随机过程及其平稳性
随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
首页
返回
第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性随机过程的分析包括对其平稳性和马尔可夫性的研究。
平稳性指的是随机过程在时间平移下的统计特性保持不变，而马尔可夫性则描述了随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
本文将介绍随机过程的平稳性和马尔可夫性，并通过几个具体的例子来说明这两个概念的应用。
一、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指在时间平移下，该过程的统计特性保持不变。
可分为弱平稳性和强平稳性。
1. 弱平稳性弱平稳性是指随机过程的一阶和二阶矩保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t，随机变量 X(t) 的均值和自协方差只与时间差有关，而与具体的时刻 t 无关。
例如，考虑一个简单的离散时间随机过程 {X(t)}，每个时刻的取值服从独立同分布，且具有相同的均值和方差。
如果这个过程的均值和方差对于任意的时刻 t 和 s，都满足 E[X(t)] = E[X(s)] 和 Cov(X(t),X(t+h)) = Cov(X(s), X(s+h))，其中 h 为时间差，则称该随机过程具有弱平稳性。
2. 强平稳性强平稳性是指对于任意的正整数 n，随机过程的前 n 阶矩都保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，X(t) 和 X(t+n) 的联合概率分布与 X(s) 和 X(s+n) 的联合概率分布相同，其中 s 为任意时刻。
例如，考虑一个连续时间随机过程 {X(t)}，其概率密度函数为 f(x,t)。
如果对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，联合概率密度函数 f(x_1,x_2, ..., x_n, t) 与 f(x_1, x_2, ..., x_n, s) 相同，其中 s 为任意时刻，则称该随机过程具有强平稳性。
二、随机过程的马尔可夫性马尔可夫性是指随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这意味着未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态的取值路径无关。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么就是平稳过程,平稳过程就是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点就是:过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说,如果对于任意的ｎ(=１,2…),12,,t t t T ∈n …,与任意实数h,当12,,n t h t h t h T +++∈…,时,n 维随机变量(X(1t ),X(2t ),…,X(t n ))与 (Ｘ(1t h +),Ｘ(2t h +),…,Ｘ(n t h +))具有相同的分布函数,则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机过程,或简称平稳过程。
在实际工作中,确定随机过程的均值函数与相关函数就是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布,这在实际问题中往往不易办到,因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验,以便得到很多的样本函数。
但就是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,就会提出这样一个问题:能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢?所谓各态历经,就是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性;具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程,只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X(t)就是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈Ｘ(t)〉存在,即〈Ｘ(t)〉＝1lim ()2T TT X t dt T -→∞⎰ 存在,而且〈X(ｔ)〉＝E{Ｘ(ｔ)}＝X μ依概率１相等。
即〈X(ｔ)〉依概率１等于X μ＝ E ｛Ｘ(t)｝, X μ代表随机过程的集平均(或称统计平均),则称该过程的均值具有各态历经性。
定义 设X(t)就是一均方连续平稳随机过程,且对于固定的τ,()Xt X t τ（+）也就是连续平稳随机过程,〈()X t X t τ（+）〉 代表()Xt X t τ（+）沿整个时间轴的平均值,即()X t X t τ（+）=1lim (+)()2TT T X t X t dt T τ-→∞⎰ 若〈()Xt X t τ（+）〉存在,称〈()X t X t τ（+）〉为Ｘ(τ)的时间相关函数。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
1 平稳性 2 遍历性 3 正交性、不相关性与独立性 4 正态随机过程的主要性质
随机过程的平稳性
平稳性：若一个函数 f (x, y, z,t)，当 x x x，f (x, y, z,t)
x 的特性不变，就称 f (x, y, z,t) 关于 函数是平稳的。
判断方法：
方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则E[ X k (t)]与时间t 无关。
• 严平稳过程 也称为狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置
的概率分布相同的随机过程，随机过程的统计特性不随事件的推移而变化。
• 宽平稳过程
数学期望和方差不随时间和位置变化的随机过程，即弱平稳过程的条件是： （1）均值函数在所有时间上恒为常数；（2）对于所有时间t和和时滞k，自协 方差相同。
方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。
实际意义：
具有平稳性的随机信号能够保持一个规律的状态，具体到信号处理这就便 于我们检测系统是否混入干扰。平稳随机过程，它的统计特性不随时间的推移而 变化。
随机过程的平稳性
平稳过程分为严平稳过程（Strictly Stationary）和弱平稳过程（weakly Stationary）。
• 定义：
假设是平稳过程的任意一次实现（样本），由于它是时间的确定函数，可以求 得它的时间平均值。其时间平均值和时间相关函数分别定义为
a x(t) lim 1
T2
x(t)dt
T T
T2
R( ) x(t)x(t ) lim 1
T2
x(t)x(t )dt
T T
注意：具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
随机过程的平稳性及其应用
随机过程的平稳性及其应用随机过程是指随机变量随时间的变化而变化的过程。
随机过程的研究在许多领域中都有应用，如通信工程、金融学、生物学、环境科学等。
在这些领域中，我们经常需要对随机过程的特性进行分析，其中一个重要的特性就是平稳性。
一、平稳性的定义在介绍平稳性之前，我们先来看一下随机过程的定义。
随机过程可以看作是一系列随机变量的集合，一般用X(X)表示。
其中，X表示时间，X(X)表示在时间X时随机变量的取值。
通常，我们需要对不同时刻的随机变量进行比较和分析，因此需要进一步讨论其均值、方差等特性。
平稳性是指随机过程在时间上的统计特性不随时间的移动而发生变化。
具体地，设X(X)是一个随机过程，若对于任意时间戳X1,X2 和任意的时间差X(X>0)，都有:X[X(X1)] = X[X(X1+X)] (1)XXX[X(X1)] = XXX[X(X1+X)] (2)其中，X[X(X)] 表示随机变量的期望，XXX[X(X)] 表示随机变量的方差。
这里“平稳”实际上是指二阶统计量（期望和方差）是不变的，因此也称为“弱平稳”。
若进一步假设对于任意的时间戳X和任意的时间差X，都有：XX(X(X1),…,X(XX)) = XX(X(X1+X),…,X(XX+X)) (3)其中，XX(X(X1),…,X(XX)) 表示随机变量的概率密度函数。
这样的随机过程称为“强平稳”或“严格平稳”。
二、平稳性的性质平稳性是随机过程分析中的重要性质，其具有以下性质。
1. 均值和方差不随时间变化而改变根据平稳性的定义，均值和方差不随时间变化而改变。
因此，可以对随机过程的二阶统计量进行分析，而不必考虑具体的时间点。
2. 自相关函数只与时间差有关自相关函数是指同一随机过程在不同时间的取值之间的相关性。
设随机过程的期望为X，自协方差函数为X(X,X)，自相关函数为X(X)，则有：X(X,X) = X[(X(X)−X)(X(X)−X)]X(X) = X(X,X+X)由于平稳性的定义，自相关函数只和时间差有关，而和时间点X无关。
随机过程的马尔可夫性与平稳性
随机过程的马尔可夫性与平稳性在概率论与数理统计中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
随机过程的马尔可夫性与平稳性是两个重要的概念，对于理解和分析随机过程的特性具有重要意义。
一、马尔可夫性马尔可夫性是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布只与前一个状态有关，与过去的状态或未来的状态无关。
马尔可夫性可以用以下的数学表达式来表示：P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,X_{n-1}=x_{n-1},...,X_0=x_0) =P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)其中，X_n表示随机过程的第n个状态，x_n表示状态X_n的取值。
马尔可夫性的特点是简化了随机过程的描述，使得问题的求解更加方便。
通过假设当前状态只与前一个状态有关，我们可以使用转移概率矩阵来描述状态之间的转移情况。
具体而言，转移概率矩阵P定义如下：P_{ij} = P(X_{n+1}=j|X_n=i)其中，P_{ij}表示从状态i到状态j的转移概率。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无穷的集合。
马尔可夫链可以通过转移概率矩阵的迭代来描述其状态的演化过程。
对于任意k，我们可以计算出转移概率矩阵P^k，表示经过k步转移后的状态分布。
通过马尔可夫性，我们可以研究各种与状态转移概率相关的问题，例如平稳分布、转移概率的收敛性等。
二、平稳性在马尔可夫链中，若存在一个概率向量π，满足以下条件：π = πP其中，π是一个行向量，P是转移概率矩阵。
则称π为平稳分布。
平稳分布的意义在于，它表示了马尔可夫链在长时间演化后的状态分布。
通过求解πP=π，我们可以得到平稳分布π的数值解。
在实际应用中，平稳分布常常具有稳定性和唯一性。
平稳性的研究对于了解一些随机过程的基本性质具有重要作用。
通过平稳分布，我们可以计算一些与状态相关的统计量，例如平均值、方差等，从而进一步分析随机过程的性质。
三、应用实例马尔可夫性与平稳性在许多领域有着广泛的应用，例如：1. 金融市场分析：使用马尔可夫链模型可以描述金融资产的价格或收益率的变化趋势，从而对市场走势进行预测和风险评估。
随机过程中的平稳性和自相关函数
随机过程中的平稳性和自相关函数随机过程是描述随机现象演化的数学对象，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
平稳性和自相关函数是研究随机过程性质的重要工具。
一、平稳性平稳性是指随机过程的一些统计性质在时间的平移下不变。
对于离散时间随机过程，平稳性可以根据不同的定义分为弱平稳性和强平稳性。
弱平稳性指随机过程的一阶和二阶矩在时间上无规律变化，而强平稳性则要求随机过程所有阶的矩在时间上均不变。
对于连续时间随机过程，平稳性的定义有所不同。
连续时间随机过程的平稳性通常指它的概率分布在时间的平移下不变。
这种平稳性也称为稳定性。
例如，如果一个随机过程是平稳的，那么在任意时间t，它的统计特性必须与它在时间t+n的统计特性相同，其中n是任意整数。
平稳性是研究随机过程的基本性质之一。
它在信号处理和时间序列分析中有着广泛的应用。
例如，通过分析一个随机过程的平稳性，可以在背景噪声中提取出有用的信号。
二、自相关函数自相关函数是研究随机过程的另一个重要工具。
自相关函数指的是随机过程在时间t和另一个时间t+h上的取值之间的相关性。
一般地，随机过程X(t)的自相关函数可以表示为：R(h) = E[X(t)X(t+h)]其中，E表示期望。
自相关函数描述了随机过程在时间上的依赖关系。
自相关函数可以帮助我们研究随机过程的基本性质。
例如，自相关函数越快地衰减，那么随机过程就越具有独立性。
通过比较不同随机过程的自相关函数，还可以研究它们的相似性和差异性。
总之，平稳性和自相关函数是研究随机过程的基本工具。
它们在许多领域中都有着重要的应用，包括信号处理、时间序列分析、金融建模等。
对于数学、统计学等领域的学生和从事相关工作的人来说，理解和掌握这些概念至关重要。
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用随机过程是随机现象的数学模型，对于不同的随机过程，它们呈现出的特征可能不同，这些特征往往可以帮助我们更好地理解和利用这些随机过程。
其中，“强、弱、平稳”特性是区分随机过程的重要特征之一，本文将对这三种特性的含义和应用进行介绍。
一、强特性强特性也称“样本路径刻面逐点”收敛，是指随机过程的实现轨迹以概率1收敛于某个确定的函数。
因此，强特性能够保证随机过程的实现轨迹具有一定的稳定性，对于计算实现轨迹的统计量，如均值和方差等，有较好的精确度。
强特性的一个重要应用是在风险建模和风险评估中。
比如，对于股票价格的随机过程，强特性可以给我们提供了一个更加准确的预测，减少了金融市场的风险。
二、弱特性弱特性又称“矩收敛”，是指随机过程的统计特性收敛于某个确定的函数。
与强特性不同的是，弱特性只能保证随机过程统计性质的收敛，而不能保证实现轨迹的收敛。
例如，对于一个有限范围内的随机游走过程，其实现轨迹是不收敛的，但是它满足弱特性，因此我们可以通过它的期望和协方差性质等来计算一些统计量。
弱特性的应用，在统计建模中尤其重要，它可以帮助建立统计模型并对数据进行分析和预测，如时间序列分析和金融风险度量等。
三、平稳特性平稳特性也称“平稳性”，是指随机过程的统计特性不随时间而变化。
对于平稳过程，随机过程在时间维度上的统计特性是保持不变的。
平稳性分为宽平稳和严平稳。
其中宽平稳是指均值和协方差在时间平移下不变，严平稳则更为严格，它要求随机过程的所有阶矩在时间平移下都是不变的。
平稳特性是理解随机过程的重要工具。
在实际应用中，平稳特性可以帮助建立更加简洁和准确的模型。
比如，对于广泛的市场分析、自然现象的分析、心电信号处理等方面，平稳特性可以提供简便和直观的方法，更好地理解与描述随机现象。
总结：强、弱和平稳是所涉及的不同随机过程之间的关键特性。
他们在模型构建与验证过程中具有重要的地位。
通过理解这些特性，我们可以更好地理解和应用各种随机过程。
随机过程复习题
随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。
2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。
试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。
3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。
6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。
7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。
8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。
随机过程的平稳性分析
随机过程的平稳性分析随机过程是描述随机变量随着时间或空间的变化而产生的一系列随机变量的数学模型。
平稳性是对随机过程中的统计特性进行分析的重要概念之一。
在随机过程中，平稳性是指随机过程的统计特性在时间或空间上的不变性，即该过程在不同时间或空间下具有相似的统计性质。
1. 随机过程的基本概念随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程是在离散时间或空间上进行观测和分析的随机过程，而连续随机过程则是在连续时间或空间上进行观测和分析的随机过程。
随机过程的定义需要考虑概率空间、状态空间和时间参数等因素。
2. 平稳性的定义在随机过程中，平稳性通常分为严格平稳和宽平稳两种情况。
严格平稳是指随机过程的联合分布在时间或空间上的任何平移变换下保持不变；而宽平稳是指随机过程的均值函数和自相关函数在时间或空间上保持不变。
平稳性是对随机过程的统计特性做出的基本假设，它能够提供对过程的长期行为和性质的重要认识。
3. 平稳性分析的方法在实际问题中，我们可以通过一系列统计方法和技术来对随机过程的平稳性进行分析。
常用的方法包括自相关函数法、功率谱法、小波分析法等。
这些方法能够帮助我们对随机过程中的平稳性进行定量描述和分析，从而更好地理解随机过程的统计特性。
4. 应用实例随机过程的平稳性分析在实际中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们可以利用平稳性分析来对金融时间序列数据进行建模和预测；在通信领域，我们可以利用平稳性分析来优化信号处理算法和系统设计。
这些应用实例充分展示了平稳性分析在随机过程中的重要性和实用性。
5. 结论随机过程的平稳性分析是对随机过程统计特性进行深入了解和研究的重要手段。
通过对随机过程的平稳性进行分析，我们可以更好地理解随机过程的规律和性质，为实际问题的解决提供有效的方法和思路。
以上是关于随机过程的平稳性分析的相关内容，希望能对读者有所帮助。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
随机过程的平稳性检验
随机过程的平稳性检验随机过程是概率论中的重要概念，用于描述随机变量随时间变化的规律。
在实际应用中，我们常常需要对随机过程的性质进行检验，其中平稳性是一项重要的指标。
本文将介绍随机过程的平稳性检验方法以及其在实际问题中的应用。
一、随机过程的平稳性定义与特性随机过程是指一组随机变量组成的序列，其中每个随机变量表示随机过程在不同时间点的取值。
随机过程的平稳性是指其统计特性在时间上保持不变的性质。
具体地，随机过程X(t)在宽平稳意义下具有以下特性：1. 均值平稳性：对于任意的t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)具有相同的均值；2. 自协方差平稳性：对于任意的t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差仅依赖于时间差t2-t1，与具体的时间点无关。
二、平稳性检验方法为了检验随机过程的平稳性，常用的方法有时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法基于样本数据，直接分析随机变量在不同时间点的取值。
常见的时域方法有：（1）样本均值与样本方差比较法：计算不同时间点上的样本均值和样本方差，比较它们是否相同。
（2）自相关函数法：计算不同时间点上的自相关系数，若自相关系数与时间差无关，则认为随机过程具有平稳性。
（3）自协方差函数法：计算不同时间点上的自协方差系数，若自协方差系数与时间差无关，则认为随机过程具有平稳性。
2. 频域方法频域方法则通过对随机过程进行傅里叶变换，将随机过程表示为频率域上的分布。
常见的频域方法有：（1）功率谱密度法：计算随机过程的功率谱密度函数，若功率谱密度函数仅依赖于频率而与具体的时间点无关，则认为随机过程具有平稳性。
（2）自相关函数的傅里叶变换法：计算随机过程的自相关函数的傅里叶变换，若傅里叶变换结果仅依赖于频率而与具体的时间点无关，则认为随机过程具有平稳性。
三、平稳性检验的应用随机过程的平稳性检验在实际问题中有着广泛的应用，以下以金融领域为例进行说明。
金融市场中的股票价格可以看作是随机过程，在投资决策中需要考虑其平稳性。
随机过程的稳定性与平稳性
随机过程的稳定性与平稳性随机过程是概率论和随机过程理论中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
随机过程的稳定性与平稳性是其中关键的性质，对于分析、建模和预测随机过程的行为具有重要意义。
一、随机过程的稳定性随机过程的稳定性是指在某些条件下，随机过程的统计特性保持不变。
稳定性可以分为强稳定性和弱稳定性两种。
强稳定性是指随机过程的所有阶矩都存在且有界。
对于一个随机过程X(t)，如果对于任意正整数n，存在一个正常数Kn使得E[|X(t)|\^n]< Kn，则称X(t)为强稳定的随机过程。
强稳定性是稳定性的最高级别，保证了随机过程的所有矩都能在某种程度上受控制。
弱稳定性是指随机过程的均值和自相关函数不随时间而改变。
对于一个随机过程X(t)，如果X(t)的均值E[X(t)]和自相关函数R(t1,t2)只依赖于时间差|t1-t2|，则称X(t)是弱稳定的随机过程。
弱稳定性是一种比较常见的稳定性，在时间序列分析和信号处理中经常应用。
稳定性是研究随机过程行为的基本性质之一，不同的稳定性概念适用于不同的应用场景。
在实际问题中，通过对随机过程的稳定性进行判断和分析，可以为系统建模、预测和控制提供有力的参考。
二、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指随机过程在时间上的统计特性保持不变。
平稳性可以分为强平稳性和弱平稳性两种。
强平稳性是指随机过程的联合概率分布不随时间的平移而改变，即任意时刻的概率分布都相同。
对于一个随机过程X(t)，如果对于任意正整数n和任意时间序列t1,t2,...,tn，它们的联合概率分布相同，即P[X(t1)=x1,X(t2)=x2,...,X(tn)=xn] =P[X(t1+τ)=x1,X(t2+τ)=x2,...,X(tn+τ)=xn]，其中τ是时间平移常数，则称X(t)为强平稳的随机过程。
强平稳性是平稳性的最高级别，保证了随机过程的概率分布随着时间不变。
弱平稳性是指随机过程的均值和自相关函数只依赖于时间差|t1-t2|。
随机过程的统计特性和平稳随机过程
随机变量的统计特性
随机过程的概率分布 随机过程的数字特征 •均值 •方差 •相关函数 •协方函数
mX (t ) E{ X (t )} xf X ( x, t )dx
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
2 2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2} E{X 2 (t )} mX (t )
RX (t1 , t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )}
K X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][X (t2 ) mX (t2 )]}
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
连续随机过程：
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
FX ( x, n) P{X (n) x}
随机序列：
FX ( x, n) f X ( x, n ) x
RX (t1 , t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t 2 ) 是相互正交的。如果
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。
离散随机过程数字特征
X ( n)
0
p
0 1 2 3
4 5
n
随机过程中的平稳性和Markov性质
随机过程中的平稳性和Markov性质在概率论和统计学中，随机过程是一种描述随机变量随时间变化的数学模型。
在随机过程中，存在两个重要性质，即平稳性和Markov性质。
平稳性是指在随机过程中，统计量在时间维度上是不变的。
具体来说，一个随机过程是平稳的，当且仅当其所有时刻出现的随机变量的统计分布是相同的。
在实际应用中，平稳性通常被用来描述随机过程是否随时间变化而改变。
Markov性质是指在随机过程中，当前状态对未来状态的影响是唯一的。
具体来说，一个随机过程具有Markov性质，当且仅当它的未来状态只取决于其当前状态，而与过去的状态无关。
因此，如果我们已知当前状态，就可以完全预测未来的发展趋势。
平稳性和Markov性质是随机过程中最基本的性质之一，它们在许多实际应用中具有重要的作用。
例如，在金融领域，随机过程模型被广泛应用于股票和商品价格的预测。
在这种情况下，平稳性和Markov性质可以用来描述价格随时间的变化规律，从而进行投资决策。
另一个应用随机过程的重要领域是信号处理。
在这个领域中，我们需要分析和处理的信号通常是随机的，并且需要通过随机过程模型来描述它们的特性。
在这种情况下，平稳性和Markov性质可以用来描述信号在时间和频率维度上的特性，从而进行信号处理和预测。
此外，在物理学领域中，随机过程也有广泛的应用。
例如，在热力学中，随机过程被用来描述分子的行为。
在电子学中，则可以使用随机过程来描述信号的传输和接收过程。
总的来说，平稳性和Markov性质是随机过程中最基本的性质之一，它们在许多领域中都具有重要的应用价值。
未来，随着技术和理论的不断进步，随机过程模型的适用范围将会越来越广泛，从而促进科学和技术的发展。
证明随机过程是广义平稳随机过程的方法
1.引言在概率论和统计学中，随机过程是一种描述随机现象随时间推移的数学模型。
而广义平稳随机过程是一类具有稳定性质的随机过程。
本文将从实际应用出发，探讨证明随机过程是广义平稳随机过程的方法，以帮助读者更深入地理解这一概念。
2.随机过程的概念及特点我们来了解一下随机过程的概念及其特点。
随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个随机参数，通常是时间。
随机过程可以用来描述随机现象的发展和变化，比如股票价格的波动、天气的变化等。
随机过程的特点包括随机性、不确定性和发展规律性。
3.广义平稳随机过程的定义和性质接下来，我们简要介绍一下广义平稳随机过程的定义和性质。
广义平稳随机过程是一种时间平稳性的随机过程，具有以下性质：其均值和自相关函数不依赖于时间原点的选取，且具有平稳性；在时间序列上进行平移操作，统计特性不发生变化。
接下来，我们将探讨证明随机过程是广义平稳随机过程的方法。
我们可以使用数学推导和证明的方法，通过计算随机过程的均值和自相关函数来验证其是否具有广义平稳性质。
我们可以利用实际数据进行模拟和分析，通过对时间序列数据的统计特性进行检验，来验证随机过程是否满足广义平稳性。
5.实例分析：股票价格走势为了更好地理解证明随机过程是广义平稳随机过程的方法，我们以股票价格走势为例进行实例分析。
我们可以通过收集股票价格的历史数据，计算其均值和自相关函数，从而验证股票价格走势是否具有广义平稳性质。
我们还可以利用时间序列模型对股票价格进行预测，进一步验证随机过程的广义平稳性。
6.总结与回顾通过本文的探讨，我们了解了证明随机过程是广义平稳随机过程的方法。
我们从随机过程的概念和特点出发，介绍了广义平稳随机过程的定义和性质，然后探讨了证明随机过程是广义平稳随机过程的方法，并以股票价格走势为例进行了实例分析。
我们再次强调了广义平稳随机过程的重要性和应用前景。
7.个人观点及展望个人认为，随机过程作为一种描述随机现象的数学工具，在金融、气象、工程等领域具有重要应用价值。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念
一、平稳性
平稳性是指一个随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
具体来说，如果一个随机过程在时间t的取值与时间0的取值之间的统计特性没有差异，那么我们称这个随机过程是平稳的。
平稳性是一种重要的性质，因为它可以让我们更好地理解随机过程的特性，并且简化了一些分析和计算。
二、各态遍历性
各态遍历性是指一个随机过程在足够长的时间后能够访问其所有可能的取值。
也就是说，无论随机过程从哪个初始状态开始，或者经历什么样的噪声干扰，它最终都会遍历所有的可能状态。
各态遍历性是马尔可夫过程的特性之一，这种过程是一种在每个时刻都只依赖于其当前状态的过程。
三、遍历性
遍历性是指一个随机过程能够访问其所有可能的取值，并且这个过程是无后效性的。
也就是说，在每个时间点上，下一个状态的取值只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
遍历性是马尔可夫链和马尔可夫过程的特性之一，这种特性使得我们可以通过研究每个状态的概率分布来理解整个过程的统计特性。
四、随机过程
随机过程是一种数学模型，用于描述在时间演化过程中随机变化的量。
这个概念广泛用于各种领域，包括物理学、经济学、生物学等。
随机过程可以由一组随机变量构成，这些变量是在不同的时间点上取值的，并且这些变量的取值是随机的。
根据不同的特性，随机过程可以分为不同的类型，如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
24
• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
12
非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
13
趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
15
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
16
序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）
• 启动Eviews进入主窗口EViews。
• 点击File→New/Workfile,进入工作文件定义 对话框Workfile Create.
• 在工作文件定义对话框中，对工作文件结 构类型项Workfile structure type可选择时间 序列（Dated-regular frequency);在日期框 （Date specification)中，日期频率 （Frequency)选择年度（Annual),并在下面 输入起止年份，输入工作文件名，同时给
17
序列dy的图形
1400 1200 1000
800 600 400 200
0 -200
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 DY
18
序列d2y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D2Y
性不受时间原点改变的影响，则称该随 机过程是“严平稳”的。 若一个随机过程是“严平稳”的,且存在一、 二阶矩，则 (1)在任一时点的均值和方差都是常数。 (2)协方差与时间的起点无关，仅与时间间 隔有关。
4
2、弱平稳
• 若一个随机过程满足下列三个条件
(1)E(Yt ) (为常数，与t无关); (2)Var(Yt ) 2 ( 2为常数，与t无关); (3)Cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] K 则称为“弱平稳 ”的或 “协方差平稳”的。
• (1)彼此相互独立，
• (2)具有相同的分布，
• 则称该随机过程为一个独立同分布过程 或独立同分布序列。
独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平 稳的。
正态白噪声序列
独立同分布序列
8
3、随机游走和单位根过程
若随机过随{Yt ,t 0,1,2, }满足： Yt Yt1 t
其中t是白噪声序列，那 么该随机 过程为一个随机游走过程。
9
单位根过程
• 若随机过程满足：
Yt Yt1 t
或
Yt t
其中为常数， t 是白噪声序列，
则称该随机过程为一个单位根过程。
• 随机游走过程是非平稳过程。
• 单位根过程是非平稳过程。
10
（三）平稳性的检验
1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)
11
1、图形判断
平稳时间序列图形
1、白噪声过程 若 {t ,t (, )}满足 : (1)E(t ) 0, (2)Var(t ) 2 (3)Cov(t ,ts ) 0, 则称这个随机过程是一个白 噪声过声过程或白噪声。
白噪声序列是平稳序列，它是构成各种平稳和非 平稳时间序列的基础。
7
2、独立同分布过程
• 若一个随机过程在各时点满足
机变量取值的平均水平。 • 方差Var(x)பைடு நூலகம்描述X的离散程度，是衡量随
机变量取值发散程度的指标。 • 两个或多个随机变量的关系也可以通过数
字特征加以描述。
23
两个或多个随机变量的数字特征:
协方差和相关系数
• 协方差 设随机变量 1和 2的均值和方差都存在，则
Cov(1,2) E[(1 E(1))(2 E(2))]
2
2、均值和方差函数
• (1)均值函数
m(t) E( X (t)) xdFt (x)
• (2)协方差和方差函数
R(s,t) E[(X (s) m(s))(X (t) m(t))] R(t,t) E(X (t) m(t))2
3
二、随机过程的平稳性
（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特
集合时，随机序列也成为时间序列。
1
（二）随机过程的分布特征
1、有限维分布函数族
X (t),t T , X (t1), , X (tn )的联联合分布函数
Ft1, tn (x1, xn ) P{X (t1) x1, , X (tn ) xn}
联合分布函数能完整描述随机过随机过程 性，但使用不方便。
19
序列d3y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D3Y
20
2、自相关图检验
• 先复习随机变量的数字特征: • 一元随机变量X的数字特征: • 数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随
5
3、计量经济分析与时间序列平稳性
• 时间序列的平稳性是一个非常重要的特征， 它保证了随机过程基本上没有结构变动， 而结构变动将使预测遇到困难或不可能。
• 计量经济的时间序列分析模型进行分析和 预测的基础是时间序列具有平稳性。
• 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。
6
（二）平稳和非平稳随机过程的 例子