求函数的定义域和值域的方法
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解:如图,设AB=2x,则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x>0
>0 得0<x<
∴所求的函数为y=— x2+Lx(0<x< )
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1.直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;
∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x=5时,y=6,
∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当 时,其最小值 ;
②当a<0时,则当 时,其最大值 .
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3.求函数 的值域
方法一:去分母得(y1) +(y+5)x6y6=0①
当y1时∵xR∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0
由此得(5y+1) 0
检验 时 (代入①求根)
∵2定义域{ x| x2且x3}∴
再检验y=1代入①求得x=2∴y1
综上所述,函数 的值域为{ y| y1且y }
方法二:把已知函数化为函数 (x2)
由此可得y1
∵x=2时 即
∴函数 的值域为{ y| y1且y }
说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3求函数的值域
① ;②
解:①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0,∴y ,∴函数的值域是(- , ].
②解:令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4,(4x ) =0
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
∴函数y=f(x+1)—f(x2-1)的定义域为〔- ,1〕。
(4)y=f(tan2x)中x∈〔0, 〕,∴2x∈〔0, 〕∴tan2x∈〔0,1〕∴函数f(x)的定义域为〔0,1〕。
三,含有字母参数的函数求定义域
对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。
例题三(1)求函数y= (a∈R)的定义域
如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx,{x︱x∈R且 x≠ ,k∈z}和余切函数y=cotx,{x︱x∈R且 x≠ ,k∈z}等。
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.
即函数 的值域是{ y| y 2}
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}(此法亦称分离常数法)
④当x>0,∴ = ,
当x<0时, =-
∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法)
函数 的图像为:
2.二次函数比区间上的值域(最值):
例2求下列函数的最大值、最小值与值域:
① ;
② ;③ ;④ ;
解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
例题一求下列函数的定义域:
(1) y=( —2)0+㏒(x—2)x2(2)y=lgtanx+
解:(1)欲使函数有意义,须满足
—2≠0
x—1≥0
x—2>0 解得:x>2 且 x≠3 ,x≠5
x—2≠1 ∴函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞)
x≠0
(2)由已知须满足
tanx﹥0解得: ﹤x﹤ (k∈z)
x≠ -4﹤x﹤4
16—x2﹥0
∴函数的定义域为(- , )∪(0, )∪( ,4)
二,复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
例题二(1)已知函数f(x)的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f(x2-1)的定义域。
三、练习:
1 ;
解:∵x 0, ,∴y 11.
另外,此题利用基本不等式解更简捷:
2
∵2 -4x+3>0恒成立(为什么?),
∴函数的定义域为R,
∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0,由判别式 0,
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5,又∵y 0,∴0<y 5.
∴函数y=f(x2-1)的定义域为〔- , 〕。
(2)∵y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,指在y=f(2x+4)中x∈〔0,1〕,令t=2x+4,x∈〔0,1〕,则t∈〔4,6〕,即在f(t)中,t∈〔4,6〕∴f(x)的定义域为〔4,6〕。
(3)由-1≤x+1≤2
-1≤X2—1≤2得- ≤x≤1
(2)是已知f〔g(x)〕的定义域,求f(x)的定义域。其解法是:已知f〔g(x)〕的定义域为〔a,b〕,求f(x)的定义域的方法为:由a≤x≤b,求g(x)的值域,即得f(x)的定义域。
(3)是(1)的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
(4)与(2)相似。
解:(1)令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3,即0≤X2≤3,从而- ≤x≤
4.换元法
例4.求函数 的值域
解:设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ].如图
作业:求函数y= 值域
解:∵ ,
∴函数的定义域R,原式可化为 ,
整理得 ,
若y=1,即2x=0,则x=0;
若y 1,∵ R,即有 0,
∴ ,解得 且y 1.
综上:函数是值域是{y| }.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y|y -3}.
②∵顶点横坐标2 [3,4],
当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
解:求函数的定义域的常用方法
函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。
一,已知函数解析式求函数的定义域
(2)解:令1≤x+m≤4①
1≤x—m≤4②
由①得1—m≤x≤4—m
由②得1+m≤x≤4+m
当0<m< 时定义域为〔1+ m,4—m〕
当m= 时定义域为{x︱x= }
四,由实际意义确定的函数求定义域
如果函数是由实际意义确定的,这时应根据自变量的实际意义,确定其取值范围。
例题四 周长为L的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成图形的面积y与x的函数关系并确定其定义域。
(2)已知函数y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f(x)的定义域。
(3)已知函数f(x)的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f(x+1)—f(x2-1)的定义域。
(4)已知函数y=f(tan2x)的定义域为〔0, 〕,求函数f(x)的定义域。
分析:(1)是已知f(x)的定义域,求f〔g(x)〕的定义域。其解法是:已知f(x)的定义域为〔a,b〕,求f〔g(x)〕的定义域是解a≤g(x)≤b,即得所求的定义域。
反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0};
二次函数 的定义域为R,
当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }.
例1.求下列函数的值域
①y=3x+2(-Biblioteka Baidu x 1)② ③ ④
解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,
∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]
②∵ ∴
(2)已知函数f(x)的定义域为〔1,4〕,求函数y=f(x+m)—f(x—m)(m>0)的定义域。
解:(1)要使函数有意义,须满足:ax—3≥0
∴(ⅰ)当a>0时原函数的定义域为{x︱x≥ }
(ⅱ)当a<0时原函数的定义域为{x︱x≤ }
(ⅲ)当a=0时ax—3≥0的解集为空集,即原函数的定义域为空集
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x>0
>0 得0<x<
∴所求的函数为y=— x2+Lx(0<x< )
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1.直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;
∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x=5时,y=6,
∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当 时,其最小值 ;
②当a<0时,则当 时,其最大值 .
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3.求函数 的值域
方法一:去分母得(y1) +(y+5)x6y6=0①
当y1时∵xR∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0
由此得(5y+1) 0
检验 时 (代入①求根)
∵2定义域{ x| x2且x3}∴
再检验y=1代入①求得x=2∴y1
综上所述,函数 的值域为{ y| y1且y }
方法二:把已知函数化为函数 (x2)
由此可得y1
∵x=2时 即
∴函数 的值域为{ y| y1且y }
说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3求函数的值域
① ;②
解:①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0,∴y ,∴函数的值域是(- , ].
②解:令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4,(4x ) =0
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
∴函数y=f(x+1)—f(x2-1)的定义域为〔- ,1〕。
(4)y=f(tan2x)中x∈〔0, 〕,∴2x∈〔0, 〕∴tan2x∈〔0,1〕∴函数f(x)的定义域为〔0,1〕。
三,含有字母参数的函数求定义域
对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。
例题三(1)求函数y= (a∈R)的定义域
如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx,{x︱x∈R且 x≠ ,k∈z}和余切函数y=cotx,{x︱x∈R且 x≠ ,k∈z}等。
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.
即函数 的值域是{ y| y 2}
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}(此法亦称分离常数法)
④当x>0,∴ = ,
当x<0时, =-
∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法)
函数 的图像为:
2.二次函数比区间上的值域(最值):
例2求下列函数的最大值、最小值与值域:
① ;
② ;③ ;④ ;
解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
例题一求下列函数的定义域:
(1) y=( —2)0+㏒(x—2)x2(2)y=lgtanx+
解:(1)欲使函数有意义,须满足
—2≠0
x—1≥0
x—2>0 解得:x>2 且 x≠3 ,x≠5
x—2≠1 ∴函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞)
x≠0
(2)由已知须满足
tanx﹥0解得: ﹤x﹤ (k∈z)
x≠ -4﹤x﹤4
16—x2﹥0
∴函数的定义域为(- , )∪(0, )∪( ,4)
二,复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
例题二(1)已知函数f(x)的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f(x2-1)的定义域。
三、练习:
1 ;
解:∵x 0, ,∴y 11.
另外,此题利用基本不等式解更简捷:
2
∵2 -4x+3>0恒成立(为什么?),
∴函数的定义域为R,
∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0,由判别式 0,
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5,又∵y 0,∴0<y 5.
∴函数y=f(x2-1)的定义域为〔- , 〕。
(2)∵y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,指在y=f(2x+4)中x∈〔0,1〕,令t=2x+4,x∈〔0,1〕,则t∈〔4,6〕,即在f(t)中,t∈〔4,6〕∴f(x)的定义域为〔4,6〕。
(3)由-1≤x+1≤2
-1≤X2—1≤2得- ≤x≤1
(2)是已知f〔g(x)〕的定义域,求f(x)的定义域。其解法是:已知f〔g(x)〕的定义域为〔a,b〕,求f(x)的定义域的方法为:由a≤x≤b,求g(x)的值域,即得f(x)的定义域。
(3)是(1)的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
(4)与(2)相似。
解:(1)令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3,即0≤X2≤3,从而- ≤x≤
4.换元法
例4.求函数 的值域
解:设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ].如图
作业:求函数y= 值域
解:∵ ,
∴函数的定义域R,原式可化为 ,
整理得 ,
若y=1,即2x=0,则x=0;
若y 1,∵ R,即有 0,
∴ ,解得 且y 1.
综上:函数是值域是{y| }.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y|y -3}.
②∵顶点横坐标2 [3,4],
当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
解:求函数的定义域的常用方法
函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。
一,已知函数解析式求函数的定义域
(2)解:令1≤x+m≤4①
1≤x—m≤4②
由①得1—m≤x≤4—m
由②得1+m≤x≤4+m
当0<m< 时定义域为〔1+ m,4—m〕
当m= 时定义域为{x︱x= }
四,由实际意义确定的函数求定义域
如果函数是由实际意义确定的,这时应根据自变量的实际意义,确定其取值范围。
例题四 周长为L的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成图形的面积y与x的函数关系并确定其定义域。
(2)已知函数y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f(x)的定义域。
(3)已知函数f(x)的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f(x+1)—f(x2-1)的定义域。
(4)已知函数y=f(tan2x)的定义域为〔0, 〕,求函数f(x)的定义域。
分析:(1)是已知f(x)的定义域,求f〔g(x)〕的定义域。其解法是:已知f(x)的定义域为〔a,b〕,求f〔g(x)〕的定义域是解a≤g(x)≤b,即得所求的定义域。
反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0};
二次函数 的定义域为R,
当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }.
例1.求下列函数的值域
①y=3x+2(-Biblioteka Baidu x 1)② ③ ④
解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,
∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]
②∵ ∴
(2)已知函数f(x)的定义域为〔1,4〕,求函数y=f(x+m)—f(x—m)(m>0)的定义域。
解:(1)要使函数有意义,须满足:ax—3≥0
∴(ⅰ)当a>0时原函数的定义域为{x︱x≥ }
(ⅱ)当a<0时原函数的定义域为{x︱x≤ }
(ⅲ)当a=0时ax—3≥0的解集为空集,即原函数的定义域为空集