高中数学必修4 第一章综合检测题

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2019—2020年最新人教A版高中数学必修四第1单元综合测试含答案.doc

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是( ) A ．－4 3B ．±4 3 C.3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－43.答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33 C ．－3D.3解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－3.答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(x2＋π6)C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称，∴f(π3)＝±1，故只有C 符合．答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z)，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α，cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C.答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sinA ＋cosA ＝52，则tanA 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sinA ＋cosA ＝52，所以2sinAcosA ＝14>0.所以A 为锐角．又(sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1－14＝34，所以sinA －cosA＝±32.从而可求出sinA ，cosA 的值，从而求出tanA ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z)．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]．答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sinx 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，∴只需将y ＝sinx 的图象向左平移5π6个单位长度．答案：C8．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)，取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a>1,0≤x ≤2π，则函数f(x)＝cos 2x ＋2asinx －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f(x)＝cos 2x ＋2asinx －1＝1－sin 2x ＋2asinx －1 ＝－(sinx －a)2＋a 2， ∵0≤x ≤2π，∴－1≤sinx ≤1，又a>1，∴f(x)max ＝－(1－a)2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2222－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cosπ15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z.又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32.答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝lr ＝128＝32，扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：324814．方程sinx ＝lgx 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sinx 和y ＝lgx 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f(2 013)＝－1，则f(2 014)＝________.解析：f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β) ＝－1，f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β) ＝asin[π＋(2 013π＋α)]＋bcos[π＋(2 013π＋β)]＝－[asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f(x)的值域是[0,2]；②点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f(x)的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴；④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f(x)图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cos π＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴；④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π，(1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0，∴75°＋α为第四象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 275＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223，∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.(2)由已知得cos(θ－9π)＝－35，∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35，∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45，∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f(x)＝2cos(2x －π4)，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f(x)在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f(x)＝2cos(2x －π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z)．(2)因为f(x)＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f(－π8)＝0，f(π8)＝2，f(π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f(x)在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x)的表达式；(2)把f 1(x)的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x)的图象，求f 2(x)取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝Asin2x 的图象向左平移π12，得y ＝Asin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝Asin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x)＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x)＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z)，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，y max ＝2.此时x 的取值为{x|x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．21．(12分)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P(1，－3)在角α的终边上，求f(α2－π12)的值；(2)若x ∈[－π6，π3]，求f(x)的值域．解：(1)因为点P(1，－3)在角α的终边上，所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f(α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1.(2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sint 在[－π6，π2]上单调递增，在[π2，5π6]上单调递减，且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sint 在[－π6，5π6]上的最大值为1，最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1，所以f(x)的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f(kx)(k>0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f(x)的最小正周期为T ，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎨⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎨⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f(x)＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f(kx)＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，又k>0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sint ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1)，∴方程f(kx)＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．。

高一数学必修4第一章综合检测题

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] A[解析] α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．2．sin(－600°)＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 [答案] B3．已知角α的终边经过点P (3，－4)，则角α的正弦值为( ) A.34 B ．－4 C ．－45 D.35 [答案] C[解析] x ＝3，y ＝－4，则r ＝x 2＋y 2＝5，则sin α＝y r ＝－45.4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4k ∈Z[答案] D[解析] 要使函数有意义，则有x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠3π4＋k π，k ∈Z .5．已知sin(π＋α)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A ．－13 B.13 C ．－33 D.33[答案] B[解析] sin(π＋α)＝－sin α＝13，则sin α＝－13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝13. 6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的一个单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3 [答案] A[解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈[])，整理得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，所以仅有⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3是单调递减区间．7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－54 D.45[答案] D[解析] sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－21＋tan 2θ＝45. 8．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin(12x －π2)C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)[答案] B[解析] y ＝sin(x －π3)――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin(12x －π3)错误!y＝sin[12(x －π3－π3]＝sin(12x －π2)．9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数[答案] D[解析] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )， ∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数． ∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称． 10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32[答案] B[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)等于( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12[答案] C[解析] 首先由图象可知所求函数的周期为T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式，得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×11π12＋φ＝0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4＋φ＝0，∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－9π4＋2k π(k ∈Z )．令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A sin π4＝－22A ＝－23∴A ＝232，∴f (0)＝232cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝232cos π4＝23.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π]上是单调函数，则ω＋φ＝( )A.π2＋23B.π2＋2 C.π2＋32 D.π2＋103[答案] A[解析] 由于f (x )是R 上的偶函数，且0≤φ≤π，故φ＝π2.图象关于点M (3π4，0)对称，则f (3π4)＝0，即sin(3π4ω＋π2)＝0，所以cos 3ωπ4＝0.又因为f (x )在区间[0，π]上是单调函数，且ω>0，所以ω＝23.故ω＋φ＝π2＋23.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．[答案] 8014．化简1－2sin4cos4＝________. [答案] cos4－sin4[解析] 原式＝sin 24＋cos 24－2sin4cos4＝(sin4－cos4)2＝|sin4－cos4|.则sin4<cos4，所以原式＝cos4－sin4.15．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．[答案] 32[解析] ∵T ＝π，∴f (5π3)＝f (π＋2π3)＝f (23π)＝f (π－π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝32.16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎫2x －π4，在下列四个命题中：①f (x )的最小正周期是4π；②f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；③若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z ，且k ≠0)； ④直线x ＝－π8是函数f (x )图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．[答案] ③④[解析] f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π，所以①不正确；f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，则f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π8个单位长度得到，所以②不正确；当f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－1时，有2x －π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，则x ＝－π8＋k π(k ∈Z )，又x 1≠x 2，则x 1＝－π8＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝－π8＋k 2π(k 2∈Z )，且k 1≠k 2，所以x 1－x 2＝(k 1－k 2)π＝k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以③正确；当x ＝－π8时，f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－π4＝－1，即函数f (x )取得最小值－1，所以④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设f (θ)＝ 2cos 3θ＋sin 2(2π－θ)＋sin (π2θ)－32＋2sin 2(π2＋θ)－sin (3π2－θ)，求f (π3)的值．[解析] 解法一：f (π3)＝2cos 3π3＋sin 2(2π－π3)＋sin (π2＋π3)－32＋2sin 2(π2＋π3)－sin (32π－π3)＝2cos 3π3＋sin 25π3＋sin 5π6－32＋2sin 25π6－sin7π6＝2×18＋34＋12－32＋2×14＋12＝－12.解法二：∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ ＝2cos 3θ＋1－cos 2θ＋cos θ－32＋cos θ＋2cos 2θ＝2cos 3θ－2－(cos 2θ－cos θ)2＋cos θ＋2cos 2θ ＝2(cos 3θ－1)－cos θ(cos θ－1)2＋2cos 2θ＋cos θ＝(cos θ－1)(2cos 2θ＋cos θ＋2)2cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ－1，∴f (π3)＝cos π3－1＝－12.18．(本题满分12分)(2011～2012·山东济南一模)已知sin θ＝45，π2<θ<π.(1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． [解析] (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π， ∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.19．(12分)已知x ∈[－π3，2π3]，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．[解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x ＝0时，y 取最大值1； x ＝2π3时，y 取最小值－12.∴y ＝cos x 的值域为[－12，1]．(2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，即y ＝3(cos x －23)2－13，由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，154]．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R . 求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合； (2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图象？ [解析] (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3k π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象； ③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象； ④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋π4－1的图象． 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．[解析] (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)的图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1. 所以4π3＋φ＝2k π－π2，(k ∈Z )．故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)因为x ∈[0，π12]，所以2x ＋π6∈[π6π3]．所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3. 22．(本题满分12分)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求出使f (x )取得最大值时x 的取值集合．[解析] (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，76π]，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)当sin(2x ＋π6)＝1时f (x )取得最大值，此时2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z ，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．。

(2021年整理)高一数学必修四第一章测试题

高一数学必修四第一章测试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修四第一章测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修四第一章测试题的全部内容。

1.与32︒-角终边相同的角为（）A ． 36032k k Z ︒︒⋅+∈，B 。

360212k k Z ︒︒⋅+∈，C ． 360328k k Z ︒︒⋅+∈， D. 360328k k Z ︒︒⋅-∈， 2. 半径为1cm ，中心角为150o 的弧长为（ )A ．cm 32B ．cm 32πC ．cm 65D ．cm 65π3。

点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx值为（）A.3B. - 3 C 。

33 D. —33 4。

下列函数中属于奇函数的是（）A. y=cos(x )2π+ B 。

sin()2y x π=- C 。

sin 1y x =+ D 。

cos 1y x =-5。

要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πx y 的图象（ )A 。

向左平移3πB 。

向右平移3π C. 向左平移32πD. 向右平移32π6。

已知点(sin cos tan )P ααα-，在第一象限，则在[02π]，内α的取值范围是( ) Ａ．π3π5ππ244⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，Ｂ．ππ5ππ424⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，Ｃ．π3π53ππ2442⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，Ｄ．ππ3ππ424⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，7. 函数2sin(2)6y x π=+的一条对称轴是（）A. x = 3πB. x = 4π C 。

高一数学必修四第一章测试题

高一数学必修四第一章测试题XXX高一数学第一次月考试卷本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题（每小题5分，共60分）1.与-32°角终边相同的角为（）A。

k360°+32°，k∈ZBB。

k360°+212°，k∈ZAC。

k360°+328°，k∈ZDD。

k360°-328°，k∈ZC2.半径为1cm，中心角为150°的弧长为（）A。

2cm/3B。

2πcm/3C。

5cm/6D。

5πcm/33.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则A。

3B。

-3C。

4D。

无法确定4.下列函数中属于奇函数的是（）A。

y=cos(x+π/2)B。

y=sin(x-π/3)C。

y=sin(x)+1D。

y=cos(x)-15.要得到函数y=sin x的图像，只需将函数y=sin(x-π/3)的图像（）A。

向左平移π/3B。

向右平移π/3C。

向左平移2π/3D。

向右平移2π/36.已知点P(sinα，tanα)在第一象限，则在[0，π/2]内α的取值范围是（）A。

(π/6，π/4)B。

(π/4，π/3)C。

(π/6，π/3)D。

(0，π/4)7.函数y=2sin(2x+π/6)的一条对称轴是（）A。

x=π/12B。

x=5π/12C。

x=7π/12D。

x=11π/128.函数y=sin(2x-π/3)的单调递增区间是（）A。

(-π/6+2kπ,π/6+2kπ)，k∈XXXB。

(-π/6+2kπ,π/6+2kπ)，k∈ZCC。

(-π/6+2kπ,π/3+2kπ)，k∈ZBD。

(-π/6+2kπ,π/3+2kπ)，k∈ZD9.已知函数y=sin(ωx+π/6)(ω>0,π/2>ωx>-π/2)的部分图像如图所示，则此函数的解析式为（）A。

精品北师大版高中数学必修四：第一章综合测试题(含答案)

北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)，－1 110°＝－3×360°＋(－30)°，故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限．当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间．故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去．故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

人教版数学必修四第一章综合测试

第一章平面向量(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．向量可以比较大小B ．坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量C ．向量就是有向线段D ．距离、密度和时间都不是向量解析：答案： D2．右图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即可发现OP →＋OQ →＝FO →. 答案： C3．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b解析： A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．答案： D4．设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )D ．(－1＋m ，－7＋n )解析： AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝(1＋m,7＋n )，而DA →＝－AD →. 答案： B5．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3；④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③D ．①②③④解析： AB →＝⎝⎛⎭⎫－7，－92. ∵⎝⎛⎭⎫143，3＝－23⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－23AB →， ⎝⎛⎭⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－AB →， ⎝⎛⎭⎫－143，－3＝23AB →，∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案： C6．设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，则a 和b 的夹角θ等于( ) A ．45° B ．120° C ．135°D ．165° 解析： ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°. 答案： C7．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝( )A.12B.13C.23D ．±13解析：由MN →＝13BC →，且BC →＝AC →－AB →，得λ＝13.答案： B8．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：由于2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，即(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0.解得n ＝±3. 所以a ＝(1，±3)．所以|a |＝1＋(±3)2＝2.答案： C9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43b D ．－23a ＋43b解析： BC →＝2BD →＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43b .答案： B10．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：设D (x ，y )，则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)，又BC →＝2AD →，故⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.答案： A11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND.10 N解析：对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.答案： B12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：设OC →＝(x ，y )．∵αOA →＝(3α，α)，βOB →＝(－β，3β)， ∴αOA →＋βOB →＝(3α－β，α＋3β)． ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.又α＋β＝1，∴x ＋2y ＝5. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．有下列说法：①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在▱ABCD 中，一定有AD →＝BC →； ④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；对于②，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD 中，|AD →|＝|BC →|，AD →与BC →平行且方向相同，所以AD →＝BC →，故③正确；对于④，零向量的方向是任意的，与任一向量平行，故④正确；对于⑤，a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，所以a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，故⑤正确；对于⑥，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑥不正确．答案： ③④⑤14．通过点A (－1,2)且平行于向量a ＝(3,2)的直线为________．解析：设P (x ，y )为所求直线上任意一点，由题意知AP →∥a ，而AP →＝(x ＋1，y －2)，a ＝(3,2)，∴(x ＋1)·2－(y －2)·3＝0，化简得2x －3y ＋8＝0，即为所求直线的方程．答案： 2x －3y ＋8＝015．已知O ，A ，B 是平面上的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝________.解析：由2AC →＋CB →＝0，得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，则OC →＝2OA →－OB →. ∴λ＝2，μ＝－1，∴λ－μ＝3. 答案： 316．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________，b 在a 方向上的投影等于________．解析： ∵⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，且|a |＝4，〈a ，b 〉＝45°，∴3|b |2－2|b |－4＝0，∴|b |＝2，或|b |＝－223(舍)．b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉＝1. 答案：2 1三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值．解析：方法一：∵|3a －2b |＝3， ∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.方法二：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13.∴|3a ＋b |＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9＋1＋6×13＝2 3.18．(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC→＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．解析： (1)设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52，y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32， ∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝⎛⎭⎫52，32＋(－1，3)＝⎝⎛⎭⎫32，332，∴B ⎝⎛⎭⎫52，32，C ⎝⎛⎭⎫32，332. (2)证明：连接OC .∵OC →＝⎝⎛⎭⎫32，332，AB →＝⎝⎛⎭⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又|OC →|≠|AB →|，|OA →|＝|BC →|＝2， ∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . 解析： (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°＝(k －1)a 2＋1－k 2a 2. 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0，解得k ＝1.20．(本小题满分12分)在△OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知OP ∶P A ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 与b 表示OR →；(2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 夹角为60°，过R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a ，b 表示OH →. 解析： (1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35b ，由A ，R ，Q 三点共线，可设AR →＝mAQ →. 故OR →＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →) ＝a ＋m ⎝⎛⎭⎫35b －a ＝(1－m )a ＋35m b . 同理，由B ，R ，P 三点共线，可设BR →＝nBP →，由OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n3a ＋(1－n )b .由于a 与b 不共线，则有⎩⎨⎧1－m ＝n3，35m ＝1－n .解得⎩⎨⎧m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b .(2)由A ，H ，B 三点共线，可设BH →＝λBA →，则OH ＝λa ＋(1－λ)b ，RH →＝OH →－OR →＝⎝⎛⎭⎫λ－16a ＋⎝⎛⎭⎫12－λb . 又RH →⊥AB →，∴RH →·AB →＝0.∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ－16a ＋⎝⎛⎭⎫12－λb ·(b －a )＝0.又∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，∴λ＝12，∴OH →＝12a ＋12b .21．(本小题满分13分)向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．解析：由(a －b )⊥c ，知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0. 故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.22．(本小题满分13分)已知O 为坐标原点，OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：存在，理由如下：设存在点M 满足条件，则OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．由MA →⊥MB →，得(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115，∴OM →＝(2,1)或OM →＝⎝⎛⎭⎫225，115. 因此存在点M (2,1)或点M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．。

北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2，又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线．又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ，则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称，令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

高中数学必修四文档：第一章章末综合检测 Word版含答案

, (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5 解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos xcos x＋tan xtan x＝3；当x 为第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x＋tan x tan x ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( )A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．因为其图象与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又因为－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12，所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图像．故应选C.6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β) 解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sinα＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6，故选B. 法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6，知f ⎝⎛⎭⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又因为函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，知f ⎝⎛⎭⎫π2＞f ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x－56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． 10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt6∈[0，4π]，因此0≤πt 6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点．令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得u ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，在同一直角坐标系中做出函数y ＝2sinu 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________．解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x ≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎡⎦⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2π7＝sin 3π14，因为0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又因为0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c . 答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，正确；④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾，错误．所以①③正确．答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°·tan ⎝⎛⎭⎫－374π. 解：原式＝3sin （－120°－3×360°）tan ⎝⎛⎭⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ⎝⎛⎭⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋⎝⎛⎭⎫－22×1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3.所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3.所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎛⎭⎫2x －3π，列表如下：描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3.(2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．因为2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.。

高中数学必修四第一章测试题

高中数学必修四第一章测试题Revised at 2 pm on December 25, 2020.必修四第一章复习题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法中，正确的是( )A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 C ．13．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π25．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( ) π π π π6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( )8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.349．函数f (x )＝tan x 1＋cos x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A＝n ，则lgsin A 的值是( )A ．m ＋1nB ．m －n⎝⎛⎭⎪⎫m ＋1n (m －n ) 12．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 14．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.16．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．其中正确命题的序号为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sinπ－α＋5cos2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α的值．18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，求tan A 的值．19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值；(3)求使y ≤0时，x 的取值范围．21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． 22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．。

高中数学必修4第一章综合检测题

1.若α是第二象限角，则180°-α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】A【解析】α为第二象限角，不妨取α=120°，则180°-α为第一象限角. 2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin2C.2sin1D.2sin1 【答案】C【解析】由题设，圆弧的半径1sin1r =，∴圆心角所对的弧长22sin1l r ==. 3.如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A.(cos θ，sin θ)B.(-cos θ，sin θ)C.(sin θ，cos θ)D.(-sin θ，cos θ) 【答案】A【解析】设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ=y ，cos θ=x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ).4.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=( )A.43B.34C.34-D.43-【答案】D【解析】10,cos ,5x r x α<=∴== 249,3,tan 3x x α∴=∴=-∴=-.5.如果sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么tan α的值为( )A.-2B.2C.2316D.2316-【答案】D【解析】∵sin α-2cos α=-5(3sin α+5cos α)，∴16sin α=-23cos α，23tan 16α∴=-.6.若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则33sin cos cos sin θθθθ+的值为( ) A.81727-B.81727C.82027D.82027-【答案】C【解析】sin cos 2,sin 3cos sin cos θθθθθθ+=∴=-33222sin cos 3182cos sin cos 27cos 27cos θθθθθθθ∴+=+= 由22sin 3cos sin cos 1θθθθ=⎧⎨+=⎩得21cos 10θ= 33sin cos 820.cos sin 27θθθθ∴+= 7.若sin α是25760x x --=的根，则233sin()sin()tan (2)22cos()cos()sin()22ππααπαππααπα----=-++( ) A.35 B.53 C.35 D.54【答案】B【解析】方程25760x x --=的两根为123, 2.5x x =-=则3sin ,5α=-原式2cos (cos )tan 15.sin (sin )(sin )sin 3ααααααα-==-=-- 8.函数sin(2)6y x π=+的一个单调递减区间为( )A.2(,)63ππB.(,)36ππ-C.(,)22ππ-D.2(,)23ππ【答案】A 【解析】令3222(),262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 整理得3,62k x k ππππ+≤≤+所以仅有2(,)63ππ是单调递减区间. 9.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A.1sin 2y x =B.1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-【答案】B【解析】$y=\sin (x-\frac{\pi }{3})\xrightarrow[为原来的2倍]{横坐标伸长}y=\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3})\xrightarrow[\frac{\pi }{3}个单位]{向右平移}$$y=\sin[\frac{1}{2}(x-\frac{\pi }{3})-\frac{\pi }{3}]=\sin (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{2}).$10.已知函数sin()()2y x x π=-∈R ，下面结论错误的是( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )在区间[0,]2π上是增函数C.函数f (x )的图象关于直线x =0对称D.函数f (x )是奇函数【答案】D【解析】()sin()cos (),2f x x x x π=-=-∈R ∴T =2π，在[0,]2π上是增函数.∵f (-x )=-cos(-x )=-cos x =f (x ).∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x =0对称.11.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y =f (t )，经长期观测，y =f (t )的曲线可近似地看成是函数y =A cos ωt +b ，下表是某日各时的浪高数据：则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A.1cos 126y t π=+B.13cos 262y t π=+C.32cos 62y t π=+D.13cos622y t π=+【答案】B【解析】∵T =12-0=12，22.126T πππω∴===又最大值为2，最小值为1，则2,1,A b A b +=⎧⎨-+=⎩解得13,,22A b ==13cos6.22y t π∴=+12.(主观题)若1cos(75),3α︒+=其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°). 【解析】cos(105°-α)+sin(α-105°)=-cos(75°+α)-sin(α+75°).∵180°＜α＜270°， ∴255°＜α+75°＜345°.又1cos(75),sin(75)3αα+︒=∴+︒=∴原式11.33-=-+=13.(主观题)求函数lg(sin )y x =+的定义域【解析】由已知，得2sin 0,160.x x >⎧⎨-≥⎩解得 22,44,k x k x πππ<<+⎧⎨-≤≤⎩即x ∈[-4，-π)∪(0，π). 14.(主观题)据市场调查，某种商品每件的售价按月呈()()0,0,)2(f x Asin x B A πωϕωϕ=++>><的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，求f (x )的表达式.【解析】由题意得8,4,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得A =2，B =6.周期T =2(7-3)=8，2.4T ππω∴== ()2sin() 6.4f x πϕ∴=++又当x =3时，y =8，382sin() 6.4πϕ∴=++3sin()1,4πϕ+=取.4πϕ=-()2sin() 6.44f x x ππ∴=-+15.关于函数()4sin(2)(),3f x x x π=+∈R 有下列命题：①函数y =f (x )的表达式可改写为4cos(2)6y x π=-；②函数y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y =f (x )的图象关于点(,0)6π-对称；④函数y =f (x )的图象关于直线6x π=-对称.其中，正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】B【解析】①()4sin(2)4cos(2)4cos(2)3236f x x x x ππππ=+=--=-+. ②2,2T ππ==最小正周期为π. ③2,3x k ππ+=当k =0时，,6x π=-函数f (x )关于点(,0)6π-对称. ④2,32x k πππ+=+当6x π=-时，1,2k =-与k ∈Z 矛盾.∴①③正确.16.(主观题)(1)已知角α的终边经过点P (4，-3)，求2sin α+cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，-3a )(a ≠0)，求2sin α+cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为34，求2sin α+cos α的值.【解析】(1)22345,sin ,cos ,55y x r x y r r αα=+=∴==-==6422sin cos .555αα∴+=-+=-(2)225||,r x y a =+=∴当a ＞0时，r =5a ，334sin ,cos .555a a αα-∴==-=22sin cos 5αα∴+=-；当a ＜0时，r =-5a ，334sin ,cos .555a a αα-∴===--22sin cos .5αα∴+=(3)当点P 在第一象限时，34sin ,cos ,55αα==2sin α+cos α=2；当点P 在第二象限时，342sin ,cos ,2sin cos 555αααα==-+=；当点P 在第三象限时，34sin ,cos ,2sin cos 255αααα=-=-+=；当点P 在第四象限时，342sin ,cos ,2sin cos .555αααα=-=+=-17.(主观题)已知tan α、1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两实根，且73,2παπ<<求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】由题意，根据韦达定理，得21tan 31,tan k αα=-=∴k =±2.又713,tan 0,0,2tan παπαα<<∴>>1tan 0,tan k αα∴+=>即k =2，而k =-2舍去，1tan 1,tan αα∴==2sin cos ,2αα∴==-∴cos(3π+α)-sin(π+α)=sin α-cos α=0.18.(主观题)已知2[,],33x ππ∈-(1)求函数y =cos x 的值域；(2)求函数23sin 4cos 4y x x =--+的值域.【解析】(1)∵y =cos x 在[,0]3π-上为增函数，在2[0,]3π上为减函数，∴当x =0时，y 取最大值1；23x π=时，y 取最小值12-. ∴y =cos x 的值域为1[,1]2-.(2)原函数化为：23cos 4cos 1,y x x =-+即2213(cos ),33y x =--由(1)知，1cos [,1],2x ∈-故y 的值域为115[,].34-19.(主观题)已知函数1()3sin()1,.24f x x x π=+-∈R求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合； (2)函数y =sin x 的图象经过怎样的变换得到函数1()3sin()124f x x π=+-的图象？【解析】(1)函数f (x )的最小值是3×(-1)-1=-4，此时有12,242x k πππ+=-解得34(),2x k k ππ=-∈Z 即函数f (x )的最小值是-4，此时自变量x 的取值集合是3{|4,}.2x x k k ππ=-∈Z(2)步骤是：①将函数y =sin x 的图象向左平移4π个单位长度，得到函数sin()4y x π=+的图象；②将函数sin()4y x π=+的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数1sin()24y x π=+的图象； ③将函数1sin()24y x π=+的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数13sin()24y x π=+的图象；④将函数13sin()24y x π=+的图象向下平移1个单位长度，得函数13sin()124y x π=+-的图象.20.(主观题)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y =A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离.【解析】∵函数y =A sin ωx (A ＞0，ω＞0)图象的最高点为S ，A ∴=由图象，得34T=，∴T =12.又2,,6T ππωω=∴=即.6y x π=当x =4时，2 3.3y π==∴M (4,3).又P(8,0).||5,MP ∴==即MP 的长是5.21.(主观题)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y =f (kx )(k ＞0)的周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程f (kx )=m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【解析】(1)设f (x )的最小正周期为T ，则11()2,66T πππ=--= 由2,T πω=得ω=1，又3,1,B A B A +=⎧⎨-=-⎩ 解得2,1,A B =⎧⎨=⎩令5,62ππωϕ⋅+=即5,62ππϕ+= 解得,3πϕ=-()2sin() 1.3f x x π∴=-+(2)∵函数()2sin()13y f kx kx π==-+的周期为23π，又k ＞0，∴k =3，令3,3t x π=-2[0,],[,],333x t πππ∈∴∈-如图，sin t =s 在2[,]33ππ-上有两个不同的解，则3[,1],2s ∈∴方程 f (kx )=m 在[0,]3x π∈时恰好有两个不同的解，则[31,3],m ∈+即实数m 的取值范围是[31,3]+.。

高中数学必修四第一章数学综合测试卷

高中数学必修四第一章数学综合测试卷（范围：必修4第一章）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列各角中，与角-457°终边相同的是（） A 、457° B 、97° C 、263° D 、-263° 2、把-150°化为弧度，67π化为度数分别是（）A 、-65π，220°B 、-65π，210°C 、56-π，210°D 、56-π，220° 3、已知扇形的周长为12，面积为9，则该扇形圆心角的弧度数为（） A 、6 B 、3 C 、2π D 、2 4、若sin β>0 cos β<0, 则β 是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 5、下列函数中，最小正周期为π的是（）A 、y=cos4xB 、y=tan2xC 、y=sin 21x D 、y=sin2x 6、化简02170sin -1 的结果是（）A 、-cos170°B 、cos170°C 、±cos170°D 、±︱cos170°︳ 7、比较sin1.1, sin1.3, sin1.5的大小 ( ) A 、sin1.1>sin1.3>sin1.5 B 、sin1.1>sin1.5>sin1.3 C 、sin1.5>sin1.3>sin1.1 D 、sin1.3>sin1.1>sin1.58、函数y=21sin2x-2的最大值和最小值分别为a 和b ，则a-b 等于（） A 、-2 B 、-23 C 、1 D 、-49、函数)sin(ϕω+=x y 部分图象如右图，则ω，ϕA. ,44ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D. ,24ωϕππ==10、已知函数f(x)=sin(ωx+43π)(x ∈R, ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cos ωx 的图像，只要将y=f(x)的图像（）A 、向左平移8π个单位B 、向右平移8π个单位D 、向左平移4π个单位 D 、向右平移4π个单位二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．85．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（） A ．6 B ．3 C ．2D ．16．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 7．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减8．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-9．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C10．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B C ．1916D ．3411．已知函数2()[sin()])cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]312．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，现有命题：①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称.其中真命题的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2xy x+=-的最小正周期为π；②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；④若函数()2221sin 41x xy x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.14．已知()tan 1f x a x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．15．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.16．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 17．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.18．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 19．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________.20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．已知函数27()sin cos 2sin 632x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.22．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．23．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心；（2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．24．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 25．已知函数()231cos 2f x x x =-+. （1）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的取值范围；（2）将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 26．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C解析：C 【分析】由图可知，17248g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--，令()0f x =，则12cos 1x x π=-，则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.5．B解析：B 【分析】由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==，则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=．又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．6．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-，则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误；对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误；对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误；对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.7．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.8．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．10．C【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．【详解】由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．11．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos 21()[sin()])cos()2sin(2)2262ωπωωωωω-=+=+=-+x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<. 故选：C. 【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.12．A【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】22111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，所以函数的定义域关于原点对称.又()()()222211()sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-=-，故()f x 为偶函数，故②正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ+=+-=+，故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ-=--=-，故()f x 的图象关于直线2x π=对称，故④正确.令2sin t x =，则(]0,1t ∈且()1f x t t=-，因为1y t t=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据()()f a x f x -=来讨论. 二、填空题13．③④【分析】①化简可得即可求出；②由可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得利用奇函数的性质可得【详解】对①则最小正周期为故①错误；对②若则可能相等故②错误；对③若则即即即即故③解析：③④ 【分析】①，化简可得tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出；②由,a b 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得24sin 141x xy x +=++，利用奇函数的性质可得.【详解】对①，tantan 21tan 24tan 21tan 241tan tan 24xx y x x x πππ++⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭-⋅，则最小正周期为2π，故①错误；对②，若()()f a f b =，则,a b 可能相等，故②错误；对③，若22tan 3tan 2αβ=+，则2222sin 3sin 2cos cos αβαβ=+，即222222sin cos 3cos sin 2cos cos αβαβαβ=+，即22222222sin cos cos cos 3cos sin 3cos cos αβαβαβαβ+=+，即22cos 3cos βα=，即223sin sin 2αβ-=，故③正确；对④，()22221sin 4sin 14141x xx x y x x +++==+++，令()24sin 41x x g x x =++，则()()g x g x -=，故()g x 是奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，()()max min 112M N g x g x ∴+=+++=，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.14．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运解析：3-【分析】令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+，,2x k k Z ππ≠+∈，定义域关于原点对称，且()tan ()g x a x g x -=--=-，所以()g x 为奇函数，则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=，所以(lg lg3)514g -=-=，由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-，所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-，故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：首先要观察出()f x中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.15．【分析】先求出由可求出利用单调性可得结合即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数因为所以因为函数在区间上是单调递增函数所以解得：因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是解析：60,5⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先求出()sin 12g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，利用单调性可得1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，结合0>ω即可求解.【详解】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()sin 12g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为02x π≤≤，所以5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭，因为函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，所以1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：665ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，因为0>ω，所以605ω<≤，故答案为：60,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由x 的范围求出12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，将12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.16．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.17．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意．【详解】1()sin cos cossin sin(1cos 332f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数．故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．18．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单解析：②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.19．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z πϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332t πππ<-≤，即可得解. 【详解】由T π=可得22T πω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++=∈ ⎪⎝⎭，即,3k k Z πϕπ=+∈，又()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,3k k πϕπ=+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===，则()()sin 2f x A x ϕ=+，将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）422,3x k x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣.【分析】（1）化简()f x ，应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（2）应用整体思想，运用正弦函数图像，建立不等式，即可求解. 【详解】()sin cos cos sincoscos sinsin cos 16633f x x x x x x ππππ=-+++-11cos cos cos 1cos 122x x x x x x x =-++-=+-12cos 12sin 126x x x π⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （1）由22,262k x k k Z πππππ-+++∈，解得222,33k x k k Z ππππ-++∈，所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以7+2++2,666k x k k Z πππππ-<<∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈，所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422,3xk x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣. 【点睛】方法点睛：解决正弦型函数的单调性和不等式的相关问题，运用整体思想，先由三角函数恒等变换，化简解析式为同一角同一三角函数的形式，再运用三角函数的性质以及建立三角不等式求解.22．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，又26312fππ⎛⎫+⎪=- ⎪⎪⎝⎭，故5cos2+112πϕ⎛⎫⨯=-⎪⎝⎭，所以526kπϕππ+=+即2,6k k Zπϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x xπ=+.（2）()cos(2)cos266g x x xππ=-+=，故()3()cos(2)3cos26f xg x m x x mπ-⋅-=+--cos2cos sin2sin3cos2cos2666x x x m m xπππ⎛⎫=---=---⎪⎝⎭故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m=-与cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象交点的个数，cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得：当1m-=-31m<-<即1m=或31m-<<时，方程有2个不同的解；当31m-<-≤31m≤<时，方程有4个不同的解；当3322m-<-≤即3322m-≤<时，方程有3个不同的解；【点睛】方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.23．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩， 150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 24．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】（1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π，当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件；当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去，所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈，或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈，函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296，所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.25．（1）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质确定当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的取值范围；（2）根据图象的平移得到()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得()g x 得单调递增区间. 【详解】（1）()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，， π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.∴函数()f x 的取值范围为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.(2)由题意知：()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈，解得πππ2π.36k k k Z -≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，并求函数在区间上的最值，及函数的单调区间，考查学生的运算能力，属于中档题. 26．（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-. 【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线512x π=对称，所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈，因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.。

高中数学数学必修四第一章三角函数单元测试题--经典

中学数学必修四第一章三角函数一、选择题（60分）1.将－300o 化为弧度为（） A ．－43π；B ．－53π；C ．－76π；D ．－74π； 2.假如点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（）Ａ.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3．下列选项中叙述正确的是（）A ．三角形的内角是第一象限角或其次象限角B ．锐角是第一象限的角C ．其次象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（）A ．sin ||y x =B ．2sin y x =C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+ 5已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，假如0,0,||2A πωϕ>><，则（）C.6πϕ=A.4=AB.1ω=6．函数3sin(2)6y x π=+的单调递减区间（）A5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈7．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形8．)2cos()2sin(21++-ππ等于（）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos29．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（） A. 15± B. 55±C. 255±D. 12± 10．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（） A ．2B ．0C ．41D ．611．假如α在第三象限，则2α必定在（）A ．第一或其次象限B ．第一或第三象限C ．第三或第四象限D ．其次或第四象 12．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（）A ．x y 23sin 2=B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=二．填空题（20分）14、已知角α的终边经过点P(3，3)，则与α终边相同的角的集合是______ 13．1tan 、2tan 、3tan 的大小依次是 14．函数()lg 1tan y x =-的定义域是．16．函数sin(2)6y x π=-+的单调递减区间是。

高一数学必修四第一章综合能力检测

第一章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列等式成立的是( ) A ．sin π3＝12 B ．cos 5π6＝－12 C ．sin(－7π6)＝12 D ．tan 2π3＝ 3答案：C解析：sin π3＝32，cos 5π6＝－32，tan 2π3＝－3， sin(－7π6)＝12.2．函数y ＝45sin(2x ＋π3)的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于点(－π6，0)对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B3．如果sin(π＋A )＝－12，那么cos(32π－A )的值是( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案：A解析：由sin(π＋A )＝－12，得sin A ＝12，则cos(32π－A )＝－sin A ＝－12.4．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4 答案：C解析：依图像可知，T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4.将点(1,1)代入y ＝sin(π4x ＋φ)中，得1＝sin(π4＋φ)．∴π4＋φ＝π2，∴φ＝π4.5．设0≤x ≤2π，使sin x ≥12且cos x <22同时成立的x 值是( ) A.π6≤x ≤5π6 B.π6≤x ≤74π C.5π6≤x ≤74πD.π4<x ≤56π答案：D解析：由正弦曲线得sin x ≥12时，x ∈[π6，56π]；由余弦曲线得cos x <22时，x ∈(π4，74π)，∴sin x ≥12且cos x <22时，x ∈(π4，56π]．6．若函数y ＝sin(2x ＋θ)的图像向左平移π6个单位后恰好与y ＝sin2x 的图像重合，则θ的最小正值是( )A.4π3B.π3 C.5π6 D.5π3答案：D解析：将y ＝sin(2x ＋θ)的图像左移π6个单位得y ＝sin[2(x ＋π6)＋θ]＝sin(2x ＋π3＋θ)，故π3＋θ＝2k π，k ∈Z ，因此θ的最小正值为5π3.7. [2011·陕西卷]设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )答案：B解析：由f (－x )＝f (x )得，f (x )为偶函数，所以图像关于y 轴对称．又f (x ＋2)＝f (x )得f (x )的周期为2，故选B.8. 令a ＝sin(π－1)，b ＝sin2，c ＝cos1，则它们的大小顺序是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案：B解析：c ＝sin(π2＋1)，且π>π2＋1>π－1>2>π2，又y ＝sin x 在[π2，π]上是减函数，∴sin(π2＋1)<sin(π－1)<sin2，即c <a <b .9．已知f (x )＝cos2x －1，g (x )＝f (x ＋m )＋n ，则使g (x )为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( )A ．m ＝π2，n ＝－1 B ．m ＝π2，n ＝1 C ．m ＝－π4，n ＝－1 D ．m ＝－π4，n ＝1答案：D解析：显然n ＝1， ∴g (x )＝cos(2x ＋2m )．∵g (x )为奇函数，∴cos2m ＝0，∴2m ＝k π＋π2. 经检验D 符合条件．10．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个单调区间是[π3，5π6]，则φ的一个值是( )A ．－π6 B.π6 C ．－π2 D.π2答案：A解析：排除法，若φ＝±π2，f (x )＝±cos2x 不合题意，若φ＝π6，也不适合题意，故选A.11．下列命题正确的个数是( ) ①函数y ＝sin|x |不是周期函数； ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； ③函数y ＝|cos 2x ＋12|的周期是π2； ④函数y ＝sin(5π2＋x )是偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：B解析：用排除法将错误说法淘汰．对于①，从其图像可以说明其不是周期函数；对于②，∵0<π，而tan0＝tanπ，∴y ＝tan x 在定义域内不是增函数；对于③，y ＝|cos2(x ＋π2)＋12|＝|12－cos2x |≠|cos2x ＋12|，因此π2不是y ＝|cos2x ＋12|的周期；对于④，f (x )＝sin(5π2＋x )＝sin(2π＋π2＋x )＝cos x ，显然是偶函数．12. [2011·辽宁卷]已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝( )A. 2＋ 3B. 3C. 33D. 2－ 3答案：B解析：由图像可知：T 2＝3π8－π8＝π4，即T ＝π2. 所以ω＝2.由图像知，图像过点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即34π＋φ＝k π(k ∈Z )．所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，再由图像过点(0,1)，所以A ＝1，则f (x )＝tan(2x ＋π4)，故f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝sin(π6－2x )的单调递减区间是________．答案：[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z解析：∵y ＝sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6)，∴令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .14．y ＝lg(cos x －sin x )的定义域是________．答案：(2k π－34π，2kx ＋π4)(k ∈Z )解析：由cos x －sin x >0知，cos x >sin x ，由单位圆知2k π－34π<x <2k π＋π4.15．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (|φ|<π2)在一个周期内的图像，那么这个函数的一个解析式是______．答案：y ＝3sin(2x ＋π3)－1解析：由图可知A ＝3，k ＝－1，ω＝2，且当x ＝－π6时，sin(2x ＋φ)＝0，又|φ|<π2，故φ＝π3.16．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值是________．答案：32解析：函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ωx 的取值范围是[－ωπ3，ωπ4]，∴－ωπ3≤－π2，或ωπ4≥3π2， ∴ω≥32，即ω的最小值等于32.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)设tan(α＋8π7)＝a ，求sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)的值．解：原式＝sin (π＋8π7＋α)＋3cos (α＋8π7－3π)sin (4π－8π7－α)－cos (α＋8π7＋2π) ＝－sin (8π7＋α)－3cos (α＋8π7)－sin (8π7＋α)－cos (α＋8π7) ＝tan (8π7＋α)＋3tan (8π7＋α)＋1＝a ＋3a ＋1.18. (本小题满分12分)[2011·浙江卷]已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．求f (x )的最小正周期及φ的值．解：(1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图像上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图像上得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－116π. 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]，∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．20．(本小题满分12分)[2011·福建卷]已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2. (2)由(1)知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3. 因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1，又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若sin α＋f (α)＝23，求2sin 2(3π－α)tan (3π＋α)的值．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，即2sin ωx cos φ＝0恒成立，∴cos φ＝0，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.又其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2，设其最小正周期为T ，则T2＝4＋π2－22＝π.∴T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝cos x . (2)∵原式＝2sin 2αtan α＝2sin αcos α，又sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59，即原式＝－59.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋2. (1)用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的简图；(2)求函数f (x )的周期、最大值、最小值及当函数取最大值和最小值时相应的x 值的集合；(3)求函数f (x )的单调递增区间；(4)说明函数f (x )的图像可以由y ＝sin x (x ∈R )的图像经过怎样的变换而得到．解：(1)列表：函数图像如下图：(2)周期T ＝π，f (x )max ＝2＋2，此时x ∈{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }． f (x )min ＝2－2，此时x ∈{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }． (3)函数f (x )的单调递增区间为：[k π－38π，k π＋π8](k ∈Z )． (4)先将y ＝sin x (x ∈R )的图像向左平移π4个单位长度，然后将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像上各点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，最后将所得图像向上平移2个单位长度，就可得到f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋2的图像．。