弯曲应力及强计算

140 2102 6

1.03 106 mm 3
Mmax
max WZ
4 106
1.03 106
3.88MPa
＜

ql2/8
所以该梁强度足够
例3：一矩形截面简支梁长 L=8 m ,跨中作用集中荷载 P = 360kN ，已知
其矩形横截面的高宽比 h : b = 3 : 2 ，材料有许用应力[σ] = 240 MPa ，
中性轴
正应力沿截面高度呈线性分布，
中性轴上为零，其最大值发生
在截面的上下边缘处。
横力弯曲正应力
横力弯曲时的正应力，用纯弯曲正应力公式计算 不会引起很大的误差，能够满足工程问题所需的 精度。
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max

Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
试确定该截面的h、b的值。
P
解： 由M图知
M max

M中

Pl 4
360 8 720kN.m 4
h : b 3 : 2 b 2h 3
bh2 h3 W
69
l2
l2
h b
Pl 4
h
3
9 M max

9 720106
3
300(mm)
240

对于直径为d的圆形截面
WZ

IZ ymax
d 4 64 d 3 d 2 32
一、梁的正应力强度条件：

M
max
max
W
Z
二、梁的正应力强度计算
1、强度校核
若已知梁的截面形状和尺寸，材料及作用的荷载，可进行 强度校核 2、选择截面
若已知材料和荷载，可先算出W值，再确定截面的尺寸
三、剪力图和弯矩图的绘制 1.内力方程法作Q、M图；
依据： Q P左 M M C左
2.微分法作Q、M图；
q、Q图 、M 图的变化规律： 上、上、上；下、下、下。
3.叠加法作M图。
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成： 40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
z
横截面
（1）中性层是对整个截面而言的，中性轴是对某 个截面而言的。
（2）中性轴通过横截面的形心，是截面的 形心主惯性轴。
三、 弯曲正应力公式
My z
I z
M
M
中性轴
z
m
n
y
o

o
dA
z
mn
y
dx
MZ: 横截面上的弯矩

y: 所求应力点到中性轴的距离 M
M
IZ: 截面对中性轴的惯性矩
上式表面:弯曲横截面上的
200
P 25kN
A
C
1m 3m
q 12kN m
30
B
D
170
2m
24
B截面
61
z
139
30
12.75
C截面
kNm
B max

M B y1 IZ

24 103 61103 403 107

36.3MPa
B max

M B y2 IZ

24 103 139 103 403 107
② 剪力Q
剪应力分布相关
横截面
QM
一、纯弯曲梁的概念
P a
A
C
Q P
M
Pa
梁的横截面上M≠0，Q ≠ 0 梁的横截面上M≠0，Q = 0
P a
D
Bx
x P
x
横力弯曲 纯弯曲
二、 弯曲正应力公式的推导 梁横截面上的弯矩
直接导出弯曲正应力
推导纯弯曲梁的 横截面上正应力
变形的几何关系 物理关系 静力关系
3、计算允许荷载
若已知材料和截面形状及尺寸，可先算出M值，再确定P值
例1.试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最 大正应力，并加以比较。
200
100
q 2kN m 4m
qL2 8
200
100
竖放
qL2
max

M max WZ

8 bh 2
6MPa
横放
6
qL2
max

M max WZ
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
最大剪应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处 的正应力为零
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处 的切应力为零
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
危险部位极值应力的大小和方向
第四节 纯弯曲梁横截面上的正应力
梁的横截面上的应力形式
梁的横截面上的弯曲内力----剪力Q和弯矩M
① 弯矩M
正应力分布相关
* 梁的正应力强度计算
max

M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
max

Mmax IZ
ymax
Mmax
max WZ
0 M 0
令WZ

IZ ymax
称为抗弯截面模量
对于高为h、宽为b的矩形截面
WZ

IZ ymax
bh3 12 bh2


h2 6
梁的变形现象
1) 横向线mm，nn仍保持为直线，不过各线已互 相倾斜，但仍与纵向线垂直。
2) 纵向线aa，bb弯曲成弧线。靠近梁顶部凹面 的纵向线缩短，而靠近底部凸面的纵向线伸 长。纵向线间距离保持不变。
变形的基本假定
m
m
n
n
I. 平面假定
II. 单向受力假定
中性层和中性轴
对称轴 y
中性轴
中性层

M max W

M max h3


9
取 h=300mm 则：b=200mm
小结：
一、 弯曲正应力公式
M0
My

z
I
z
0
二、梁的正应力强度条件：

M
max
max
Wwk.baidu.com
Z
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=403×10-7m4，铸铁抗拉强度［σ+］=50MPa，抗压强度 ［σ-］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。

82.8MPa
C max

MC y2 IZ
12.75103 139103 403 107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力


QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
8 hb 2
12MPa
6
【例2】一矩形截面的简支梁，梁上作用有均布荷载，已
知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木
材的容许正应力 10MPa ，试校核该梁的强度。
解：作梁的弯矩图
q
h
M max

ql 2 8

2 42 8

4kN.m
l
b
WZ

bh 2 6