独立随机变量的中心极限定理
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p
∃ m> v .
S ∃m, n ∃ m, n
+
n∃ m + vn
∃ m, n vn
vn
S ∃m, n ∃ m, n
. ( 4)
由文献[ 2] 中的定理 2 可得出 lim sup p | S ∃m, n / n
( 2)
S ∃m, n ∃ m, n
2) = Xm , n= Z ( . 从而推出 : m , n 的分布函数对每一个 m 收敛于 %
引理 2: 设 Wn , X m, n , Y m, n , Z m , n 是随机变量 , 其中 m, n = 1, 2, !; j = 1, !k . 如果
) ( j) Wn = X m , n + j = ∃1 Y(j m, nZ m , n
k
(j)
(j )
并且 : 1) 对任意 ∀ > 0 有m lim lim sup P | Y m, n | > ∀ = 0, j = 1, !, k ; #∀ n
1, 2,
!表示一列均值为 0、 方差为 1 的独立同分布的随机变量序列, 设 v 1, v 2 , !为正整数值随机
1+ 2+
变量序列 , 令 S n =
!+
n,
并且 ( )=
- ∀
1 e 2!
x 2 dx
2
文献 [ 1] 中证明了 , 假如 v n / n 依概率收敛于某个正整数, 则 : P Svn vn # ( ) ( 1)
m
v} max - m | S i - Sl | - | Sj - S l | n∃ m > ∀
v< k , 2m
|
|
i - v| < 2 n
i - m - ∃ |< 2 n m
limmsupk = ∃m lim nsup2p 其中 l = n ( k - 3 ) 2
m2
m - m
max
< r < ( k + 3) 2
第 21 卷 第 7 期 Vol. 21 No. 7 数理化科学
重 庆 工 学 院 学 报( 自然科学版)
Journal of Chongqing Institute of Technology( Natural Science Edition)
2007 年 7 月 Jul. 2007
独立随机变量的中心极限定理
k
} - F( ) | < ∀ , b= # . 对任意的 m, n, # > 0 有:
k
( 2)
) ( j) 成立 . 设在引理中的 X = Wn , Y= - j = ∃1 Y(j m , nZ m , n , a =
Fra Baidu bibliotek
| P { Wn
} - F( ) |
max | P { Xm , n i= % 1
i - m | - v| < 2 n i - m | - ∃ |< 2 n
m
( 5)
> ∀ > ∀ , 2m
∃ v m, n - v < 2- m , - ∃ m< 2 n n ∃ m, n - ∃ m n
m
+
m
+ lim msup lim nsup p
2-
max
S i - Sj > ∀ n∃ m
88 limmsup lim nsupk = ∃mp
n( k - 3) 2
- m
∀ k- 1 | S r - S t | > 2 nk m 2m 2
v<
k- 1 k m p 2m 2
v<
k 2m
- m
0. ∀ nk 2 2m
m2
m
由 Kolmogorov 不等式得: p max - m | Sr- St | > - m 4( 6n 2- m + 1) 2m 24 n + 2 m+ = 2 2 ∀ nk ∀ nk v< k 2m
k
+ i# } - F ( + i# )| + ( 3)
# } kM
取 # > 0, 使 # 满足 : & + # , - # 为 F 的连续点. ∀ . 4 由条件 ∋ 可选择充分大的 m, 则: ∋ max | F( ) - F ( + i# )| < i= % 1
(j ) ∀ ( lim sup lim sup P | Z m , n | > M < 4 k , j = 1, !, k. m n 由条件 & 和 ( 可得, 当 m 充分大的时候, 则 : (j ) ∀ ) lim sup P | Z m , n | > M < , j = 1, !, k. n 4k (j) # ∀ ∗ lim sup P | Y m, n | > kM < 4 k , j = 1, !, k . n 由条件 & 和条件 ( ~ ∗ 可得, 存在某一个特定的点 n 0 , 当 n
k
n
i= % 1
n 0 时式 ( 2) 成立 . 引理 2 证毕. , !,
m
n
所确定的一个随机事件 . A 为
董 任一个随机事件 , 则有:
晴: 独立随机变量的中心极限定理
87
l im sup p ( A n | A ) = lim supp ( A n ) 若 p ( A n ) = 0, 就说 p ( A n | A ) = p ( A n ) . 证明 : 对固定的 n 0 和足够大的 n, 有 p ( A n 0 | A n ) - p ( A n0 ) p ( A n ) . 令 f n = I n - p ( A n ) . 这里 I n 是 An 的 集合特征函数, 显然可得 :
n0 时, 则:
∀ + i# } - F( + i#) | < 4 ; ) ∀ , j = 1, 2, !, k; , g ) p { | Z (j m, n | > M} < 4k j) ∀ , j = 1, 2, !, k ; − h ) p { | Y( m , n| > M } < 4k 将条件 ∋ 和条件 + ~ −同时代入式 ( 3) 可得出 : 存在 n 0 , 当 n + f ) max p { X m, n 引理 3: 令 { k n } 和 { mn } 为 2 个趋于无穷大的序列 , 且 A n 是由
k
) ( j) + i#} - F ( ) | + P{ | j = ∃1 Y(j m , nZ m , n | > #}
max { F( + i#) - F( ) | + max | P { Xm , n i= % 1 i= % 1
) (j) ∃ P { | Z (j m, n | > M} + ∃ P{ | Y m, n | > j= 1 j= 1
Central Limit Theorems of Independent Random Variables
DONG Qing
( Normal School of Science, Beihua University, Jilin 132013, China)
Abstract: Central limit theorem indicates that some random variables do not obey normal distribution, but their summation approximately abides by normal distribution. Central Limit Theorems of Sequence are proved with the three lemmas. Key words: Kolmogorov inequality; Independent Random Variable; central limit theorem; distribution function 令
86 量.
重庆工学院学报
本文中将利用 3 个引理证明猜想定理内容 a + b) + P ( | Y | > b ) 该结论显然正确 , 证明略 .
[ 3- 6]
. a - b) - P ( | Y| > b ) P(X a) P(X + Y
引理 1: 如果 X , Y 是随机变量 , 且 b 0 , 则: P ( X + Y
∃ m , n | > M = 1- % ( M ) + %( - M)
因此 { Z m , n } 符合引理 2 的条件 2) . 同时 , 当 m 2m v 时, 有: vn = vn Svn - S ∃m, n n∃ m ∃ m vn 1 1+ m - 1
∃ m, n lim n# ∀
- 1
2) ( 1) 由此可知 { Y(m, n } 符 合引 理 2 的 条 件 1 ) . 易 证 { Z m, n } 符 合 条 件引 理 2 的 条件 2 ) . 如果 能 证 明
m2
m
重庆工学院学报 k- 1 m 2 k m, 2 Si - S j n∃ m > ∀+
v<
i - m | - v| < 2 n i - m | - ∃ |< 2 n m
max
1/ m limmsup lim nsup{ v < m 2m
m2 limmsup lim nsupk = ∃mp k -m 1 2
(j ) 2) m lim lim sup lim sup P | Z m , n | > M = 0, j = 1, !, k ; #∀ m n (j )
3) 对每一个固定取值的 m, { X m, n } 的分布收敛于一个分布函数 F, 则{ Wn } 的分布函数收敛于 F. 证明 : 令 为 F 的任意一个连续点 , 任取 ∀ > 0, 则存在一个足够大的 n, 使 | P { Wn
m2
2
n ( k - 3) 2
< r< n( k + 3) 2
引理 3 的应用表明 , 在 lim msupk = ∃m
( 1)
48 k- 1 2 p 2m ∀ m
m
limmsupk = ∃m
48 2 = 0 时式( 5) 是有界的 , ∀ m
即式 ( 5) 等于 0, 也就是{ Y m, n } 符合引理 2 的条件 1) , 定理证毕. 中心极限定理对于独立随机变量的随机指标是有重要意义的. 本文中给出了独立随机变量的中心极 限定理的证明, 对于这一类随机变量的求解具有重要的意义 .
文献 [ 2] 中证明了 , 假如 v n / n 依概率收敛于某一正的离散随机变量, 则式 ( 1) 成立 . 猜想定理: 如果 vn / n 依概率收敛于某一正随机变量 v , 则式 ( 1) 成立, 其中 v 不一定是离散型随机变
收稿日期 : 2007- 04- 21 作者简介 : 董晴 ( 1981- ) , 女 , 黑龙江人 , 硕士研究 生 , 主要从事基础数学研究 .
1) ( 1) ( 2) ( 2) = X m, n + Y( m , nZ m, n + Ym , nZ m, n .
k k- 1 m, 当 2 2m
v
k 时, ∃ m , n = v n + [ n( ∃ m- v ) ] , 这里用 [ x ] 代表小于等于 x 2m 1 ; ∃ m, n | n 2m S vn - S ∃m, n n∃ m
满足条件引理 2 的条件 1) , 则引理 2 就可被用于式( 4) 中, 且完成定理的证明. Sv n - S ∃m, n n∃ m > ∀
limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p Svn - S ∃m, n n∃ m Svn - S ∃m, n n∃ m v - v n
董 晴
132013)
( 北华大学 师范理学院 , 吉林 吉林
摘要 : 中心极限定理表明 , 某些原来并不服从正 态分布 的独立 随机变 量 , 其 总和却 渐近地 服从正 态分布 . 运用 3 个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理 . 关 键 词 : Kolmogorov 不等 ; 独立随机变 量 ; 中心极限定理 ; 分布函数 文献标识码 : A 文章编号 : 1671- 0924( 2007) 07- 0085- 04 中图分 类号 : O211
n# ∀
lim p ( A | A n ) - p ( A ) p ( A n ) = 0
假如 p ( An ) > 0, 则 p ( A n | A ) - p ( A n ) # 0, 即 lim supp ( A n | A ) = lim supp ( A n ) 如果 p ( A ) = 0, 引理显 然成立. 猜想定理证明: 令 ∃ m= 的最大整数. 注意 : 对每一个 m, ∃ m 都是离散的; 0< ∃ m- v 记: S vn vn
∃ m> v .
S ∃m, n ∃ m, n
+
n∃ m + vn
∃ m, n vn
vn
S ∃m, n ∃ m, n
. ( 4)
由文献[ 2] 中的定理 2 可得出 lim sup p | S ∃m, n / n
( 2)
S ∃m, n ∃ m, n
2) = Xm , n= Z ( . 从而推出 : m , n 的分布函数对每一个 m 收敛于 %
引理 2: 设 Wn , X m, n , Y m, n , Z m , n 是随机变量 , 其中 m, n = 1, 2, !; j = 1, !k . 如果
) ( j) Wn = X m , n + j = ∃1 Y(j m, nZ m , n
k
(j)
(j )
并且 : 1) 对任意 ∀ > 0 有m lim lim sup P | Y m, n | > ∀ = 0, j = 1, !, k ; #∀ n
1, 2,
!表示一列均值为 0、 方差为 1 的独立同分布的随机变量序列, 设 v 1, v 2 , !为正整数值随机
1+ 2+
变量序列 , 令 S n =
!+
n,
并且 ( )=
- ∀
1 e 2!
x 2 dx
2
文献 [ 1] 中证明了 , 假如 v n / n 依概率收敛于某个正整数, 则 : P Svn vn # ( ) ( 1)
m
v} max - m | S i - Sl | - | Sj - S l | n∃ m > ∀
v< k , 2m
|
|
i - v| < 2 n
i - m - ∃ |< 2 n m
limmsupk = ∃m lim nsup2p 其中 l = n ( k - 3 ) 2
m2
m - m
max
< r < ( k + 3) 2
第 21 卷 第 7 期 Vol. 21 No. 7 数理化科学
重 庆 工 学 院 学 报( 自然科学版)
Journal of Chongqing Institute of Technology( Natural Science Edition)
2007 年 7 月 Jul. 2007
独立随机变量的中心极限定理
k
} - F( ) | < ∀ , b= # . 对任意的 m, n, # > 0 有:
k
( 2)
) ( j) 成立 . 设在引理中的 X = Wn , Y= - j = ∃1 Y(j m , nZ m , n , a =
Fra Baidu bibliotek
| P { Wn
} - F( ) |
max | P { Xm , n i= % 1
i - m | - v| < 2 n i - m | - ∃ |< 2 n
m
( 5)
> ∀ > ∀ , 2m
∃ v m, n - v < 2- m , - ∃ m< 2 n n ∃ m, n - ∃ m n
m
+
m
+ lim msup lim nsup p
2-
max
S i - Sj > ∀ n∃ m
88 limmsup lim nsupk = ∃mp
n( k - 3) 2
- m
∀ k- 1 | S r - S t | > 2 nk m 2m 2
v<
k- 1 k m p 2m 2
v<
k 2m
- m
0. ∀ nk 2 2m
m2
m
由 Kolmogorov 不等式得: p max - m | Sr- St | > - m 4( 6n 2- m + 1) 2m 24 n + 2 m+ = 2 2 ∀ nk ∀ nk v< k 2m
k
+ i# } - F ( + i# )| + ( 3)
# } kM
取 # > 0, 使 # 满足 : & + # , - # 为 F 的连续点. ∀ . 4 由条件 ∋ 可选择充分大的 m, 则: ∋ max | F( ) - F ( + i# )| < i= % 1
(j ) ∀ ( lim sup lim sup P | Z m , n | > M < 4 k , j = 1, !, k. m n 由条件 & 和 ( 可得, 当 m 充分大的时候, 则 : (j ) ∀ ) lim sup P | Z m , n | > M < , j = 1, !, k. n 4k (j) # ∀ ∗ lim sup P | Y m, n | > kM < 4 k , j = 1, !, k . n 由条件 & 和条件 ( ~ ∗ 可得, 存在某一个特定的点 n 0 , 当 n
k
n
i= % 1
n 0 时式 ( 2) 成立 . 引理 2 证毕. , !,
m
n
所确定的一个随机事件 . A 为
董 任一个随机事件 , 则有:
晴: 独立随机变量的中心极限定理
87
l im sup p ( A n | A ) = lim supp ( A n ) 若 p ( A n ) = 0, 就说 p ( A n | A ) = p ( A n ) . 证明 : 对固定的 n 0 和足够大的 n, 有 p ( A n 0 | A n ) - p ( A n0 ) p ( A n ) . 令 f n = I n - p ( A n ) . 这里 I n 是 An 的 集合特征函数, 显然可得 :
n0 时, 则:
∀ + i# } - F( + i#) | < 4 ; ) ∀ , j = 1, 2, !, k; , g ) p { | Z (j m, n | > M} < 4k j) ∀ , j = 1, 2, !, k ; − h ) p { | Y( m , n| > M } < 4k 将条件 ∋ 和条件 + ~ −同时代入式 ( 3) 可得出 : 存在 n 0 , 当 n + f ) max p { X m, n 引理 3: 令 { k n } 和 { mn } 为 2 个趋于无穷大的序列 , 且 A n 是由
k
) ( j) + i#} - F ( ) | + P{ | j = ∃1 Y(j m , nZ m , n | > #}
max { F( + i#) - F( ) | + max | P { Xm , n i= % 1 i= % 1
) (j) ∃ P { | Z (j m, n | > M} + ∃ P{ | Y m, n | > j= 1 j= 1
Central Limit Theorems of Independent Random Variables
DONG Qing
( Normal School of Science, Beihua University, Jilin 132013, China)
Abstract: Central limit theorem indicates that some random variables do not obey normal distribution, but their summation approximately abides by normal distribution. Central Limit Theorems of Sequence are proved with the three lemmas. Key words: Kolmogorov inequality; Independent Random Variable; central limit theorem; distribution function 令
86 量.
重庆工学院学报
本文中将利用 3 个引理证明猜想定理内容 a + b) + P ( | Y | > b ) 该结论显然正确 , 证明略 .
[ 3- 6]
. a - b) - P ( | Y| > b ) P(X a) P(X + Y
引理 1: 如果 X , Y 是随机变量 , 且 b 0 , 则: P ( X + Y
∃ m , n | > M = 1- % ( M ) + %( - M)
因此 { Z m , n } 符合引理 2 的条件 2) . 同时 , 当 m 2m v 时, 有: vn = vn Svn - S ∃m, n n∃ m ∃ m vn 1 1+ m - 1
∃ m, n lim n# ∀
- 1
2) ( 1) 由此可知 { Y(m, n } 符 合引 理 2 的 条 件 1 ) . 易 证 { Z m, n } 符 合 条 件引 理 2 的 条件 2 ) . 如果 能 证 明
m2
m
重庆工学院学报 k- 1 m 2 k m, 2 Si - S j n∃ m > ∀+
v<
i - m | - v| < 2 n i - m | - ∃ |< 2 n m
max
1/ m limmsup lim nsup{ v < m 2m
m2 limmsup lim nsupk = ∃mp k -m 1 2
(j ) 2) m lim lim sup lim sup P | Z m , n | > M = 0, j = 1, !, k ; #∀ m n (j )
3) 对每一个固定取值的 m, { X m, n } 的分布收敛于一个分布函数 F, 则{ Wn } 的分布函数收敛于 F. 证明 : 令 为 F 的任意一个连续点 , 任取 ∀ > 0, 则存在一个足够大的 n, 使 | P { Wn
m2
2
n ( k - 3) 2
< r< n( k + 3) 2
引理 3 的应用表明 , 在 lim msupk = ∃m
( 1)
48 k- 1 2 p 2m ∀ m
m
limmsupk = ∃m
48 2 = 0 时式( 5) 是有界的 , ∀ m
即式 ( 5) 等于 0, 也就是{ Y m, n } 符合引理 2 的条件 1) , 定理证毕. 中心极限定理对于独立随机变量的随机指标是有重要意义的. 本文中给出了独立随机变量的中心极 限定理的证明, 对于这一类随机变量的求解具有重要的意义 .
文献 [ 2] 中证明了 , 假如 v n / n 依概率收敛于某一正的离散随机变量, 则式 ( 1) 成立 . 猜想定理: 如果 vn / n 依概率收敛于某一正随机变量 v , 则式 ( 1) 成立, 其中 v 不一定是离散型随机变
收稿日期 : 2007- 04- 21 作者简介 : 董晴 ( 1981- ) , 女 , 黑龙江人 , 硕士研究 生 , 主要从事基础数学研究 .
1) ( 1) ( 2) ( 2) = X m, n + Y( m , nZ m, n + Ym , nZ m, n .
k k- 1 m, 当 2 2m
v
k 时, ∃ m , n = v n + [ n( ∃ m- v ) ] , 这里用 [ x ] 代表小于等于 x 2m 1 ; ∃ m, n | n 2m S vn - S ∃m, n n∃ m
满足条件引理 2 的条件 1) , 则引理 2 就可被用于式( 4) 中, 且完成定理的证明. Sv n - S ∃m, n n∃ m > ∀
limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p limmsup lim nsup p Svn - S ∃m, n n∃ m Svn - S ∃m, n n∃ m v - v n
董 晴
132013)
( 北华大学 师范理学院 , 吉林 吉林
摘要 : 中心极限定理表明 , 某些原来并不服从正 态分布 的独立 随机变 量 , 其 总和却 渐近地 服从正 态分布 . 运用 3 个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理 . 关 键 词 : Kolmogorov 不等 ; 独立随机变 量 ; 中心极限定理 ; 分布函数 文献标识码 : A 文章编号 : 1671- 0924( 2007) 07- 0085- 04 中图分 类号 : O211
n# ∀
lim p ( A | A n ) - p ( A ) p ( A n ) = 0
假如 p ( An ) > 0, 则 p ( A n | A ) - p ( A n ) # 0, 即 lim supp ( A n | A ) = lim supp ( A n ) 如果 p ( A ) = 0, 引理显 然成立. 猜想定理证明: 令 ∃ m= 的最大整数. 注意 : 对每一个 m, ∃ m 都是离散的; 0< ∃ m- v 记: S vn vn