粘性流体运动微分方程(了解性学习)讲解
第七章粘性流体动力学
D
x
三边长为dx， ， ， 点坐标为 点坐标为（ 三边长为 ，dy，dz，A点坐标为（x,y,z） ） 对微小平面可以为其上面具有相同的应力 由于τ的存在 表面力不垂直表面， 的存在， 由于 的存在，表面力不垂直表面，为τ 的合力方向。 和p的合力方向。 的合力方向 外法线方向为正， 设p外法线方向为正，过A点三个平面上切 外法线方向为正 点三个平面上切 力方向与坐标轴相同。 力方向与坐标轴相同。 在直角坐标系下， 上的相关应力可以 在直角坐标系下，AC上的相关应力可以 分解为 pxx τ xy τ xz
N—S方程的说明： 方程的说明： 方程的说明 a. 对理想流体 对理想流体ν=0，N—S变成欧拉微分方 ， 变成欧拉微分方 对于静止流体， 程 。 对于静止流体 ， N—S方程中的惯性 方程中的惯性 力项为0，变为欧拉平衡方程。 力项为 ，变为欧拉平衡方程。 b. N—S方程适用于不可压缩流体 方程适用于不可压缩流体 c. N—S方程适用于牛顿流体 方程适用于牛顿流体 d. 对真实流体 对真实流体N—S适用于不同流态，对 适用于不同流态， 适用于不同流态 紊流时，转变为时均流场的雷诺方程。 紊流时，转变为时均流场的雷诺方程。 e. N—S方程有 p vx v y vz 四个未知量，补 四个未知量， 方程有 充连续方程理论上可以解
p yy τ yx τ yz AD面上的应力为 pzz τ zx τ zy 面上的应力为
AB面上的应力为 面上的应力为
τ，p下标中， 第一个表示与平面垂直的 ， 下标中 下标中， 坐标轴， 坐标轴， 第二个表示与应力作用线平行 的坐标轴，这样，六个面上有18个应力 的坐标轴 ， 这样 ， 六个面上有 个应力 将六面体向A点缩小 三个面上的9个 点缩小， 若 将六面体向 点缩小，三个面上的 个 应力就表示A点的应力 因此， 点的应力， 应力就表示 点的应力 ， 因此 ， 粘性流 体中任一点的应力由9个分量组成 个分量组成。 体中任一点的应力由 个分量组成。 以过六面体中心M及平行 轴的直线为准 以过六面体中心 及平行x轴的直线为准 及平行 ，对该直线取力矩 定义：逆时针力矩为正，顺时针为负， 定义：逆时针力矩为正，顺时针为负， 对该直线力矩和为
粘性流体运动微分方程(了解性学习)讲解
一、粘性流体的特点
粘性流体运动微分方程
（1）粘性流体的表面力包括：压应力和粘性引起的切应力。
xy ( yz ( zx (
u x y u y z u z x
u y x u z y
) yx ) zy ) xz
二阶非线性非齐次偏微分方程组
四个未知量ux，uy，uz和 p
N-S方程与连续性微分方程4个
理论上可 以求解
只能对一些简单的流动问题，如圆管中的层流 等，求得精确解。 对于大多数较复杂的不可压缩粘性流体的流动问 题，难以用该方程求出精确解。
计算流体力学的发展，可以用该方程求得许多复 杂流动的近似解。
无法求解
z方向
9个应力，3个速度分量，共12个未知数
3个方程加上连续性方程，共4个方程
补充关系式： 1、切应力和角变形速度的关系
yz zx xy
u z u y zy y z u x u z xz x z u y u x yx x y
u x t u y t u z t
u u u
u x x x
u u u
u x y y
u u u
u x z z
v u y
2
u y x x
u y y y
u y z z
v u
2
u z x x
u z y y
u z z z
zx z
dz )dxdy]
化简后得 x方向 y方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt 1 p yy 1 zy xy duy Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz Z z x y dt
5-粘性流体力学基础
fm
1
p v2u
v ( u) 3
式（7—5d）是在 Const 条件下对一切牛顿流体都普遍
适用的运动微分方程式，亦称之为纳维—斯托克斯方程。
14
方程的物理意义：
左边 du 为流体质点加速度（单位质量流体的惯性力）； dt
右边
f
为作用在流体微团上单位质量的质量力；
m
－ 1 p为作用在流体微团上单位质量流体的压强合力；
0.3
将已知数据代入前式得 Q 0.016 cm2 s ，与按同心环形缝隙
流动计算结果相同。
29
§7-5 绕流圆球的小雷诺数流动
在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体
中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气
流中的煤粉颗粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以
及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的
2 z
u y x
ux y
yz
zy
2 x
uz y
u y z
（7—3）
zx
xz
2 y
ux
z
uz x
式（7—3）称为广义牛顿内摩擦定律。
8
在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形 速度产生附加切应力。根据牛顿内摩擦定律
xx
2
ux x
yy
2
u y y
zz
2
uz z
（7—4）
式（7—3）、（7—4）为本构方程。
2 r2
ur
2 r2
u
2 r2
u
cos
2
r 2 cos
u
ur t
ur
ur r
不可压缩粘性流体的运动微分方程名师优质资料
2 v x ~1 2 x
v 1 x ~ y
2 vx 1 ~ y2 2
然后，再来求出其它各量的数量级，由连续方程
，于是又得到以下数量级： 因此 v y ~
v y ~ x 2 v y ~ 2 x v y ~1 y 2 v 1 y ~ 2 y
边界层内，这是由于层外的流体质点不断地穿入到边界层里 去的缘故。
总结上面所述，边界层的基本特征有：
• 与物体的长度相比，边界层的厚度很小； •边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速
度梯度很大；
•边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
•由于边界层很薄，因而可近似地认为，边界层中各
截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；
o 图8-2 分析切向应力之间的关系用图
x
根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心 M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和 惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有
yx xy dz dy dx dx yx dxdz yx dy dxdy xy dydz xy dx dydz 0 2 y 2 2 x 2
（8-37）
v v y x 0 x y 1 1
式中 Re l vl 。很显然，在边界层内， vx与v、x与l 以及y 与 是同一数量级，于是可取 v , x ~ 1和y ~ x ~1
（符号~表示数量级相同），所以得到如下一些数量级：
v x ~1 x
现将切向应力和法向应力的关系式代入 式(8-1),化简可得不可压缩粘性流体的运动微 分方程：
纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
最新传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2
传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢36§2—4 N —S 方程在柱坐标及球坐标中的表示 1. 柱坐标中的表示x= rcos αy= rsin αz= z在r 分量方向 zuu r u u r u r u u u r z r r r r ∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂2αααθ = ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-2222222111z u u r u r ru r r r r p X r rr r ααυρα 在α分量方向zuu r u u u r u r u u u z r r ∂∂++∂∂+∂∂+∂∂αααααααθ = ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-2222222111z u r u r u r ru r r r p r X r αααααυαρ 在z 分量方向zuu u r u r u u u z z z z r z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂αθα = ]1)(1[122222z u u r r u r r r z p X zz z z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-αυρ 2. 球坐标中的表示x= (rsin α)cos φ y= (rsin α)sin φ z= rcos α r 分量：yy图 19仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢36ru u u r u u r u r u u u r r r r r 22sin φαφαφααθ+-∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂ ]sin 1)(2sin 1sin sin 11[122222222φαααφαααααυρφαα∂∂++∂∂+-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u ctg u u u r u r u r r u r r r r p X r r rr r ＝α分量：rctg u r u u u r u u r u r u u u r r αφααθφααφαααα2sin -+∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂]sin cos 2sin 2sin 1sin sin 11[11222222222222φααααφαααααυαρφααααα∂∂--∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u r r u u r u r u r r u r r r p r X r ＝φ分量：r ctg u u r u u u r u u r u ru u u r r rθφααθφφφφφαφφ++∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂sin ]sin cos 2sin sin 2sin 1sin sin 11[sin 112222222222222φαααφαφαααααυφαραφφφφφ∂∂+-∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u r r u u r u r u r r u r r r p r X r ＝§3 流体运动方程的应用§3-1 平壁间的稳定层流设平板无限大，相互平行，作层流运动一维稳定流动，不可压缩于是 u y =u z=0 (1)x图 20仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢36由连续性方程有0=∂∂xu x(2) 又对稳定流动0=∂∂θxu (3) 故N —S 方程简化为：)(12222zu y u X x px x ∂∂+∂∂+=∂∂υρ 对无限大平板可认为 0=∂∂z u x故022=∂∂zu x ， 又在x 方向 X = 0于是 222211dy u d dx dpy u x p x x υρυρ=⇒∂∂=∂∂ 边界条件(Boundary Condition) y=y 0, u x =0 初始条件(Initial condition) y=0,0=dydu x于是 ()22021y y dx dp u --=μ 及 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2max 1y y u u 式中： dxdpy u ⋅-=20max 21μ 又设平板的宽度为w ，则流体流过二平行平板间的体积流量为⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-===Ay v y dx dp w udy w udA Q 0300322μ 另一方面，若设平板间的主体流速（即截面平均流速）A图 21仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢36为u b 则有Q V =u b ·B ·(2y 0) 可得： 2031y dx dp u b ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ 故32=x b u u 及 203y u dx dp b μ-= §3-2 圆形直管内的稳定层流 化工原理中已得出了相应的结论。
粘性流体-PPT
现在,我们将考虑定常流。例如,若讨论绕固体得流动(为 确定起见,下面我们将讨论这种情况),则来流速度应为常数。 此外还假设流体就是不可压缩得。
在流体动力学方程组(纳维-斯托克斯方程组)里,就表征流
体本身特性得参数而言,只出现运动粘性系数
。还有,求
解这个方程组所必须确定得未知函数就是速度 和 ,这里
类似得,我们可以写出流体中得压力分布公式。为此, 我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度得 量,比如,这个量可以就是 。于就是, 就是无量纲变 量 和无量纲参数R得函数,所以
最后,类似得考虑也可适用于这样一些量:她们描写流
动得特性,但不就是坐标得函数。例如作用在物体上得阻力
F就就是这样一个量。我们可以说,阻力F与用
不难写出周围流体作用于固体表面得力得表达式。 一个面元上所受得作用力恰等于通过这个面元得动量通 量。通过面元 得动量通量就是
把 写成
得形式,这里 就是沿法线得单位
矢量,并考虑到在固体表面上
,我们得到作用在单位
面积上得力 为
其中等式右边第一项就是普通得流体压力,而第二项就是由 于粘性引起得作用在固体表面上得摩擦力。式中 就是单 位矢量,她沿流体界面得外法线,即沿固体表面得内法线。
组成得并具有力得量纲得某个量之比必定只就是雷诺数得
函数。比如,
组合成力得量纲可以就是
。
因而
若重力对流动有重要作用,则流动不就是由三个参数确
定,而就是由
和重力加速度 这四个参数确定。由
这四个参数可构成两个独立得无量纲量,而不就是一个。比
如,这两个量可以就是雷诺数和弗劳德数,弗劳德数为
最后,提一下非定常流。要描述一个确定类型得非定常
第四节 两个旋转圆柱面之间得流动
5.1 粘性流体运动微分方程式
xy x
dx
yy
yy y
dy
惯性力： dv y dxdydz dt
x
zy
y D
o
二.以应力形式表示的运动微分方程： 列平行六面体流体微元y方向的力平衡方程：
dvy xy yy zy f y dxdydz dxdydz 0 dxdydz y z dt x 同理可得x方向和z方向的运动微分方程： 1 xx yx zx dvx fx x y z dt
不可压缩粘性流体的N-S方程
2.法向应力与应变速度的关系：
vx xx p 2 x v y yy p 2 y vz zz p 2 z
粘性流体法向应力与应变速度关系的本构方程
四.纳维-斯托克斯方程(N-S方程)： 1 xx yx zx dvx fx x y z dt x方向的微分方程式：
z
A
zy
y D
o
二.以应力形式表示的运动微分方程： 平行六面体流体微元y方向受力情况： 表面力：
xy yy zy dxdydz y z x
B C
zy
zy z
dz
xy
yy
A
质量力：
f y dxdydz
z
xy
C
边长:dx,dy,dz
中心:M点
B M A z dy dz dx y D
o
x
在流场中取微小平行六面体流体微元ABCD，分析其受力情况： 顶点:A(x,y,z)
C
边长:dx,dy,dz
中心:M点
第五讲 粘性流动NS方程
第五讲 粘性流体动力学一、不可压缩粘性流体的运动方程——NS 方程特点：除了质量力、法向应力（压力）外，还有切向应力。
表面力——法向应力ij p——切向应力ij τ应力本身的方向向应力所在平面的法线方，--j ij i p ij τ规定：（1）法向应力沿所在平面的外法线方向；（2）切向应力在经过A （x ，y ，z ）点的三个平面上的方向与坐标轴方向相反，其他三个平面上的则相同。
1、 根据牛顿第二定律，写出运动方程沿x 轴的运动方程 dt du dxdydz dz z dxdy dzdx dy y dzdx dydz dx x p p dydz p Xdxdydz zx zxzx yxyx yx xx xx xx ρττττττρ=∂∂++-∂∂++-∂∂++-)()()( 化简后得到 )(1)(1)(1yx z p Z dt dw xz y p Y dt dv zy x p X dt du yz xz zz xy zy yy zx yx xx ∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=ττρρττρρττρρdx x p xx xx ∂∂+九个应力和三个速度分量均为未知数，四个方程。
2、 切向应力之间的关系由达朗伯原理，对M 点力矩之和为0；质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶小量，略去不计，得到02)(22)(2=∂∂+++∂∂+--dx dydz dx x dx dydz dy dxdz dy y dy dxdz xy xy xy yx yx yx ττττττ 再略去四阶小量，得到xzzx zx yz yxxy ττττττ===则九个应力中只有六个是独立变量。
3、 广义牛顿内摩擦定律速度梯度等于流体微团的角变形速率，则有y xz x yzz xy e xw z u e z v y w e y u x v μμτμμτμμτ2)(2)(2)(=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=4、 法向应力对于理想流体 p p p p zz yy xx -===对于粘性流体，有线变形，使法向应力有变化，产生附加的法向应力，关系式如下。
第五章 实际(粘性)流体动力学基础解剖
0
或
d
(z
p
u2 2g
)
g
(
2uxdx
2uydy
2uzdz)
0
(5.5)
式中，
g
(
2ux
dx
2
uy
dy
2uz
dz
)
为单位质量流体粘性
力所作的微功，记为 dhw ，代入（5.5）式
d(z
p
u2 ) 2g
dhw
0
对上式沿流线（或元流）由点1到点2积分，得
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
(5.6)
证明如下：设有一渐变流动，沿流体流动方向取为x轴，建立
正交坐标系，三个坐标轴为 x, y, z。取基准面O-O，取位置高
度方向为Oz，重力g方向与Oz相反。
根据渐变流特性，应有
ux u, uy 0, uz 0 uy uy uy 0 x y z
uz uz uz 0 x y z 根据连续方程，ux 0 。对这种情况，N-S方程可写为
第五章 实际（粘性）流体的运动学基础
§5.1 粘性流体的运动学方程：N-S方程
实际（粘性）流体的运动微分方程----纳维埃.斯托克斯方程 （N-S）方程如下：
X
1
p x
2ux
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
2 u y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
（5.1）
x
X
1
p x
(
粘性流体流动的微分方程讲课文档
因此在点（x，y，z）处的质量通量为ρu
根据质量守恒定律，对此微元体进行质量 衡算得：
输出的质量流率－输入的质量流率 ＋累积的质量流率＝0
首先分析x方向流过此微元体的质量流率：
设微元体左侧平面处的质量通量为ρux ， 则输入微元体的质量流率＝ρux dydz
右侧平面处的质量通量为
(ux
ux
x
dx)
3－1 连续性方程的推导
y
如图：在流动的流体
中选取一微元体，其
dy (X,Y,Z) dz
dx
边长为dx，dy，dz， 相应的各边长分别与 x轴，y轴和z轴平行。
z
x
流体在任一点（x，y，z）处的速度u沿x，
y，z方向的分量分别为ux ， uy，和uz ，流 体的密度为ρ，ρ为x，y，z和θ的函数。
动速度与流体运动的速度完全一致时，则
uxd dx、 uyd dy、 uzd dz
ux、uy、uz 为流体流速在三个坐标轴的分量。
此时，上述方程即可表明流体密度为位置、 时间及流体速度u的函数。此种随流体运动 的导数称为“随体导数”或“真实导数”， 或称拉格朗日（Lagrangian)导数，记为
D D uxxuyyuzz （3－7） 随体导数中的物理量可以为标量如（压力、 密度、温度、浓度等），也可以为矢量如 （速度）
力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及 角加速度三者之积。
应指出：只有剪应力才能对旋转轴产生力 矩，而法向应力和重力的作用是通过上述 形心的，故其不会产生力矩（即旋转半径 为零所致）。
令：逆时针方向旋转力为正，反之为负，
则可写出如下力矩方程：
[(xy
xy
x
dx) 2
(
02第二章 粘性流体流动的微分方程
(2 -1)
第二节 连续性方程
一、连续性方程的推导
∂(ρux ) ∂(ρuy ) ∂(ρuz ) ∂ρ (2-1) + + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂θ r ∂ρ 写成向量形式： 写成向量形式： (2-1a) + ∇ ⋅ (ρ u ) = 0 ∂θ ∂ ∂ ∂ 式中 ∇ − −哈密尔顿算子， ∇ = i ⋅ 哈密尔顿算子， + j⋅ +k⋅ ∂x ∂y ∂z
第一节 基本概念
一、研究流体运动的两种观点（方法） 研究流体运动的两种观点（方法） 2. 拉格朗日的观点（Lagrange） 拉格朗日的观点（Lagrange） 在流体运动的空间内选择一固定的流体质点 质量固定） 在流体运动的空间内选择一固定的流体质点 （质量固定） 且追随质点运动，观察其特性（如位置、体积等随时间） 且追随质点运动，观察其特性（如位置、体积等随时间）的变 化，来研究整个流动场内流体的运动规律。 来研究整个流动场内流体的运动规律。
τxy
y τxx x
τxz z
第三节 运动方程
一、用应力表示的运动方程 2. 表面力 六个表面， 六个表面 ， 每一表面力均可分解成 三个平行于x、 、 三个坐标轴的应力分 三个平行于 、 y、z三个坐标轴的应力分 量 ， 则 ： 3×6=18个 。 在 x、 y、 z方向上 × 个 、 、 方向上 各有六个， 当微元体体积缩小为一点时， 各有六个 ， 当微元体体积缩小为一点时 ， 相对表面上的法向应力与切线应力都是 相应地大小相等、 方向相反的， 相应地大小相等 、 方向相反的 ， 故只需 采用9个表面力就可以完全表达 。 采用 个表面力就可以完全表达。 即 ： 3 个表面力就可以完全表达 个法向分量， 个切线分量 个切线分量。 个法向分量，6个切线分量。
传递过程原理讲课提纲03粘性流体运动的微分方程及其应用1
第三章 粘性流体运动的微分方程及其应用主要包括三个方程:即：微分质量衡算方程---连续性方程；微分动量衡算方程---奈维-斯托克斯（Navier-Stokes ）方程； 微分能量衡算方程---特定条件下的傅立叶第二导热定律。
§1 连续性方程§1—1 连续性方程的推导取如图10微元体，作质量衡算，有：(输入微元体的流体质量流量) =(输出微元体的流体质量流量)+ (微元体中累积的流体质量流量)① 分三个方向讨论:ρ=ρ(x, y , z,θ) u = u (x, y, z,θ)在x 方向输入的流体质量：abcd 面为： ρu x ·dydza 1b 1c 1d 1 面为： [ρu x +()xu x ∂∂ρdx]dy dz x 方向净输出为：[()x u x ∂∂ρdx]dy dz同理， y 方向净输出为：[()yu y ∂∂ρdy]dx dzz 方向净输出为：[()zu z∂∂ρdz]dy dx②微元体中累积的流体质量流量为：dxdydzd dxdydzdxdydz d ⋅∂∂=-⎪⎭⎫⎝⎛⋅∂∂+θρθρθθρρ于是 ：()()()=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θρρρρzu yu xu zyx(1)xz图 11或（表示法①）()0=∇+∂∂uρθρ▽－微分算符(哈密特算符),亦称散度§1－2 连续性方程的分析与简化由于流体流动时： ρ=ρ(x, y , z,θ)故 d ρ=dz z dy y dx x d ∂∂+∂∂+∂∂+⋅∂∂ρρρθθρ即 d ρ/d θ=θρθρθρθρd dz z d dy y d dx x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=θρρρθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zy x u yu xu (2)式中d ρ/d θ称为随体导数,记作θρD D定义:)(zu yu xu D D zy x∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=θθ(3)随体导数＝局部导数＋对流导数故上述连续性方程亦可写作（表示法②）：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u D D zy x ρθρ即θρD D = -ρ▽()u(4)讨论 : ①对稳态流动( 运动参数不随时间但可随位置而变化 ),0=∂∂θρ故： ()0=∇uρ② 对不可压缩流体，不论流动是否稳定，因为ρ = 常数故 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y x 常用此方程来判别流体的可压缩性③ 由于ρ·υ= 1故: 0=+θρυθυρD D D D 或11=+θρρθυυD D D D式中:θυυD D 1反映了微元流体流动时的体积随时间的变化率, 形变速率θρρD D 1反映了微元流体流动时的密度随时间的变化率比较式(4)可知（表示法③）：u zu yu xu D D z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=θυυ1增例: 某流体运动时其运动速度服从如下空间分布，试判别其压缩性。
粘性流体运动详解演示文稿
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx 附加粘性正应力
xx p xx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
第5页，共89页。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：
p xx yy zz 3
1 r2
2v
2
2
r2
v r
2v z 2
第18页，共89页。
v
1
r
2
v max
R
u
vdA
A
1
R 2
R
0 v 2rdr
1
R 2
R 0
2v max
1
r R
2
rdr
v max 2
v max
4L
R2
第19页，共89页。
引入：阻力系数（又称范宁因子）
f w
u2
2
v
1
r
2
•
0 或 2 0
• 上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。
• 在笛卡儿坐标系中：
•
• 在柱坐标系中：
•
2 2 2 2 0
x2 y 2 z 2
• 式中 为拉普拉2斯 算子2r2 。1r 满r 足 r拉12 普22 拉 斯2z2 方 0程的函数为调和函数，
故速度2势是调和函数。
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二 流函数
• 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:
V
vx
v y
0
• 若定义某一个函数（流函数）x y
令:
(x, y)
粘性流动三大方程推导
连续性方程：单位时间内从x, y, z 方向流入体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v z y x ρρρ,, 单位时间内从x, y, z 方向流出体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v dz z dy y dx x +++ρρρ,, 有:dydx v v dxdz v v dydz v v dxdydz tdz z z dy y yx dx x x )()()(+++-+-+-=∂∂ρρρρρρρ其中: dx x v v v x x dxx ∂∂+=+ρρρ；dy yv v v y y dy y ∂∂+=+ρρρ；dz z v v v zz dz z ∂∂+=+ρρρ； 可得连续性方程:v div v zv y v x v t i z y x ρρρρρρ-=∙-∇=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()( 全微分形式推导：密度ρ是时间t 和空间x, y, z 的函数，即ρ= ρ(t, x, y , z )，则根据全微分定义可得：dz zdy y dx x dt t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρρ 对t 求导可得：z v y v x v t dt dz z dt dy y dt dx x t dt d zy x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=ρρρρρρρρρ zv y v x v t t dt d zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=ρρρρρρρ…………全微分形式 ρρρρρ)(∇∙+∂∂=∇∙+∂∂=v v tt dt d , 由ρρρρ∇∙-∙∇-=∙-∇=∂∂v v v t )(可得：)( zvy v x v d i v dt d z y x v v v v v ∂∂+∂∂+∂∂-=-=∙∇-=∇∙+∇∙-∙∇-=ρρρρρρρ随体导数：dt d ；定义为：zv y v x v t t Dt D z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=)( 任一物理量随体导数形式为：zFv y F v x F v t F F t F Dt DF zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=运动方程：物理意义：∑=ii F dt d mv ；其中dt d dxdydz dt d V dt d m v v v ⋅=⋅=ρρzv y v x v t t dt d v v v v v v v v z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=：x 方向：zvv y v v x v v t v dt dv x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y 方向：zv v y v v x v v t v dt dv y z y y y x y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= z 方向：zv v y v v x v v t v dt dv z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 质量力：zz g y y g xx g g dxdydz mg F g dxdydz mg F g dxdydz mg F z y x )()()(ρρρ======表面力：定义：SFS n δδσδlim)(→= 流出流体表面力的泰勒级数展开（x 向为例）：dxdydz zdxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz zx zx x dz z xyyx x dy y xxxx x dx x )()()()()()(∂∂+=∂∂+=∂∂+=+++σσσσσσσσσ净面力计算（x 向为例）：dxdydz z y x dxdydz z dxdy dxdy dxdydz y dxdz dxdz dxdydz x dydz dydz F zxyx xx xzzx x dz z xy yxx dy y xx xx x dx x )()()()(∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=-∂∂=-∂∂=-=+++∑σσσσσσσσσσσσdxdydzz y x F dxdydz zy x F dxdydz z y x F zz yz xz z zyyy xy y zxyx xx x )()()(∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσσσσσ各轴向动量变化率： 各轴向∑F ：dt d dxdydz dt d m dt d dxdydz dt d m dtd dxdydz dt d m zz y y x x νρννρννρν=== dxdydz zy x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F zz yz xz z z gz z zyyy xy y y gy y zx yx xx x x g xx )()()(∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∑∑∑σσσρσσσρσσσρ各轴线方向分量的运动方程：zy x g dt d zy x g dt d z y x g dt d zz yz xz z zzy yy xy y y zx yx xx x x ∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=σσσρνρσσσρνρσσσρνρ 运动方程的张量形式：ij i i j ji i i g DtDvx g Dt Dv σρρσρρ∙∇+=∂∂+=或 ij ij ij p τδσ+-=实用的粘性流体剪切流动的运动方程： ij i ip g DtDv τρρ∙∇+∇-= )(zy x i p g Dt Dv ziyi xi i i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=τττρρ运动方程在直角坐标系中各方向分量的全微分展开形式：x 方向：)()(zy x x p g z v v y v v x v v t v zx yx xx x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρy 方向：)()(z y x y p g z v v y v v x v v t v zyyy xy y y z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ z 方向：)()(zy x z p g z v v y v v x v v t v zzyz xz z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ 运动方程物理意义：表面粘性力压力重力体积动量局部动量)()(z y x i p g z v v y v v x v v t v ziyi xi i i z i y i x i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ能量方程：物理意义：总能量变化率＝单位体积流动能量E 1＋热能净流量E 2＋应力做功E 3＋重力做功E 4 总能量变化率：tE ∂∂)(ρ 单位体积流动能量E 1：)(1i E E ρν∙-∇=x 方向：dV x E dxdydz x E dxdydz x E dydz E dydz E x x x x x ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ y 方向：dV yE dydxdz y E dydxdz y E dxdz E dxdz E y y y y y ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρz 方向：dV z E dzdxdy z E dzdxdy z E dxdy E dxdy E z z z z z ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ热能净流量E 2：)(2i q E ∇-=设沿着x 轴，y 轴，z 轴方向在单位时间、单位面积流入的热流密度（即热通量）分别为q x ， q y ，q z ： x 方向：dV x qdydz dx x q q dydz q x x x x ∂∂-=∂∂+-)( y 方向：dV yqdxdz dy y q q dxdz q y y y y ∂∂-=∂∂+-)( z 方向：dV zqdxdy dz z q q dxdy q z z z z ∂∂-=∂∂+-)( 应力做功E 3： )(3i ij j i ijv x v E ∙∙∇=∂∂=σσ 推导原理：dv dF dtdsdF dt dE F ⋅=⋅= x 方向： dV xz xz y xy x xx )(νσνσνσ++∂∂y 方向：dV yz yz y yy x yx )(νσνσνσ++∂∂z 方向：dV zz zz y zy x zx )(νσνσνσ++∂∂ji ij j i jix x ∂∂=∂∂νσνσσ有，作为 对称张量 重力做功E 4：i i v g E ⋅=ρ4 能量方程张量形式：i i ij i i v g v q E tE ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂i )()()(ρσρνρ 能量方程全微分形式推导（实用能量方程）：总能量E = 内能U + 动能K 单位体积能量变化率：dtdKdt dU dt dE ρρρ+= 1. 求解dtdE做随体导数展开：E tE dt dE v ∇∙+∂∂= 同乘以ρ得：E t Edt dE v ∇∙+∂∂=ρρρ有能量方程张量形式：v v v g q E tE t E t E ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂+∂∂=∂∂ρσρρρρ)()()(有运动方程偏微分形式：)(v tρρ∙-∇=∂∂ )(v E tEρρ∙∇-=∂∂ 带入随体导数形式可得： E E g q E E tE t E dt dE v v v v v v ∇∙+∙∇∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∇∙+∂∂-∂∂=+ρρρσρρρρρ)()()()(对第一项做∇运算展开：E E E vv v ∇∙+∙∇=∙∇ρρρ)()( 代入可得：v v g q dtdE∙+∙∙∇+-∇=ρσρ)( 2. 求解dt dU有：v v g q dtdK dt dU dt dE ∙+∙∙∇+-∇=+=ρσρρρ)(其中：dtdv v dt v d dt m mvd dt dK ⋅===222121，所以dt d dt dK v v ⋅=ρρ 代入可得：dtd g q dt dK dt dE dt dU v v v v ⋅-∙+∙∙∇+-∇=-=ρρσρρρ)( 有运动方程全微分形式：σρρ∙∇+=g dtd v ， 代入可得： )()()()(σσσρρσρ∙∇∙-∙∙∇+-∇=∙∇∙-∙-∙+∙∙∇+-∇=v v v v v v q g g q dtdU 有张量恒等式置换： v v v ∇=∙∇∙-∙∙∇:)()(σσσ(其中v ∇为并矢运算)，代入可得：i ij i v q dtdU∇+-∇=:σρ又ij ij ij p τδσ+-=，代入可得：i ij i i v v p q dtdU∇+∇--∇=:τρ3. 求解dtdT内能U 是温度T 和体积V 的函数，其全微分形式为：dV V U dT C dV V U dT T U dU T V T V )()()(∂∂+=∂∂+∂∂=，其中V V TU C )(∂∂=………定容比热容； 由热力学第二定律，将dU 写为熵变与体积关系：pdV TdS dW dQ dU -=-=将其在恒温下对体积求导可得： p V ST V U T T -∂∂=∂∂)()(由麦克斯韦热力学函数关系：T V V S T p )()(∂∂=∂∂，代入可得：p Tp T V U V T -∂∂=∂∂)()( 将其代入dU 全微分形式：dV p TpT dT C dU V V ])([-∂∂+= 写为dt dU形式：dtdV p T p T dt dT C dt dU V V ρρρ])([-∂∂+=其中，iv dt d dt d dt d dt dV v ∙∇=∙∇-⋅-=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(11112ρρρρρρρρρρ代入可得：i V V v p T pT dt dT C dt dU ∙∇-∂∂+=])([ρρ联立dtdU ρ两个表达式：i ij i i i V V v v p q v p T p T dt dT C ∇+∇--∇=∙∇-∂∂+:])([τρ至此，可求得以dtdT描述的能量方程全微分形式：i ij i i V v v Tp T q dt dT C ∇+∙∇∂∂--∇=:)()(τρρ，其中V T p T p )()(∂∂≡∂∂ρ能量方程全微分展开形式：∑+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ij z y x V z y x z y x V A zv y v x v T p T z q y q x q z Tv y T v x T v t T C )()()()(或ρρ 其中:)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 注：i ij v ∇:τ的并矢运算和双点积)()()(::332211zvy v x v z v y v x v z v y v x v A A A z v z v z v y v y v y v x v x v xv v A z zz z zy z zx y yz y yy y yx x xz x xy x xx z y x z y x z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx i ij ij ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇=∑τττττττττττττττττττ 又ji ij ττ=，移项整理可得：)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 傅立叶热传导方程推导：设流体不可压缩，且流体粘度很低，则可忽略膨胀功与摩擦生热作用；能量方程可简化为：i Vq dtdTC -∇=ρ 将导热通量i q 在x, y, z 三个方向展开：zTq y T q x T q z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=λλλ, , 则单位时间通过流体微元的导热量为：T zT yT xT q ∇-=∂∂+∂∂+∂∂-=λλλλ)(代入简化能量方程，有：T C T q dt dT C Vi V∆=∇--∇=-∇=ρλλρ)(定义扩散系数（导温系数）a ：VC a ρλ=单位：s m /2 其中：λ为导热系数，单位：K m W ⋅/；ρ为密度； V C 为定容比热容，单位：K kg J ⋅/ 引入扩散系数a ，则写为傅立叶热传导方程：T a DtDT∆=。
粘性流体动力学基础Y
2ux z2
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
根据牛顿第二定理： m a F （1） max Fx
ma x F x ma y F y ma z F z
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
（2） may Fy
ddyutfy1 p yν 2xu2y2zu2y
（3） maz Fz
根据牛顿第二定理： max Fx
x轴方向受到的表面压力：
p dxdydz x
x轴方向受到的表面切应力的合力力：
2ux y2
2ux z2
dxdydz
x轴方向受到的质量力： fxdxdydz
dxdyddduxztpxdxdydfxzdxdydz2yu2x 2zu2xdxdyd
dduxtfx
1px2yu2x
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
x y z
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
粘性流体动力学基础Y
（优选）粘性流体动力学基础 Y
一、 粘性流体的运动微分方程
——纳维—斯托克斯方程（N—S方程）
理想流体： ，0 表面力无粘性切应力，只有法向压应力。 粘性流体： ，0 表面力有粘性切应力和法向压应力。
取六面体的流体微团为控制体， 其边长分别为：dx、dy、dz C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ
动压强：p
速度：ux、uy、uz
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补充了3个方程，多 一个未知数 pt
粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该点三个 相互正交平面上法向应力的平均值。
1 2 ux u y uz p (p xx p yy pzz ) p t 3 3 x y z
对于不可压缩粘性流体
广义牛顿内摩 擦定律
u x z
应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向；第二个 脚标表示应力的方向。 （2）粘性流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各 方向大小不等，即pxx pyy pzz。
二、以应力表示的粘性流体运动微分方程
z
'zy
xy xz
dz
pxx
dy dx
yx pyy yz p'xx 'xz p'yy 'yz 'xy 'yx pzz zx zy
二阶非线性非齐次偏微分方程组
四个未知量ux，uy，uz和 p
N-S方程与连续性微分方程4个
理论上可 以求解
只能对一些简单的流动问题，如圆管中的层流 等，求得精确解。 对于大多数较复杂的不可压缩粘性流体的流动问 题，难以用该方程求出精确解。
计算流体力学的发展，可以用该方程求得许多复 杂流动的近似解。
补充了6个方程
2、法向应力和线变形速度的关系
u x p xx pt p ' xx pt 2 x pt——理想流体压强 u y p yy pt p ' yy pt 2 理想流体中，同一点各方向的法 y 向应力相等 pxx= pyy = pzz=pt uz pzz pt p ' zz pt 2 z
xHale Waihona Puke p'zz’zx
x方向（牛顿第二运动定律）
y
p xx Xdxdydz [ pxx dydz ( pxx x dx )dydz ]
[ yx dxdz ( yx
x dxdydz du dt
yx y
dy )dxdz] [ zxdxdy ( zx
p =p t
三、不可压缩粘性流体运动微分方程
——纳维一斯托克斯方程（N-S方程） 将补充的关系式代入以应力表示的粘性流体 运动微分方程，整理后得到
X Y Z
1 p x 1 p y 1 p z
v u x
2
du x dt du y dt du z dt
zx z
dz )dxdy]
化简后得 x方向 y方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt 1 p yy 1 zy xy duy Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz Z z x y dt
无法求解
z方向
9个应力，3个速度分量，共12个未知数
3个方程加上连续性方程，共4个方程
补充关系式： 1、切应力和角变形速度的关系
yz zx xy
u z u y zy y z u x u z xz x z u y u x yx x y
第八节
一、粘性流体的特点
粘性流体运动微分方程
（1）粘性流体的表面力包括：压应力和粘性引起的切应力。
xy ( yz ( zx (
u x y u y z u z x
u y x u z y
) yx ) zy ) xz
u x t u y t u z t
u u u
u x x x
u u u
u x y y
u u u
u x z z
v u y
2
u y x x
u y y y
u y z z
v u z
2
u z x x
u z y y
u z z z