关于复数的乘幂与方根

再把它 的模扩大 到 ρ 2 倍 ,
所得向量 z 就表示积 z1 ⋅ z2 .
o
y
[证毕 证毕] 证毕
从几何上看, 从几何上看 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 ,
z ρ
ρ1
z1 z ρ 22
x
两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
3
z 特别地， 2 = 1时，只需旋转一个角度ϕ 2就行了，
( k = 0, ±1, ±2,⋯ , )
12
当 k = 0,1,2,⋯, n − 1 时, 得到 n 个相异的根 :
w0 = ρ e n ,
1 n
i
ϕ
w1 = ρ e
1 n
i[
ϕ + 2π
n
]
⋯⋯⋯⋯⋯,
w n −1 = ρ e
1 n
i[
ϕ + 2( n −1)π
n
]
以其他整数值代入时, 当k以其他整数值代入时 这些根又重复出现 以其他整数值代入时 这些根又重复出现.
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(1 + i )n + (1 − i )n =
cos π i sin π π π n ( 2) + + ( 2 ) cos − 4 + i sin − 4 4 4
n n
n
nπ nπ nπ nπ = ( 2 ) cos + i sin + cos − i sin 4 4 4 4
三
复数的乘幂与方根
1、乘积与商 2、幂与根 3、小结与思考
1、乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 证
设复 数z1和z2的指数形式分别 为
z1 = ρ1e , z 2 = ρ 2 e
若 m = n = 0,
则k = 1
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Argz 注意： 即辐角主值， 注意： 可以换成 argz 即辐角主值，此时
的整数倍。 大家应该注意两端允许相差 2π 的整数倍。即
arg(z1z2 ) = argz1 + argz2 + 2kπ.
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况 个复数相乘的情况:
设 zk = ρk (cos ϕk + i sin ϕk ) = ρk e iϕk , (k = 1, 2,⋯, n)
z1 ⋅ z2 ⋅⋯⋅ zn = ρ 1 ⋅ ρ 2 ⋅ ⋯ ⋅ ρ n e i ( ϕ
1 +ϕ 2
+⋯ϕ n )
.
6
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复 数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 证 设复数 z1和 z 2的指数形式分别为
应熟练掌握复数乘积与商的运算. 应熟练掌握复数乘积与商的运算 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便 形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ 2 e
i (ϕ1 + ϕ 2 )
z 2 ρ 2 i (ϕ 2 −ϕ1 ) e . = z1 ρ1
棣莫佛( 棣莫佛(de Moivre)公式
n
=2
n+ 2 2
nπ cos . 4
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(2) n次方根 次方根
已知z =ρ e ,求z的n次方根
iϕ
相当于求方程 w = z 的根 w , 其中 z =ρ e
n
iϕ
wk = z = ρ e
n 1 n1 nຫໍສະໝຸດ i(ϕ + 2 kπ
n
)
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ = ρ cos + i sin n n
则z1 ⋅ z2 = ρ1e
iϕ1
iϕ1
iϕ 2
,
⋅ ρ 2e
iϕ 2
= ρ1 ρ 2 e
i ( ϕ1 + ϕ 2 )
2
z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ 2 e
i ( ϕ1 + ϕ 2 )
Arg( z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 .
先把 z1 按逆时针方向 旋 转一个 角 ϕ 2 ,
8
17
cos 17 π i sin 17 π , w2 = 2 + 16 16
8
cos 25π i sin 25π . w3 = 2 + 16 16
8
w1
y
这四个根是内接于中 心在原点半径为 2 的
8
w0
w2
o
x
圆的正方形的四个顶点 .
w3
18
三、小结与思考
iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转
→
→
π
2
-z相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转π
-iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿顺时针方向旋转
→
π
2
4
说明 由于辐角的多值性 Arg( z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 对于左端的任一值 右端必有值与它相对应 例如， 例如，设 z1 = −1, z2 = i , 则 z1 ⋅ z2 = − i , Argz1 = π + 2nπ, ( n = 0, ± 1, ± 2,⋯), π Argz2 = + 2m π, ( m = 0, ± 1, ± 2,⋯), 2 π Arg( z1 z2 ) = − + 2kπ, ( k = 0, ± 1, ± 2,⋯), 2 3π π 故 + 2( m + n)π = − + 2kπ, 只须 k = m + n + 1. 2 2 若 k = −1, 则 m = 0, n = −2 或 m = −2, n = 0.
8
i
−
π
6
i
2、幂与根 、 (1). n次幂 次幂: 次幂 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂 ,
记作 z n , z n = z ⋅ z ⋅ ⋯ ⋅ z .
n个
对 于 任 何 整 数 n, n n 有 z = [ ρ (cos ϕ + i sin ϕ )] = [ ρ e iϕ ]n
=ρ n e inϕ =ρ n (cos nϕ + i sin nϕ ). 当 z 的模 ρ = 1, 即 z = cos ϕ + i sin ϕ , n (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ .
棣莫佛公式
9
例2 解
化简 (1 + i )n + (1 − i )n .
(cos ϕ + i sin ϕ )n = cos nϕ + i sin nϕ .
放映结束， Esc退出. 放映结束，按Esc退出. 退出
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1 1 1 + i = 2 i + 2 2 cos π i sin π = 2 + 4 4 1 1 1 − i = 2 i − 2 2
π π = 2 cos − + i sin − 4 4
6
cos 7 π i sin 7 π , w1 = 2 + 12 12
6
cos 5π i sin 5π . w2 = 2 + 4 4
6
16
例5
计算 4 1 + i 的值.
cos π i sin π 解 1 + i = 2 + 4 4 π π + 2kπ + 2kπ 8 4 1 + i = 2 cos 4 + i sin 4 ( k = 0,1,2,3). 4 4 cos π i sin π , 8 即 w0 = 2 + 16 16 cos 9π i sin 9π , w1 = 2 + 16 16
z1 = ρ1e , z2 = ρ 2 e ,
iϕ1
iϕ 2
z 2 ρ 2 i ( ϕ 2 − ϕ1 ) e . [证毕 则 = 证毕] 证毕 z1 ρ1
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1 π π 例1 已知 z1 = (1 − 3i ), z2 = sin − i cos , 2 3 3 z1 求 z1 ⋅ z2 和 . π z2 π − i π =e 3 解 因 为 z 1 = cos − + i sin −
z 的 n 个值就是以原点为中心 ,
ρ 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
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例4 解
计算 3 1 − i 的值. 1 1 1 − i = 2 i − 2 2
π π = 2 cos − + i sin − 4 4
3 3 π π π − i z 2 = cos − + i sin − = e 6 6 6
π π − 3− 6 i
z1 ⋅ z 2 = e
z1 =e z2
π π − 3+ 6
=e =e
−
π
2
i
= −i ,
3 1 = − i. 2 2
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例如 k = n 时,
wn = ρ e
1 n
1 n
i[