散点图

散点图

[概要]介绍了散点图的概念、用途、适用情况，结合实例利用Minitab软件作为数据分析工具介绍了散点图的绘制步骤、分析与判断以及应用时的注意事项。

[字数]4000。

[正文]散点图是质量管理的老七种工具之一，也称为散布图或相关图，它是研究成对出现的变量间的相互关系的坐标图。质量管理中经常需要研究两个变量之间的关系，如棉纱的水分含量与伸长度之间的关系，热处理时钢的淬火湿度与硬度的关系，冶炼某种钢时钢液的含碳量与冶炼时间的关系，零件加工时切削用量与加工质量的关系等等。根据我们的经验，这些变量存在着比较密切的关系，但这些关系又不像数学公式和物理公式那样能够精确表达，散点图是研究这种变量间关系的一种图形工具。在散点图中，通常将成对出现的数据以坐标点的形式标注在坐标轴上，以形成“点子云”。通过研究点子云的分布状态，可以推断出变量间的相关模式。……

散点图

散点图是质量管理的老七种工具之一，也称为散布图或相关图，它是研究成对出现的变量间的相互关系的坐标图。质量管理中经常需要研究两个变量之间的关系，如棉纱的水分含量与伸长度之间的关系，热处理时钢的淬火湿度与硬度的关系，冶炼某种钢时钢液的含碳量与冶炼时间的关系，零件加工时切削用量与加工质量的关系等等。根据我们的经验，这些变量存在着比较密切的关系，但这些关系又不像数学公式和物理公式那样能够精确表达，散点图是研究这种变量间关系的一种图形工具。在散点图中，通常将成对出现的数据以坐标点的形式标注在坐标轴上，以形成“点子云”。通过研究点子云的分布状态，可以推断出变量间的相关模式。

在质量改进过程中，散点图作为因果图/因果矩阵的后续工具，通过将影响因素和质量特性的各对数据用直角坐标系表示成图形，直观观察当因素发生变化时质量特性相应出现的变化情况，以判断两个变量间是否存在关系，即X是否是造成问题Y的一个影响因素。如果存在影响，进一步分析这种影响关系的类型和程度，为后期建立影响因素和质量特性的回归方程提供直接的启发和帮助。散点图适用于X和Y都是连续型数据的情况。

我们通过一个例子来说明散点图的应用过程，包括散点图的绘制和分析判断。

示例：某质量改进小组通过前期分析认为，车床转速是影响加工产品表面抛光情况的一个影响因素。为了验证这种推测是否合理，小组收集了不同转速下的产品表面抛光量，数据见表4.21-1，该数据保存在“散点图.MTW”的“表面抛光量1”和“车床转速1”。

表1 表面抛光数据

序号表面抛光量1 车床转速1

1 45.44 225

2 42.0

3 200

3 50.10 250

4 48.7

5 245

5 47.92 235

6 42.79 237

7 52.26 265

8 50.52 259

9 45.58 221

10 44.78 218

1.散点图的绘制

利用Minitab软件绘制散点图的步骤如下：

①打开数据文件“散点图.MTW”。

②点击图形>散点图，选择“简单”，并点击确定。如图1所示，“散点图”对话框中提供6种散点图绘制模式，“简单”、“包含回归”“包含连接线”绘制的是没有分组变量的散点图，“简单”只提供原始的两个变量的坐标图，“包含回归”除包含坐标点外，还绘制拟合坐标点的回归直线，“包含连接线”则是除显示坐标点外，还用折线将坐标点连接起来。“含组”、“包含回归和组”“包含连接线和组”则是在同一张图形上同时显示两个变量在不同层下的散点图，以观察不同层下X与Y的关系。先看“简单”这种散点图模式。

图1 “散点图”对话框示意图

③在“Y变量”中选择要分析的响应变量“表面抛光量1”，在“X变量”中选择要分析的影响因素“车床转速1”，点击确定。如图2所示。需要说明的是，可以同时选择多对“Y变量”和“X变量”，即可以同时绘制多张散点图。

图2 “散点图-简单”对话框示意图

得到的散点图如图3所示。

图3 表面抛光量与车床转速的散点图

2.散点图的分析与判断

散点图的绘制比较简单，更主要的工作是根据绘制的散点图来分析两个变量之间的关系，观察和解释散点图展示出的变量间的相关模式，散点图的分析与判断方法有对照典型图例法、简单象限法和相关系数判别法等。这里我们仅介绍对照典型图例法和相关系数判别法。当结果显示两个变量间存在比较密切的关系，并且这种关系能够有合适的工程背景解释时，应进一步进行回归分析来建立变量间的回归方程，详细内容参见第二十四课“回归分析”。

（1）对照典型图例法。散点图所显示的两个变量间的关系各种各样，但大致可以分为以下六种模式，如图4所示。如果变量Y 随着X 的增大而有明显的增大趋势，则称两个变量强正线性相关，如果变量Y 随着X 的增大而有明显的减小趋势，则称两个变量强负线性相关。如果变量Y 随着X 的增大而有一定的增大趋势，则称两个变量弱正线性相关，如果变量Y 随着X 的增大而有一定的减小趋势，则称两个变量弱负线性相关。

如果变量Y 随着X 的变化杂乱无章地变化，则称两个变量不相关，如果变量Y 随着X 的变化而有明显的非线性趋势，则称两个变量非线性相关。把实际绘制的散点图与下述图中的典型模式进行对照，就可以得到两个变量之间是否相关及相关程度的结论。本例中，表面抛光量与车床转速呈明显的强正线性相关关系，表明车床转速是影响表面抛光量的一个主要因素，转速越高，表面抛光量越大。

图4 六种常见的散点图模式

（2）相关系数判别法。通过观察散点图，虽然可以对变量间的相关模式做出大致的估

计，但是由于缺乏客观的统一判定标准。这种判断方法的可靠性较低，只是一种定性判断的方法，容易出现不同人有不同判别结果的情况。为了提高判断的精度，在实际工作中，常采用相关系数检验法，通过计算相关系数，并对相关系数是否为0进行显著性检验来判断相关的类型和相关的程度。

相关系数是对变量之间线性相关关系密切程度的度量，刻画了散点图上点子围绕直线的密切程度。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ。若是根据样本数据计算的，称为样本相关系数，记为 r 。样本相关系数r 的计算公式如下：

∑∑∑===−−−−=n

i i n i i

n i i i

y y x x y y x x r 12

121

)()())((ˆ 从相关系数的计算公式容易看出，r 的取值范围为[-1,1]，当r >0时，表明两个变量呈正相关，当r <0时，表明两个变量呈负相关。|r |的大小刻画了两个变量间线性相关的程度，|r |越趋于1表示线性关系越密切，|r |越趋于0表示线性关系越不密切。Minitab 软件的“统计>基本统计量>相关”模块可以计算两个变量间的相关系数，并进行相关系数检验，告诉我们两个变量间是否确实存在一定的线性关系。利用表面抛光量的例子示例软件相关系数检验的过程，步骤如下：

①打开数据文件“散点图.MTW ”。

②点击统计>基本统计量>相关，在“变量”栏中选择要分析的变量，可同时输入多列，软件将同时输出这些变量两两间的相关系数。这里选择“表面抛光量1”和“车床转速1”，并点击确定。如图5所示，默认时，软件自动选择“显示p 值”，即进行相关系数检验，输出每一相关系数对应的 P 值，P 值小于给定的显著性水平，表示相应的两个变量间存在线性相关关系。

图5 “相关”对话框示意图

会话窗口的输出如图6所示，“表面抛光量1”与“车床转速1”间的相关系数等于0.883，检验的P 值等于0.001，小于默认的显著性水平0.05，表明表面抛光量与车床转速间存在较强的正线性相关关系。

图6 相关系数检验的输出结果

需要注意的是有时相关系数不能正确刻画两个变量间的关系，一般应先绘制散点图，再进行相关系数检验，两者结合来评价两个变量间的关系，图7示意了几种不宜用相关系数描