梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧 浙江唐伟锋

梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形， 解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助

线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添

加辅助线的常用技巧主要有以下几种——

一、平移一腰

从梯形的一个顶点作一腰的平行线， 将梯形转化为平行四边形和三角形， 从而利用平行 四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形 ABCD 中AD // BC , AD=2cm , BC=7cm , AB=4cm ，求CD 的取值范围。

解：过点D 作DE // AB 交BC 于E ,

•/ AD // BC , DE // AB •••四边形ABED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

/• DE=AB=4cm , BE=AD=2cm

• EC=BC — BE=7 — 2=5cm

在厶DEC 中，EC — DE v CD v EC + DE （三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边）

• 1cm v CD v 9cm 。

、延长两腰

将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个

三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形 ABCD 中，AD // BC , / B= / C ,求证: 图②

梯形ABCD 是等腰梯形。

图①

E

证明：延长BA 、CD ，使它们交于 E 点,

•/ AD // BC

•••/ EAD= / B ,/ EDA= / C （两直线平行，同位角相等）

又••• B= / C

•••/ EAD= / EDA

• EA=ED , EB=EC （等角对等边）

• AB=DC

•梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）

三、平移对角线

从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，

与下底延长线相交构成平行四边

形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等） 。 例3、如图③，已知梯形 ABCD 中，AD=1. 5cm, BC=3.5cm,对角线 AC 丄BD ，且BD=3cm , AC=4cm ，求梯形 ABCD 的面积。

解：过点D 作DE // AC 交BC 延长线于E

•/ AD // BC , DE // AC

•四边形 ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四

边形是平行四边形）

• CE=AD=1 . 5cm, DE=AC=4cm

•••AC 丄 BD

• DE 丄 BD

BC ） h 2（CE BC ） h -BE h （h 为梯形的高）

1 1 6cm 2

BD DE 3 4

2 2 四、作高线

梯形 ABCD = -（AD

2

从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯

形）转化成矩形和直角三角形。

例4、如图④，已知梯形ABCD 中，DC // AB, DA 丄AB 于A, DC=1 , DA=2 , AB=3 ,求/ B的度数。

解：过C点作CE丄AB , E为垂足，

•/ DC // AB , DA 丄AB

••• DA 丄DC

图④又••• CE丄AB

•四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

•AE=DC=1 , CE=DA=2

•/ AB=3

•EB=AB —AE=3 —仁2=CE

•••/ B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。

五、作对角线

在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。

例5、如图⑤，已知梯形ABCD中，DC // AB ,

延长AB至U E，使BE=CD，求证: AC=CE

。

证明：连结BD,

•/ AD与BC是腰且AD=BC

•梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）

• AC=BD （等腰梯形两条对角线相等）

•/ DC // AB 即DC // BE ,

BE=CD

•••四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）

••• BD=CE （平行四边形对边相等）

•- AC=CE。

六、过一顶点和一腰中点作直线

过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。

例6、如图⑥，已知梯形ABCD中，AD // BC, E是AB中点，DE丄CE,求证：CD=AD + BC。

证明：将厶AED绕E点旋转180°到厶EBF位置，使AE与BE重

合，记 D 的对应点为F，贝U BF=AD , ED=EF，/ A= / EBF ,

•/ AD // BC

•••/ A + Z ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

•••/EBF + Z ABC=180°,即卩FB与BC在同一条直线上

•/ CE丄DE , ED=EF

• CE是DF的中垂线

• CD=CF=CB + BF=CB+AD （线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等）