人大微积分课件10-7讲义斯托克斯stokes公式环流量与旋度

即 P zdz d P ydx x d ( P y y P zfy)dxd
yP [x ,y,f(x ,y) ] P y P zfy
P
z
dzdx
P y
dxdy
P[x,
Dxy y
y,
f
(x,
y)]dxdy,
1
根椐格林公式
P [x ,y ,f(x ,y )d ]x P d [x ,y y ,f(x ,y )d ]
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzd(xxy)dxd
PdxQdyRd.. z故有结论成立.
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
其 P n Q{R c , 中 c, o c o } o s s s
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、简单的应用
例1 计算曲线积分zdxxdyyd,z
其中是平面xyz1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. z
o D xy C
y
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z d z P y d dx x ( d P z c yo P y s co ) ds
又 co sfyco , s代入上式
P z d z P y d dx x d ( P y y P zfy ) cd os
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
( 在 上 xyz3) 2
4 3
23ds2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A td或 s(r A o )n d t S A tds
其中
(rA o )n trA on t
( R Q )c o (s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdxxdyydz
0 D xy
dyddzzdx dxdy 1
x
y 1
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
人大微积分课件10-7斯托克斯stokes 公式环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
i jk
旋度roAt
x y z
PQR
( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
则沿场 A中某一封闭的有向 C上曲的线曲线积分
CAds CPdxQdyRdz
称为向量A场 沿曲线 C按所取方向的环. 流量
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
例 轴转3 动设,其一角刚速体度绕过 原(点1
O 的某个
,2,3 ),
刚 线体 速上 场,每则一向点量处r的线O速 M度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解 由力学知道点M的线速 度为
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
则
n
1
{1,1,1}
o
y
x
3
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
D xy y
c
即 P zdz P d ydx x c P d [x ,y ,f(x ,y )d ]x 2
平面有向曲线
P zdz d P yd xx d P (x y ,y ,z)d,x
空间有向曲线
同理可证
Q x dx Q z d dyy d Q (x z ,y ,z)d,y R ydy R d x dzz d R (x ,y ,z)d,z
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
n 右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设 Σ 与 平 行 于z 轴 的 直 线
z
n
:zf(x,y)
相交不多于一点, 并Σ取
上 侧 ,有 向 曲 线 C 为 Σ 的 正
向 边 界 曲 线 在 xoy 的来自百度文库投 影 . 且 所 围 区 域 D xy . x
i j k