《加17套高考模拟卷》高考仿真卷(七)-2021年高考数学模拟精编大考卷(全国版)含解析
2021年高考数学模拟训练卷 (7)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (7)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. (−∞,32)B. (1,+∞)C. (1,32)D. [32,3)2. 若双曲线方程为x 2−y 23=1，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√3xC. y =±√33xD. y =±12x3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0，则y −x 的最大值为( )A. −2B. −1C. 2D. 44. 函数y =e|x|4x的图象可能是( )A.B.C.D.5. 设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )=1.6，则a 等于( )X 0 1 2 3 P0.1ab0.1A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.36. 已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则4m +1n 的最小值等于( )A. 1B. 32C. 53D. 1368. 若a <b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. lga <lgbD. 3a <3b9. 某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A. 600种B. 480种C. 408种D. 384种10. 在正三棱锥A −BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC =1，则A −BCD 的体积为( )A. √1212B. √224C. √312D. √324二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 在△ABC 中，B =30°，C =120°，则a ：b ：c = ______ ．12. 已知平面向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 之间的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=2，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=________。
2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(十七)(含答案)
2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（十七）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数12z i =+，则2z =AB ．3C D ．52．已知集合{}lg 1M x x =<，{}235120N x x x =-++<，则M N =A ．()0,3B ．()0,10C ．(]0,3D ．()3,103．已知m R ∈，则“3m >”是“方程22113x y m m -=--表示双曲线”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12②当32a =-时，直线y ＝ax +2a 与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ），则x +y 的最大值为2； ④设点P （﹣2，b ），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ ＝45°，b 的范围是[﹣2，2]． 其中所有正确结论的序号是A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分6．在边长为a 菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则a =A B C D ．37．已知定义在R 上的函数()13y f x =+-是奇函数，当()1,x ∈+∞时，()131f x x x '≥+--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为A ．()1,+∞B ．()()1,0,e -⋃+∞C ．()()0,1,e +∞ D ．()()1,01,-⋃+∞8．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为A ．0B ．2-C ．94-D ．3-二、、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知函数()cos()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．31()82f π=- C ．函数()f x 在区间[,]612ππ-上单调递增D ．点7(,0)24π-是函数()f x 图象的一个对称中心 10．若实数m 的取值使函数()f x 在定义域上有两个极值点，则称函数()f x 具有“凹凸趋向性”，已知()'f x 是函数()f x 的导数，且2n (l )mx xx f '=-，当函数()f x 具有“凹凸趋向性”时，m 的取值范围的子集有 A ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则 A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 12．某同学在研究函数()1f x x =-的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()f x =A ．函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增B ．函数()f x ，没有最大值C ．存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称D ．方程()2f x =的实根个数为2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数sin 2cos 232y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值时x 的取值范围是________.14．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______.15．已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是______．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336ba ==，则12a b+=____，2=ab _____．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，112n n n S a n S ++=++．数列{}n b 满足n n b a n =+． （1）求{}n b 的通项公式；（2）令()21log n n n c b b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．已知函数()cos()(0)f x x ωω=>的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()()(),[0,]42g x x f x x ππ=--∈的值域；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1()2f A =-，ABC的面积为2b c -=，求a 的值.19．为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19． （1）若该类工程的工期X 服从正态分布()2,N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．（ⅰ）求μ和σ的值；（ⅰ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数字期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(2P X μσμ-<≤+)20.9545σ≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．20．如图，底边ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//,,AF DE AD DE AF DE ⊥==.（1）求证：平面ACE ⊥平面BED ；（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°？若存在，求出AMAF的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()()3ln 1f x x x =-，()ln 4m g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最值；（2）若4m ≤，求关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数．22．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2T -，直线l 过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点.（1）若TAF △与TBF △的面积之比为2:1，求此时直线l 的方程；（2）若与直线l 垂直的直线1l 过点F ，且与抛物线C 相交于点M 、N ，设线段AB 、MN 的中点分别为P 、Q ，如图，求点T 到直线PQ 距离的最大值及此时直线PQ 的方程.参考答案1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．ACD 10．BD 11．ABCD 12．ABD 13．5,Z 12x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭14．(,1)(25,)-∞-⋃+∞ 15．0m ≥或21e m e+=- 16．117．（1）2nn b =；（2）1(1)(1)222n n n n T n ++=+-⋅+. 【解析】（1）由112n n n S a n S ++=++，得1121n n n n S S a a n ++-==+-， 所以()1(1)2n n a n a n +++=+，即12n n b b +=，所以数列{}n b 是首项1112b a =+=，公比为2的等比数列，所以122n n b -=⋅，即2nn b =．（2）由（1）得()()212log2122nn n n n c n n n =+=+=+⋅，所以23112(12)22232(1)22n n n n T c c c n n n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯⎣⎦231(1)22232(1)222n n n n n n -+⎡⎤=++⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯⎣⎦． 设23122232(1)22n nn M n n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，① 则2341222232(1)22n n n M n n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②①-②，得()231121222222212n nn n nM n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-1(1)22n n +-⋅-，所以1(1)22n n M n +=-⋅+． 所以1(1)(1)222n n n n T n ++=+-⋅+． 18．（1）2ω=；值域为[1,2]-；（2）4.【解析】（1）因为函数()cos()f x x ω=的最小正周期为π， 由2,||2||T ππωω===， 又因为0>ω所以2ω=.此时()cos 2f x x =，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()2cos 2g x x x =-，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin 2[1,2]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以所求函数的值域为[1,2]-. （2）由题意得1cos 22A =-因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则得2(0,)A π∈，所以223A π=，解得3A π=因为ABC 的面积为1sin 2bc A =1sin 23bc π=即12bc =. 又因为2b c -=，由余弦定理，得a ===4==所以4a =.19．（1）（ⅰ）20μ=，2σ=；（ⅰ）0.84；（2）分布列见解析，11245. 【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为()1172319212221191722192010⨯+++++++++=，2=．因此20μ=，2σ=．（ⅰ）22天之内完成该工程的概率()()()()112211110.68270.8422P X P X P X μσμσμσ≤=≤+=---<≤+≈--≈⎡⎤⎣⎦， 所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则Y 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，()222223222106204515C C C C P Y C +++====， ()111122212106214515C C C C P Y C +====， ()11111123232121014245C C C C C C P Y C ++===， ()11322106234515C C P Y C ====，()111122312107445C C C C P Y C +===， ()11222104545C C P Y C ===，()11212102645C C P Y C ===．所以Y 的分布列是Y 的数学期望是2214274211201234561515451545454545EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（1）证明见解析；（2）存在；14AM AF =. 【解析】（1）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADEF ，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为DE BD D ⋂=，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面BED ；（2）因为,,DA DC DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()((3,0,0,,A F E ，()()3,3,0,0,3,0B C ，假设在线段AF 上存在符合条件的点M ，设()3,0,M t，0t ≤≤，则()()()0,3,,3,3,36,3,3,0BM t BF CA =-=--=-， 设平面MBE 的法向量为(),,m x y z =，则·30·330m BM y tz m BE x y ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩，令y t =，得()36,,3m t t =，由（1）知CA ⊥平面BED ，所以CA 是平面BED 的一个法向量，·1cos ,cos60232m CA m CA m CA︒====，整理得2266150t t -+=，解得2t =或2t =（舍去）， 故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°，此时14AM AF =.21．（1）最小值为2e 3-，无最大值；（2）当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【解析】（1）因为()()3ln 1f x x x =-（0x >），所以()()2223ln 23ln 2f x x x x xx '=-=-．令()0f x '=，解得23e x =，当230e x <<时，()0f x '<；当23e x >时，()0f x '>．所以函数()()3ln 1f x x x =-在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．故()32222333mine e e ln e 13f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x →+∞ 时，()f x →+∞所以()f x 的最小值为2e 3-，无最大值．（2）因为()()f x g x =（1≥x ），所以()221ln 4mx x x --=-（1≥x ）， 关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数等价于函数()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数． 因为()12ln h x x x x x'=--（1≥x ），令()()x h x ϕ='（1≥x ），则()212ln 10x x x ϕ'=++>， 所以()h x '在[)1,+∞上单调递增， 又()120h '=-<，()11e 2ln 0h e e e e e e'=--=->， 故存在唯一的()01,x e ∈，使得()00h x '=，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且()()1e 1h h ==-，因为当2x e >时，()()()2222221ln 1ln 2h x x x x x e x x =-->--=-， 所以当x e >时，()1h x >-．因为4m ≤，所以14m -≥-， 当4m =时，函数()h x 的图象与射线1y =-（1≥x ）有两个交点， 当4m <时，函数()h x 的图象与射线4m y =-（1≥x ）有一个交点． 综上，当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2； 当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．22．（1）)1y x =±-；（2）点T 到直线PQ 距离最大值为，此时直线PQ 的方程为3y x =-+.【解析】（1）由题可知抛物线方程为2:4C y x =焦点坐标为()1,0F ，设直线l 方程为1x my =+，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩， 整理可得：得2440y my --=，则由韦达定理有124y y m +=①，124y y =-②，∵TAF △与TBF △的面积之比为2:1，∴2AF FB =，∴()12121x x -=-，122y y -=③， 由①②③可得218m =，∴m =，∴直线方程为1x y =+，即)1y x =±-.（2）由（1）得点()221,2P m m +，又直线1l 与直线l 垂直，将m 换为1m -，同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1m ≠±时， 直线PQ 的斜率22222212PQ m m m k m m m+==--， 直线PQ 的方程为()222121m y m x m m -=---， 整理为()()2310m x m y ---=， 于是直线PQ 恒过定点()3,0E ，1m =±时， 直线PQ 的方程为3x =，也经过点()3,0E ， 所以点T 到直线PQ距离TE ≤= 此时直线PQ 的方程为3y x =-+.。
2021年高考数学全真模拟预测试卷含答案
本试卷共4页，24小题，总分值150分．考试用时120分钟．本卷须知1.本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第一卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设集合{0,1,2}M=，2=-+≤，那么M N＝〔〕N x x x{|320}A、{1}B、{2}C、{0,1}D、{1,2} 2．假设复数()ai-z-=2为纯虚数，那么实数a等于( )aaA、0B、1C、1-D、0或1 3．平面向量a()=，且⊥a b，那么向量53-a b=( )4,m1,2=-，b()A. (7,16)-- D.(7,14)--- B.(7,34)-- C.(7,4)4．命题p：对任意Rx∈，总有0≥x；命题q：+x的根．那么以下命题为2=2=x是方程0真命题的是( )A、p q∧⌝B、p q⌝∧C 、p q ⌝∧⌝D 、q p ∧5．如果执行如图1的程序框图，那么输出的值是〔 〕 A 、2019 B 、1- C 、21D 、26．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的〝伴生椭圆〞．那么离心率为3的双曲线的〝伴生椭圆〞的离心率为〔 〕 A 、12B 、6 C 、3 D 、227．随机地从区间] 1 , 0 [任取两数，分别记为x 、y ，那么122≤+y x 的概率=P 〔 〕A 、41B 、21C 、4πD 、41π- 8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的表面积为〔 〕 A 、320πB 、π20C 、π12D 、100π9．如图2，网格纸是边长为1的小正方形，在其 上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔 〕A. 4B. 8C. 16D. 2010．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()413n n S a =-，那么满足不等式162n n a +>的最小正整数n 的值为〔 〕 A 、12 B 、14 C 、16 D 、1711．函数)cos()(ϕ+ω=x A x f 的图象如图3所示，32)2(-=πf ，那么=)0(f ( )A 、32 B 、32-C 、21 D 、21-12．11,1()ln ,01x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩，假设函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，那么k 的取值范围是〔 〕A 、(,1)(1,)-∞-+∞B 、(1,1)-C 、11(,][0,]22-∞- D 、(,1][0,1]-∞-第二卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(七)数学试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则AB =（ ） A. {1,2,3,4,5}B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5} 【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义可直接求得结果.【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5AB =.故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.【详解】2z i =-，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =，()1,b λ=-，若//a b ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C【解析】【分析】 由向量平行关系可构造方程求得结果. 【详解】//a b ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4.设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A. 2,0x R x ∀∈≤B. 2,0x R x ∀∈>C. 2,0x R x ∃∈>D. 2,0x R x ∃∈≤【答案】D【解析】【分析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.【详解】根据全称量词否定的定义可知：p ⌝为：x R ∃∈，使得20x ≤.故选：D .【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.5.511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x -的系数是（ ） A. 15B. 15-C. 10D. 10- 【答案】D【解析】【分析】由二项展开式通项公式可确定3r =，由此可求得系数. 【详解】511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项()()55155111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，3224510T C x x --=-=-，即2x -的系数为10-.故选：D . 【点睛】本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为53，点(,0)P b ，则12||||PF PF =( ) A. 6B. 8C. 9D. 10 【答案】C【解析】【分析】根据题意写出1F 与2F 坐标，表示出12||||PF PF ，结合离心率公式计算即可. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，又(,0)P b ， ∴1PF b c =+，2PF c b =-， 该双曲线离心率为53，∴53ca=，即2222253c ca c b⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得54cb=，∴12511||495||114cPF b c bcPF c bb+++====---，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查运算能力，属于基础题.7.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d（d为球的直径），并得到球的体积为316V dπ=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（）A. 3169d V≈ B. 32d V≈ C. 3300157d V≈ D. 3158d V≈【答案】C【解析】【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可.【详解】由316V dπ=得：36Vdπ=.由A得：3916Vd≈，693.37516π=∴⨯≈；由B得：312Vd≈，632π∴≈=；由C得：3157300Vd≈，61573.14300π⨯∴≈=；由D得：3815Vd≈，683.215π⨯∴≈=，C∴的公式最精确.故选：C.【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.8.已知32cos cos2αβ-=，32sin sinαβ+=cos()αβ+等于（）A. 12B. 12-C. 14D. 14- 【答案】A【解析】【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=， 由32sin sin 2αβ+=得：()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=， 两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】ABD【解析】【分析】 根据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ，将第一场得分从小到大排序可知中位数为23522+=，A 正确；对于B ，第二场得分的总分为3967710102476+++++++=，则平均数为7619123=，B 正确； 对于C ，第一场得分的极差为19019-=，第二场得分的极差为24024-=，C 错误；对于D ，第一场和第二场得分的众数均为0，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问题，属于基础题.10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 1，则（ ）A. 正方体的外接球的表面积为12πB. 正方体的内切球的体积为43πC. 正方体的棱长为2D. 线段MN 的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由此确定内切球和外接球半径，由MN 的最小值为两球半径之差可构造方程求得a ，进而求得外接球表面积和内切球体积；由MN 的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为a ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即2a ；内切球半径为棱长的一半，即2a . ,M N 分别为外接球和内切球上的动点，min 11222a MN a a ∴=-==，解得：2a =，即正方体棱长为2，C 正确，∴正方体外接球表面积为2412ππ⨯=，A 正确；内切球体积为43π，B 正确；线段MN 的最大值为122a a +=，D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为R r -，最大值为R r +.11.已知圆M 与直线20x y ++=相切于点(0,2)A -，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M 的圆心在定直线20x y --=上B. 圆M 的面积的最大值为50πC. 圆M 的半径的最小值为1D. 满足条件的所有圆M 的半径之积为10【答案】ABD【解析】【分析】由切线的性质可确定AM 与20x y ++=垂直，由此可求得M 满足的直线方程，可判断出A 的正误；利用垂径定理可构造方程求得半径所有可能的取值，进而判断出,,B C D 的正误. 【详解】圆M 与20x y ++=相切于()0,2A -，AM ∴与20x y ++=垂直，∴直线AM 斜率为1，则M 在直线2y x =-，即20x y -+=上，A 正确；设(),2M a a -，∴圆M 半径r AM ===，∴圆M 被x轴截得的弦长为2==，解得：5a =-或1a =，当5a =-时，圆M 面积最大，为250r ππ=，B 正确；当1a =时，圆M ，C 错误；满足条件的所有半径之积为10=，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查直线与圆知识的综合应用，涉及到切线的性质、直线被圆截得的弦长问题；关键是熟练应用垂径定理，即直线被圆截得的弦长等于12.若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）A. 1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B. 函数()ln f x x x =有下界，无上界C. 函数2()xe f x x =有上界，无下界D. 函数2sin ()1x f x x =+有界 【答案】BD【解析】【分析】 根据基本不等式可判断出A 错误；利用导数可确定B 中函数的单调性，从而确定是否存在上下界；由20x >，0x e >可知()0f x >，从而否定C ；根据正弦函数的值域可进行放缩得到D 中函数的上下界.【详解】对于A ，当0x >时，12x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1f x ∴>恒成立，1∴是()f x 的一个下界，A 错误；对于B ，()()ln 10f x x x '=+>，()10,x e -∴∈时，()0f x '<；()1,x e -∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，()()11f x f e e-∴≥=-，()f x ∴有下界， 又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴无上界限，综上所述：()ln f x x x =有下界，无上界，B 正确；对于C ，20x >，0xe >，20xe x ∴>，()f x ∴有下界，C 错误； 对于D ，[]sin 1,1x ∈-，2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++， 又2111x -≥-+，2111x ≤+，2sin 111x x ∴-≤≤+，()f x ∴既有上界又有下界， 即()f x 有界，D 正确.故选：BD .【点睛】本题考查函数的新定义运算的问题，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值、放缩法的应用等知识.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6-【解析】【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果.【详解】()g x 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.14.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω. 【详解】2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 两个相邻的对称中心， 722632T πππ∴=-=，即2T ππω==，2ω∴=. 故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.15.已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则21MF MF -=__________，||OM =________.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】延长2F N ，1MF 相交于Q 点，易知2MF FQ =，得到N 2F Q 中点，结合三角形中位线性质可求得1FQ ，由1211MQ MF MF MF FQ -=-=可求得结果；结合椭圆定义可求得2MF ，1MF ，由勾股定理确定11MF OF ⊥，进而求得结果.【详解】如图，延长2F N ，1MF 相交于Q 点，由题意知：2MN F Q ⊥，且MN 平分12F MF ∠，2MF MQ ∴=，N ∴为2F Q 的中点， O 为12F F 的中点，11//2ON FQ ∴，21114MF MF MQ MF FQ ∴-=-==. 由椭圆定义知：218MF MF +=，26MF ∴=，12MF =， 又12216842F F =-=2222112MF MF F F ∴=+，11MF OF ∴⊥，22114823OM MF OF ∴=+=+=故答案为：4；23【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆几何性质的基础知识的掌握情况.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，23AB =12AA =，,E F 分别为1AB ，11A C 的中点，平面α过点1C ，且平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为________. 3【解析】【分析】 由面面平行性质可知11//l A B ，取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，可证得//GF l ，由此得到异面直线所成角为GFE ∠或其补角，通过求得cos GFE ∠可确定所成角为GFE ∠，进而得到结果. 【详解】平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，平面11A B C 平面11111A B C A B =， 11//l A B ∴取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，连接1,,,,EH EG GH GF AC ，如图所示，则11//GF A B ，//GF l ∴，∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠或其补角，23AB =，12AA =，14AC ∴=，1EH =，3HF GF ==，2EG EF ∴==，3322cos 024GF GFE EF ∴∠===>， ∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠， ∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为3.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015～2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的拆线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311ii i tt y y =--=∑；回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 【答案】（1）ˆ31.1120.9y t =+；（2）338.6万人【解析】 【分析】（1）根据折线图中数据计算得到最小二乘法所需数据，利用最小二乘法求得回归直线； （2）将7t =代入回归直线即可求得所求预测值. 【详解】（1）由折线图中数据计算得：()11234535t =++++=， ()()()522222212101210i i t t =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311ii i tt y y =--=∑，()()()51521311ˆ31.110ii i i i tty y bt t ==--∴===-∑∑，ˆˆ214.231.13120.9a y bt=-=-⨯=， ∴所求回归方程为ˆ31.1120.9yt =+. （2）将2021年对应的7t =代入回归方程得：ˆ31.17120.9338.6y=⨯+=， ∴预测2021年全国硕士研究生报考人数约338.6万人.【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线并利用回归直线进行预测的问题，涉及到折线图的读取问题；关键是熟练掌握最小二乘法，对学生的运算能力有一定要求. 18.在①2b c +=.②ABC ∆的面积4ABC S ∆=，③3sin sin 4B C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题中的ABC ∆是否为等边三角形，请说明理由.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且(cos cos )tan ,1a C c A A a +==，________，试判断ABC ∆是否为等边三角形？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】若选①，等边三角形；若选②，等边三角形；若选③，等边三角形. 【解析】【分析】利用正弦定理边化角整理可求得tan A ，进而得到A ，利用余弦定理可构造方程，得到221b c bc +-=； 若选①，利用余弦定理的结论可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选②，根据三角形面积公式可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选③，利用正弦定理角化边可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论.【详解】由()cos cos tan a C c A A +=得：()sin cos sin cos tan A C C A A B +=，即()()sin tan sin tan sin tan A C A B A B A B π+=-==，()0,B π∈，sin 0B ∴≠，tan A ∴=，又()0,A π∈，3A π∴=.由余弦定理得：22222cos 1b c bc A b c bc +-=+-=.若选①，则()2223431b c bc b c bc bc +-=+-=-=，解得：1bc =，1b c ∴==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选②，1sin 244ABC S bc A ∆===，解得：1bc =， 222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选③，3A π=，sin 2A ∴=，23sin sin sin 4B C A ∴==，由正弦定理得：2bc a =，即1bc =，222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.【点睛】本题采用开放式设问的方式，考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应用、利用余弦定理和三角形面积公式解三角形等知识，属于常考题型.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314nn n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314n n n S a -+=-，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=； 当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，222AD BC PA ===，1AB =，,,E F G 分别为线段,,AD DC PB 的中点.（1）证明：平面//PEF 平面GAC ； （2）求多面体AGCPEF 的体积；（3）求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3）16【解析】 【分析】（1）连接BE ，交AC 于点O ，证得四边形ABCE 为平行四边形，从而得到O 为AC 中点，分别利用三角形中位线性质和线面平行的判定定理证得//PE 平面GAC ，//EF 平面GAC ，由面面平行的判定定理可证得结论；（2）利用切割的方式，通过所求体积P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--，结合棱锥体积公式可求得结果； （3）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求的结果. 【详解】（1）连接BE ，交AC 于点O ，连接,GO CE ，//BC AD ，2AD BC =且E 为AD 中点，//BC AE ∴，∴四边形ABCE 为平行四边形，O ∴为AC 中点，又G 为PB 中点，//GO PE ∴，又GO ⊂平面GAC ，PE ⊄平面GAC ，//PE ∴平面GAC ； ,E F 分别为,AD CD 中点，//EF AC ∴，又AC ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ，//EF ∴平面GAC ，,PE EF ⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴平面//PEF 平面GAC .（2）222AD BC PA ===，1AB =，∴()111121322P ABCD V -=⨯⨯+⨯=； 又G 为PB 中点，G ∴到平面ABC 的距离为1122PA =，11111132212G ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=，,E F 分别为,AD CD 中点，14DEF DAC S S ∆∆∴=，又()1112111122DAC S ∆=⨯+⨯-⨯⨯=，11113412P DEF V -∴=⨯⨯=，∴多面体AGCPEF 的体积1111212123P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--=--=.（3）PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP ∴两两互相垂直，则以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11,0,22G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ， 11,1,22GC ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =-，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则020n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，令1y =，则2z =，1x =，()1,1,2n ∴=，设直线GC 与平面PCD 所成角为θ，则112sin 6362n GC n GCθ⋅===⋅⨯， ∴直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值为16.【点睛】本题考查立体几何中的面面平行关系的证明、多面体体积的求解、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；对于不规则几何体体积的求解，通常采用切割的方式，将问题转化为棱锥或棱柱体积的求解问题.21.已知点()()8,0P t t <是抛物线()2:20C y px p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q ，曲线C 在点P 与点Q 处的切线分别为,m n ，直线,m n 相交于点G ，求点G 的坐标.【答案】（1）4380x y +-=；（2）(2,3)--【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得抛物线方程和焦点坐标，进而求得P 点坐标；由直线两点式方程可整理得到直线的一般式方程；（2）联立直线PF 方程与抛物线方程可求得Q 点坐标，假设切线方程，与抛物线方程联立后可利用0∆=求出切线方程，两条切线方程联立即可求得交点坐标. 【详解】（1）10PF =，8102p∴+=，解得：4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =，()2,0F ，又P 为抛物线C 上一点，264t ∴=，又0t <，8t ∴=-，∴直线PF 的方程为028082y x --=---，即4380x y +-=.（2）联立243808x y y x+-=⎧⎨=⎩得：26160y y +-=，解得：8y =-或2y =， 1,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，设():88m y k x +=-，联立()2888y x y k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩得：2864640ky y k ---=，由()64464640k k ∆=++=得：12k =-， ∴直线m 的方程为：()1882y x +=--，即280x y ++=. 同理可求得直线n 的方程为：210x y -+=.由280210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得：23x y =-⎧⎨=-⎩，即G 点的坐标为()2,3--.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线切线方程的求解等知识；解决直线与拋物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题；（3）注重平面几何的知识，利用数形结合的思想处理问题.22.已知函数()sin f x ax x =-，曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线过点(2021,2020). （1）求实数a 的值；（2）求函数()()g x xf x =的单调区间；（3）若112a =，122n n n a a f a ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，证明：1114n n a a π+-<- 【答案】（1）1a =；（2）单调递增区间(0,)+∞，单调递减区间(,0)-∞；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求解方法可求得在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程，将点()2021,2020代入切线方程即可求得a ；（2）由（1）可知当0x >时，sin 0x x ->，从而可确定当0x >时，()g x '的正负，从而确定()g x 在()0,∞+上的单调性；根据奇偶性定义可知()g x 为偶函数，从而求得其在(),0-∞上的单调性，进而得到所求单调区间；（3）根据递推关系式可类推得到101n n a a +<<<，利用（2）中当0x >时，sin x x >的结论，将所证不等式左侧进行放缩即可证得结论. 【详解】（1）()cos f x a x '=-，cos 22f a a ππ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，又122a f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：122a y a x ππ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即为1y ax =-，又切线过点()2021,2020，202020211a ∴=-，解得：1a =. （2）()22sin sin g x ax x x x x x =-=-，()2sin cos g x x x x x '∴=--，当0x >时，由（1）知：()1cos 0f x x '=-≥，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()00f x f ∴>=，即sin 0x x ->，()()()2sin cos sin 1cos g x x x x x x x x x '=--=-+-，∴当0x >时，()0g x '>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增；又()()()()22sin sin g x x x x x x x g x -=-+-=-=，()g x ∴偶函数，()g x ∴在(),0-∞上单调递减；综上所述：()g x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞.（3）sin 222n n n f a a a πππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1sin 2n na a π+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 112a =，2sin 42a π∴==120222a a πππ∴<<<，2301a a ∴<<<， 依次类推可得到：101n n a a +<<<.()211sin 1cos 2sin 1122241111n n n n n n n na a a a a a a a ππππ+⎛⎫⎛⎫⎡⎤---- ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦===---- 01n a <<，011n a ∴<-<，()0144n a ππ∴<-<，又101n n a a +<<<，110112n a a ≤∴<--=， 由（2）知：当0x >时，sin x x >，()()()222sin 121144111424224n n n nn a a a a a πππππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴<=⨯-≤⨯⨯<--，1114n n a a π+-∴<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数求解函数的单调区间、利用导数证明与数列有关的不等式的问题；证明不等式的关键是能够将所证不等式，利用已证得的结论进行适当放缩，属于较难题.。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(七)数学试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（七）数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：1.已知复数z 满足()2z i i -=-，则z =( ) A.1255i - B. 1255i -+ C.1255i + D. 1255i -- 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可求出2i z i -=-，结合复数的除法运算对其进行整理得1255z i =-，从而可求出共轭复数. 【详解】解：由题意可得：(2)122(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+，则1255z i =+. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的求解.本题的关键是对z 进行整理变形. 2.已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =->，则A B =( )A. ()1,3B. (]1,3C. ()1,2-D. [)1,2-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式得集合A,B ，再根据交集概念求结果. 【详解】由题意得[]1,3A =-，(),2B =-∞中，则[)1,2A B =-.故选：D【点睛】本题考查集合交集运算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.空气质量指数简称AQI ，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于50表示空气质量为优.下图是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是( )A. 该市这周有4天的空气质量指数为优B. 该市这周空气质量指数的中位数是31C. 该市这周空气质量指数的极差是65D. 该市这周空气质量指数的平均数是53【答案】B 【解析】 【分析】由图可知该市这周空气质量指数，从而可计算平均数，中位数，极差，即可选出正确答案. 【详解】解：由图可知该市这周空气质量指数为96,74,54,31,37,36,43，则平均数为()196745431373643537⨯++++++=，有4天的空气质量指数小于50， 按大小排列为31,36,37,43,54,74,96，则中位数为43，极差为963165-=故选:B.【点睛】本题考查了数据分析，考查了平均数的求解，考查了中位数的求解，考查了极差的求解. 4.函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ；当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B .【详解】设()ln xg x x=，因为()()g x g x =-，所以()g x 的图象关于y 轴对称. 所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ； 当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B ， 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 5.已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A. []0,1 B. (]0,1C. [)1,2-D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式和分式不等式对命题进行化简，依据二者的关系可得1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即可求出a 的取值范围.【详解】解：因为1x a -<，所以11a x a -<<+.即:11p a x a -<<+， 因为311x >+，所以12x -<<，即:12q x -<<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤.故选:A.【点睛】本题考查了已知命题关系求参数的取值范围，考查了绝对值不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本题的关键是对命题进行化简.6.已知0a >，0b >，且320a b ab +-=，则3a b +的最小值是( ) A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】 【分析】先化简条件得312a b+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值即可. 【详解】因为0a >，0b >，320a b ab +-=，所以312a b+=，所以()()1311331133101061082222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当2a b ==时取等号）. 故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是( ) A.59B.49C.1325D.1225【答案】C 【解析】 【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢毽子的数目之和为奇数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有5525⨯=种取法； 其中抽取两人踢毽子的数目之和为奇数有223313⨯+⨯=种取法； 从而所抽两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是1325故选：C【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式()()3132f x f x x --<-的解集是( )A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()232g x f x x =-，根据条件确定其单调性与奇偶性，化简不等式()()3132f x f x x --<-为()()1g x g x <-，再根据单调性与奇偶性转化不等式为1x x <-，解得结果.【详解】设()()232g x f x x =-，则()()3g x f x x ''=-. 因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()()30g x f x x ''=->，即()g x 在[)0,+∞上单调递增. 因为()()f x f x -=，所以()()()()223322g x f x x f x x g x -=--=-=∴，()g x 是偶函数. 因为()()3132f x f x x --<-，所以()()()22331122f x x f x x -<---，即()()1g x g x <-，()()|||1|g x g x ∴<-,则1x x <-，解得12x <. 故选：D【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性、利用单调性与奇偶性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、多项选择题：9.已知函数()tan ,tan sin sin ,tan sin x x x f x x x x >⎧=⎨≤⎩，则( )A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. ()f x 的单调递增区间为(),2k k k πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Z C. 当且仅当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()0f x ≤D. ()f x 的最小正周期时2π 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质可得当()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()tan f x x =，当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()sin f x x =，结合图象逐一判断即可. 【详解】当tan sin x x >，即()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()()tan 0,f x x =∈+∞；当tan sin x x ≤，即()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()()sin 1,1f x x =∈-.综上，()f x 的值域为()1,-+∞，故A 正确；()f x 的单调递增区间是2,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和()32,22k k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈Z ，B 错误；当()2,22x k k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈Z 时，()0f x >，故C 错误；结合()f x 的图象可知()f x 的最小正周期是2π，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，得出函数()f x 的解析式是解题的关键，属于中档题.10.已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A. ()10g =B. ()122g =-C. ()()0g x g x -+>D. ()()110g x g x -+++<【答案】AC 【解析】 【分析】A.由()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，可得()()10g f =，可判断选项A;由()()12g f =，又()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，从而可判断选项B;由题意()()()()11g x g x f x f x -+=--+，根据()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f x f x ->+，可判断选项C;因为()()()1g x f x f x -+=-=-，所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，可判断选项D.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确； 因为()f x 为定义在R 上减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立；因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数，所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确； 因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查赋值法的应用，属于中档题.11.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) A.B. C.D. 3【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将PQF △的周长的最小值转化为求QF PQ '+的最小值，即可求出离心率的范围，观察选项即可判断.【详解】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得2415PF PF '==+=，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率266c e a ==≤.因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1,6⎤⎦. 故选：AC【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率及一动点到两定点的距离之和的最小值，属于基础题. 12.一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点H 是棱DN 的中点，P ，Q 分别是线段AC ，BN （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是( )A. 在点P 的运动过程中，存在//HP BMB. 在点Q 的运动过程中，存在FQ AH ⊥C. 三棱锥H QAC -的体积为定值D. 三棱锥B PEM -的体积不为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的判断方法，可判断A ；运用线面垂直的判断与性质定理可判断B ；由棱锥的体积公式和线面距离与点面距离的关系，可判断C ，D ．【详解】解：由平面展开图，还原正方体，如图所示.对于A 选项，因为点P 是线段AC 上的动点，所以HP ⊂平面ACH ，因为BM ⊄平面ACH ，且BM 与平面ACH 不平行，所以不存在//HP BM .故A 错误； 对于B 选项.连接BD ，BD AC O ⋂=，连接OF ，OF BN G ⋂=，取AD 的中点K ，连接EK ，OK .则O 为BD 的中点，//OK EF ，所以E ，F ，O ，K 四点共面，因为AH EK ⊥，AH EF ⊥，所以AH ⊥平面EFOK ，因为GF ⊂平面EFOK ，所以AH GF ⊥，即当点Q 运动到G 点时，FQ AH ⊥，故B 正确；对于C 选项，因为点H 是棱DN 的中点，所以//OH BN ，因为OH ⊂平面ACH ，BN ⊄平面ACH ，所以//BN 平面ACH ，则直线BN 上的任意一点到平面ACH 的距离相等，且为定值，因为点Q 是线段BN 上的动点，所以点Q 到平面ACH 的距离d 为定值，因为ACH 的面积为定值，所以13H QW Q WH ACH V V d S --⋅==△（定值），故C 正确；对于D 选项，因为点P 是线段AC 上的动点。
2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(七)(含答案)
2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（七）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设复数z 满足31z i z +=--，则下列说法正确的是 A ．z 为纯虚数 B ．在复平面内，z 对应的点位于第二象限 C ．z 的虚部为2iD．z =2．已知集合()(){}120M x x x =-+>，集合(){}2lg 2N x y x x ==-，则()RM N ⋂=A ．(]0,1B ．(]2,2-C ．[)0,+∞D ．()(),01,-∞⋃+∞3．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是A ．()cos ln f x x x =⋅B ．()cos ln ||f x x x =⋅C ．()cos ln ||f x x x =-⋅D ．()|cos ln |f x x x =4．设123a =，403b =，则 A ．42()3ab a b ab <+< B ．42()3ab a b ab >+> C ．62()5ab a b ab >+>D ．62()5ab a b ab <+<5．若3sin 5α=-，α是第三象限角，则1tan21tan 2αα-=+ A ．2-B ．2C ．83-D ．836．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =A ．2B ．3C ．4D ．57．一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况. A ．288B ．864C ．1436D ．17288．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=A ．5050B ．4851C ．4950D ．5000二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为 A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件10．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于A 、B 两点，则下列结论正确的是A ．双曲线1C 的离心率为B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为y =D ．203AF BF +=11．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减12．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为7D ．三棱锥C BEF -三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知3(2)(1)++mx x 的展开式中3x 的系数为5，则它的展开式中各项系数和等于______.14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=，且||||2a a b -=，则,a b 的夹角的余弦值为________. 15．如图，在等腰直角ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，若AF mAB nAC =+，则m n +=________．16．已知函数()3213f x x ex ax =-+，()ln x g x x=，若不等式()()316f x x xg x +<有且仅有一个整数解，则实数a 的取值范围为_________. 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值.18．在①18n n a a n ++=，②12n a 为21n a +与28n n a a +的等差中项，1312a a +=，③n S 为数列{}n a 的前n 项和，184n n n a a S +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知数列{}n a 满足26a =，______. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足143b =，()1123n n b b +=+，求数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .19．如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值.20．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5115i i u u ==∑，5115i i υυ==∑.根据散点图判断，by a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-. 21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（a b c >>）上的点M 到C 的两焦点的距离之和为6，C．（1）求C 的标准方程；（2）设坐标原点为O ，点N 在C 上，点P 满足OP OM ON =+，且直线OM ，ON 的斜率之积为19-，证明：22MN OP +为定值．22．已知函数()2xf x ax e =-+，其中0a ≠.（1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在a R ∈，对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()124f x f x +=成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 9．BCD 10．BC 11．BD 12．ABC 13．2414．215．4516．ln 29ln 322,3[)223e e -+-+ 17．（1）π3A =；（2）4. 【解析】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=， 则()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，0B π<<，则sin 0B >，于是1cos 2A =，又0πA <<，故3A π=；（2）根据余弦定理222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立. 所以b c +的最大值为4.18．选择条件①：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+；选择条件②：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+；选择条件③：（1）42n a n =-；（2）()12136n n +-⨯+.【解析】（1）选择条件①，由18n n a a n ++=，得1288n n a a n +++=+， 两式相减得28n n a a +-=， 当1n =时，128a a +=，又26a =，所以12a =.所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.选择条件②，由题意得22118n n n n a a a a ++=+， 整理得28n n a a +-=，则318a a -=， 又1312a a +=，所以12a =.所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.选择条件③，由184n n n a a S +=-，得12184n n n a a S +++=-， 两式相减得()1218n n n n a a a a +++-=， 又26a =，所以10n a +≠，28n n a a +-=， 当1n =时，12184a a a =-， 又26a =，所以12a =，所以{}n a 中所有奇数项是以12a =为首项，8为公差的等差数列， 故当()21n k k *=-∈N时，218642nk aa k n -==-=-；{}n a 中所有偶数项是以26a =为首项，8为公差的等差数列，故当()2n k k *=∈N 时，()26818242n k a a k k n ==+-=-=-.综上，42n a n =-.（2）因为()1123n n b b +=+，所以()11113n n b b +-=-， 所以数列{}1-n b 是首项1411133b -=-=，公比为13的等比数列，所以113n n b -=.所以()4231n nn a n b =--， 所以()()2312363103463423n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ()()234132363103463423n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得()()()2311223433342344312n n n n T n n ++-=⨯+⨯+++--⨯=-⨯-.所以()12136n n T n +=-⨯+19．（1）F 为BC 的中点；（2）6. 【解析】 （1）如图，设D 点在平面ABC 内的射影为O ，连接OD ，OC ， ∵AD CD =， ∴OA OC =，∴在Rt ABC △中，O 为AB 的中点. 取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，则//OF AC ，又OF ⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ，∴//OF 平面EAC .取AC 的中点H ，连接EH ，则易知EH AC ⊥，又平面EAC ⊥平面ABC ，平面EAC 平面ABC AC =，∴EH ⊥平面ABC ， 又DO ⊥平面ABC ，∴//DO EH ，又DO ⊄平面EAC ，EH ⊂平面EAC ， ∴//DO 平面EAC . 又DO OF O ⋂=， ∴平面//DOF 平面EAC . 又DF ⊂平面DOF ，∴//DF 平面EAC ，此时F 为BC 的中点.（2）连接OH ，由（1）可知OF ，OH ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OF ，OH ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0B -，(D，(0,1,E ，()1,1,0C ， 从而()0,2,0BC =，(BD =-，(1,2,BE =-. 设平面BDC 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,BC n BD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0,y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩得0y =，取x =，则1z =，()2,0,1m =.设平面EBC 的一个法向量为(),,n a b c =，则0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20,b a b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得0b =，取a =1c =-，()3,0,1n =-，从而6cos ,63m n m n m n⋅-===⨯⋅.易知二面角D BC E --为钝二面角， 所以二面角D BC E -- 20．（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i ）1464y x =（ii ）该厂应投入256万元营销费. 【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i ii uu buuυυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+， 即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x ex ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e=，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-， 设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t'=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，ft 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=（a b c >>）上的点M 到C 的两焦点的距离之和为6，所以26a =，解得3a =，又C，所以c a =c =又222c a b =-，所以1b =，所以C 的标准方程为2219x y +=；（2）法一：设()11,M x y ，当直线MN 的斜率不存在时，()11,N x y -，因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-，所以111119y y x x -⋅=-，即22119x y =， 又M ，N 在椭圆2219x y +=上，所以2192x =，2112y =．因为OP OM ON =+，所以()()2222MN OP ON OMON OM+=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()22114x y =+91422⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭20=；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+（0m ≠），联立方程得22,1,9y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()2221918990k x kxm m +++-=， ()()()2221841999km k m ∆=-+-()2236910k m =-+>，设()22,N x y ，则1221819km x x k -+=+，21229919m x x k-=+． 因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-， 所以()()12121212kx m kx m y y x x x x ++⋅=()212212km x x m k x x ++=+19=-， 即22222221811999919k m m k k m k -+++=--+，得22291m k -=，满足0∆>． 因为OP OM ON =+， 所以()()2222MN OP ON OMON OM +=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()222211222x y x y =+++()22121649x x =++()2121216429x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦ ()22222991618491919m km k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥=+- ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222229916184922m km m m ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1649209=+⨯=． 综上，22MN OP +为定值．法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线OM ，ON 的斜率之积为19-， 所以121219y y x x ⋅=-，即12129x x y y =-． 因为M ()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C ：2219x y +=上，所以221199x y +=，222299x y +=， 可得221199x y -=- ①， 222299x y -=- ②，由①⨯②得()()222212129981x xy y --=，所以()()2222121299x x x x --=，即22129x x +=． 由①+②得()22221212999x x y y -+-=-+，得22121y y +=．因为OP OM ON =+， 所以()()2222MN OP ON OMON OM+=-++222222ON OM ON OM ON OM ON OM =+-⋅+++⋅()222OM ON=+()222211222x y x y =+++()291=⨯+20=，因此22MN OP +为定值．22．（1）答案见解析；（2）存在，1e +. 【解析】（1）由()2xf x ax e =-+，得()x f x a e '=-，当0a <时，对任意(),x ∈-∞+∞，()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，当()ln ,x a ∈+∞时()0f x '<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， 综上所述，当0a <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减； （2）存在满足条件的实数a ，且实数a 的值为1e +， 理由如下：①当1a ≤，且0a ≠时，由（1）知，()f x 在[]0,1上单调递减， 则[]0,1x ∈时，()()01max f x f ==， 则()()()122024f x f x f +≤=<， 所以此时不满足题意；②当1a e <<时，由（1）知，在[]0,ln a 上，()f x 单调递增， 在(]ln ,1a 上，()f x 单调递减，则当[]0,1x ∈时，()()ln ln 2max f x f a a a a ==-+， 当10x =时，对任意[]20,1x ∈，()()()()()120ln 1ln 2ln 133f x f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，所以此时不满足题意；③当a e ≥时，令()()4g x f x =-（[]0,1x ∈），由（1）知()f x 在[]0,1上单调递增，进而知()g x 在[]0,1上单调递减， 所以()()()040max g x g f ==-，()()()141min g x g f ==-， 若对任意的[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()124f x f x +=，则()()12f x g x =，()()()()0110f g f g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即()()()()014104f f f f ⎧+≥⎪⎨+≤⎪⎩，所以()()0134f f a e +=-+=，解得1a e =+， 综上，存在满足题意的实数a ，且实数a 的值为1e +.。
2021年高考数学模拟考试卷七含解析
高考数学模拟考试卷（七）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|13}A x R x =∈-，{|24}x B x N =∈<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）复数z 满足(1)1z i i +=-，则z 的虚部等于( ) A ．i -B ．1-C ．0D ．13．（5分）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+的” ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）函数||()sin ln x f x x x=-的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：)mmHg 和高度h （单位：)m 之间的关系为760(hk p e e -=是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）( )A ．645mmHgB ．646mmHgC ．647mmHgD ．648mmHg6．（5分）已知O 为ABC ∆所在平面内一点，若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，6AB =，4AC =，则(AO BC ⋅= )A ．5-B ．10-C ．10D ．57．（5分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为( ) A ．712612+ B ．910+ C ．832612+ D ．926+8．（5分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，对于任意x R ∈，都有()(23)()x f x e x f x '=++，(0)2f =-，则不等式()2x f x e <的解集为( )A ．(1,2)-B ．(1,4)-C ．(2,1)-D ．(4,1)-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(七)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（七）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}2|560,{|22}A x x x B x x x Z =+-<=-<<∈且，则A B =（ ）A. (2,1)-B. {5,4,3,2,1,0}-----C. {1,0}-D. (1,0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.【详解】因为2{|560}{|61}A x x x x x =+-<=-<<，{|22}{1,0,1}B x x x Z =-<<∈=-且，所以{1,0}A B ⋂=-. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了一元二次不等式，属于简单题. 2.已知()121i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A.5B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算计算得到z ，根据模长定义可求得结果. 【详解】()121i z i -=+，()()()()11211313121212555i i i i z i i i i +++-+∴====-+--+，5z ∴==. 故选：A .【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数除法运算计算得到复数，属于基础题. 3.已知3413log 3,4,ln 4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可确定临界值，从而比较出大小.【详解】134443ln ln10log 1log 3log 41444<==<<==<，c a b ∴<<.故选：D.【点睛】本题考查比较指数和对数的大小关系的问题，关键是熟练应用指数函数和对数函数的单调性确定临界值，属于基础题.4.已知向量()2,3AB →=，()3,AC t →=，且AB →与BC →夹角不大于2π，则t 的取值范围为（ ） A. 7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 79,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出cos θ，根据夹角的范围知0cos 1θ≤≤，由此构造不等式求得结果.【详解】由题意得：AB →==BC AC AB →→→=-=37AB BC AB AC AB t →→→→→⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，设AB →与BC→夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ→→→→⋅==⋅，02πθ≤≤，0cos 1θ∴≤≤，即01≤≤，()()22370131337t t t -≥⎧⎪∴⎨⎡⎤+-≥-⎪⎣⎦⎩，解得：73t ≥，即t 的取值范围为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意两个向量所成角的范围为[]0,π.5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A.147B.127C.107D.87【答案】B 【解析】 【分析】根据羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列和总赔偿数，可构造方程分别求得羊主人和牛主人赔偿的斗数，进而得到结果.【详解】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为2，设羊主人赔偿x 粟， 则244x x x ++=，解得：47x =；∴羊主人赔偿47粟，牛主人赔偿416477⨯=粟，∴牛主人比羊主人多赔偿16412777-=粟.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用，属于基础题.6.以双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的一个焦点(),0F c为圆心，2c为半径的圆与E的渐近线相切，则E的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据以F为圆心，以2c2c=，整理化简即可得结果．【详解】由已知双曲线的渐近线为by xa=±，选取其中一条计算，即0bx ay-=，由F点到渐近线0bx ay-=的距离d b==得2cb=，故有22222444c b c c a=⇒=-，解得3ca=即离心率e=故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到,,a b c之间的等量关系，是基础题.7.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（）A. 1260B. 1230C. 1200D. 1140【答案】D【解析】【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．【详解】设女生总人数为：x 人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：804238-=人， 所以80382400x=，解得：1140x = 故选D【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．8.已知直线a 、b ，平面α、β，且//,a b a β⊥，则//b α是αβ⊥的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直和面面垂直的性质和判定定理，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】若//,,a b a αββ⊥⊥，如果b α⊂，则//b α不成立； 若//,,//a b a b βα⊥，过b 做一平面γ，且l γα⋂=， 则//,//,,,b l a l l l βααβ∴∴⊥⊂∴⊥.所以当//,a b a β⊥时，//b α是αβ⊥的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及到空间线、面位置关系，熟记有关判定和性质定理是解题的关键，属于基础题. 9.将函数()sin (0)2x f x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像向右平移23π个单位长度后得到函数()g x 的图像，且()g x 的图像关于点(),0π对称，则ϕ=（ ）A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】D【解析】 【分析】由题得()g x =1sin()23x πϕ=-+，根据题意得sin()06πϕ+=，0ϕπ<<，可得选项. 【详解】由题得()g x =121sin[()]sin()2323x x ππϕϕ-+=-+， 因为()g x 的图象关于点(),0π对称，所以1sin()023ππϕ⨯-+=，sin()06πϕ+=，所以,6k k Z πϕπ+=∈，因为0ϕπ<<，所以ϕ=56π. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a m =+，且数列{}n na 的前6项和等于321，则m 的值等于（ ） A. 1- B. 2-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，1n =时，求出1a ，2n ≥由1n n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推关系，进而求出{}n a 的通项公式，结合已知建立m 的方程，求解即可.【详解】依题意，当1n =时，1111224,2m S a a m a ==+∴=-， 当2n ≥，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=， 若0,0n m a ==，则数列{}n na 的前6项和等于0，不合题意，10,0,2nn n a m a a -∴≠≠=，所以数列{}n a 是以2m -为首项， 公比为2的等比数列，12222n n n m a m --=-=-⋅， 数列{}n na 的前6项和为 12345623456a a a a a a +++++1(26164096)2m =-+++++3213212m =-=2m ∴=-.故选：B .【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，注意对参数m 的的分类讨论，考查计算求解能力，属于中档题.11.已知直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线21:22C y px p ⎛⎫=>⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】直线l 方程与抛物线方程联立，根据根与系数关系，得到,A B 两点纵坐标关系，结合抛物线方程得出横坐标关系，进而求出0OA OB ⋅<，即可得出结论.【详解】直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线21:22C y px p ⎛⎫=> ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点， 所以0k ≠，将直线方程化为11,x my m k=+=， 联立212x my y px=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2220y pmy p --=，22480p m p ∆=+>，设112212(,),(,),2A x y B x y y y p =-，221212121211,120,()222y y x x OA OB x x y y p p p p =⋅=⋅=+=-<>，所以AOB ∠为钝角，故AOB 钝角三角形.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，并利用向量数量积的正负判断角的类型，要注意抛物线二级结论的总结，如直线过(2,0)p 点与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，则有OA OB ⊥，而直线过定点(1,0)是在(2,0)p 的左侧，则有AOB ∠为钝角，即刻得出结论，提高解题效率，属于中档题. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()2f x x =-，设函数()|2|(26)x g x e x --=-<<，则()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，函数()f x 和()g x 的图象都关于直线2x =对称，据此画出它们的图象即可求出答案． 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-， ∴函数()f x 的图象关于直线2x =和y 轴对称， 而函数()|2|(26)x g x ex --=-<<的图象也关于直线2x =对称，当(]2,2x ∈-时，()2x g x e -=，先画出函数()f x 和()g x 在(]2,2-上的图象，再根据对称性得到()2,6-上的图象如图，由图可知，函数()f x 和()g x 在()2,6-上的图象共有2个交点，且关于直线2x =对称， ∴函数()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和为224⨯=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表： 年份2015 2016 2017 2018 2019 年份代号（t ）12 3 4 5 盈利店铺的个数（y ） 260240215200180根据所给数据，得出y 关于t 的回归方程273y bt =+，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______． 【答案】165 【解析】 【分析】根据回归方程必过中心点(,)t y ，求出b ，再代入6t =可求得答案. 【详解】t =1234535++++=,2602402152001802195y ++++==, 由273y bt =+，则219=3273b +，得b =18-，故18273y t =-+， 令6t =，得y =165. 故答案为：165【点睛】本题考查了回归方程相关知识，应用回归方程必过中心点求得回归方程是解决问题的关键.14.若变量x 、y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则函数2z x y =+的最小值等于_______．【答案】32- 【解析】 【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可得到答案. 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：根据2z x y =+得到2y x z =-+，z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2B -. 当函数2z x y =+经过1(1,)2B -时，z 取得最小值.min 32z =-.故答案为：32-【点睛】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数表示的几何意义为解题的关键，属于简单题. 15.已知函数())f x x a =++，且()1ln 3ln 13f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a =_________． 【答案】12【解析】 【分析】利用()()2f x f x a -+=，再根据1ln 3ln 3-=，即可得到答案；【详解】()()))2f x f x x a x a a -+=+++=，1ln 3ln 3-=，∴()()()1ln 3ln ln 3ln 3213f f f f a ⎛⎫+=+-== ⎪⎝⎭， ∴12a =， 故答案为：12. 【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16.如图，在边长等于2正方形ABCD 中，点Q 是BC 中点，点M ，N 分别在线段,AB CD 上移动（M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//BC MN ，沿着MN 将四边形AMND 折起，使得面AMND ⊥面MNBC ，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为________；当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积为________．【答案】 (1).13(2). 5π 【解析】【分析】 （1）依题意设设AM DN x ,则2MB NC x ,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数可得出最大值. （2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.【详解】依题意设AM DN x ,则2MB NC x ,因为//MN AD ,所以DN MN ⊥,又面AMND ⊥面MNBC ，面AMND ⋂面MNBC MN =，所以DN ⊥面MNBC ，所以DN 是三棱锥D MNQ -的高，所以三棱锥D MNQ -的体积()()11112223323D MNQ MNQ V DN S x x x x -=⨯⨯=⋅⋅⨯⨯-=⋅⋅-， 当1x =时，D MNQ V -有最大值13， （2）由（1）知道三棱锥D MNQ -体积取得最大值时, 1x =，折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：所以()0,0,0N ,()2,0,0M ,()0,0,1D ,()1,1,0Q ， 设三棱锥D MNQ -外接球的球心为(),,O x y z ，R ON OM OD OQ ∴====()()()()2222222222222222222111x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧++=-++⎪⎪++=++-⎨⎪++=-+-+⎪⎩， 解1012x y z ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩,所以222151022R ON ， 外接球面积为254454SR . 故答案为：5π.【点睛】本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积,解决此类题需要有良好的空间想象力，属于难度题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c B b =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于33c 边长． 【答案】（1）3π（213【解析】【分析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c .【详解】（1）由正弦定理可知， 1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+， 1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+， 即1sin cos sin 2B C B = sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）13sin 3324ABC S ab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-2()3493613a b ab =+-=-=13c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.18.已知四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3BC =，O 为AB 的中点，点E 在AD 上，且13AE AD =．（1）证明：EC PE ⊥；（2）在PB 上是否存在一点F ，使//OF 面PEC ，若存在，试确定点F 的位置．【答案】（1）证明见解析（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B )，证明见解析【解析】【分析】（1）连接,OE OC ，利用勾股定理可证明EC OE ⊥，由面PAB ⊥面ABCD 可得PO CE ⊥，可得CE ⊥面POE ，即可求证；（2）取F 为PB 的三等分点(靠近点B )，N 为BC 的三等分点(靠近点B )，连接 ,OF NF ，可证明平面//ONF 平面PEC ，即可得证【详解】（1）连接,OE OC ,PO ，如图，在四棱锥P ABCD -中，4PA PB ==，O 为AB 的中点，PO AB ∴⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ，PO CE ∴⊥在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，11,2,13AE AD DE AO BO ===== 由勾股定理知222OE OA AE =+，解得2OE =，222221310OC BO BC =+=+=,22222228CE DE CD =+=+=,222OE CE OC ∴+=,EC OE ∴⊥又EO PO O =，CE ∴⊥面POE ,又PE ⊂平面POE ，EC PE ∴⊥（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B ).证明：取BC 的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图易知//AE MC ,AE MC =∴四边形AECM 是平行四边形，//AM EC ∴，取BM 中点N ，连接ON ，//ON AM ∴//ON EC ∴N 为BM 中点，∴ N 为BC 的三等分点(靠近点B )，连接 ,OF NF ，//NF PC ∴,又,ON NF N EC PC C ⋂=⋂=，∴平面//ONF 平面PEC ，又OF ⊂平面ONF∴//OF 面PEC【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，考查了线面平行的探索性问题，考查线面平行的判定，考查逻辑思维能力及空间想象力，属于中档题.19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．【答案】（1）甲更稳定（2）甲15天，乙12天【解析】【分析】 （1）由茎叶图数据分别计算均值、方差可得出结论；（2）计算10天中甲、乙被评为优的频率，利用频率估计30天中甲、乙优的天数.【详解】（1）105107113115119126128132134141=12210x +++++++++=甲(万元)， 22222221(105122)(107122)(113122)(115-122)(119122)(126122)10s ⎡=⨯-+-+-++-+-⎣甲 22(128122)(132122)+-+-+22(134122)(141122)131⎤-+-=⎦，10711511711812312513213613914812610x +++++++++==乙(万元) 22222221(107126)(115126)(117126)(118126)(123126)(125126)10s ⎡=⨯-+-+-+-+-+-⎣乙222(136126)(139126)(148126)142.6⎤+-+-+-=⎦因为22s s <甲乙，所以甲电商对这种产品的销售更稳定.（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为50.510=，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为0.53015⨯=天， 乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为.40410=，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为0.43012⨯=天. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，平均值，方差，用频率估计总体，考查了运算能力，数据分析处理能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过椭圆内点()1,0P -的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线l 过点()0,Q b 时，PQC △的面积为2b ． （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：当直线l 不过C 点时，ACB ∠为定值． 【答案】（1）223144x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据PQC △的面积为2b 可求出a ，由离心率可求出c ，即可写出椭圆方程； （2）设()1122(,),A x y B x y ，，:1l x my =-，联立方程，由韦达定理可求出1212,y y y y +，利用向量()()11222,2,CA x y CB x y →→=+=+，可证明90ACB ︒∠=.【详解】（1）由题意可知111||(1)222PQC SCP b a b b =⋅=-⋅=， 2a ∴=又c e a ==3c ∴=， 22284433b ac ∴=-=-=， ∴所求椭圆的标准方程为223144x y += （2）设()1122(,),A x y B x y ，，由直线l 不过C 点可设:1l x my =-，联立直线与椭圆方程22341x y x my ⎧+=⎨=-⎩，可得：()223230m y my +--= 12122223,33m y y y y m m -∴+==++， ()()11222,2,CA x y CB x y →→=+=+，()12121224CA CB x x x x y y →→∴⋅=++++ ()()()121212112114my my my my y y =--+-+-++()()2121211m y y m y y =++++()2222312133m m m m -+=++++ 2231=03m m --=++ CA CB ∴⊥即90ACB ︒∠=为定值.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积运算，考查了运算能力，属于难题.21.已知函数()ln f x x x a =-+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．【答案】（1）最大值是(1)1f a =-+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．（2）由（1）知两个零点()1212,x x x x <，1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，零点间关系是1122ln ln x x a x x a -+=-+，变形为2211ln x x x x -=，引入变量21x t x =，则1t >，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，要证的不等式等价变形为2121x x <，33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >），为此引入新函数33()ln (1)g x t t t =--，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，由题意11()1x f x x x-='-=， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以1x =时，()f x 取得唯一的极大值也是最大值(1)1f a =-+．（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞， 由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln ln x x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，只要证33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=， 令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+，22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数，所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<， 所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知圆C 的参数方程为33cos 13sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求直线l 被圆C 截得弦的长．【答案】（1）22(3)(1)9x y -++=，10x y +-=（2【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化成普通方程，利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩结合两角差的余弦公式，即可得到答案；（2）利用圆的弦长公式【详解】（1）33cos 13sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），∴22(3)(1)9x y -++=， ∴圆C 的普通方程22(3)(1)9x y -++=；2cos 2(cos sin 422πρθρθθ⎛⎫-=⇒⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得：10x y +-=. ∴直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（2）圆C 的圆心坐标为(3,1)-，设圆心到直线的距离为d ，∴2d ==，∴弦长===【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、圆的弦长公式，考查运算求解能力.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|21||2|f x x x =-+-．(1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)分绝对值中的正负去绝对值，将()f x 写成分段函数再求解()4f x <即可.(2)根据(1)中()f x 的解析式求解()f x 的最小值，再根据恒成立问题的方法求解实数a 的值范围即可.【详解】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤； 当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<. 故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭； 当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32. 故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<. 故实数a 的值范围为15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，同时也考查了求函数的最值求解恒成立的问题，需要分区间去绝对值，写成分段函数再求解.属于中档题.。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( )A ． 0 B.1 C.2 D ．42.函数f (x )=(0)x x -≤的反函数是（ ）A ．()02≥=x x yB ．()02≥-=x x yC ．()02≤=x x yD ．()02≤-=x x y 3.已知集合{}{}1,0,1,,,P -==Q c b a ,映射Q P f →:中满足0)(=b f 的映射个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．94.已知一个物体的运动方程为,,,12s t m S t t S 的单位是的单位是其中+-=那么物体在s 3末的瞬时速度是（ ）A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s5.已知函数()x f 为实数集R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x的取值范围是（ ）A.()1,1-B.()1,0C.()()+∞-∞-,11,D.()()1,00,1 -6.已知函数12)(2++=x ax x f 的图像与x 轴的负半轴至少有一个交点的充要条件是（）A.1≤aB.10≤<aC.1<aD.010<≤<a a 或7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2)B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)8.若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则)22(-x f 的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ．]3log ,1[2D ．[1，2] 9.求函数)6lg(2-+=x x y 的单调增区间是（ ）A ．)21,(--∞B ．),21(+∞- C ．），（∞+2 D ．），（3-∞- 10.设函数)(x f 是实数集R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝2010处的切线的斜率为（ ） A ．－51B ．0 C ．51D ．511.已知函数3443x y a x y =+=与，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或112.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是( )A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D.[)+∞,1 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)13.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是.14.函数x x f 3log )(=在区间[]()b a b a <,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值是.15.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是.16．已知偶函数)(x f 在区间[],01-是增函数，且满足)1()1(--=+x f x f ，给出下列判断：①0)5(=f ；②)(x f 在[]2,1上是减函数；③)(x f 的图像关于直线1=x 对称；④)(x f 在0=x 处取得最大值；⑤)(x f 没有最小值. 其中正确的判断序号有___________.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.(满分12分)设命题P :关于x 的不等式()1,01222≠>>--a a a a ax x 且的解集为{|-2}x a x a <<;命题Q ：2lg()y ax x a =-+的定义域为R .如果P 或Q 为真,P 且Q 为假,求a 的取值范围.18.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生 373 xy 男生377 370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(Ⅰ)求x 的值；(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？19.(满分12分)设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数a>1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围.20.(满分12分)已知函数)1,0)(1121(2)(≠>+-=a a a x f x 且. (Ⅰ)求函数)(x f 的反函数解析式; (Ⅱ)判断函数)(1x f -的奇偶性; （III ）当10<<a 时,解不定式1)(1>-x f .21.(满分12分)函数()f x 的定义域为{}0D x x R x =∈≠且，且满足对于任意的实数12x xD ∈、，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+.(Ⅰ)求(1)f 的值； (Ⅱ)判断()f x 的奇偶性并证明； （III ）若(4)1f =，且()f x 在0+∞（，）上是增函数，解关于x 的不等式(31)(26)3f x f x ++-≤.22.(满分12分)已知c+=2f+xbxx(为偶函数，曲线)(x)y=过点(),52，f且)()xg+=.x)(xa(f(Ⅰ)若曲线)(x gy=有斜率为0的切线，求实数a的取值范围(Ⅱ)若当1-=x时函数=y)(x g取得极大值，且方程0g有三个不)(=x+b同的实数解，求实数b的取值范围.试题答案一.选择题：DBDA DABD CBCC二.填空题13.(),32； 14.32; 15. ()()∞+⋃-∞-，，63; 16.①②④三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.)17.解：解:P 为真时,01a <<;Q 为真时,12a >,因为P 或Q 为真，P 且Q 为假， 所以:1012a a <≤≥,或18. 解：（1）19.02000=x∴380x =人； （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名19.解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(七)文科数学
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（七）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}220|A x x x =-<，{|10}B x x =-≥，则集合A B =（ ）．A. {|02}x x <<B. {|01}x x <≤C. {|1}x x ≥D. {|12}x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再结合集合交集的运算，即可求得AB ，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|20{|02}A x x x x x =-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =-≥=≥，所以集合{|12}A B x x =≤<．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答正确求解集合,A B ，再结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 2.若312z i=+（i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则，先将312z i=+化为z a bi =+形式，再按照复数的几何意义，即可求解. 【详解】()()()31233636121212555i i z i i i i --====-++- ∴复数z 对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.3.若1sin()3πα+=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）．A. 89-B. 9-C.9D.89【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得sin α的值，再利用同角三角函数基本关系式可求cos α，最后利用二倍角的正弦函数公式可求sin 2α的值． 【详解】由1sin()3πα+=，可得1sin 3α=-，又因为,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得cos 3α==，所以1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式、基本关系式，以及正弦的倍角公式的化简求值，着重考查了推理与计算能力．4.设x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A. ﹣4B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函数的最大值．【详解】解：画出x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的平面区域，如图阴影部分，由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由平移可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线y x z =-+的截距最大，z 取得最大值；由102330y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得()3,1A -，可得2z x y =+=， 即z 的最大值是2． 故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，准确作出平面区域是前提，然后再通过直线平移的方法解决问题. 5.下面四个条件中，是a b >成立的充分而不必要的条件为（ ）． A. ac bc >B. 1a b >-C. 33a b >D. 22log log a b >【答案】D 【解析】 【分析】由22log log a b >，求得a b >，反之不成立，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，因为22log log a b >，可得a b >成立，反之，当a b >时，根据对数函数的性质，22log log a b >不一定成立， 所以a b >成立的充分而不必要的条件为22log log a b >． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力．6.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则h 的值为（ ）．A. 5B. 10C. 25D. 210【答案】C 【解析】 【分析】首先由三视图还原得到一个四棱锥，进而利用锥体的体积公式，列出方程，即可求解．【详解】根据给定的几何体的三视图，可得底面边长分别为5和6的长方形，高为h 的一个四棱锥体， 如图所示：又由该四棱锥的体积为1562053V h =⨯⨯⨯=，解得25h =． 故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．7.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,，则该双曲线的标准方程为（ ）．A. 221416x y -=B. 221164y x -=C. 22128x y -=D. 22144176y x -=【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程，设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点的坐标求出k 的值，即可得到双曲线的标准方程．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为2y x =，设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4,，可得24k =，解得4k =，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程，其中解答中熟练应用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A.115B.215C. 15D.415【答案】C【解析】 【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13， 可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若,AC AM BN λμ=+则λμ+=（ ）A. 2B. 83C.65D. 85【答案】D 【解析】 试题分析：取向量,AB BC 作为一组基底，则有11,22AM AB BM AB BC BN BC CN BC AB =+=+=+=-，所以1111()()2222AC AM BN AB BC BC AB AB BC λμλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又AC AB BC =+，所以111,122λμμλ-=+=，即628,,555λμλμ==+=. 10.已知函数()2sin()0,22f x x ππωφωφ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若5BC =，则()f x 的解析式为（ ）． A .()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()2sin 312f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()2sin 48f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据5BC =，列出方程，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称中心，求出ϕ的值，即可得到函数的解析式．【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωφ=+，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的对称中心， 因为,B C是该图象上相邻的最高点和最低点，可得BC =5=，解得3πω=， 又由1,32k k Z +=⋅∈πφπ，即,6k k Z =-∈πφπ，令0k =，可得6πφ=-，则()f x 的解析式为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．11.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928︒'，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，以下四个结论①BDF MON ≌；②BF MN <；③B ，M ，N ，D 四点共面；④异面直线DO 与FP 所成角的大小为10928︒'．其中正确的个数是（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】不妨设正六边形的边长为1，①由已知可得BDF 与MON △3的等边三角形，即可判断出正误；②由①可知：BF MN =，即可判断出正误；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，即可判断出正误；④利用异面直线DO 与FP 所成角的范围即可判断出正误． 【详解】由题意，不妨设正六边形的边长为1，①由BDF 与MON △3的等边三角形，∴BDF MON ≌，正确； ②由①可知：BF MN =，因此②不正确；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，因此B ，M ，N ，D 四点共面，正确； ④异面直线DO 与FP 所成角不可能为钝角10928︒'．因此不正确． 其中正确的个数是2． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，平面的基本性质，以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力．12.已知函数()x f x xe =，要使函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 22,0e e ⎡⎤--⎣⎦B. (22,0{1}e e ⎤--⋃⎦C. 22,0ee+⎡⎤-⎣⎦ D. (22,0{1}e e ⎤-+⋃⎦【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调性和极值，画出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，函数()x f x xe =，x ∈R ，则()(1)x x x f x e xe e x ='=++， 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)f e-=-， 函数()f x 的大致图象，如图所示：函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点， 等价于方程2[()]2()10m f x f x -+=只有一个根，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，①当0m =时，方程为210t -+=，∴12t =，符合题意， ②当0m ≠时，若440m ∆=-=，即1m =时，方程为2210t t -+=，解得1t =，符合题意， 若>0∆，即1m <时：设2()21t mt t ϕ=-+，（ⅰ）当0m <时，二次函数()x ϕ开口向下，又(0)10ϕ=>，要使方程2210mt t -+=只有一个正根，且负根小于1e -，则()10e 10ϕϕ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即2 12101me emm⎧⋅++>⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，可得220e e m--<<，（ⅱ）当01m<<时，二次函数()xϕ开口向上，又因为(0)10ϕ=>，则方程2210mt t-+=有两个不等的正根，不符合题意，综上所求，实数m的取值范围是：220e e m--<≤或1m=，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合根的分布求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．二、填空题13.数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”老师只猜对了一个，那么小明获得的是________．【答案】铜牌【解析】【分析】根据小明得奖的情况，分类讨论，即可判断得到答案．【详解】由题意，若小明得金牌，则小明得金牌，小华不得金牌这两句话都正确，故不合题意；若小明得银牌，小华得金牌，则这三句话全是错误的，故不合题意；若小明得银牌，小华得铜牌，则小华不得金牌，小强不得铜牌是正确的，不合题意；若小明得铜牌，小华得金牌，小强得银牌，故合题意；若小明得铜牌，小华得银牌，小强得金牌，故不合题意，故小明得铜牌，故答案为：铜牌．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论进行判定是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理能力． 14.若函数lg ,0(),0xx x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩且(0)3f =，(1)4f -=，则((3))f f -=____________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据两个函数值求,a b ，再求()3f -和()()3ff -.【详解】根据条件可知0134a b a b -⎧+=⎨+=⎩，解得：12a =，2b =即()lg ,122xx f x ⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 00x x >≤ ， ()310f -=，()()()310lg101f f f -===故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则椭圆的方程为________． 【答案】22184x y +=【解析】 【分析】根据条件可得直线l 的方程为2y x =-+，联立直线与椭圆的方程，表示出M 的坐标，进而可得2212OMb k a ==，解出2a ，2b 的值，即可求解． 【详解】由题意，过点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线方程为0(2)y x -=--，即2y x =-+，联立方程组222221y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222222440a b x a x a a b +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224a x x a b +=+，212224b y y a b+=+， 所以22222222,a b M a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，可得2212OM b k a ==， 又因为2c =且222c a b =-，解得28a =，24b =，故椭圆的方程为22184x y +=．故答案为：22184x y +=．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的点斜式方程，以及椭圆的标准方程及几何性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力．16.在ABC ∆中，已知6AB =,60A ∠=︒，BC 边上的中线19AD =，则sin B =________． 【答案】217【解析】 【分析】根据图形，由中线长定理可得：()222262192a b +=⨯+，再利用余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=解得a b 、的值，再次利用余弦定理求解出cos B ，根据同角三角函数关系解得sin B ． 【详解】解：如图所示，由中线长定理可得：222262192a b +=⨯+， 由余弦定理得到：222cos 2b c a A bc+-=，即22136226b a b +-=． 联立成方程组()22222213622662192b a ba b ⎧+-=⎪⎪⋅⋅⎨⎪+=⨯+⎪⎩， 解得：274a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故22227cos 2247a cb B ac +-===由22sin +cos 1B B =可得，22821sin 1cos 149B B =-=-=． 故答案为：217【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，求两部分的体积比． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4:1． 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连接FG ，可得DF AF ⊥，AB DF ⊥，即可得DF ⊥平面ABF ，从而证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，MH //CD ．利用多面体ABCDEF 的体积E CDNH F ABGM FMG ENH V V V V ---=++，求得多面体ABCDEF 的体积，进而求得F CDE V -，得到答案．【详解】（Ⅰ）由题意，多面体ABCDEF 的底面ABCD 是正方形，可得AB CD ⊥， 又由梯形ADEF ⊥底面ABCD ，梯形ADEF底面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面ADEF ，因为DF ⊂平面ADEF ，所以AB DF ⊥， 因为梯形ADEF 中，12AF EF DE AD ===， 取AD 的中点G ，连接FG ，所以12FG AD =，所以DF AF ⊥， 又因为AF AB A ⋂=，所以DF ⊥平面ABF ， 又由DF ⊂平面CDF ，所以平面ABF ⊥平面CDF ．（Ⅱ）如图所示，作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，NH //CD ． ∵梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===． ∴FM ⊥面ABCD ，EN ⊥面ABCD ，在Rt AFD 中，由2AD AF =可得60FAD ︒∠=， 令122AF EF DE AD ====， 则3FM EN ==1AM ND ==， 多面体ABCDEF 的体积为：112031432342323F ABGM E CDNH FMG ENH V V V V ---++==⨯⨯+⨯=． 由（1）及对称性可得AE ⊥平面CDE ，∵2AD EF =，//EF AD ，∴F 到面CDE 的距离等于A 到面CDE 的距离的一半， 即F 到面CDE 的距离等于132d AE ==故111434233323F CDE CDEV S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=． ∴平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，两部分的体积比为4:1．【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和．已知2a 是1a 与5a 的等比中项，636S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n a n n b a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-，*n N ∈；（Ⅱ）12065499n n n T +-=+⋅ 【解析】 【分析】（Ⅰ）等差数列的公差设为d ，且d 不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：（Ⅰ）n S 是公差d 不为零的等差数列{}n a 的前n 项和， 由2a 是1a 与5a 的等比中项，可得2215a a a =，即21114a d a a d +=+（）（）， 化为12d a =， 由636S =，可得116153636a d a +==， 解得11a =，2d =，则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈； （Ⅱ）()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，则{}n b 的前n 项和()14316564214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅， 故()141163645256214n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，两式相减可得()134216644(21)4nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⋅()()1116144221414n n n -+-=+⋅--⋅-，化简可得：12065499n n n T +-=+⋅． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解决通项公式常见的方法是基本量法；本题还考查了数列求和的知识，解决数列求和知识的常见方法是裂项求和法、错位相消法等.19.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q是抛物线上的一点，(1,FQ =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分MAN ∠？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）存在，()2,0A -【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y Q y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由(1,FQ =即可求出p 的值，从而得到抛物线C 的方程；（Ⅱ）对直线l 的斜率分情况讨论，当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；当直线l 的斜率存在时，由题意可得0AM AN k k +=，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理代入0AM AN k k +=得48a =-，解得2a =-，故点()2,0A -．【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点Q 在物线C ：22y px =上，∴设200,2y Q y p ⎛⎫⎪⎝⎭，(200,22y pFQ y p ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为：24y x =；（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立方程()224y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得：()22224440k x k x k -++=，212244k x x k+∴+=，124x x =（*）， 假设在x 轴上是否存在一点(),0A a ，使得x 轴平分MAN ∠， ∴0AM AN k k +=，∴12120y y x a x a+=--， ∴()()()()1221120y x a y x a x a x a -+-=--，又()112y k x =-，()222y k x =-， ∴()()()1212212122240x x a x x a x x a x x a -+++=-++，把（*）式代入上式化简得：48a =-， ∴2a =-， ∴点()2,0A -， 综上所求，x 轴上存在一点()2,0A -，使得x 轴平分MAN ∠．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的知识，解决直线与圆锥曲线的问题时，往往会采用设而不求的思想进行求解.20.某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院”对所有密切接触者进行14天的隔离观察治疗．治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专科医院做进一步的治疗．“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学指标检测，若“入口”检测指标在35以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院进行治疗．以下是20名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学检测指标：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（回归方程的系数精确到0.1）（Ⅱ）如果60是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么，“入口”指标低于多少时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．（检测指标为整数） 附注：参考数据：20177650i ii x y==∑，202167100i i x ==∑．参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（Ⅰ）ˆ0.539.8y x =+．（Ⅱ）低于41【解析】 【分析】（Ⅰ）结合表格中的数据ˆa和ˆb 的公式计算出回归方程的系数即可得解； （Ⅱ）把60y =代入回归方程，算出x 的值即可得解．【详解】（Ⅰ）由表格中的数据，可得20111110552020i i x x ====∑，2011135067.52020ii y y ====∑， 所以201202221776502055.567.527250.5671002055.55495ˆi ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，67.50.555.5ˆ39.7539.ˆ8y x ab =-=-⨯=≈， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ0.539.8yx =+． （Ⅱ）当60y =时，有600.539.8x =+，解得40.441x =≈，所以当“入口”指标低于41时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进人指定专科医院接受治疗．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及线性回归分析的应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 21.已知函数21()(1)ln (1)2f x x a x a x a =-++>． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设x 1，x 2为函数()f x 的两个极值点，求证()()12732f x f x a ++<． 【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()2127131422f x f x a a a a na ++-=-++-，构造新函数21()ln 42g a a a a a =-++-，1a >，转化为求解()g a 的范围问题，结合导数及函数性质可求．【详解】（Ⅰ）由题意，函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的定义域(0,)+∞，且2(1)(1)()()(1)(),1a x a x a x x a f x x a x a x x-++--'=-+=>+=，当x a >或01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x a <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ； （Ⅱ）不妨设12x x <，则由（1）可知11x =，2x a =，所以()()12773(1)()322f x f x a f f a a ++-=++- 21171(1)ln 3222a a a a a a a =--+-+++-21142a a a na =-++-， 令21()ln 42g a a a a a =-++-（其中1a >），则()2ln g a a a '=-++，可得1()10g a a''=-+<，即()g a '在(1,)+∞上单调递减，且(3)ln310g '=->，(4)ln 420g '=-<， 故存在0(3,4)a 使得()0g a '=，即002ln 0a a -+=，当()01,a a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当()0,a a ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单调递减， 故当0a a =时，()g a 取得最大值()2000001n 42l g a a a a a =-++- ()200001242a a a a =-++--200142a a =--，因为0(3,4)a ，结合二次函数的性质可知，当04a =时，(4)0g =，故()(4)0g a g <=， 所以()()127302f x f x a ++-<，即()()12732f x f x a ++<． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy中，直线:3l y x =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（Ⅱ）与直线l 垂直的直线EF 与曲线C 相切于点Q ，求点Q 的直角坐标．【答案】112⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或112⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（Ⅰ）首先把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出切点的直角坐标．【详解】（Ⅰ）由题意，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，可得22cos ρρθ=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，可得曲线的直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，其中圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆心(1,0)到直线0x -=的距离12d ==， 所以曲线C 被直线l截得的弦长为l ==（Ⅱ）因为直线EF 与直线l 垂直，设直线EF的方程为y b =+，由直线EF 与曲线C 相切，可得圆心(1,0)到直线y b =+的距离1d ==，解得2b =或2，所以直线EF的方程为2y =+或2y =+．设切点(,)Q x y，联立方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即切点坐标为1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力．23.已知()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）已知0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b +≥． 【答案】（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m m m f x f m ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）0a >，0b >，且221a b +=， 要证331b a a b+≥， 只要证44b a ab +≥，即证()222222a b a b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤，即证(21)(1)0ab ab -+≤，即证21ab ≤，即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号． 所以331b a a b+≥． 【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．。
高考数学命题比赛模拟试题题试题
2021届高考数学命题比赛模拟(mónǐ)试题20考试(kǎoshì)设计说明本套试卷设计是在认真研读(yán dú)?2021年考试说明?的根底上精心编制而成，以下从三方面加以说明。
一、在选题(xuǎn tí)上：〔1〕遵循(zūn xún)“考察根底知识的同时，注重考察才能〞的原那么，确立以才能立意命题的指导思想，将知识、才能和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。
〔2〕试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵敏，层次明晰〞的特色。
二、命题原那么：〔1〕强化主干知识，从学科整体意义上设计试题．〔2〕注重通性通法，强调考察数学思想方法．〔3〕注重根底的同时强调以才能立意，突出对才能的全面考察．〔4〕考察数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度〞的原那么．〔5〕结合运动、开放、探究类试题考察探究精神和创新意识．〔6〕表达多角度，多层次的考察，合理控制试卷难度。
2021年高考(ɡāo kǎo)模拟试卷数学卷本套试卷(shìjuàn)分第〔Ⅰ〕卷〔选择题〕和第〔Ⅱ〕卷〔非选择题〕两局部(júb ù)．满分是150分，考试时间是是120分钟请考生按规定用笔将所有(suǒyǒu)试题之答案涂、写在答题纸上。
参考公式：球的外表积公式：，其中R表示球的半径；球的体积公式：，其中R表示球的半径；棱柱体积公式：，其中为棱柱的底面面积，为棱柱的高；棱锥体积公式：，其中S为棱柱的底面面积，h为棱柱的高；台体的体积公式：其中分别表示台体的上底、下底面积，h表示台体的高．第一卷〔选择题一共40分〕考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或者钢笔填写上在答题纸上。
2．每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题纸上对应(duìyìng)题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(七)文科数学
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（七）数学试卷（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题）.1.设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x （x ﹣2）＜0}，则A ∩B 等于（ ） A. {x |x ＞2} B. {x |0＜x ＜2}C. {x |1＜x ＜2}D. {x |0＜＜1}【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式化简集合B ，再与集合A 求交集，求A ∩B 即可．【详解】∵集合20{|()}0}2{|B x x x x x ＝﹣＜＝＜＜，又1{|}A x x ＝＞， {|12}A B x x ∴⋂＝＜＜，故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集，考查一元二次不等式解法，属于基础题. 2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0”C. 命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，根据否命题的概念可得到结论; 对于B ，特称命题的否定是全称命题；对于C ，逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；对于D ，利用“或”命题真假的判定方法即可得出． 【详解】对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此不正确；对于B ，命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1≥0”，因此不正确；对于C ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确； 对于D ，命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确． 故选：D ．【点睛】这个题目考查了四种命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件. 3.函数()3x f x e x =+的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的判断定理，即可求出函数f （x ）的零点个数． 【详解】：∵f （x ）=e x +3x 为增函数， ∵f （0）=1＞0，f （-1）=e -1-3＜0，∴在（-1，0）内函数f （x ）存在唯一的一个零点， 即零点的个数为1个， 故选B.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，函数零点的判断条件是解决本题的关键．4.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小5.函数()f x =的定义域是（ ） A. (3,0]- B. (3,1]-C. (,3)(3,0]-∞--D. (,3)(3,1]-∞--【答案】A 【解析】【详解】由题意得120{30x x -≥+>，所以30.x -<≤ 故选A.6.等比数列{a n }的各项均为正数，且56473827a a a a a a ++＝，则313233310log a log a log a log a +++⋯+＝（ ） A. 12 B. 10C. 8D. 2+log 35【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件知569a a ＝，再由等比数列的性质以及对数运算法则求出结果． 【详解】解：∵等比数列{a n }的各项均为正数，且56473827a a a a a a ++＝，5647389a a a a a a ∴＝＝＝,313233310log a log a log a log a ∴+++⋯+ 312310log a a a a ⨯⨯⨯⋯⨯＝（）1033log ＝10＝．故选：B ．【点睛】本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题． 7.已知f （x ）214x =+cos x ，'()f x 为f （x ）的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可． 【详解】解：()214f x x cosx =+，∴'()f x 12x sinx =-，'()f x 是奇函数，排除B ，D ．当x 4π=时，'()f x 282π=-0，排除C ． 故选：A【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用. 8.为了得到函数2sin 3cos y x x x =+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）． A. 向左平移6π个单位长度，再向下平移12个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度，再向上平移12个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度，再向下平移12个单位长度D. 向右平移12π个单位长度，再向上平移12个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】将函数用降幂公式和二倍角公式化简，再根据平移法则求解即可 【详解】函数可化简为()1311cos 22sin 22262y x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，即11sin 2=sin 262122y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可由函数sin 2y x =的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移12个单位长度得到 故选D ．【点睛】本题考查复合三角函数的化简，复合三角函数的平移法则，其中用到降幂公式，二倍角的正弦公式，平时训练当中应熟记基本的降幂公式和二倍角公式，以便争分夺秒，决胜考场 9.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于（ ） A. 2 B. －1 C. 1 D. －2【答案】C 【解析】 【分析】利用切点A 在切线上求出k ，同时点A 在曲线上，以及1|x y k ='=，建立,a b 方程组，求解即可. 【详解】直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，∴点A 在直线y ＝kx ＋1，得31,2k k =+∴=，且点A 在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，2a b ∴+=，213,|32,1,3x y x a y a a b ='=+'=+=∴=-=，21a b ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.10.函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当()0,3x ∈,()2xf x =，则当()6,3x ∈--时，()f x = （ ）A. 62x +B. 62x +-C. 62x -D. 62x --【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知(3)(3)f x f x +=-,设(6,3)x ∈--，则6(0,3)x +∈，代入化简，即可求解. 【详解】由题意可知(3)(3)f x f x +=-,设(6,3)x ∈--，则6(0,3)x +∈时，6(6)2()()x f x f x f x ++==-=-，即6()2x f x +=-， 故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性的应用，其中解答中合理应用函数的基本性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 11.已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211().132f x x a x a bx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】设a 和b 的夹角为θ ∵()3211132f x x a x abx ⋅=+++在R 上存在极值 ∴2()0f x x a x a b =++⋅'=有两个不同的实根，即240a a b ∆=-⋅> ∵2a b =∴2248cos 0b b θ->，即1cos 2θ< ∵[0,]θπ∈ ∴3πθπ<≤故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）a ，b向量垂直则0a b =；(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ）.12.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()1f x f x '->，()02019f =，则不等式()20201xf x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()2020,+∞C. ()0,∞+D. ()(),02020,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】结合已知可考虑构造函数()()1xf xg x e +=，然后结合导数可判断单调性，进而可解不等式． 【详解】令()()1xf xg x e+=， 因为()()1f x f x '->，()02019f =， 则()()()'1xf x f xg x e --'=＞0故()g x 在R 上单调递增，且()02020g =， 由()12020xf x e +>，可得()12020xf x e+>，即()()0g x g >，所以0x >， 故选：C【点睛】本题考查的是利用导数判断函数的单调性，解答本题的关键是构造出函数()()1xf xg x e+=，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知向量()1,2a =-，(),1b m =-，()3,2c =-，若()a b c -⊥，则m 的值是_____． 【答案】3- 【解析】 【分析】求出向量a b -的坐标，利用垂直向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得实数m 的值. 【详解】()1,2a =-，(),1b m =-，()1,3a b m ∴-=--，()3,2c =-，且()a b c -⊥，()()()3132390a b c m m ∴-⋅=⨯--+⨯-=--=，解得3m =-.故答案为：3-.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及向量垂直的坐标表示的应用，考查计算能力，属于基础题.14.设函数122,1,(){1log ,1,x x f x x x -≤=->则不等式()2f x ≤的解集是__________．【答案】[0,)+∞ 【解析】【详解】原不等式等价于11{22x x -≤≤或21{1log 2x x >-≤，解得[]0,1或(1,)+∞，故解集为[)0,+∞. 15.设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______.【答案】50【解析】试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-2472525⎫=-=⎪⎝⎭考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.16.已知函数()33log ,032log ,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-⎩＞，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为_____（用区间表示） 【答案】19,113⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先画出图象，设()()()m f a f b f c ===，可得出01m <<，可得出13m a =，3mb =，93mc =，进而得出103 3m ma b c++=+，令()31,3mt=∈，然后构造函数()10g t tt=+，利用双勾函数的单调性求得函数()10g t tt=+在区间()1,3上的值域，即为所求.【详解】作出函数()33log,032log,3x xf xx x⎧<≤=⎨-⎩＞的图象如下图所示：不妨设a b c<<，设()()()m f a f b f c===，则a、b、c可视为直线y m=与函数()y f x=的图象的三个交点的横坐标，由图象可得01m<<，且333log log2loga b c m-==-=，可得13ma=，3mb=，93mc=，所以，1033mma b c++=+，令()31,3mt=∈，设()10g t tt=+，由双勾函数的单调性可知，函数()10g t tt=+在()1,3上单调递减，则()()()31g g t g<<，即()19113g t<<.因此，a b c++的取值范围是19,113⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：19,113⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查零点相关的代数式的取值范围的计算，构造新函数，将问题转化为新函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列{}n a满足：47a=，1019a=，其前n项和为nS.（1）求数列{}n a的通项公式n a及n S；（2）若11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和为nT．【答案】（1）21na n=-，2nS n=；（2）21nnTn=+．【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，进而可求得n a 及n S ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则4110137919a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a =，2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-，()21212n n n S n +-==；（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列{}n b 的前n 项和为111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和公式的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的部分图象如图所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜．（Ⅰ）求函数y ＝f （x ）解析式； （Ⅱ）求x ∈[0，2π]时，函数y ＝f （x ）的值域． 【答案】（Ⅰ）f （x ）＝2sin （2x 6π+）+2；（Ⅱ）[1，4].【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知图象，分析出A ，B ，T ，然后求出ω的值．根据五点作图法求出φ的值．综合即可写出函数f （x ）的解析式．（Ⅱ）由已知可求范围2x 6π+∈[6π，76π]，利用正弦函数的图象和性质可得sin （2x 6π+）∈[12-，1]，即可求解【详解】解：（Ⅰ）∵根据函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）+B 的一部分图象，其中A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜，可得A ＝4﹣2＝2，B ＝2，12544126T πππω=⋅=-， ∴ω＝2，又∵2•6π+φ2π=，∴φ6π=， ∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）+2． （Ⅱ）∵x ∈[0，2π]， ∴2x 6π+∈[6π，76π]， ∴sin （2x 6π+）∈[12-，1]， ∴y ＝f （x ）∈[1，4]．【点睛】本题考查三角函数的图像的综合性质问题，属于基础题.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且241n n S a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n n a -=；（2）()14126n n T n =--． 【解析】【分析】根据公式111{2n n n S n a S S n -==-≥，当1n =时，求数列的首项，当2n ≥时，11241n n S a --=-，与241n n S a =-相减得到1244n n n a a a -=-，求得12n n a a -=，即数列{}n a 是等比数列，利用等比数列通项公式求出n a 即可；（2）根据（1）的结果求出 2322n n b -=-，然后利用分组求和即可得到n T ． 【详解】解：（1）因为241n n S a =-所以当1n =时，11241S a =-，即11241a a =-，解得112a =； 当2n ≥时，241n n S a =-① 11241n n S a --=-②由①﹣②得，1244n n n a a a -=-所以12n n a a -=. 所以，数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列，即121222n n n a --=⨯=. （2）由（1）知231222n n n n b a a -+=⋅-=- 所以，12n n T b b b =+++1132322222n n --=++++-()1214214n n -⨯-=-- ()14126n n =-- 所以，()14126n n T n =--． 【点睛】本题主要考查111{2n n n S n a S S n -==-≥、等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式以及分组求和法，考查学生的计算能力，属于中档题.20.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，满足2cos 2c B a b =+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若D 为AB 的中点，1CD =，2a =，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理把cos B 化成边，再有边的关系整体代换求角C 的余弦值，进而可求角C ；（Ⅱ）利用中线向量可得2CD CA CB =+，可得出()224CD CA CB=+，可得出关于b 的方程，解出b 的值，进而可计算出ABC 的面积． 【详解】（Ⅰ）由2cos 2c B a b =+，得222222a c b c a b ac+-⋅=+，化简得222a b c ab +-=-，故2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又()0,C π∈，故23C π=； （Ⅱ）由向量加法的平行四边形法则可得2CD CA CB =+，()224CD CA CB ∴=+，即2224CA CA CB CB +⋅+=，2222cos 43b ab a π∴++=，即220b b ，0b >，解得2b =，因此，ABC 的面积为211sin 222ABC S ab C ==⨯=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形中线问题的处理，一般转化为向量来求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线12y x =． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】(1)54 (2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f (5)＝－ln 5.无极大值． 【解析】试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线12y x =可得12f '=-（），可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．试题解析：（1）对()f x 求导得211()4a f x x x =--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =知3(1)24f a =--=-，解得54a =． （2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则2245()4x x f x x--=， 令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去．当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数；当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数．由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 22.已知函数2()2ln f x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若αβ、都属于区间[]1,4,且1βα-=，()()f f αβ=，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x (0,)+∞上单调递增，当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（Ⅱ）242[ln ,ln 2]733． 【解析】试题分析：第一问对函数求导，结合参数的范围，确定出导数的符号，从而求得函数的单调性，第二问有两个自变量对应的函数值相等，从函数的单调区间出发，来研究对应的单调性，从而确定出参数所满足的不等关系，最后求得结果．试题解析：（Ⅰ）()222()0ax f x x x'-=> 01当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；02当0a >时，由()0f x '>得0x<<； 由()0f x '<得x > 则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在[1,4]上单增，不合题意，故0a >．由()()f f αβ=则222ln 2ln a a ααββ-=-，即2ln 2ln ()0a αβαβ-++=即2ln 2ln(1)(21)0a ααα-+++=[1,3]α∈()*设()2ln 2ln(1)(21)h x x x a x =-+++[1,3]x ∈22()201h x a x x ++'=->在(1,3)上恒成立；所以()h x 在[1,3]上递增，由()*式，函数()h x 在[1,3]有零点，则(1)02ln 230242{{ln ln 2(3)02ln 32ln 470733h a a h a ≤-+≤⇒⇒≤≤≥-+≥ 故实数a 的取值范围为242[ln,ln 2]733．12分 考点：导数的应用．。
高考数学模拟考试卷七课标试题
2021年高考数学模拟考试卷七制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只一项是哪一项符合目要求的.〔1〕全集I ，M 、N 是I 的非空子集，假设N M ⊇，那么必有〔 〕〔A 〕N N M ⊆⋂ 〔B 〕N N M ⊃⋂ 〔C 〕N M ⊃〔D 〕N M =〔2〕在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且11141B A PB =，那么多面体BC —PB 1C 1的体积为 〔 〕〔A 〕38 〔B 〕316〔C 〕4〔D 〕16〔3〕直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，那么实数a 的取值是〔 〕〔A 〕－1或者2〔B 〕0或者1〔C 〕－1〔D 〕2〔4〕设ωϕω)(sin()(+=x A x f 、A 为正常数，为奇函数的是则)(0)0(),x f f R x =∈〔 〕 〔A 〕充要条件〔B 〕充分不必要条件〔C 〕必要不充分条件〔D 〕既不充分又不必要条件A 1〔5〕25sin log 2222,321321,6sin 236cos 21=+-=-=c tg tg b a ,那么a 、b 、c 的大小顺序 是〔 〕〔A 〕a >b >c〔B 〕c >a >b〔C 〕b >a >c〔D 〕b >c >a〔6〕复数z 满足条件,3arg ,1π=-=-z i z z i z 那么z 的值是 〔 〕〔A 〕i 2321+-〔B 〕i 2321--〔C 〕i 2123+-〔D 〕i 2123-- 〔7〕522)21(-+xx 展开式的常数项是〔 〕〔A 〕252 〔B 〕－252〔C 〕210 〔D 〕－210〔8〕以下命题： ①假设直线a ∥平面α，直线c b ⊂，那么a ∥b ；②假设直线a ∥平面α，⊂a 平面β，b =⋂βα，a 在α内的射影为a ′，那么a ′∥b ； ③假设直线a ⊥直线c ，直线b ⊥直线c ，那么直线a ∥直线b ；④假设α、β、γ、δ是不同的平面，且满足γβδαδβγαγβα则,,,,,⊥⊥⊥⊥=⋂a ∥δ，其中正确命题的序号是 〔 〕〔A 〕①③〔B 〕②④〔C 〕②〔D 〕④〔9〕设△ABC 的三边长a 、b 、c 满足),2(>=+n c b a nnn那么△ABC 是 〔 〕〔A 〕钝角三角形 〔B 〕锐角三角形 〔C 〕等腰直角三角形 〔D 〕非等腰的直角三角形〔10〕直线2+=kx y 与椭圆1222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当直线OA 、 OB 的斜率之和为3时，直线AB 的方程是 〔 〕(A)2x －e y －4＝0 (B)2x ＋3y －4＝0(C)3x ＋2y －4＝0(D)3x －2y －4＝0〔11〕如图，△ABC 是Rt △AB 为斜边，三个顶点A 、B 、C 在平面α内的射影分别是A 1、B 1、C 1.假如△A 1B 1C 1是等边三角形，且AA 1＝m ，BB 1＝m ＋2,CC 1＝m ＋1,并设平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成的二面角的平面角为),20(πθθ<<那么θcos 的值是 〔 〕〔A 〕21 〔B 〕22 〔C 〕33 〔D 〕36 〔12〕如图，半径为2的⊙○切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙○于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S ＝f(x)，那么f(x)的图象大致是A BC D第二卷〔非选择题 一共60分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。
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高考仿真卷(七)-2021年高考数学模拟精编大考卷（全国版）注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-22．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >3．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．24．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．9606．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =7．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．52668．已知α为锐角，且3sin 22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-9．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．512- C ．51+D ．512+ 10．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅11．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A ．118B ．54C ．14D ．1812．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .14．如图，1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B ⋅=，则双曲线C 的离心率是______.15．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =，2DF FB =，则AE AF ⋅=____________．16．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为7，则该棱锥的体积为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N .由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j=1，2，3，…）.记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）.如：1,212c a b =+，1,213d a b =-.（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值. 18．（12分）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．19．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得21140n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由. 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 的中点.（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）若90ABC ∠=，点N 是线段CD 上一点，且13DN DC =，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.21．（12分）已知矩阵1(,R)4a M a b b -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a ⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，求a b ，的值.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D 【解析】 【分析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 2、C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 3、B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 4、C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--，不存在实数λ使GC ED λ=，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=，设EF 和1BB 成角为θ，则11cos 22EF BB EF BB θ⋅-===⋅，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 5、B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 6、C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果.对于A 选项，函数1y x =+在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 7、A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 8、C由3sin 22sin αα=可得3cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23sin cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 9、C 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以()()()22122cos 1sin 12sin 44162562551z z cos sin αααααϕ-=-+-=-+-+=-+≤+=+，其中tan φ2=，故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 10、C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．【分析】设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，然后再用数量积公式求解.【详解】设BA a =，BC b =，所以()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。