《数列的综合应用》PPT课件

专 题型三 数列与导数、解析几何的综合应用
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴Tn＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
训
练
35
2n＋ 1
Sn＝2＋22＋…＋ 2n ，
1 35
2n－ 1 2n＋ 1
则2Sn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋ 1 ，
13
11
1 2n＋ 1
两式相减得：2Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－ 2n＋ 1 ，
2n＋ 5 ∴Sn＝ 5－ 2n ，∴ Sn<5.
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
题
训
(1)当 n∈ N*时，求f(n)的表达式；
练
(2)设 an＝ nf(n)(n∈N*)， Sn是数列{an}的前n项的和，
3 求证：Sn<4；
nf n＋ 1 (3)设 bn＝ f n
(n∈ N*)，数列{bn}的前n项和为
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
N*，∴T11＋T12＋
1 T3＋…
1 ＋Tn<6.
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
探究2 数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决 专
题
数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数
讲
列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、
解
求和方法对式子化简变形．
专 题
思考题2
已
知函数
f(x)＝
ax的图
象过点
(1，
1 2
)，
且
点
(n－1，
an n2
)(n∈
N*)在
训
练
函数f(x)＝ax的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)令 bn＝ an＋ 1－2an， 若数列 {bn}的 前 n项 和为 Sn，求 证： Sn<5.
【解】 (1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，21)，
a5－
a8，
专
所以a2，a8，a5成等差数列．
题 训
法二：由(1)知，a2＋a5－2a8＝ a2×(1＋ q3－2q6)
练
1
1
＝a2(1－2－2×4)＝ 0，所以a2， a8，a5成等差数列．
探究1 等差、等比数列的基本计算问题，要搞清基
本量之间的关系， 熟练掌握基本公式与性质，正确
给出计算结果．
高三数学（人教版）
【解析】 (1)法一：由S3，S9，S6成等差数列，
得S3＋S6＝2S9，
若q＝1，则S3＋S6＝9a1,2S9＝18a1，
由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，与题意不符，∴q≠1.
由S3＋S6＝2S9，
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专
得a1(1－
q3) ＋
a1(1－
q6)＝2a1(1－
∴(a4＋ a5＋a6)(1＋ 2q3)＝0. ∵a4＋ a5＋a6＝a4(1＋ q＋q2)≠0，
∴1＋ 2q3＝0，∴q3＝－12.
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题
(2)证
明
：法一
：由
(1)知
，
a8＝
a2×
q6＝
1 4a2，
讲 解
a＝ 5
a× 2
q3＝－12a2，
a8－
a2＝
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
1×
1 3
＋
2×
(
1 3
)2＋
3×
(
1 3
)3＋
…
＋
(n－
1)(
1 3
)n－
1＋
n(13)n，①
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专
1 3
Sn＝ 1× (
1 3
)2＋ 2×(
1 3
)3＋ 3×(
1 3
)4＋ … ＋ (n－ 1)(
1 3
)n＋
题
讲 解
n(13)n＋ 1，②
①－②得：
专
题 训
21 3Sn＝3＋
(13)2＋
(13)3＋
…
＋
(13)n－
n(13)n＋
1
练
13[1－ ＝
(13)n] 1－
n(13)n＋
1＝12[1－
(13)n]－
n(13)n＋
1，
1－3
∴ Sn＝ 34－34(31)n－ n2(13)n.
∵
n∈
N*，∴
3 Sn<4.
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
解得a1＝1，d＝ 3，或a1＝8， d＝－4.
1 因此Sn＝2n(3n－ 1)，或 Sn＝2n(5－ n)．
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题型二 数列与函数的综合应用 题
讲
解
例2 已知函数f(x)对任意实数p， q都满足：f(p＋q)
专
＝f(p)· f(q)，且 f(1)＝13.
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
训
练
(2)由 (1)知，anБайду номын сангаасn(13)n，
则
Sn＝
q9) .
题
1－ q
1－ q
1－ q
讲 解
整理，得q3＋q6＝ 2q9，由q≠ 0且q≠1，得q3＝－12.
专
法二：由S3，S9， S6成等差数列，得S9－S3＝S6－ S9.
题
训
∴a4＋ a5＋a6＋a7＋ a8＋a9＝－(a7＋a8＋a9)，
练
移项得a4＋a5＋ a6＋2(a7＋a8＋ a9)＝0，
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题 讲 解
专
题 训
专题研究二 数列的综合应用
练
高三数学（人教版）
精选课件
第六章 ·专题研究二
专
专题讲解
题
讲
题型一 等差、等比数列的综合应用
解
例1 已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数
专
列．
题 (1)求q3； 训
练 (2)求证：a2，a8，a5成等差数列．
精选课件
第六章 ·专题研究二
专 题
思考题1 (2010·全国卷Ⅰ，文)记等差数列{an}的前
讲 n项和为Sn.设S3＝ 12，且2a1， a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 解
【解析】 设数列{an}的公差为d.依题设有
专
题
2a1(a3＋ 1)＝a22，
训 练
a1＋ a2＋ a3＝12，
a21＋2a1d－ d2＋2a1＝0， 即a1＋ d＝ 4.