清华大学流体力学课件-6-气体动力学基础

t

u
x

0
u

t

u
u x


1

p x
p C

线化



t

0
u x

0
u

t

1
0
p x

0

p


dp
d
S0



t

0
u x

0
u t
14
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
一、完全气体等熵流动的基本性质和Crocco定理
理想常比热完全气体定常绝热的连续流动中沿流线熵不变。
理想常比热完全气体定常绝热的连续流动中沿流线总焓不变。
1V 2
2

1
p


1V2 2

a2
1

1V2 2
i

1V 2
2
CpT

i0
Crocco定理：
空气 1.4 ：T * / T0 0.833 * / 0 0.634 p* / p0 0.528
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气体动力学基础
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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
3、速度系数 流体速度与当地的临界声速（或临界速度）之比
V V
a* V *
速度系数与马赫数的关系
理想气体定常绝热流动中，若质量力可略，在全流场成立：
Ω V Ts i0
定义：熵值处处相等的流场称为均熵流场；总焓处处相等的流场称为均焓流场。
推论：轴对称或平面流动中均熵均焓场必无旋 ； 定常三维理想气体的均焓无旋流动必均熵，均熵无旋流动必均焓； 定常三维理想气体非均焓的均熵流动必有旋，非均熵的均焓流动必有旋。
a p RT
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§6.1 基本方程和基本概念
2、马赫数
定义：流体速度与当地声速之比，称为马赫数。
M V a
物理意义：惯性力 / 压强合力，动能 / 内能 流动的分类：亚声速(M<1)，跨声速(M~1)，超声速(M>1)，高超声速(M>>1) 超声速流动和亚声速流动的主要差别：影响域和依赖域不同
声速是状态参数，声波的传播是等熵过程（理想、绝热）；
在匀速运动的惯性坐标系中，声速仍为 a dp d s
在不均匀气流中，每个点上流动参数不同，声速也不同； 声速与流体的压缩性： 压缩性越强声速越小
不可压缩流体 a
常比热完全气体： p C dp p RT d
封闭方程组！
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§6.1 基本方程和基本概念
二、声速与马赫数
1、声波 - 微小扰动在理想完全气体中的传播(绝热)
U t
ux,t
p p0 p x,t 0 x,t
a p0
0
原静止无穷长等截面直管道中气体的波动
dx dt

a0
dx dt

a0
u f x a0t f x a0t
扰动的传播速度：声速
a0
dp

d
S0
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§6.1 基本方程和基本概念
声速定义：
dp

d
S

a2
几点说明：
气体动力学基础
第13周五 18
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
2、临界参数
流体质点的状态参数 p, , T , i, V 经历定常等熵
过程变化到声速状态(
时的参数，称为临界参数。
p*, *, T *, a*, V *
临界参数与滞止参数的关系
T T0
1
2
1
M
2

1
0

1


1 2
M
2

1 1
T* 2
T0 1
1
* 0



2 1

1

p p0
1
1 2
M
2
1


p* p0



2 1
1

说明：临界参数为空间点上的参数，非均匀流各点临界参数不同； 理想常比热完全气体定常等熵流沿流线临界参数相同； 临界参数与参考坐标系有关。
1、滞止参数（驻点参数） 流体质点由状态 p, , T, i, V 定常等熵地滞止到 速度等于零时的状态参数，称为滞止参数。
p0 , 0 , T0 , i0
定常等熵关系式
T T0
1
2
1
M
2
1
0

1


2
1
M
2

1 1
p p0
1
0 0 Tij pij
常比热完全气体：
状态方程 p RT
内能 e CV T
焓 熵 气体常数
i CPT
s

CV
ln

p


R CP CV
绝热指数（比热比） CP / CV
空气：
R 287 Nm kg K
1.4
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6
7
8
9 10
M
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气体动力学基础
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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
用速度系数表示的等熵关系式
T 1 12
T* 2
2
1
*



1
2
2
1

2

1

p p*



1
2
12
2
1
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u 1
p0 / 0 u c0u*

t

0
u x

u
x

0
c0 p0 / 0
x Lx*
t L t* c0
*
t*
0
L / c0
0
u* x*
c0
L

*u*
x*
0 c0
L

0
* u* 2 *u* 0
1 2
M
2
1

说明：滞止参数为空间点上的参数，非均匀流各点滞止参数不同； 理想常比热完全气体定常等熵流沿流线滞止参数相同； 滞止参数与参考坐标系有关。
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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
例： 1.4的气体从很大容器上的小孔流出，已知容器内压力
p h x a0t h x a0t
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§6.1 基本方程和基本概念
方程的解是两族简单波的叠加
右传波 f x a0t ：函数 f 沿 x a0t C 不变， 左传波 f x a0t ：函数 f 沿 x a0t C 不变，


M

2
1
1


1 2
M
2
1/ 2
M



2
1
1


12 1
1/ 2

2
M 0: 0
M 1: 1
M 1: 1
1
M 1: 1
M : 1 1
00
1
2
3
4
5
和温度为 p0 1.5Pa ，T0 293K ，容器外环境压力 pb 1Pa
求气流出口处速度
p p0

1


1 2
M
2
1

p0 1.5Pa T0 293K
T T0
1
2
1
M
2
1
pb 1Pa V ?
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2at
at
3at
V t
V 0, M 0
V a, M 1
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§6.1 基本方程和基本概念
3at V t
V a, M 1
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V a, M 1
马赫锥 马赫角：马赫锥顶角的一半


sin
1

基本内容
1. 基本方程和基本概念 2. 完全气体等熵流动的主要性质 3. 激波理论 4. 超声速气体绕凸角流动 5. 完全气体在变截面绝热管内的准一维定常
流动
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3
§6.1 基本方程和基本概念
一、理想完全气体模型和方程
理想流体：粘性系数 热传导系数 应力张量
0 *0 x* L
u* 2u* u* p*
t*
x* 1 * x*
线化
u* p*
t*
x*
有量纲 形式
u 1 p
t 0 x
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§6.1 基本方程和基本概念
1 0
u x,t u x,t
u 1
p0 / 0
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6
§6.1 基本方程和基本概念
p 1 p0
p p0 p* u 0
t x
线化 有量纲
形式
1 0 0 *
气体动力学基础
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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
气体动力学基础
4
§6.1 基本方程和基本概念
理想常比热完全气体绝热连续流动，不计质量力
连续方程： 运动方程： 能量方程：
V V
t
V V V 1 p
t

t

p



V





p



0
未知量：5个标量
p, , V
s

Cv
(1

)
1 p
p

Cp
1 T
T
T
s

Cv
(1


)
T p
p

C
pT

Cv
(1


)
1
R
p

C
pT
1 p i

1 p Ts i

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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
二、理想常比热完全气体沿流线的等熵关系式
是一维非定常可压缩问题 p p x,t , x,t , u u x,t
初始是静止状态 p p0 , 0 , u 0
扰动量是小量
p x,t p0 p x,t ,
p 1 p0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x,t 0 x,t ,
气体动力学基础
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气体动力学基础
1
第六章 气体动力学基础
压缩性的影响：


2%
~
5%
气体动力学：可压缩流体动力学 包括：高速气体动力学， 气体波动力学， 高温气体力学等
热力学过程和动力学过程相耦合
本章：理想完全气体动力学
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气体动力学基础
2
a02
1
0

x

0
a02


dp
d
S0
2u

t
2

a02
2u x2

0
2

t 2

a02
2
x2

0
2 p

t 2

a02
2 p x2

0
通解
u f x a0t f x a0t g x a0t g x a0t
t*
x*
x*
* u* 0
t* x*

t

0
u x

0
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§6.1 基本方程和基本概念
p 1 p0
1 0
u 1
p0 / 0
c0
p0 / 0
p p0 p*
0 *
u c0u*
x Lx*
t L t* c0
u u u 1 p
u u u 1 p
t x x
t
x 0 x
u* c0 u* u* c0 c0
1
p* p0
t* L / c0
x* L
1 M

气体动力学基础
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§6.1 基本方程和基本概念
依赖域：影响空间某点流动的区域称为该点的依赖域。
M 1
依赖域
影响域
P
超音速气流中 P 点的影响域和依赖域
亚音速：椭圆型方程，必须给出全部的边界条件 超音速：双曲型方程，只需给出上游边界的条件
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气体动力学基础
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气体动力学基础
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§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
s
Cv
ln

p


Cv ln p Cv ln
p RT
ln p ln ln R ln T
s Cv ln p Cv ln p ln R ln T Cv (1 ) ln p Cp ln R Cp ln T