甘肃省学业水平测试题

永昌县第一高级中学数学学业水平
测试卷
一、选择题（每小题4分，共40分） 1.已知集合
{}1,2A =,{}1,0,1B =-,则A B 等
于（） A.
{}1 B.{}1,0,2- C.{}1,0,1,2- D.∅
2.cos120︒
的值是（）
A.2-
B.12-
C.12
D.2 3.不等式2
230x x --<的解集是（） A.
()3,1- B.()1,3- C.()(),13,-∞-+∞ D.
()(),31,-∞-+∞
4.已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=,若12//l l ,则a 的值为（）
A.8
B.2
C.1
2
- D.2-
5.函数sin 2y x =是（）
A.最小正周期为2π的偶函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数 6.在等比数列
{}n a 中,若362459,27a a a a a ==,则
2a 的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.9
7.如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩则
2x y +的最大值为（）
A.1
B.
53 C.2D.3
8.已知某几何体的三视图如图1所示,其中俯视图 是腰长为2的等腰梯形,则该几何体的体积为（）
A.
C.
9.已知向量=
a ()1,n ,=
b (),1n ,其中1n ≠±,则下
列结论中正确的是（）
A.
()()//-+a b a b B.()//+a b b
C.D.
()+
⊥a b b 10.已知函数
(
)1f x =,则对任意实数
12x x 、,且1202x x <<<,都有（）
A.B. C.D.
二、填空题（每小题4分，共20分） 11.函数()ln
21y x =-的定义域是.
12.在空间直角坐标系Oxyz 中,点()1,2,3-关于原
点O 的对称点的坐标为.
13.某公司生产
A 、
B 、
C 三种不同型号的轿车，
产量之比依次为2:3:4，为了检验该公
司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车
比B 种型号的轿车少8辆，那么n =. 14.已知函数1(0x
y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A .
若点A 在直线
上,则
12
m n
+的最小值为. 15．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，
12,A 的12名篮
()()
1221x f x x f x <()112
x f x x >()()-⊥+a b a b ()122
x f x x >正视图
侧视图 俯视图
()()
1122x f x x f x <
球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:
（1）完成如下的频率分布表: （2）从得分在区间
[)10,20内的运动员中随机抽
取2人,求这2人得分之和大于25的概率. 17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的
边分别为a 、b 、c ，已知
1
3,2,cos 3
a b A ===．
（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.
18．（8分）如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中
点，平面PAC ⊥平面
ABC ．（1）在线段AB 上
是否存在点E ,使得//DE 平面PAC ？若存在,指
出点E 的位置,并加以证明；若不存在,请说明理由; （2）求证：PA BC ⊥. 19.（8分）已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，
且1310a a +=,424S =．
（1）求数列
{}n a 的通项公式；（2）令
12
11
1n n
T S S S =++
+，求证：34
n
T <
. 20.（10分）已知
1
13
a ≤≤,若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最
小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.
（1）求
()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程
()0g a t -=有解,求实数t 的取值范围.
附加题（10分）已知圆C 的圆心坐标为
()1,2,直线
:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，
MN =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠,过点(),0A t 作圆C 的切线,切点为B ，记1d AB =,点
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写
出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查
数据处理能力．满分12分． (1)解:频率分布表: ………4分 (2)解:得分在区间
[)10,20内的运动员的编号为
2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的
抽取
结
果有:
{}23,A A ,{}24,A A ,{}28,A A ,{}
211,A A ,
{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,
{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种.………7分
12
1d d -
“从得分在区间
[)10,20内的运动员中随机抽取2
人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可
能
结
果有:
{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}
38,A A ,
{}311,A A ,{}48,A A ,
{}411,A A ,{}811,A A ,共8种.………10分
所以()8
0.810
P B =
=. 答:从得分在区间
[)10,20内的运动员中随机抽取2
人,这2人得分之和大于25的概率为
0.8.………12分
16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<
<，1cos 3
A =
，
∴sin 3
A ==．………2分
由正弦定理得：
sin sin a b
A B
=
，………4分
∴2sin 3sin 39
b A B a
===.………6分
（2）解：∵1
3,2,cos 3
a b A ===，
∴
222
1
23
b c a bc +-=.………8分
∴
222231
223
c c +-=⨯， 解得3c =.………12分
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础
知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分． （1）解：在线段
AB 上存在点E ,使得//DE 平面
PAC ,点E 是线段AB 的中点.…2分
下面证明//DE 平面PAC :
取线段AB 的中点E ,连接DE ，………3分 ∵点D 是线段PB 的中点，
∴DE 是△PAB 的中位线.………4分 ∴//DE PA .………6分 ∵PA ⊂平面PAC ，DE
⊄平面PAC ，
∴//DE 平面PAC .………8分 （2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===, ∴2
2
2
AB BC AC =+. ∴AC BC ⊥.………10分
∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面
PAC 平
面ABC
AC =，BC ⊂平面ABC ，
∴BC ⊥平面PAC .………12分 ∵PA ⊂平面PAC ， ∴PA BC ⊥.………14分
18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式
等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． （1）解：设等差数列
{}n a 的公差为d ,
∵1310a a +=,424S =,
∴112210,43
424.2
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩………2分 解得13a =,2d =.………4分
∴()32121n a n n =+⨯-=+.………6分
（
2
）
证
明
：
由
（
1
）
得
()()
()1321222
n n n a a n n S n n +++=
==+，…
……8分 ∴12
111
n n
T S S S =
++
+
………10分
=31114212n n ⎛⎫
-+ ⎪++⎝⎭
………12分
3
4
<
.………14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．
(1)解:设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心
()1,2到直
线l
的距离d =
=………2分 ∵
MN =2,
∴2=.………3分 ∴
2= (4)
分
解得r =………5分
∴
所
求
的
圆
C
的
方
程
为
()()2
2
123x y -+-=.………6分
(2)解:∵圆C ：()()2
2
123x y -+-=的圆心
()1,2
C ,半径r =
∴
1
d AB
==
=
=
.
………8分 又
点
(),0A t
到直
线l
的
距离
2
d =
=
.………9分
∴
12
1
d d -
()
2
1
2
1
t t -+=
=-.……
…10分 令
m
=，则
1t -=11分
∵1t ≠，∴1m >.
∴
121d d -2121
m m -=-12
1
m m -=+2
211
m =-
+.………12分 ∵1m >,∴12m
+>.
∴2
011
m <
<+. ∴2
011
1
m <-<+.………13分
∴0
<
2
11
m -
+<∴
12
1
d d -的取值范围是(.………14分 20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础
知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数
学思想方法．满分14分．
(1)解:()2
2f x ax x =-2
11a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭.………
1分
∵
1
13a ≤≤, ∴1
13a
≤≤.
① 当112a ≤≤,即1
12
a ≤≤时,则3x =时,函数
()f x 取得最大值;1
x a
=时,函数()f x 取得
最小值.
∴
()()396
M a f a ==-，
()11N a f a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
.
∴
()()()g a M a N a =-=1
96a a
+
-.………3分
② 当123a <≤,即11
32
a ≤<时,则1x =时,函
数()f x 取得最大值;1
x a
=时,函数()f x 取
得最小值. ∴
()()12
M a f a ==-，
()11N a f a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
.
∴
()()()g a M a N a =-=1
2a a
+
-.………5分 综
上
，
得
()g a =1112,,32
1196, 1.2a a a a a a ⎧
+-≤<⎪⎪⎨
⎪+-≤≤⎪⎩
………6分 （2）解：任取1211,,
32a a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，且12a a <， ()()121212
1a a a a a a --=
.………7分
∵1211,,
32a a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，且12a a <， ∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.
∴
()()
121212
10
a a a a a a -->,
即
()()120g a g a ->.
∴()()12g
a g a >.
∴函数()g
a 在11
,32⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
上单调递减.………8分
任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，且34a a <，
()()
343434
91a a a a a a --=
.………9分
∵341,,12a a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，
∴3434340,0,910a a a a a a -<>->.
∴
()()
343434
910
a a a a a a --<,即
()()340g a g a -<.
∴()()34g
a g a <.
∴函数()g
a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增.………10分 当
1
2
a =
时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1
2
,………11分 又13g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
4
3
,()1g =4. ∴函数()g
a 的值域为1
,42⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.………12分
∵关于a 的方程
()0g a t -=有解等价于
()t g a =有解，
∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值
域．………13分
∴实数t 的取值范围为1,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.………14分。