投影面。
一般位置线
a′ X
Z b′
B b″
βγ
α
a″
A
b
a′ X
Z b′ b″
Z
Z
V
PV
P
PV PW W X
PW YW
X PH
H
O PH
Y
YH
二、平面对投影面的各种相对位置
平面
一般位 置平面 对H、V、W面均倾斜
投影面 垂直面
投影面 平行面
铅垂面 ⊥H面，对V、W面均倾
正垂面
斜 ⊥V面，对H、W面均倾
侧垂面 斜⊥W面，对H、V面均倾斜
水平面 ∥H面，⊥V面，⊥W面
正平面 ∥V面，⊥H面，⊥W面
c
Y
V
Z
PV
W
X
P PW
H PH
Y
1、用几何元素表示平面
b′
b′
b′
c′
b′
a′
c′ a′
c′ a′
c′ a′
d′ a′
c′
X
OX
OX
OX
b′ O X
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a
a
c
c
b
b
(1) 不在同一 直线上的三点
(2) 一直线 和线外一点
a
b
ca
d
b
c
(3)两相交 直线
(4)两平行直线
a c
b
(5) 平面图形
2、用迹线表示平面
b′
直线AB实长
ΔzAB
a′
α
a
直线的H投影长
以直线的H投影长
b
为半径，作圆弧
4.5 两直线的相对位置
两直线的 相对位置
两直线平行 两直线相交 两直线交叉
两直线相交
d’
b’
k’
B
a’
c’
x
C
K D
o
Ac
b
a
k
d
两直线相交的投影特性：
k’ a’
x c’
c
k a
d’ b’
o
b
d
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影 的交点符合点的投影规律。
4.7 平面上的点、直线和图形
（一）平面上的点和直线 （二）平面上的特殊直线 （三）例 题
V
b´ Z
B
b"
a
´
X
n´ N
A
b
a
n
H
W
n"
a" C c"
c
Y
（一）平面上的点和直线的几何条件
1、点在平面上的几何条件： 若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线
上。反之，若一点位于平面上的某一直线上，则该点必 定位于平面上。
2、正平面投影 a′b′c′反映 ABC实形 。
投影面平行面——侧平面
V b′ z
B b″
a′ A c′
a″
W
X
O
a
C
b
c″
Hc
Y
侧平面的投影特性：
b′
a′ c′
X
a
b
c
Z
b″
a″
o
YH
1、abc 、 a′b′c′积聚为一条线，具有积聚性；
2、侧平面投影 a″b″c″反映 ABC实形 。
c″ YW
正垂面的迹线表示法
V
Z
Z QW
QV
QW
QV γ
X
Q O
W X
α
YW O
QH H
Y
QH
YH
投影面垂直面——侧垂面
V
z
SB
SH
b″
W
X
A
OC
c″ a″
H
Y
侧垂面的投影特性：
b′ Z b″
c′ β c″
a′
X
b
α
o
a″ YW
c
a
YH
1、平面的侧面投影a″b″c″积聚为一条线 ；积聚线与OY、 OZ的夹角反映平面的α、β角，其 = 90゜；
β
α a″
YW
a
Ya 侧平线的投影特性：
YH
1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为α； 与OZ轴的夹角为β ；γ = 0°。
2.侧平线的V投影 a′b′∥OZ；H投影 a b∥OY；
投影面垂直线
按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线 又可分为：
投影面 垂直线
铅垂线 直线垂直于H面，平行于V、W面。 正垂线 直线垂直于V面，平行于H、W面。 侧垂线 直线垂直于W面，平行于H、V面。
第三章 线
直线的投影
• 直线的投影
V
• 直线上的点
a′
• 直线的真长及其倾角
• 两直线间的相对位置 X
• 一边平行于投影面的直 角投影规律
Z b′
B b″
βγ
W
α
A
a″
b
aH Y
1、直线的投影
直线的投影特性：
一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直于 投影面时，直线的投影则积 聚为一点。
AC
4.3 直线上的点
A
E
D C
B
F
直线上点的投影特性:
a (b) (c) e
f d
1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。
2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于
它们的投影之比，即：
ED:DF = e d:d f = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″
【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？
H
PH a γ
Y
YH
投影面垂直面——正垂面
V
b ′z
QV
a ′A
W
c′ X
oB
b′
c′

a′ α
xc
z
c″
b″
a″
o
YW
C
a
H
Y
正垂面的投影特性：
b YH
1、平面的正面投影a′b′c′积聚为一条线 ；积聚线与OX、 OZ夹角反映了平面与H、W的α、 角，其=90゜ 。
2、abc、 a″b″c″ 为 ABC的类似形 ;
b′
b″
a′ α γ B b″
a′ αγ
a″
A
a″
X
YW
X
a
b
a
b
Y
正平线的投影特性：
YH
1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为α； 与OZ轴的夹角为γ;β = 0°。
2、正平线的H投影 a b∥OX；W投影 a″b″∥OZ；
侧平线
b′ B
Z b″
a′
X b
β
α A
a″
b′
a′
X b
Z b″ 反映真长TL
铅垂线
b′
Z
b′
B
a′
b″
X
A
a″
a′
X
Z b″
a″
YW
b (a)
Y
铅垂线投影特性：
b(a) YH
1、铅垂线的H投影积聚为一点；
2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ 轴。
正垂线
a′( b′) Z
a′( b′) Z b″ a″
B
b″
X
YW
X
A
a″
b
b
a
a
Y
YH
正垂线投影特性：
1、正垂线的V投影积聚为一点；
l′
a
l
b
k
△ZK
L
垂线KL的实长
第四章 面
平面的投影
一、平面的表示方法
二、平面对投影面的各 种相对位置
三、平面上的点、直线 以及平面图形
V
b´
Z
B
b"
a´
XA
b
a
H
W
a" C c"
c
Y
一、平面的表示方法
1、用几何元素表示平面 2、用迹线表示平面
V
b´ B Z b"
a X´ A b
a H
W
a" c" C
a″
o
c″
两
b″
直
线
交
叉
YW
c
b
YH
【例题9】判断两直线的相对位置(方法二）
c′
b′
1′
两 直
a′ d′
线
x
o
交
d
叉
a
1
c
b
=1′d′
=1′c′
【例题10】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。
d′
e′
作kˊlˊ∥e ˊf ˊ
l′
f′
a′ (b′) (k′)
c′
b d l
作kl∥ef
e
c
a′
1′
k′
2′
25
b′
c′
b
c
25
1
k
2
a
例： 求属于△的点K的水平投影；
例： 试完成四边形ABCD 的投影。
V面。
水平线
Z
a′
b′
a′
b′Z b″ a″
B b″
X
YW
X
A
b
a″
βγ
a Y
水平线的投影特性：
b γβ
a
反映真长TL YH
1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β； 与OY轴的夹角为γ；α= 0°。
2.水平线的V投影 a′b′∥OX；W投影 a″b″∥OY；
正平线
b′ Z
Z
反映真长TL