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第一章：整式的运算

单项式

整 式

多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的

乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减

整 式 幂运算

的 运 算

单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式

单项式除以单项式

整式的乘法

整式运算 整式的除法

多项式除以单项式

一、单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或― 1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是

0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是 1 或― 1 时，通常省略数字“ 1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。四、整式

的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法

分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简。

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

n n

1、n 个相同因式（或因数）

a 相乘，记作 a ，读作a 的n 次方（幂），其中 a 为底数，n 为指数，a 的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：m n m+n

a ﹒a =a 。

m+n m n

4、此法则也可以逆用，即： a = a ﹒a 。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

m n m

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a ）表示n 个a 相乘。

m n mn

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a ）=a 。

mn m n n m

3、此法则也可以逆用，即：

a = （a ）=（a ）。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

n n n 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）=a b 。

n n n

3、此法则也可以逆用，即： a b = （ab）。

八、三种“幂的运算法则”异同点

1、共同点：

（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

（3）对于含有

3 个或3 个以上的运算，法则仍然成立。

2、不同点：

（1）同底数幂相乘是指数相加。

（2）幂的乘方是指数相乘。

（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。九、同底数幂

的除法

1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：m n m-n

a÷a=a（a≠0）。

m-n m n

2、此法则也可以逆用，即：

a = a ÷a （a≠0）。

十、零指数幂

1、零指数幂的意义：任何不等于

0 的数的0 次幂都等于1，即：a =1（a≠0）。

十一、负指数幂

p1

1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：a(a0)

a p

注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十二、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂

分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，

再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+m。c

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘

以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 。

十三、平方差公式1 的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

2

1、（a+b）(a-b)=a 2-b 2 ，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b 可以是单项式，也可以是多项式。

22

3、平方差公式可以逆用，即： a -b =（a+b）(a-b) 。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

22

（a+b）?(a-b) 的形式，然后看

十四、完全平方公式

a 与

b 是否容易计算。

222222

(a b) a2ab b ,( a b) a2ab b, 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，1、

加上（或减去）它们的积的 2 倍。

2、公式中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式。

3、掌握理解完全平方公式的变形公式：

222222

1

2

（1）a b(a b) 2ab ( a b) 2ab [( a b) (a b) ]

22

(a b) (a b) 4ab

（2）

22

1

（3）ab

4

[( a b) (a b) ]

a2 b 2 ,a 22ab b2 , 的二次三项式称作完全平方式。

4、完全平方式：我们把形如2ab

:

5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。