概率论与数理统计课件 统计量及其抽样分布

n i 1
(Xi
)2；S42
1 n
n i 1
(Xi
)2
则服从自由度为n 1的t 分布的统计量为
( A) X n 1; (B) X n 1 ;
S1
S2
X
(C )
n;
S3
X
(D)
Hale Waihona Puke n.S42019/5/8
数理统计—统计量及抽样分布
21
2019/5/8
数理统计—统计量及抽样分布
16
二、求统计量的分布
例2 设X1, X2 , , X9 是来自总体X 的简单随机样本,
令Y1
1
6
X1
X2
... X 6
,Y2
1 3
X7
X8
X9
S2 1 9 2 i7
2
X i
Y2
;Z
2 Y1 Y2 S
求统计量Z 的分布
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数理统计—统计量及抽样分布
n
ES 2
E[ 1 n1
n i 1
(Xi
X )2]
=
2
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数理统计—统计量及抽样分布
10
设X1, X2 ,
,
X
是取自总体
n
为
2
(n)分布的简单随机样本,
则E X ( ), D X ( ).
设总体X ~ N (1, 2 ),Y ~ N (2 , 2 ), X与Y 相互独立,
X1 , X2 , , X n1取自总体X 的简单随机样本, Y1 ,Y2 , ,Yn2为 取自总体Y 的简单随机样本,则
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
X与Y 相互独立,
X1 , X2 , , X n1 取自总体X 的简单随机样本, Y1 ,Y2 , ,Yn2为
取自总体Y 的简单随机样本,记
1 n1
X n1 i1 X i
1 n2
Y
n2
Yi
i 1
S12
1 n1 1
n1 i 1
(Xi
X )2
S22
1 n2 1
,
则
S12 S22
/
2 1
/
2 2
~
F(n1 1, n2 1)
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数理统计—统计量及抽样分布
15
一、求统计量的数字特征
例1 设总体X ~N (, 2 ), X1, X2 , , X2n是取自总体X的
简单随机样本, 且样本均值X
1 2n
2n i 1
Xi,
样本方差
n
求统计量Y ( Xi Xni 2X )2 的数学期望EY i 1
n1
(Xi
X )2
n2
(Y j
Y
)2
E i1
j 1
n1 n2 2
=( )
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数理统计—统计量及抽样分布
11
二 抽样分布
1 单个正态总体的情况
设总体X ~N (, 2 ), X1, X2 , , Xn是取自总体X的
简单随机样本, 且样本均值X
1 n
n i 1
Xi,
例4 从正态总体N (, 0.52 ) 中抽取样本X1, X2 , , X10
(1)已知 =0, 求P
10 i 1
X
2 i
4
(2)未知,
求P
10
（X i
X）2
2.85
i1
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数理统计—统计量及抽样分布
19
例5 X1, X2 , , X26为N 0, 2 的样本,
10
数理统计—统计量及抽样分布
6
（6）样本中位数：
M
X
(
n1 2
)
1
2
(X(n) 2
X( n1) ) 2
（7）样本极差：
R X(n) X(1)
n 为奇数 n 为偶数
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数理统计—统计量及抽样分布
7
4、性质
设X1, X2 , , Xn是取自总体X 的简单随机样本,
EX , DX 2 ,则有
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数理统计—统计量及抽样分布
1
第四节 统计量及抽样分布
一 、 统计量 二 、 抽样分布
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数理统计—统计量及抽样分布
2
一 统计量
1、定义 设X1, X2 , , Xn 是总体X的容量为n 的样本,
T ( X1, X2 , , Xn )是定义在样本空间上不依赖于未知 参数的连续函数,则称T ( X1, X2 , , Xn )为统计量
2、一点说明
统计量T ( X1, X2 , , Xn )为随机变量,当样本 X1 , X2 , , Xn 取定观测值 x1 , x2 , , xn 时,T ( x1, x2 , , xn ) 为常量或观测值。
第十六次课结束
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数理统计—统计量及抽样分布
3
例1 设X1, X2 , , Xn来自正态总体N (, 2 ) 的样本,其中
n2 i 1
(Yi
Y )2
Sw2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
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数理统计—统计量及抽样分布
14
(1)
在上述定理条件下,
若
2 1
2 2
2,
则
(
X Sw
Y 1
) /
(1
n1 1 /
2
n2
)
~
t(n1
n2
2)
(2)
在上述定理条件下,
若
2 1
2 2
(1)
EX ,
2
DX
n
(2) ES2 2 , ES*2 n 1 2 .
n
1 n
X n i1 Xi
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
S *2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
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数理统计—统计量及抽样分布
8
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
n
n
( Xi X )2 = ( Xi2 2Xi X +X 2 )
样本方差
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2 ,
样本二阶中心距S*2
1 n
n
( Xi X )2
i 1
则有 (1)X ~ N (, 2 )
n
(2) X与S 2相互独立;
(3)
n1
2
S
2
1
2
n
(Xi
i 1
X
)2
n
2
S *2~
2(n 1)
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数理统计—统计量及抽样分布
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推论 (1) X n ~ N (0,1)
i 1
i 1
n
n
n
= Xi2 2 Xi X + X 2
i 1
i 1
i 1
n
n
= Xi2 2X Xi +nX 2
i 1
i 1
n
n
= X i2 2nX 2 +nX 2 = X i2nX 2
i 1
n
n
i 1
E[ ( Xi X )2 ]= E[ Xi2 nX 2 ]
i 1
i 1
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数理统计—统计量及抽样分布
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n
n
E[ ( Xi X )2 ]= E[ Xi2 nX 2 ]
i 1
i 1
n
= EXi2 nEX 2 i 1
=n( 2 + 2 ) n( 1 2 + 2 ) =(n 1) 2
n
EXi2 = DXi +(EXi )2 = 2 + 2
EX 2 DX +(EX )2 = 1 2 + 2
(2) X
S
n ~ t(n 1)
或 X
S*
n 1 ~ t(n 1)
(1)X ~N (, 2 )
n (2) X与S 2相互独立；
(3)
n1
2
S
2
n
2
S *2
1
2
n
(Xi
i 1
X )2
~
2(n 1)
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数理统计—统计量及抽样分布
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2 两个正态总体的情况
设总体X
~
N
(
1
求P
Xi
i 1
1.6795
26
X
2 j
j11
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数理统计—统计量及抽样分布
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例6 X1, X2 , , Xn取自总体X ~ N (, 2 ) 的简单随机样本,
X 是样本均值,记
S12
1 n1
n i 1
(Xi
X )2；S22
1 n
n i 1
(Xi
X )2；
S32
1 n1
n i 1
(Xi
X )k
S*2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
S*2 n 1 S2 n
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数理统计—统计量及抽样分布
5
（5）顺序统计量：
若x1, x2 , , xn 是样本观测值 , 将其按照从小到大的顺序