第二讲：微观基础1：一个简单的代表性行为人模型(中级宏观经济学-浙江大学 何樟勇)

max u (c, l )
c ,l , k s
s.t.
c w(h l ) rk s 0 k s k0
(1.2) (1.3) (1.4) (1.5)
0l h c0
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这里， k s 是消费者租给企业的资本数量。(1.2)式是 预算约束方程；(1.3)式说明消费者租给企业的资本 数量必须是正的，并且不能超过自己初始拥有的数 量；(1.4)式闲暇的约束条件；(1.5)式是对消费所强 加的一个非负约束。
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求解消费者对闲暇的需求数量， 把闲暇 l 写成 是 w, r, k 0 的函数，则方程(1.6)式可以重写为：
u2 w u1
也就是说， 闲暇与消费的边际替代率等于工资率。 我们可以借助图 1.1 来更直观地看这一结果。
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出于习惯，经济学家一般更愿意用消费品作 为记价物，在这里，我们也秉承这一传统。 市场上共有三种可交易的对象：消费、闲暇 和资本服务的租金。闲暇的价格用消费品衡 量记为 w ，资本的租金用消费品衡量记为 r 。
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消费者把 w 和 r 视为给定，在预算约束下寻求自己 的效用最大化。也就是说，每个消费者都在求解如 下这样一个最优化问题：
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偏好
消费者偏好由如下的效用函数代表： u(c, l ) ，其 中，c 是消费， l 是闲暇。这里，效用函数是一 个严格凹的、 二次可微的、 对每个变量是严格递 增的函数。我们也假设效用函数有如下特征：
lim u1 (c, l ) , l 0 以及 lim u 2 (c, l ) , c 0 。这里，
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我们的模型虽简单，但其所使用的分析方 法与我们在后面几讲将要介绍的更为复杂 的模型却是一样的，都是首先关注经济行 为人的最优化问题，也即考察行为人在面 临一些约束的情况下如何去最大化自己的 目标函数。然后再分析不同行为人的自利 行为交互作用会产生怎样的结局。 一般地说，在处理这样一种最大化问题时， 我们需要知道消费者的偏好，企业的生产 技术以及消费者与企业所能获得的资源禀 赋。
c 0 l 0
ui (c, l ) 是效用函数 u (c, l ) 对第 i 个变量的导数。
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技术
企业根据如下的生产函数进行消费品的生产：
y zf (k , n) 。其中，y 是产出，k 是资本投入，n 是
劳动投入，z 是全要素生产率参数。这里，生产函 数是一个严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一 个变量都是严格递增的函数。
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简单说，瓦尔拉斯定理阐述的就是：整 个市场的超额需求总是为零的，而这又 意味着，如果有M个市场，那么，只要M －1个市场出清了，那么，剩下的一个市 场也会自动出清。因此，当我们在求解 竞争均衡的价格和数量时，我们可以省 略一个市场出清条件。在这里，我们就 省略（1.12）式吧！
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c 预算线斜率 ＝－w A
无差异曲线在 E 点
· E
u2 斜率＝－ u1
B
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l
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劳动供给函数
方程（1.6）实际上是以隐函数的形式给出 了消费者的闲暇需求函数，若定义 l (w, r , k 0 ) 为闲暇需求函数，那么，我们可以进一步得 到消费者的劳动供给函数：
其中， k k ， n n 。
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而且，由于有规模报酬不变的假设， (1.10)式对 于任何 k k 和 n n （ 0) 也成立，因而企业 的最优规模是不确定的。这一特性使我们可以不 考虑企业的数目，因为企业的数目与竞争均衡解 无关。
二、消费者的最优 化行为
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在一个没有货币的经济中，所有价格都是相 对价格，因此，我们可以任意地选出某一种 商品，把它的价格标准化为 1，这并不会对分 析结果产生任何影响。我们把这一价格被标 准化为 1 的商品称为记价品。
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其中， k d 和 n d 分别代表企业的资本需求和劳动需 求， 代表折旧率，出于简单化考虑，在这里， 我们假定 1，也即资本使用一期后完全报废。
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每个企业在把 w 和 r 视为既定的情况下，通过选择一 个恰当的劳动和资本的投入数量来最大化利润。 也就 是说，企业在求解如下这样的一个最优化问题：
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一、决策环境： 偏好、禀赋与技术
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基本环境

经济活动只进行一期，经济中只有一个 代表性消费者和一个代表性的企业。代 表性消费者将决定最优的消费数量和劳 动供给数量；代表性的企业将决定最合 适的资本和劳动的使用数量。消费者和 企业的行为是竞争性的，也即他（她） 们都是在视市场价格为既定的情况下来 做决策的。消费者拥有企业。
n s ( w, r , k 0 ) h l ( w, r , k 0 )
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三、企业的最优化 问题
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第二讲：微观f (k d , nd ) rk d (1 )k d wnd
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现在，消费者的最优化问题会变得简单起来，我们 可以把消费者的最优化问题用如下一个拉格朗日 方程来表述：
u(c, l ) (wh rk0 wl c)
这里， 是拉格朗日乘子。
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我们已经对效用函数作了一系列限定，这可以确保产 生一个唯一的最优解，这个最优解可以通过如下的一 阶条件得到描述：
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一个竞争均衡是指满足如下特征的数量解
(c, l , n, k ) 和价格解 ( w, r ) ：
1.代表性消费者在视 w 和 r 为给定的情况下 选择最优的 c 和 l 。 2. 代表性企业在视 w 和 r 为给定的情况下选 择最优的 n d 和 k d 。 3.市场出清。
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因为效用会随消费的增加而增加，因此，必然有
k s k 0 ，也即(1.2)式将取等号。事实上，我们对效
用函数的限制本身就可以确保我们对消费和闲暇 所作的限制，在均衡时，闲暇永远不会取 l h ，因 为那样的话，将没有什么被生产出来。因此，我们 可以忽略(1.4)和(1.5)两个约束条件。
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四、放所有的在一起： 竞争均衡
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到目前为止，我们仅研究了消费者和企业在价格 给定的情况下如何行为。 消费者的行为通过劳动供给曲线得到概括 企业的行为通过劳动需求曲线得到概括 那么，劳动的数量和价格使怎样被同时决定的？ 通过市场协调消费者、 企业和政府各自分离 的活动
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因为生产函数是一次齐次的，因此，欧拉定律将 成立。因为通过让(1.1)式对 求偏导数，并令 ＝ 1，我们可以得到：
zf (k , n) zf1k zf 2 n
(1.9)
这样，方程(1.7)、(1.8)和(1.9)就意味着最大 化的利润等于零。
k 0 k n 0
lim f 2 (k , n) 0 。
n
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禀赋
代表性消费者拥有 k 0 单位的资本， 这些资本 可以租给企业，但不能用于消费。同时，代 表性消费者也拥有 h 单位的时间禀赋， 它们 既可以用于劳动也可以用于闲暇。
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（1.14）
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注意，即使利润不为零，（1.14）也将 成立，因为利润最终是归消费者所有的。 但现在，只要（1.11）、(1.12)和(1.13) 式中有任何的两个得到满足，那么， （1.14）就意味着第三个市场出清条件 将自动成立。方程（1.14）就是该模型 里的一个简单的瓦尔拉斯定理。
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利用这些条件，我们可以求得均衡的利率 r 和均 衡的工资 w 。一旦求得均衡利率和均衡工资，我 们就可以得到均衡的劳动数量 n （闲暇数量 l ） 和资本数量 k ，得到这些均衡解以后，利用预算 约束条件，我们也可以求得均衡的消费数量 c 。
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现在，整个市场的超额需求为：
c y w[nd (h l )] r (k d k 0 )
根据消费者的预算约束条件以及利润最大化 时企业将获得零利润的事实，我们有：
c y w[nd (h l )] r (k d k 0 ) 0
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max zf (k d , nd ) rk d wnd
k d , nd
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最优解的一阶条件就是两个边际产出条件：
zf1 r zf 2 w
(1.7) (1.8)
这里， f i 表示的是生产函数对第 i 个变量的 偏导数。
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