辽宁省实验中学2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷

π
轴对称
π
2
.关于直线 =
π
6
轴对称
12.方程 + − 2 = 0的根为1 ，ln + − 2 = 0的根为2 ，则（
.
1
2
>
1
2
. 1 + 2 < 2
.1 ln2 + 2 ln1 < 0
. 1 2 <
π
) 的图像（
6
√
2
数学试卷 第 2 页
）
）
三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 F1 , F2 为双曲线
x2 y2
−
= 1 的左、右焦点，则 | F1F2 | =
16 9
2 1
14. 已知正实数、满足 + 2 = 1，则 + 的最小值为

. 在正四棱柱的棱上到异面直线1 和1 距离相等的点有且只有四个
二、选择题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分.
9.已知等比数列{ }的前项和为 ，公比 > 1， ∈ + ，则（
分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
数学试卷 第 3 页
19. (本小题满分 12 分)
在四棱锥 − 中， ⊥底面，底面是菱形， = = 4，∠BAD = 60 ，
点在棱上.
增则（
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
. (1) = 0
.()是周期函数
.方程() = 0有唯一实数解
.函数()在(−∞, 0)内单调递减
11.为了得到 y = 2 sin( 2 x −
.向右平移
π
π
4
3
) 的图像只需把函数 y = 2 cos(2 x +
.向左平移
2
.关于直线 =
5. A
6.Ａ
16.
15. ①③④
14.8
7. B
8. D
1+√61
2
17. 解：由 b cos A + a cos B + 2c cos C = 0 知sin cos + sin cos + 2 sin cos = 0……2 分
sin( + ) + 2 sin cos = sin (1 + 2 cos ) = 0 , 则则 cos C = −
问题：是否存在∆，它的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且cos + cos +
2 cos = 0，∆的面积是 2 3 ，
？
18.(本小题满分 12 分)
某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 3 个红球和 4 个白球，这
（1）若 PF =
1
PD ，在棱上是否存在一点，使得//平面，并说明理由；
2
（2）若直线与平面所成的角的正弦值是
15
，求二面角 − − 的余弦值.
10
20. (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ，且 a1 = 3， S n = an +1 − 1 ，数列 {bn } 为等差数列，a2 = b4 ，
=
P ( X= 0=
=
， P ( X= 1=
， P ( X= 2=
， P ( X= 3=
；
) =
)
)
) =
C73
35
C73 35
C73
C73 35
35
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
4
35
18
35
12
35
1
35
……6 分
1|4
1
X 的数学期望 EX =×
18
12
1 9
+ 2 × + 3 × = ．………………8 分
2
为椭圆的半焦距).
(1)求椭圆 Γ 的标准方程；
(2) ∠F1 MF2 的平分线 l 与椭圆的另一个交点为 N ， O 为坐
标原点，求直线与直线斜率的比值.
22. (本小题满分 12 分)
设函数 f ( x) = (1 + ax)e −2 x ，曲线 y = f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = − x + 1 .
四、解答题：本题共 6 道小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
在① ac = 4 7 ②sin = 2 sin ③csin = √3这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，若问题中的三角形存在，求 c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
35
35
35 7
（3）由（2）
，在不放回方式下，该员工能中奖的概率为
P ( X ≥ 2 ) = P ( X = 2 ) + P ( X = 3) =
12 1 13
13 135
+ = ；由 P ( X ≥ 2 ) =
<
= P ( A) ，
35 35 35
35 343
所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．…………12 分
15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要
求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有 A, B, C , D 四位同学，已知与没有选择相
同的兴趣小组，与没有选择相同的兴趣小组，与选择的兴趣小组恰有一个相同，且
选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：
. 3
8.在底面边长为 1 的正四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中，侧棱长等于 2，则（
）
. 在正四棱柱的棱上到异面直线1 和1 距离相等的点有且只有一个
. 在正四棱柱的棱上到异面直线1 和1 距离相等的点有且只有两个
. 在正四棱柱的棱上到异面直线1 和1 距离相等的点有且只有三个
（1）求实数 a 的值.
（2）求证：当 x ∈ [0,1] 时， 2 f ( x) − 2 ≥ x( x 2 + 4 cos x − 6) .
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高 三 期 末 数 学 答 案
一、选择题
1. D
2. B
9. BCD
10. AC
二、填空题
13. 10
3. D
11. ABD
4. C
12. BD
且 b2 + b5 = b7 ，
（Ⅰ）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）若 cn
=
anbn
，求 {cn } 的前 n 项和 Tn .
(n + 2)bn +1
21. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 Γ 中心在坐标原点，焦点1 、2 在 x 轴上，离心率 e =
1
，经过点 M (c,−3) (
①可能没有选择足球兴趣小组；②、选择的两个兴趣小组可能都相同；
③可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；
其中正确判断是
16.已知 a, b, c 是平面向量， a, c 是单位向量，且 < a, c >=
π
3
2
，若 b − 9b ⋅ c + 20 = 0 ，则
2a − b 最大值是
. {|1 < ≤ 2}
. {| − 2 < < −1 或 1 < < 2}
. {| − 2 ≤ < −1}
. {| − 2 ≤ < −1 或 1 < ≤ 2}
2.复数满足：(1 + ) = 1 − ，则的虚部等于（
下面正确的是(
)
. m1 > m2 ， s1 < s2
. m1 > m2 ， s1 > s2
. m1 < m2 ， s1 < s2
. m1 < m2 ， s1 > s2
4.设 a = 50.4 ， b = log 0.4 0.5 ， c = log 5 0.4 ，则 a, b, c 的大小关系是（
种不同的排班方式.
. 240
. 480
. 420
. 360
）
7.已知抛物线： 2 = 2( > 0)，过焦点的直线交抛物线于、两点，交轴于点
，若点为线段的中点，且|| = 2，则的值为(
.
2
3
.
4
3
)
. 2
2
2
2π
= 28 .所以， c = 2 7 .……10 分
3
3 ，由正弦定理得， 3 = c sin A = a sin C =
由 ab = 8 ，知 b = 4 .由余弦定理知， c = a +b − 2ab cos
2
2
2
3a
，所以 a = 2 .…8 分
2
2π
= 28 .所以， c = 2 7 .……10 分
由S =
2π
1
，即 C =
.……4 分
2
3
1
3
ab sin C =
ab = 2 3 得， ab = 8 .……6 分
2
4
选①： ac = 4 7 ，又 ab = 8 ，则 c =
代 入 c = a +b − 2ab cos