复数运算中“1”的妙用
复数的运算与应用
复数的运算与应用复数是数学中的一种特殊类型，它由实数和虚数部分组成。
在实际应用中，复数常常用于描述和解决与电路、信号处理、量子力学等相关的问题。
本文将介绍复数的基本概念、运算规则以及在实际应用中的一些例子。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的，通常用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部可以为正数、负数或零。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法复数a+bi和c+di的加法结果为(a+c)+(b+d)i，减法结果为(a-c)+(b-d)i。
即实部相加（或相减），虚部相加（或相减）。
2. 复数的乘法复数a+bi和c+di的乘法结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
实部相乘后减去虚部相乘后的结果，再将实部和虚部相加。
3. 复数的除法将复数a+bi乘以c-di的共轭复数，然后分别除以(c-di)和(c+di)的模的平方，即可得到两个结果。
其中第一个结果为商的实部，第二个结果为商的虚部。
三、复数的应用举例1. 电路分析复数在电路分析中起到重要作用。
例如，对于交流电路中的电流和电压，可以利用复数来表示其幅值和相位。
通过对复数的运算，可以方便地计算电路中电流和电压的大小和相位差。
2. 信号处理在数字信号处理中，复数用于描述信号的频域特性。
通过对复数进行傅里叶变换或快速傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号，从而对信号进行分析和处理。
3. 量子力学在量子力学中，波函数通常用复数形式表示。
复数的模的平方表示粒子在某一状态下的概率密度，相位表示相应的相位信息。
四、结论复数的运算和应用在现实世界中发挥着重要作用。
通过对复数的加法、减法、乘法和除法的运算，可以方便地解决一些与电路、信号处理、量子力学等相关的问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，利用复数的运算特性来解决问题。
总之，复数的运算与应用是数学中的一项重要内容，它在电路、信号处理、量子力学等领域都有广泛的应用。
基本不等式的运用技巧之“1”的几种妙用
基本不等式的运用技巧之“1”的几种妙用
基本不等式除了“1”的妙用，我们还总结了很多。
都在《高一必掌握的19个核心专题》中。
【纯word版】需要请私信，彻底解决学生所有的痛点！
巧用“1”在解决基本不等式问题中有着重要的作用，但是对于学生来讲却一直是一个难点，究其原因，学生更愿意去记住一个固定的解题技巧，进而慢慢地就形成了思维定势．基本不等式解题的关键还是要关注“一正二定三相等”的条件，学生要有比较强的审题意识和目标意识，结合具体的题型，选择最合适的“1”的巧用方法．。
高考数学复习点拨 “1”的妙用
在用公式 解题时，有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙的解决．本文选解几例，供大家欣赏．
例1已知 ，（其中 均为大于零的实数），求
的取值范围．
解： ，
．
当且仅当 时，等号成立．
又 能同时相等，
的值域为 ．
例2已知 ，且 ，求 的最小值．
解： ， ．
当且仅当 ， 时，等号成立，
即 时，等号成立．
例3已知 是实数，且 ，求 的最大值．
解： ，
．
当且仅当 时，等号成立．
的最大值为2．
例4已知 都是正实数，且 ，求证： ．
证明： ．
当且仅当 时，等号成立．
例5已知 都是正实数，且 ，求证 ．
证明： ， ．
又因为 都是正实数，
， ， ．
．
当且仅当 时，等号成立．
．
“１”在数学解题中的妙用初探
㊀㊀㊀１ 在数学解题中的妙用初探◉甘肃省天水市第九中学㊀陶建宏摘要:求代数式的值,求变量的最值是数学中经常遇到的问题,有些题目很容易得出答案,但也有一些题目要找出解题思路是相当困难的,可是静下心来不难发现题目中有隐含条件,比如整式的分母是 １ , １ 乘任何数都得任何数,等等．在数学解题中有时妙用 １ ,会有意想不到的效果．关键词:三角函数;多元函数;最值１引言在解答数学题目时,经常会碰到一些觉得束手无策的情况,但通过仔细思考,不难发现题目中隐含的一个数 １ ,若能发现这个数,将会收到意想不到的效果,下面通过几个题目加以说明．２ １ 的妙用２．１ １ 在求三角函数值问题中的运用例１㊀已知t a n a＝２求４s i n２a－s i n a c o s a－c o s２a的值．分析:这个题目如果由t a n a＝２出发去求s i n a和c o s a的值,再代入所求式子方可求出,但是在求s i n a和c o s a的值时要分第一和第三象限两种情况进行讨论,并且在第一和第三象限s i n a和c o s a的正负相同,在两种情况下得到的答案相同,但作为一个解答题时必须分两种情况进行计算．可是如果我们再好好观察不难发现所求式子的分母是经常容易被人们忽视的１ ,而这里１＝s i n２a＋c o s２a再将分子分母分别除以c o s２a,从而化为了正切的形式．详解:４s i n２a－s i n a c o s a－c o s２a＝４s i n２a－s i n a c o s a－c o s２as i n２a＋c o s２a＝４t a n２a－t a n a－１t a n２a＋１＝４ˑ４－２－１４＋１＝１３５．注意:这里分母是 １ 很少能引起人们的注意,以为没有分母,而实质分母是容易被人们忽视的 １ ．在三角函数部分多用１＝s i n２a＋c o s２a．再比如,２００７年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)中有这样一道题目:已知７s i nα＋２４c o sα＝２５,则t a nα＝(㊀㊀)．A．３４㊀㊀㊀B．４３㊀㊀㊀C．２４７㊀㊀㊀D．７２４分析:对于此题如果能求出s i n a和c o s a的值,再利用商数关系可以求出t a n a的值,但是这很难求解．若对原式两边平方,再注意到s i n２a＋c o s２a＝１,得(７s i nα＋２４c o sα)２＝２５２ˑ１＝２５２[(s i n２a＋c o s２a],展开整理得(２４s i nα－７c o sα)２＝０．所以２４s i nα＝７c o sα,从而t a nα＝７２４．通过这两个题目让学生在三角函数化简求值中注意这个很重要的数字 １ 以及１＝s i n２a＋c o s２a．２．２ １ 在指数㊁对数中的运用在数学解题中,若能根据题目特征巧妙地利用１ 作代换,常能出奇制胜,取得较好解题效果．比如在指数和对数中经常会遇到一些有关 １ 的问题．例２㊀解方程４x－２＝１．解析:因为a０＝１(aʂ０),所以４x－２＝４０,得x－２＝０,即x＝２．看起来这是一个简单的指数方程问题,但如果不知道a０＝１(aʂ０)这个条件,就无法更简单求解．例３㊀解不等式l g x＞１．解析:因为l o g a a＝１(a＞０且aʂ１)所以l g１０＝１．又根据对数函数的单调性,由l g x＞l g１０,得x＞１０．例４㊀函数y＝l o g a(x－４)的图象恒过定点．解析:因为对数函数y＝l o g a x(a＞０且aʂ１)的８８教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀图象恒过点(１,０),由x －４＝１,可得x ＝５．则函数y ＝l o g a (x －３)的图象恒过定点(５,０)．指数函数与对数函数恒过定点是考试常考的一个知识点,它都涉及常数 １ ．通过这几个题目可以看出在指数与对数中 １显得特别重要．要注意 １ 这个特殊的数字,它的作用非常大,不能藐视．２．３ １在求多元函数最值问题中的运用例５㊀已知x ,y ,z 均为正实数,且１x ＋２y ＋３z＝１,求x ＋１２y ＋１３z 的最小值．分析:这个题目是求多元函数最值的一个常见题目,学生刚开始觉得不好做,但若能灵活运用已知条件中的 １ 作适当的整体代换,再利用均值不等式方可求解．详解:x ＋１２y ＋１３z ＝(x ＋１２y ＋１３z )１＝(x ＋１２y ＋１３z)(１x ＋２y ＋３z)＝３＋(y ２x ＋２x y )＋(z ３x ＋３x z )＋(２z ３y ＋３y ２z )ȡ３＋２＋２＋２＝９,当且仅当x ＝３,y ＝６,z ＝９时取得最小值９．此题如果不能注意到 １乘任意一个数都得这个数的话,这个题目就无法更简单求解．２．４ １在求多元条件下代数式的最值问题的运用例６㊀已知x ＞０,y ＞０且x ３＋y ３＝２,试求x ＋y 的最大值．分析:我们学过均值不等式,若x ,y ,z 均为正数,则有x ＋y ＋z ３ȡ３x yz ,这里x ＝y ＝z 时等号成立．因此可以得出x ＝３x ３＝３x ３ˑ１ˑ１,这样x ３＋１＋１３ȡ３x ３ˑ１ˑ１＝x ,再利用同向不等式的可加性方可得出答案．解析:因为x ３＋１＋１３ȡ３x ３ˑ１ˑ１＝x ,y ３＋１＋１３ȡ３y ３ˑ１ˑ１＝y ,两式相加,得x ３＋１＋１３＋y ２＋１＋１３＝２ȡx ＋y ．所以x ＋y 的最大值是２,当且仅当x ＝y ＝１时取到最大值２．又如:已知a ,b 都是正数且满足a ＋b ＝１,求２a＋３b的最小值．这两个题是高考当中求最值最常见的题型,这里也用了 １乘任何数都得任何数这个结论．２．５㊀ １在求无理式的最值问题中的运用例７㊀已知x ＋y ＋z ＝１,求４x ＋１＋４y ＋１＋４z ＋１的最大值．分析:解决这个题的关键是如何去掉根号,这样才能利用x ＋y ＋z ＝１这个条件．在选修教材４Ｇ５中,学习了柯西不等式求最值,这个题就可以利用柯西不等式去求解．解析:因为(４x ＋１＋４y ＋１＋４z ＋１)２＝(１ˑ４x ＋１＋１ˑ４y ＋１＋１ˑ４z ＋１)２ɤ(１２＋１２＋１２)[(４x ＋１)２＋(４y ＋１)２＋(４z ＋１)２]＝２１,所以,４x ＋１＋４y ＋１＋４z ＋１ɤ２１,当且仅当x ＝y ＝z ＝１３时,４x ＋１＋４y ＋１＋４z ＋１取得最大值２１．３结束语通过以上五类问题的典型例题,在求代数式的值或最值时,如果注意到 １这个特殊数字,巧妙地利用 １作代换,往往可以帮助我们把一个复杂的题目简单化,从而达到事半功倍的解题效果．这里仅列举了有针对性的七道例题,以达到抛砖引玉的目的．而实质上 １这个简单数字还有好多作用,这需要我们在平时的教学实践中,做一个教与学的有心人,审题时要注意挖掘隐含条件,解题过程中要多做一些反思与总结,通过总结去加深理解并学以致用,从而提高解题能力㊁发散思维能力和探究归纳的能力．９８２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
“1”在数学问题中的妙用
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任 何元素ꎬ正 因 为 空 集 的 特 殊 性ꎬ 常 常 成 为 各 类 考 试 的 热 点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例 ４ 房间里有 ４ 个人ꎬ假定每个人的生日在 １２ 个
收稿日期:２０１８ － ０４ － １５ 作者简介: 王嫣然(２００１. ３ － ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
— ２３ —
月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解 设事件 Ａ 表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０ １２４
×９
＝
４１ ９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ ａ
＋
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解
高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解数学课程中学习复数代数形式的四则运算时,重点理解四则运算法则、运算律以及复数加减法的几何意义。
下面是店铺给大家带来的高一数学必修1复数的四则运算知识点讲解，希望对你有帮助。
高一数学复数的四则运算知识点(一)复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
数学中1的妙用
1在数学中有着广泛的应用和妙用，以下是一些例子：
1. 单位元素：在加法、乘法、数论等数学领域中，1通常被用作单位元素。
例如，对于加法来说，任何数加上0都等于它本身；对于乘法来说，任何数乘以1都等于它本身。
2. 幂的底数：在指数运算中，1通常被用作幂的底数。
例如，任何数的0次方都等于1,而任何数的1次方都等于它本身。
3. 恒等式：1在许多恒等式中都扮演着重要的角色。
例如，对于任意实数a和b,有a+b=b+a;对于任意整数n,有n×(n+1)/2=n²/2+n/2。
4. 唯一分解定理：在代数学中，唯一分解定理表明任何一个大于1的整数都可以表示为若干个素数的乘积，其中每个素数出现的次数都是唯一的。
这个定理的证明依赖于数学归纳法和欧几里得算法等工具，而这些工具都需要使用到1的概念。
“1”的妙用——合理运用“1”，渗透数学思想方法
2013-08方法交流数学教学有两个维度：数学知识和数学思想方法。
数学知识是基础，数学方法是本质。
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
然而心理学研究表明，小学生思维正以具体形象思维为主，并逐步向逻辑思维为主要形式过渡；由具体运算为主，逐步向形式运算为主过渡的时期。
因此对数学思想方法的渗透必须符合学生的年龄特征，同时必须借助于合适的“拐杖”，本文旨在简述通过“1”的妙用，浅析在小学数学数与代数领域中如何渗透基本的数学思想方法。
一、建模模型思想是指用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。
从广义角度上讲，数学的概念、定理、规律、法则等都是数学模型。
模型思想的形成，就是数学思维抽象的过程。
例如，在教学《倒数》一课时，我作了如下设计：层次一：分数的倒数学生自主归纳。
层次二：整数的倒数。
师：5的倒数是多少？你是怎么想的？生：5的倒数是15。
因为5可以写成51，分子分母交换位置就是15。
师：6的倒数呢？7的倒数呢？（学生争先恐后抢答）师：a的倒数呢？（学生异口同声说1a）层次三：小数的倒数。
师：0.5的倒数呢？（生依据刚才的经验不假思索答到10.5，但很快沉寂了，怀疑自己的答案。
）师：刚才同学们的思考，10.5是正确的，但是同学们又否定了这样的结果，其实只要我们稍加变换，就可以把10.5化成21，也就是2。
同学们若有所思，恍然大悟。
【评析】在探寻一个数倒数的方法的过程中，教师借助于“1”使学生理解求整数的倒数的方法，并在此基础上帮助学生利用字母抽象出数学本质。
随着数字的变换，出现0.5，对于学生来说是惯性思维的运用，但很快又被自我否定，因为10.5这样的形式有违分数在学生心理的定式。
在这样的基础上教师引导学生把10.5改写为学生的已有分数形式，使学生丰富对分数的认识，同时对学生思维的发展也是一种突破。
利用“1”巧解题
利用“1”巧解题我们知道，数字“1”是一个非常重要的数字。
在小学里，学生最先学习的数字就有1。
在中学阶段，涉及有关“1”的式子就比较多了，如a，b 互为倒数，则有ab=1；sin2 + con2 =1，等等。
如果我们在解题时巧妙地利用“1”，就会起到化难为易，化复杂为简单的作用，顺利地达到我们解决问题的目的。
下面略举几例，看看数字“1”在解题中的妙用。
一、各项巧加“1”计算999999+99999+9999+999+99+9。
显然，如果我们直接进行加法的计算，其正确结果也是不难算出的，但是，那样显得不简单。
如果我们在各项都加“1”，利用加法结合律，就凑成整10，整100，等，就非常好计算了。
因为是恒等变换，各项都要减去“1”。
解：原式=999999+1+99999+1+9999+1+999+1+99+1+9+1-6=（999999+1）+（99999+1）+（9999+1）+（999+1）+（99+1）+（9+1）-6=1000000+100000+10000+1000+100+10-6=1111100+（+10-6）=1111104。
上面计算还不只一次运用了加法结合律，这样计算起来，不仅简单一些，而且还可以避免出错。
二、各组式子巧加“1”例2 已知x+y+z=0，x，y，z均不为零，求证：。
证明：因为x+y+z=0 ，x，y，z均不为零，所以以上证法的关键，是把每个括号中的式子看成一组，每组式子都加上“1”，还利用了，法在解题中经常用到。
三、添项巧配“1”例3 设a，b，c是正数，且abc=1，求证：a3+b3+c3 a+b+c.我们看到，如果使用常规的方法，已知和要求证的结果看不到多少联系。
如果添项巧配“1”。
则有如下的证法。
证明：因为a>0，所以a3+1+1 ，同理b3+1+1 3b，c3+1+1 3c.而a+b+c 3 ，所以a3+b3+c3 3（a+b+c）-6a+b+c+2（a+b+c-3）a+b+c.四、适当拆分“1”例4 已知n N+（正整数集合），x>0，求证：。
复数运算的几何意义
复数运算的几何意义复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部。
实部表示在实数轴上的位置，而虚部表示在虚数轴上的位置。
复数可以用来描述平面上的点，其中实部表示点在x轴上的位置，虚部表示点在y轴上的位置。
1.平移：当我们将一个复数加上另一个复数时，实际上进行了平移操作。
将一个复数加到另一个复数上，相当于将前者的位置平移至后者的位置。
例如，将复数1+2i加到复数3+4i上，就相当于将1+2i的点平移到3+4i的点上。
2. 旋转：复数的乘法运算可以用来实现平面上的旋转。
当我们将一个复数乘以另一个复数时，实际上进行了旋转操作。
乘法的模长表示了放大或缩小的比例，乘法的幅角表示了旋转的角度。
例如，将复数1+2i乘以复数cos(θ)+sin(θ)i，相当于将1+2i的点绕原点旋转θ的角度。
3.缩放：复数的乘法运算还可以用来实现平面上的缩放。
当我们将一个复数乘以实数k时，实际上进行了缩放操作。
乘法的实部和虚部同乘以k，相当于将复数所表示的点的位置沿实数轴和虚数轴同时拉伸或压缩。
例如，将复数1+2i乘以2，相当于将1+2i的点沿两个轴分别拉伸2倍。
4.对称：复数的共轭可以实现在平面上进行对称操作。
一个复数的共轭是将实部保持不变，虚部取相反数的操作。
当我们将一个复数取共轭时，实际上进行了平面上的对称操作。
例如，将复数1+2i取共轭，相当于将1+2i的点关于实数轴进行对称。
综上所述，复数运算的几何意义主要体现在平移、旋转、缩放和对称等操作上。
复数的加法和减法可以实现平移操作，乘法可以实现旋转和缩放操作，而复数的共轭可以实现对称操作。
通过这些操作，我们可以用复数来描述平面上的点的位置和变化。
复数的几何意义不仅仅是一种抽象的数学概念，而且在物理、工程等实际应用中也具有重要的意义。
例谈“1”在解高中数学题中的妙用
知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。
“1”在数学解题中的妙用
“1”在数学解题中的妙用做为生活的主体，在如今这个数学无处不在的社会里，我们每天和各种各样的数字交流着，而做为数学专业的我，“数字”更是亲密的朋友，每天不停的和形形色色的数字打交道。
假期在家辅导妹妹的学习，在辅导过程中，才发现“1”是个多么巧妙的数字，在数学中若能适时巧妙地用上“1”往往会得到事半功倍的效果，能给学生惊喜，同时能激发学生学习教学的兴趣，引发学生探求知识的热情，从而提高学生的解题能力，以下就自己的理解，谈谈“1”妙应用。
一．“1”和牛吃草问题英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？这就是著名的牛吃草问题。
解这道题时，主要有四步：1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。
设一头牛1天吃的草为“1”份那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份（220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110份，说明原有老草110份。
综合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。
这道题就是巧妙的把一头牛一天吃的草设为了“1”，才使著名的牛吃草问题得以解决。
【跟鹏叔巧解初中数学】——“1”的妙用
【题型1】平方和为“1”
【题型2】倒数积为“1”
排除掉特别特别简单的比如111这类非常基础的算式在初中数学中接触பைடு நூலகம்的和1有关的稍有技巧的式子大概有这样几个
【跟鹏叔巧解初中数学】——“1”的妙用
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在数学世界中，“1”是个很神奇的数字，它最简单也最复杂，蕴含着千千万万奇妙的运算。排除掉特别特别简单的，比如1×1=1这类非常基础的算式，在初中数学中接触过的,和“1”有关的稍有技巧的式子，大概有这样几个：
数字间的 i 运算与其加法运算
数字间的 i 运算与其加法运算在数学中，我们经常会遇到各种数字运算，其中包括加法运算。
而在加法运算中，我们有时会遇到一个特殊的数字——虚数单位i。
那么，数字间的i 运算与其加法运算又是怎样的呢？本文将对这一问题进行详细探讨。
让我们来了解一下虚数单位 i。
虚数单位 i 定义为满足 i^2 = -1 的数。
它是复数的一个重要组成部分，可以用来表示虚数。
虚数与实数不同，它们没有实部，只有虚部。
虚数单位i 在数学中有着广泛的应用，尤其在物理学和工程学中。
虚数单位i 的运算规则与实数的运算规则有所不同。
在加法运算中，虚数单位i 与实数和虚数相加时，实数部分和虚数部分分别独立运算。
例如，对于两个虚数a + bi 和 c + di 来说，它们的加法运算结果为 (a + c) + (b + d)i。
可以看出，虚数的加法运算与实数的加法运算类似，只不过实数部分和虚数部分需要分别相加。
接下来，我们来看一些具体的例子来说明数字间的i 运算与其加法运算。
假设有两个虚数 2i 和 3i，我们可以进行它们的加法运算。
根据前面的规则，我们可以得到结果为(0 + 0)i = 0i。
这是因为实数部分为0，虚数部分也为0，所以它们的和为0i。
除了虚数的加法运算外，我们还可以进行虚数与实数的加法运算。
例如，对于虚数 2i 和实数 3，它们的加法运算结果为 3 + 2i。
这是因为实数部分为3，虚数部分为2，所以它们的和为3 + 2i。
虚数之间也可以进行加法运算。
例如，对于两个虚数 2i 和 3i，它们的加法运算结果为0 + 5i。
这是因为实数部分为0，虚数部分为5，所以它们的和为5i。
除了加法运算外，虚数单位i 还可以与其他运算符一起使用，如乘法运算。
虚数的乘法运算可以通过将虚数单位i 与其他虚数或实数相乘来实现。
例如，对于虚数单位i 和虚数2i，它们的乘法运算结果为 -2。
这是因为 i * 2i = -2，根据虚数单位 i 的定义 i^2 = -1，所以 i * 2i = -2。
虚数复数知识点总结
虚数复数知识点总结一、虚数的定义1. 虚数的概念虚数是一种特殊的数，它是实数和虚单位i的乘积，通常用i表示。
实数是我们日常生活中所接触到的正负数，而虚数则是一种在实数范围之外的数。
虚数的出现，使得我们在数学上能够更加灵活和广泛地进行运算和研究。
2. 虚数的表示虚数i是满足i²=-1的数，也就是说i是一个平方根为-1的数。
在数轴上，虚数i对应着数轴上的y轴，它是一个垂直于实数轴的轴，形成了一个直角坐标系。
3. 虚数单位i虚数单位i是一个特殊的数，它满足i²=-1，i在复数理论中的作用十分重要。
在复数中，虚数单位i和实数单位1一样，都是不可约分的数，它们是复数的基本构成单位。
二、虚数的性质1. 虚数的性质虚数的性质包括以下几个方面：(1) 虚数的平方虚数i的平方是-1，即i²=-1。
这一性质是定义虚数的最重要的性质，也是虚数和实数之间最基本的关系。
(2) 虚数的加法和减法虚数的加法和减法遵循实数的基本运算规律，即虚数和虚数的加减法仍然是虚数。
(3) 虚数的乘法虚数的乘法也遵循实数的乘法规律，即虚数和虚数的乘法仍然是虚数。
而且虚数单位i之间的乘法有i²=-1这个特殊性质。
(4) 虚数的除法虚数的除法需要使用到复数的共轭复数和模的概念，虚数的除法通常不是虚数，而是一个实数或者一个复数。
2. 虚数的性质与实数的关系虚数是实数的扩展，它们之间有着密切的关系。
虚数和实数一起构成了复数域，在复数域中，实数是虚数的一种特殊情况。
3. 虚数的性质与代数结构虚数在代数结构中有着很多重要的性质，比如虚数域是一个实数域的代数拓展，虚数单位i是一个关于实数域的加法和乘法封闭的环，虚数域也是一个向量空间，等等。
三、虚数的运算规律1. 虚数的加法和减法虚数的加法和减法遵循实数的基本运算规律，即虚数和虚数的加减法仍然是虚数。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
高中数学总结归纳 复数性质的妙用
复数性质的妙用复数有很多特殊的性质，如果能在解题的过程中灵活地加以运用，就会收到事半功倍的效果.一、虚数i 的性质及其应用与虚数单位i 相关的性质有：①21i =-（即1-的平方根是i ±）；②若n *∈N ，则41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =；③2(1)2i i ±=±；④11i i i+=-； ⑤1230n n n n i i i i ++++++=，1231()nn n n i i i i n +++*=-∈N ···． 例1 计算1998131i i i +⎛⎫- ⎪-⎝⎭·． 解析：9991998299921(1)(1)11(1)i i i i ⎡⎤++⎛⎫==-=-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦，1998133(1)31i i i i i +⎛⎫-=--= ⎪-⎝⎭∴．二、共轭复数的性质及其应用设复数z 的共轭复数为z ，则有如下性质：①z z =；②1212z z z z ±=±；③1212z z z z =··； ④11222(0)z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭；⑤z 为实数z z ⇔=，z 为纯虚数z z =-．例2 设复数12z z ，满足12120z z A z A z ++=···，其中A =12z A z A ++·的值． 解析：121212z A z A z A z A z A z A ++=++=++··· 121212()()z A z A z z A z A z A A =++=+++····， 把12120z z A z A z ++=···代入上式，得2125z A z A A A A ++===··． 三、22z z z z ==·的应用例3 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值． 解析：由题意，24z zz ==，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设(2222)z a bi a b =+--，≤≤≤≤，则2421221z z a bi a bi a -+=+-+-=-． ∴当12a =时，2min 40z z -+=；当2a =-时，2max 410z z -+=． 四、纯虚数的性质及其应用命题 设z 为非零复数，若z 为纯虚数，则对任意非零实数a ，有z a z a +=-成立．反 之，若a 是非零实数，且z a z a +=-，则z 为纯虚数． 证明：由两复数差的模的几何意义可知，复数z 对应点的轨迹为复平面上复数a 与a -对应点连线的中垂线.显然其中垂线为虚轴.因而复数z 为纯虚数，反之亦然. 例4 解方程4465z i z i z i +--=+．解析：原方程可化为6(445)z z z i =+---，若4450z z +---=，则0z =，原方程不成立，4450z z +---≠∴．z ∴为纯虚数．由命题知，44z z +=-，65z i =-∴，即56z i =-．。
浅谈数学中“1”的妙用
浅谈数学中“1”的妙用摘要：数学中“1”的代换很多。
本文从平时的数学教学中归纳总结出“1”的一些应用，让学生在学习中多去发现“1”的妙用，这对培养他们的探索能力和创新意识有着积极的作用。
关键词：激发；兴趣；简化；应用；函数作者简介：郑淑品，任教于福建省莆田五中。
“1”是一个连幼儿园小朋友都认识的数，在数学中若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，往往会得到事半功倍的效果，能给学生惊喜，同时能激发学生学习教学的兴趣，引发学生探求知识的热情，从而提高学生的解题能力。
常用的1有×=1等等,下面举例谈谈“1”的一些妙用。
说明：本题中左边两项和为“1”，经过巧妙代换后，使基本不等式恰到好处地得到应用。
总之,“1”是一个特殊的数，在不同的章节的知识里它都有很多种不同的表示结果，对它的挖掘及灵活应用，可以使很多问题巧妙、快速地产生结论。
熟练掌握数学中的一些“1”的代换，常有奇妙的功效。
我们在教学中应让学生在学习中多去发现“1”的妙用，这对培养他们的探索能力，创新意识将会起到积极的作用。
参考文献：[1]陈锦文.整体与部分思想在证明对称不等式中的应用[J].福建中学数学，2002(3).[2]吴清平.巧用数学中“1”的变换[J].海南教育，2002(11).[3]许少华.用基本不等式求最值[J].升学指导报，2008(8).作者单位：福建省莆田五中邮政编码：351115The Magical Application of “1” in Mathematics TeachingZheng ShupingAbstract: There are many replacements for “1” in mathematics. This paper summarizes some applications of “1” in daily mathematics teaching so that students can thereby discover the magical application of “1” in learning, which is of positive function in cultivating students’ exploring ability and innovative awareness.Key words: motivation; interest; simplification; application; function。
复数的魔力：虚数单位i
“复数”的概念一直是数学中的一个重要成果，它的出现为我们解决很多实际问题提供了便利。
而在复数体系中，虚数单位i则是一颗璀璨的明珠，它的存在既神秘又具有很大的实际应用价值。
幻想与发现常常伴随着一同前行，而虚数单位i的发现正是源自对负数的幻想。
在古希腊时期，数学家们遇到了一个棘手的难题：无法找到负数的根。
负数的平方根是否存在一直困扰着数学家们的思绪。
然而，“假设存在负数平方根”这一假设在勇敢的数学家们的探索中得到了证明。
负数的平方根被定义为虚数单位i，即i² = -1。
通过引入虚数单位i，数学家们成功地克服了对负数平方根的困惑，真正地将数学的边界拓宽到了一个全新的维度。
虚数单位i并不可怕，它正是我们日常生活中常见的一部分。
在电气工程和物理学中，虚数单位i的应用非常广泛。
例如，在交流电路中，复数电流和电压是可以通过计算实数部分和虚数部分来进行描述的，这在计算中大大简化了问题的复杂度。
另外在量子力学中，虚数单位i也扮演着重要的角色。
通过引入虚数单位i，我们可以轻松地描述波函数，并快速地解决各种复杂的量子力学问题。
虚数单位i在这些学科中的应用锦上添花，为研究者们提供了极大的便利。
另一方面，虚数单位i也可以在几何学中发挥其独特的作用。
复数可以用平面上的点表示，其中实数部分表示点的横坐标，虚数部分表示点的纵坐标。
虚数单位i的引入正是为了描述旋转变换。
在复数平面中，把点通过绕原点逆时针旋转90°所得到的点乘以虚数单位i。
这一操作被称为乘以单位虚数i的旋转变换，它在几何学中起到非常重要的作用。
通过虚数单位i，我们可以用简单的复数运算来描述复杂的几何问题，从而使其更加直观和易于理解。
虚数单位i虽然看似神秘和抽象，但实际上它有许多实际应用和重要意义。
在电气工程、物理学和几何学等领域，虚数单位i能够简化计算、描述复杂问题、解决难题。
虚数单位i的发现是一个伟大的成果，它彻底改变了我们对负数根的认识，并为数学和科学的发展拓宽了道路。
i的数学意义
i的数学意义
这个世界上最古老而又简单的数字之一就是i，许多人熟悉的它只不过是一个无处不在的符号，但它所包含的数学意义却深不可测。
它不仅一个单纯的数字，它还是一个极其复杂的基础概念，对理解数学的基础性质和数学的大部分概念都有重要的作用。
它的定义其实很简单：它是一个复数，用来表示虚数单位。
所谓的虚数单位就是一个满足方程式 x^2 + 1 = 0数，而这个数恰好就
是i，其定义为i =-1。
由此也可以看出，它是一个无法通过实数获
得的数，并且不存在一个实数x，使得 x^2 + 1 = 0立。
既然是复数，它当然具备复数的所有性质，比如平方根和立方根等。
它的平方根就是1+i，立方根是-1/2+i√3/2。
这些特殊的根可
以帮助我们更好的理解i的定义和特性，以及它在数学中的所有性质。
此外，i也具有绝对值的概念，也就是它的大小。
对于i，其绝
对值定义为√-1，也就是1，这也就很自然的满足平方和立方根的性质，即平方根的绝对值可以用来表示i的绝对值，立方根的绝对值也可以用来表示i的绝对值。
除此之外，i在各种数学问题中也有其重要作用，比如它可以用来解决平面几何中双曲线的方程式，可以用来解决复数和三角函数的等式，甚至可以用它解决更为复杂的数学问题。
它不仅可以用来处理数学问题，在一些物理问题中也有其重要作用，比如在电磁学中使用i可以更好地解决一些晦涩难懂的问题。
总之，i是一个重要的数学概念，它承载着非常多的数学意义和
物理意义。
它不仅对理解数学的基本性质有重要作用，也在各种复杂的数学和物理问题中可以发挥重要作用，可以说它无处不在，是数学界最基础而又最重要的概念之一。
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学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站 复数运算中“1”的妙用
山东 孙道斌
在复数运算中，“1”起着微妙的作用．大家知道i2=-1，反向应用，用-i2代替1，在含“1”的复数式中可使运算简化．举例说明．
例1 计算i i
a b b a +-． 分析：本题中没有明显的“1”，但实数21(i )a a a =⨯=-，分子则为2(i )i i(i)a b b a -+=-，即可解出．
解：2i (i )i i(i)i i i i
a b a b b a b a b a b a +-+-===---． 例2 计算12123i 3i 22⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
分析：根据括号内复数的特征，可将3i 2
+变形为 i(3i)113i i 2i 2⎛⎫+-+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 3i 113i 2i 2⎛⎫---⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 又12是3的整倍数，利用313i 12⎛⎫-±= ⎪ ⎪⎝⎭
即可得出计算结果． 解：原式1212i(3i)(i)(3i)i 2(i)
2⎡⎤⎡⎤+--=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 4433121213i (1)113i 110i 2(i)2⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---⎢⎥⎢⎥=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
． 总之，复数运算中“1”的代换有两种方式，其一为“代替”，如例1，将1用2i -代替；
其二为“凑”，如例2，分子乘i 后，凑出了1的立方根．。