随机过程及其平稳性
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性不受时间原点改变的影响，则称该随 机过程是“严平稳”的。 若一个随机过程是“严平稳”的,且存在一、 二阶矩，则 (1)在任一时点的均值和方差都是常数。 (2)协方差与时间的起点无关，仅与时间间 隔有关。
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2、弱平稳
• 若一个随机过程满足下列三个条件
(1)E(Yt ) (为常数，与t无关); (2)Var(Yt ) 2 ( 2为常数，与t无关); (3)Cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] K 则称为“弱平稳 ”的或 “协方差平稳”的。
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
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序列d3y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D3Y
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2、自相关图检验
• 先复习随机变量的数字特征: • 一元随机变量X的数字特征: • 数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随
集合时，随机序列也成为时间序列。
1
（二）随机过程的分布特征
1、有限维分布函数族
X (t),t T , X (t1), , X (tn )的联联合分布函数
Ft1, tn (x1, xn ) P{X (t1) x1, , X (tn ) xn}
联合分布函数能完整描述随机过随机过程 性，但使用不方便。
机变量取值的平均水平。 • 方差Var(x),描述X的离散程度，是衡量随
机变量取值发散程度的指标。 • 两个或多个随机变量的关系也可以通过数
字特征加以描述。
23
两个或多个随机变量的数字特征:
协方差和相关系数
• 协方差 设随机变量 1和 2的均值和方差都存在，则
Cov(1,2) E[(1 E(1))(2 E(2))]
• (1)彼此相互独立，
• (2)具有相同的分布，
• 则称该随机过程为一个独立同分布过程 或独立同分布序列。
独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平 稳的。
正态白噪声序列
独立同分布序列
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3、随机游走和单位根过程
若随机过随{Yt ,t 0,1,2, }满足： Yt Yt1 t
其中t是白噪声序列，那 么该随机 过程为一个随机游走过程。
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
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非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
13
趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
2
2、均值和方差函数
• (1)均值函数
m(t) E( X (t)) xdFt (x)
• (2)协方差和方差函数
R(s,t) E[(X (s) m(s))(X (t) m(t))] R(t,t) E(X (t) m(t))2
3
二、随机过程的平稳性
（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特
1、白噪声过程 若 {t ,t (, )}满足 : (1)E(t ) 0, (2)Var(t ) 2 (3)Cov(t ,ts ) 0, 则称这个随机过程是一个白 噪声过声过程或白噪声。
白噪声序列是平稳序列，它是构成各种平稳和非 平稳时间序列的基础。
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2、独立同分布过程
• 若一个随机过程在各时点满足
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序列dy的图形
1400 1200 1000
800 600 400 200
0 -200
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 DY
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Βιβλιοθήκη Baidu
序列d2y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D2Y
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在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
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序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
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单位根过程
• 若随机过程满足：
Yt Yt1 t
或
Yt t
其中为常数， t 是白噪声序列，
则称该随机过程为一个单位根过程。
• 随机游走过程是非平稳过程。
• 单位根过程是非平稳过程。
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（三）平稳性的检验
1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)
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1、图形判断
平稳时间序列图形
5
3、计量经济分析与时间序列平稳性
• 时间序列的平稳性是一个非常重要的特征， 它保证了随机过程基本上没有结构变动， 而结构变动将使预测遇到困难或不可能。
• 计量经济的时间序列分析模型进行分析和 预测的基础是时间序列具有平稳性。
• 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。
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（二）平稳和非平稳随机过程的 例子
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）
• 启动Eviews进入主窗口EViews。
• 点击File→New/Workfile,进入工作文件定义 对话框Workfile Create.
• 在工作文件定义对话框中，对工作文件结 构类型项Workfile structure type可选择时间 序列（Dated-regular frequency);在日期框 （Date specification)中，日期频率 （Frequency)选择年度（Annual),并在下面 输入起止年份，输入工作文件名，同时给
称为1 和 2 的“协方差”（Covariance）。
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• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
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2、弱平稳
• 若一个随机过程满足下列三个条件
(1)E(Yt ) (为常数，与t无关); (2)Var(Yt ) 2 ( 2为常数，与t无关); (3)Cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] K 则称为“弱平稳 ”的或 “协方差平稳”的。
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
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序列d3y的图形
1500 1000
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-500 -1000 -1500 -2000 -2500
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2、自相关图检验
• 先复习随机变量的数字特征: • 一元随机变量X的数字特征: • 数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随
集合时，随机序列也成为时间序列。
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（二）随机过程的分布特征
1、有限维分布函数族
X (t),t T , X (t1), , X (tn )的联联合分布函数
Ft1, tn (x1, xn ) P{X (t1) x1, , X (tn ) xn}
联合分布函数能完整描述随机过随机过程 性，但使用不方便。
机变量取值的平均水平。 • 方差Var(x),描述X的离散程度，是衡量随
机变量取值发散程度的指标。 • 两个或多个随机变量的关系也可以通过数
字特征加以描述。
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两个或多个随机变量的数字特征:
协方差和相关系数
• 协方差 设随机变量 1和 2的均值和方差都存在，则
Cov(1,2) E[(1 E(1))(2 E(2))]
• (1)彼此相互独立，
• (2)具有相同的分布，
• 则称该随机过程为一个独立同分布过程 或独立同分布序列。
独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平 稳的。
正态白噪声序列
独立同分布序列
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3、随机游走和单位根过程
若随机过随{Yt ,t 0,1,2, }满足： Yt Yt1 t
其中t是白噪声序列，那 么该随机 过程为一个随机游走过程。
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非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
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3000 GER
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趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
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2、均值和方差函数
• (1)均值函数
m(t) E( X (t)) xdFt (x)
• (2)协方差和方差函数
R(s,t) E[(X (s) m(s))(X (t) m(t))] R(t,t) E(X (t) m(t))2
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二、随机过程的平稳性
（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特
1、白噪声过程 若 {t ,t (, )}满足 : (1)E(t ) 0, (2)Var(t ) 2 (3)Cov(t ,ts ) 0, 则称这个随机过程是一个白 噪声过声过程或白噪声。
白噪声序列是平稳序列，它是构成各种平稳和非 平稳时间序列的基础。
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2、独立同分布过程
• 若一个随机过程在各时点满足
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序列dy的图形
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Βιβλιοθήκη Baidu
序列d2y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D2Y
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在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
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序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
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单位根过程
• 若随机过程满足：
Yt Yt1 t
或
Yt t
其中为常数， t 是白噪声序列，
则称该随机过程为一个单位根过程。
• 随机游走过程是非平稳过程。
• 单位根过程是非平稳过程。
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（三）平稳性的检验
1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)
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1、图形判断
平稳时间序列图形
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3、计量经济分析与时间序列平稳性
• 时间序列的平稳性是一个非常重要的特征， 它保证了随机过程基本上没有结构变动， 而结构变动将使预测遇到困难或不可能。
• 计量经济的时间序列分析模型进行分析和 预测的基础是时间序列具有平稳性。
• 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。
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（二）平稳和非平稳随机过程的 例子
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）
• 启动Eviews进入主窗口EViews。
• 点击File→New/Workfile,进入工作文件定义 对话框Workfile Create.
• 在工作文件定义对话框中，对工作文件结 构类型项Workfile structure type可选择时间 序列（Dated-regular frequency);在日期框 （Date specification)中，日期频率 （Frequency)选择年度（Annual),并在下面 输入起止年份，输入工作文件名，同时给
称为1 和 2 的“协方差”（Covariance）。
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• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
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E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )