高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题

专题4.4 立体几何中最值问题

一．方法综述

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。

二．解题策略

类型一距离最值问题

AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2

⊥，则边CG长度的最小值为（）

使得GP BP

A. 4

B. 43

C.

D. 23

【答案】D

又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2

2ax ax BP x GP x a ⎛⎫⎛⎫

=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r

() 24022ax ax PB PG x x a ⎛⎫

=-++-= ⎪⎝⎭

u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22

1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2

20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23.

故选D.

【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r

与的坐标，

根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22

16

42a x x =

--，利用函数求其最值。

举一反三

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。

【答案】 3254

2⎡⎢

⎣⎦

∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，∴点P必在线段MN上。

在Rt△A1B1M中，22

1111

15 1

2

A M A

B B M ⎛⎫

=+=+=

⎪

⎝⎭

，

同理在Rt△A1B1N中，可求得

1

5 2

A N=，∴△A1MN为等腰三角形，

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，

又

22

22

11

5232

24

AO A M OM

⎛⎫⎛⎫

=-=-=

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

.

所以线段A1P长度的取值范围是

325

,

42

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

．

2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a 的正方体,E和F分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）

A. B. C. a D.

【答案】B

3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．

10【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1B C 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为23110MN =+=类型二 面积的最值问题

【例2】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，

3BC =， 23AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的

取值范围是（ ）

A. [],4ππ

B. []2,4ππ

C. []3,4ππ

D. (]0,4π 【答案】B

关注. 举一反三

1、在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ） A.

10 B. 35 C. 310 D. 5 【答案】C

【解析】

如图所示，当PC ABD ⊥面时 ，截面ABD 的面积最小，此时应有

min min 11310

V 3310

P ABC ABC S PA S PC S -=⨯⨯=⨯⨯⇒==

V 。故选C 。 2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三