粘性流体运动微分方程(了解性学习)讲解
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x
p'zz
’zx
x方向（牛顿第二运动定律）
y
p xx Xdxdydz [ pxx dydz ( pxx x dx )dydz ]
[ yx dxdz ( yx
x dxdydz du dt
yx y
dy )dxdz] [ zxdxdy ( zx
来自百度文库
二阶非线性非齐次偏微分方程组
四个未知量ux，uy，uz和 p
N-S方程与连续性微分方程4个
理论上可 以求解
只能对一些简单的流动问题，如圆管中的层流 等，求得精确解。 对于大多数较复杂的不可压缩粘性流体的流动问 题，难以用该方程求出精确解。
计算流体力学的发展，可以用该方程求得许多复 杂流动的近似解。
广义牛顿内摩 擦定律
u x z
应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向；第二个 脚标表示应力的方向。 （2）粘性流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各 方向大小不等，即pxx pyy pzz。
二、以应力表示的粘性流体运动微分方程
z
'zy
xy xz
dz
pxx
dy dx
yx pyy yz p'xx 'xz p'yy 'yz 'xy 'yx pzz zx zy
u x t u y t u z t
u u u
u x x x
u u u
u x y y
u u u
u x z z
v u y
2
u y x x
u y y y
u y z z
v u z
2
u z x x
u z y y
u z z z
补充了3个方程，多 一个未知数 pt
粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该点三个 相互正交平面上法向应力的平均值。
1 2 ux u y uz p (p xx p yy pzz ) p t 3 3 x y z
对于不可压缩粘性流体
zx z
dz )dxdy]
化简后得 x方向 y方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt 1 p yy 1 zy xy duy Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz Z z x y dt
无法求解
z方向
9个应力，3个速度分量，共12个未知数
3个方程加上连续性方程，共4个方程
补充关系式： 1、切应力和角变形速度的关系
yz zx xy
u z u y zy y z u x u z xz x z u y u x yx x y
p =p t
三、不可压缩粘性流体运动微分方程
——纳维一斯托克斯方程（N-S方程） 将补充的关系式代入以应力表示的粘性流体 运动微分方程，整理后得到
X Y Z
1 p x 1 p y 1 p z
v u x
2
du x dt du y dt du z dt
补充了6个方程
2、法向应力和线变形速度的关系
u x p xx pt p ' xx pt 2 x pt——理想流体压强 u y p yy pt p ' yy pt 2 理想流体中，同一点各方向的法 y 向应力相等 pxx= pyy = pzz=pt uz pzz pt p ' zz pt 2 z
第八节
一、粘性流体的特点
粘性流体运动微分方程
（1）粘性流体的表面力包括：压应力和粘性引起的切应力。
xy ( yz ( zx (
u x y u y z u z x
u y x u z y
) yx ) zy ) xz
p'zz
’zx
x方向（牛顿第二运动定律）
y
p xx Xdxdydz [ pxx dydz ( pxx x dx )dydz ]
[ yx dxdz ( yx
x dxdydz du dt
yx y
dy )dxdz] [ zxdxdy ( zx
来自百度文库
二阶非线性非齐次偏微分方程组
四个未知量ux，uy，uz和 p
N-S方程与连续性微分方程4个
理论上可 以求解
只能对一些简单的流动问题，如圆管中的层流 等，求得精确解。 对于大多数较复杂的不可压缩粘性流体的流动问 题，难以用该方程求出精确解。
计算流体力学的发展，可以用该方程求得许多复 杂流动的近似解。
广义牛顿内摩 擦定律
u x z
应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向；第二个 脚标表示应力的方向。 （2）粘性流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各 方向大小不等，即pxx pyy pzz。
二、以应力表示的粘性流体运动微分方程
z
'zy
xy xz
dz
pxx
dy dx
yx pyy yz p'xx 'xz p'yy 'yz 'xy 'yx pzz zx zy
u x t u y t u z t
u u u
u x x x
u u u
u x y y
u u u
u x z z
v u y
2
u y x x
u y y y
u y z z
v u z
2
u z x x
u z y y
u z z z
补充了3个方程，多 一个未知数 pt
粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该点三个 相互正交平面上法向应力的平均值。
1 2 ux u y uz p (p xx p yy pzz ) p t 3 3 x y z
对于不可压缩粘性流体
zx z
dz )dxdy]
化简后得 x方向 y方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt 1 p yy 1 zy xy duy Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz Z z x y dt
无法求解
z方向
9个应力，3个速度分量，共12个未知数
3个方程加上连续性方程，共4个方程
补充关系式： 1、切应力和角变形速度的关系
yz zx xy
u z u y zy y z u x u z xz x z u y u x yx x y
p =p t
三、不可压缩粘性流体运动微分方程
——纳维一斯托克斯方程（N-S方程） 将补充的关系式代入以应力表示的粘性流体 运动微分方程，整理后得到
X Y Z
1 p x 1 p y 1 p z
v u x
2
du x dt du y dt du z dt
补充了6个方程
2、法向应力和线变形速度的关系
u x p xx pt p ' xx pt 2 x pt——理想流体压强 u y p yy pt p ' yy pt 2 理想流体中，同一点各方向的法 y 向应力相等 pxx= pyy = pzz=pt uz pzz pt p ' zz pt 2 z
第八节
一、粘性流体的特点
粘性流体运动微分方程
（1）粘性流体的表面力包括：压应力和粘性引起的切应力。
xy ( yz ( zx (
u x y u y z u z x
u y x u z y
) yx ) zy ) xz