第二章海洋环境 2

x(t ) x0 (t )
z(t ) z0 (t )
可以推算出x(t=0),z(t=0)表达如下
x(0) x0 aekz0 coskx0
z(0) z0 aekz0 sin kx0
水质点的迁移量
a
0
(t ) aekz cos(t kx0 )
g 0, z 0 t
1 , z0 g t
0, z t x x z
2
0, z 0 z t
g 0, z 0 2 t z
考虑平面行进波沿x正方向以波速c向前传播，x轴位于静 水面上，z轴竖直向上为正。波浪在xz平面内运动。
1.2 线性微幅波理论（一阶近似）
波动问题线性化 假设波动的振幅a远小于波长L或水深h， 首先由艾利1845年提出， 非线性项与线性项之比是小量，可略去，
微幅波理论。 艾利波理论。 线性波理论。
2 2 1 z g 0 z t 2 x z
u x
w z
u w 不可压缩流体连续方程 0 x z
u x
w
2
z
势波运动的控制方程
2 2 2 0 2 x z
或记作
0
定解条件
①) 在海底表面，水质点垂直速度应为零，即
0, z
w z h 0
a1 du ( x, z, t ) u 2 a e kz cos( t kx ) dt t
z方向加速度分量：
a3 dw( x, z , t ) w 2 a e kz sin(t kx ) dt t
水动压力
微幅波场中任一点的波浪压力可由线性化的伯努利方程求得。
2 cT c k c k 2
1.2.1 无限水深线性波及特征
无限水深入射波速度势 用 表示相应的流体速度势。易知速度势与y无关 。先考虑水深为无穷深的情况， 的定解条件如下：
2 0
z t
z0
z0
z0
z

1、规则波特征 2、波浪的统计描述 3、风 4、海流 5、海冰 6、 内波
1 规则波特征 1.1 波浪运动非线性定解问题
波浪理论按不同要素划分原则可分为：线性的、非线
性的，有旋的、无旋的、规则的、不规则的、单向的或多 向的、浅水的或深水的等。 我们主要关注与海洋石油平台结构密切相关的模型： 一般远离海岸，局部水深不变，与波长相比，水深相对较 大。
根据自由面动力学条件：F (0) g a 可知
g a /
所以速度势为：
g a ch[k ( z h)] cos( t kx ) chkh
k 2 F ( z) cos(t kx) F cos(t kx) 0
该方程通解是：
F ( z) ekz ekz
由底部条件 0 可知 0 再根据： g a F ( 0) 可知：
z

再根据：
g a

F (0) a
入射波速度势
1.2.2 有限水深线性波及特征
再考虑有限水深的情况，设水深为常数h，且水底 是刚性壁面，即水底边界条件为：
0 z
( z h)
同前面针对无限水深的入射波势的分离变数解求解方 法，可知适合该底部条件的解为：
chk ( z h) F ( z) ch(kh)
1 g t
0
由线性动力学条件和平面行进波表达式，可知速度势 取如下形式：
( x, z, t ) F ( z) cos(t kx)
用线性动力学条件，可知：F ( 0) g Nhomakorabea a
再用线性运动学条件，可知：
F (0) a
用拉普拉斯方程决定入射波速度势表达式中的未知函数 F ( z )
计波面方程为z=ζ (x,t),则：
( x, t ) a sin(t kx)
这里的 a 为波幅，k表示波数，表示x轴上2π范围内 波的个数。
1.0
/a
0.5
0.0 -1 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 7
-1.0
波形传播一个波长距离时，波浪质点振荡一个周期， 记波形传播速度为c（也称为相速度）
自由水面运动学边界条件为
0, z t x x z
③) 波场上、下两断面边界条件
非线性 项
( x, z, t ) ( x ct , z )
波动定解问题
2 0
0, z h 0 z
t
z
x x0 ,
t 0
z z0 处速度等于 x0, z0 处速度
t
x(t ) x(0) u( x0 , z0 ) dt u( x0 , z0 ) dt
0
z (t ) z (0) w( x0 , z0 ) dt w( x0 , z0 ) dt
b
(t ) aekz sin(t kx0 )
0
水质点运动轨迹方程为 任意时刻水质点的位置
x x0 2 z z0 2
a
2
b
2
1
x x0
y y0
在深水情况下，a=b= a e kz ，水质点运动轨迹为为一个圆，在
水面处轨迹半径为波浪振幅，随着质点距水面深度增大，轨迹圆 的半径以指数函数形式迅速减小。
2
g
可以获得波数k与频率ω应满足下述关系式：
k
• 故得无限水深线性入射波势的表达势：
g a

e kz cos( t kx )
由色散关系可得相速度c和波长λ 之间的关系：
c

k

g g k 2
即c与 成正比，波长逾长传播速度愈大，这就是通常人们说的
：长波传得快，短波传得慢。
z= -h
②) 在波面z=η 处，应满足两个边界条件. 动力边界条件:由假设自由水面压力为常数并令p=0，根据伯 努利方程有,
t
z
2 2 1 2 x z
z
g 0
非线性项
练习1
• 矩形水池中流体的谐摇运动
考虑部分充水的一矩形水池，水深为常数虽且等于h ，池宽为2b。假设在(y,z)平面内有流体的二维运动且水 池本身不在移动。 （a）证明速度势：
满足Laplace方程和池底边界条件 (b) 该速度势在池壁上满足边界条件的波数k是多少？
(c) 由自由液面条件证明，当流体可能有流动时，周期 （即固有周期）仅能由下式给定：
基本假定
• • • • • • 流体是均质和不可压缩的； 流体是无粘性的理想流体； 水流运动是无旋的； 海底水平、不透水； 流体上的质量力仅为重力； 波浪属于平面运动，即在xz平面内作二维运动。
控制方程
势波的水质点的水平分速u和垂直分速w可由速度势函数导出 V i k V ui wk x z
z0 )为中心作圆周运动，其圆 说明深水波的水质点以( x0 ， 周半径为 aekz0 ，并随水深增加呈指数减小 。在 z0 时，
ae kz0 ae 2
a 在 z0 / 2 时，即半个波长的水深处， ，运动 ae kz ae 23 半径为波幅的1/23，波动幅度很小，这种情况在工程上可认 为是波浪的影响下限。
波浪运动速度，加速度
波以相速度传播，但流体质点却以低得多的速 度运动，其速度为（u,v,w），即：
u a e kz sin(t kx ) x
v 0 y
w
a e kz cos( t kx ) z
按线性理论求得的波峰和波谷下速度 的水平分布(x轴与z轴的尺度不同)
当 h / b 0 时，推导一个近似的公式。 (d) 以时间函数的形式描述在自由液面处的流体运动。
练习2
• 行进水波 考虑一速度势：
其中：r ( x2 y 2 )1/ 2 ，A为常数，假定为深水且自由液面在 水平范围内无限扩展。 (a) Laplace方程是否在流场内处处满足？ (b) 该流场势所描述的波是沿何方向传播的？ (c) 波幅在空间内是如何变化的？
0
a 535
，运动半径仅为波幅的1/535，几乎无波动；
练习3 规则波运动学
考虑在船模水池一端的造波机生成圆频率为 的长峰规则波。在 以下计算中可假定波的周期为2s，波幅为0.25m，水池长l00m。 (a)水池中最大流体速度为多少？ (b)考虑在波前过去一段时间后有一位于池旁的观测者，连续两个波峰通 过该观察者的时间间隔是多少？ (c)如果观察者以1ms-1的速度走向或离开造波机时，(b)的结果如何？
2 2 1 p gz t 2 x z
p
(压力场)
两个困难
1) 自由水面边界条件是非线性的； 2) 自由水面位移ζ 在边界上的值是未知的，即边界条件不 是确定的。 要求得上述波动方程的边值解，最简单的方法是将边界 条件线性化（自由面边界条件线性化），将问题化为线性问 题求解，进而得到我们所说的微幅线性波理论。
0 0
t
t
将微幅波速度 u,w 带入以上两个积分式，可得流体质点轨 迹：
x(t ) aekz0 cos(t kx0 ) aekz0 coskx0 x(0)
z(t ) aekz0 sin(t kx0 ) aekz0 sin kx0 z(0)
将流体质点轨迹表示成：