第5讲线性代数矩阵pdf

解
从第2列开始，直到最后一列，分别将第j列 bj 乘以- 加到第1列，得到一个上三角行列式, cj anbn a2b2
a1
D
c2

cn
a2 c2
a3 an c3

cn
anbn a2b2 c2c3 cn (a1 ) c2 cn
例3 计算 n 阶行列式
1.3.3 克莱姆法则
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 a n 1 a n , j 1
b1 bn
a1 , j 1 a1 n a n , j 1 a nn
D j
a b D b
b a b
b b a

b b b
b b b a
解 将第1行乘（-1）,依次加至下面各行;
a b 0 0 b 0 0 b 0 0 ba a b ba
D ba
a b
a b
a ba ba
b 0 0
1.3.3 克莱姆法则
推论1.3.3 若齐次线性方程组的系数行列式
a11 a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n 0 an 2 ann
则方程组仅有零解.
1.3.3 克莱姆法则
例4 齐次线性方程组 x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0, x x x 0, 2 3 1 讨论方程组在什么情况下有非零解. 解：系数行列式为 1 1 2 ( 2)( 1) 1 1 1 1
(3)

1 0 r4 3r1 0 0
1 0 2 2
2 3 1 0 0 4 1 5
例1
1 1 2 3 0 2 1 5 r2 r4 0 2 0 4 0 0 1 0 1 1 2 3 0 2 1 5 r3 r2 0 0 1 1 0 0 1 0
如Biblioteka Baidu方程组所有常数项都为零，则称该方程组 为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程 组.
1.3.3 克莱姆法则
定理1.3.1 如果线性方程组的系数行列式
a11 a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n 0 an 2 ann
则方程组有解且有唯一解. 其解可以表示为
Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 a1n A1n A AA a11 A11 a12 A12 a a a A A A an1 A n 2 a Ann 1n a2 n A nn A n1 n1 n2 n2 nn nn
2 A n A;
3 AB A B ;
判断
1 AB
3
BA ;

2 A B B A ;
A B A B;
4若AB O, 则 | A | 0或 | B | 0; 2 5若A 2 A I O, 则A非奇异;
(6)若A非奇异, 则Ak (k为正整数)，AT 也为非奇异矩阵;
例1
1 1 2 3 3 3 3 7 9 D 2 0 4 2 3 5 7 14 1 0 r2 3r1 2 3 1 2 3 0 1 0 0 4 2 5 7 14
(2)

例1
1 0 r3 2r1 0 3
1 0 2 5
2 3 1 0 0 4 7 14
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 A A 1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
a b * * 例5 设A c d , 求A 和A A. d b * 0 ad bc * 解: A c a A A 0 ad bc
A a A a A a A 2 n 11 21 12 22 1 n A , A A
O
0
O
性质
证明
设 A aij ,
AA A A A I .
记 AA cij , 则
0, i j; cij ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn | A |, i j.
数表
数
定义1.3.2 n阶矩阵A (aij )的元素按原来的顺序 构成的n阶行列式，称为n阶方阵A的行列式， 记为|A|,也记作|aij | 或 det A.
2 3 例 A 6 8
则A 2 3 6 8
2.
若 | A | 0, 则称A为非奇异矩阵.
T 1 A A; 运算性质
1.3.3 克莱姆法则
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
例1
1 0 r4 r3 0 0
1 2 0 0
2 1 1 0
3 5 1 1
1 (2) 1 (1) 2
a1
a2 c2
a3 an c3 cn
例2 计算 n 阶行列式 D b3
ci 0, i 2,3,, n
bn
b2

b 0 0

b 0 0
D ba a b

a b
a b
再将各列加至第一列，
a (n 1)b 0 0 0 b a b 0 0 b 0 0 b 0 0
a b
[a (n 1)b](a b) n1.
a b
1.3 方阵的行列式
1.3.1 行列式的概念；
1.3.2行列式的性质；
1.3.3 克莱姆法则；
1.3.4 行列式与方阵的关系；
计算行列式常用方法： (1)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算 得行列式的值．
(2)利用降阶法(定义), 在行列式含零元素较多时, 可以按含零的行(或列）展开，降阶直到 二阶或 三阶行列式后计算.
当D=0，即当 =1或 =-2时有非零解。
注意：
1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
1.3.4 行列式与方阵的关系
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n n阶矩阵A a a a n2 nn n1 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n n阶行列式 an1 an 2 ann
故
AA

A I.
同理可得
n A A Aki akj A I . k 1