人大微积分课件10-7讲义斯托克斯stokes公式环流量与旋度
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10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
高等数学：斯托克斯公式环流量与旋度
练习题答案
一, 20 π . 三, rotA = i + j . 五,12π .
π 3 二, a . 4
四,0. 六,0.
�
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
Dxy
o
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
向 场A沿 向 曲 Γ 的 流 量 有 闭 线 环 量等 向 场 于 量 A的旋 场通 Γ 所张 曲面 通量.(Γ 的正 通量.( 度 过 的 的 侧 合 手 则 向 ∑的 符 右 法 ) 与
四,小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z dS = ∑ P Q R
Γ
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z ∑ P Q R
Γ
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑
D xy
1
1
由于∑ 弦都为正, 由于∑的法向量的三个方向余 弦都为正, 再由对称性知: 再由对称性知:
∫∫ dydz + dzdx + dxdy ∑
Dxy 如图
斯托克斯公式——换流量与旋度
在Ω内处处有
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
10.7 斯托克斯公式
第七节 P 斯托克斯公式 P cos
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
z
o
1
A 1 y
2y z
xz
y x
杨建新
x
C
第七节
斯托克斯公式
B 1
z
d yd z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
dzd x
y
d xd y
z
S
x
o
1
2y z
xz
y x
A 1 y
(1 1) d y d z (1 1) d z d x (1 2) d x d y 2 d y d z 2 d z d x d x d y
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
y C
P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y
(利用格林公式)
杨建新
第七节
斯托克斯公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向. 这个规定方法也称为右手法则.
杨建新
第七节
斯托克斯公式
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,
斯托克斯公式环流量与旋度
通过作辅助线把 分成与 z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅
助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对
对类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
《高等数学》
返回
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结束
定理1. 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合 右手法则, P, Q, R 在曲面 连同边界 上具有一阶连续
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则
z P ( x , y , z ( x , y )) d x P d x C P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y O y D xy x P P z C d xd y Dx y y z y (利用格林公式) P P f y cos d S y z fy 1 cos cos , cos , 2 2 1 f x2 f y2 f y cos 1 f x fy
x
利用对称性
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2 思考: 如何转化为第一类曲面积分计算？
《高等数学》 返回 下页 结束
例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域, 且取下侧,
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n
《高等数学》
因此
P P cos P d x cos d S y z cos P P cos cos d S z y P P d zd x d xd y z y
助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对
对类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
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结束
定理1. 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合 右手法则, P, Q, R 在曲面 连同边界 上具有一阶连续
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则
z P ( x , y , z ( x , y )) d x P d x C P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y O y D xy x P P z C d xd y Dx y y z y (利用格林公式) P P f y cos d S y z fy 1 cos cos , cos , 2 2 1 f x2 f y2 f y cos 1 f x fy
x
利用对称性
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2 思考: 如何转化为第一类曲面积分计算？
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例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域, 且取下侧,
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n
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因此
P P cos P d x cos d S y z cos P P cos cos d S z y P P d zd x d xd y z y
第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
10-7斯托克斯公式与旋度
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
机动
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明： 同平面曲线一样，当曲线积分
10.7_斯托克斯公式__环流量与旋度
W ydx zdy xdz
x
y
1 3
y
1 3
dS z
x
1 3
A x
O
y
1
C
y
z
1 n D xy (1 , 1 , 1) 3
x y yz 1 x 1
x 3d1xdy
d OS
1 (3)dS 3
3
D xy
3 3 dxdy . 2
ydx zdy xdz
B
z
O
n
C
y
dydz dzdx dxdy
Σ
3 dxdy
Σ
A x
一投
二代
三定号
化 为 ( 3) dxdy 二 Dxy 重 1 3 积 分 3 .
2
y 1
x y1
D xy
1
x
O
2
19
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面
积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的
推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向
边界曲线上的线积分联系了起来.
2
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理10.11 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,
Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向闭曲面, Γ的正向 与Σ的正侧符合右手法则, 若向量函数 F ( x , y , z )
3
Pdx Qdy Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
10-7Stocks公式
∂P ∂P ∂P ∂P 即 ∫∫ dzdx − dxdy = −∫∫ ( + f y )dxdy ∂y ∂z Σ ∂z Σ ∂y
高等数学（ 高等数学（下）
∵
∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy ∂y Σ ∂z
∂ ∂P ∂P P[ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
r r At = A ⋅ t = P cosλ + Q cos µ + R cosν
r r ∴环流量 Γ = ∫∫ rotA⋅ ds = ∫Γ At ds
Σ
高等数学（ 高等数学（下）
斯托克斯公式的又一种形式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫[( ∂y − ∂z )cosα + ( ∂z − ∂x )cos β + ( ∂x − ∂y )cosγ ]dS Σ
高等数学（ 高等数学（下）
利用stokes公式, 利用stokes公式, 有 stokes公式
环流量
r r Γ = ∫ A ⋅ ds =
C
∫∫ Σ
r r i j ∂ ∂ ∂x ∂y P Q
3
r k ∂ r ⋅ ds ∂z R
2
例 3 求向量场 A = ( x − z )i + ( x + yz) j − 3 xy k 2 2 沿闭曲线Γ 为圆周 z = 2 − x + y , z = 0 时针方向) (从 z 轴正向看Γ 依逆时针方向)的环流量 .
R( x, y, z)在包含曲面 Σ在内的一个空间区域内
具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数, 则有公式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
相关主题
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解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdxxdyydz
0 D xy
dyddzzdx dxdy 1
x
y 1
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
xห้องสมุดไป่ตู้ y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
( 在 上 xyz3) 2
4 3
23ds2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
i j k
即 P zdz d P ydx x d ( P y y P zfy)dxd
yP [x ,y,f(x ,y) ] P y P zfy
P
z
dzdx
P y
dxdy
P[x,
Dxy y
y,
f
(x,
y)]dxdy,
1
根椐格林公式
P [x ,y ,f(x ,y )d ]x P d [x ,y y ,f(x ,y )d ]
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzd(xxy)dxd
PdxQdyRd.. z故有结论成立.
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
其 P n Q{R c , 中 c, o c o } o s s s
i jk
旋度roAt
x y z
PQR
( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
人大微积分课件10-7斯托克斯stokes 公式环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
D xy y
c
即 P zdz P d ydx x c P d [x ,y ,f(x ,y )d ]x 2
平面有向曲线
P zdz d P yd xx d P (x y ,y ,z)d,x
空间有向曲线
同理可证
Q x dx Q z d dyy d Q (x z ,y ,z)d,y R ydy R d x dzz d R (x ,y ,z)d,z
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
则
n
1
{1,1,1}
o
y
x
3
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、简单的应用
例1 计算曲线积分zdxxdyyd,z
其中是平面xyz1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. z
则沿场 A中某一封闭的有向 C上曲的线曲线积分
CAds CPdxQdyRdz
称为向量A场 沿曲线 C按所取方向的环. 流量
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A td或 s(r A o )n d t S A tds
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
例 轴转3 动设,其一角刚速体度绕过 原(点1
O 的某个
,2,3 ),
刚 线体 速上 场,每则一向点量处r的线O速 M度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解 由力学知道点M的线速 度为
其中
(rA o )n trA on t
( R Q )c o (s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
o D xy C
y
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z d z P y d dx x ( d P z c yo P y s co ) ds
又 co sfyco , s代入上式
P z d z P y d dx x d ( P y y P zfy ) cd os
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
n 右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设 Σ 与 平 行 于z 轴 的 直 线
z
n
:zf(x,y)
相交不多于一点, 并Σ取
上 侧 ,有 向 曲 线 C 为 Σ 的 正
向 边 界 曲 线 在 xoy 的 投 影 . 且 所 围 区 域 D xy . x