运筹学期中测试参考答案

1线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z ,设)

0(X 为问题的最

优解。若目标函数中用*C 代替C 后，问题的最优解变为*X ，证明：

0)*)(*()

0(≥--X X C C 证明：因为)

0(X

为问题0,,max ≥==X b AX CX z 的最优解，

同时*X 为问题0,,max ≥==X b AX CX z 的可行解。

所以有： 0*)

0(≥-CX CX （1）

同理可得：0***)

0(≥-X C X

C （2）

由不等式（1），（2）可知：

0)*)(*()0(≥--X X C C

2、已知线性规划：

12121212max 3224

321230(1,2)j z x x x x x x x x x j =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪

⎪≥=⎩

要求：（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值；

（2）写出线性规划的对偶问题；

（3）根据对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值； 解：（1）化标准型：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-=++=++-+=5

,...,1,0312234223max 52142132121i x x x x x x x x x x x x Z i 根据标准型列单纯形表

所以，此线性规划有无穷多最优解 最优解之一 （18/5，3/5，32/5，0，0）

最优值 Z max =12

（2）线性规划的对偶问题为：

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≥-+≥++-++=3,...,1,022*******min 321321321i y y y y y y y y y y W i

（3）由原问题的最优单纯形表可知： 对偶问题的最优解为：（0，1，0） 最优值为：W min =12

3 下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：

解：利用V ogel 法求解第一个运输方案：

利用对偶变量法求解检验数：

所有非基变量的检验数全部大于零，所以此运输方案是最优的运输方案。

最优值为：3*2+1*7+3*6+2*6+2*5+4*4=69

4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻井费用最小。若10个井位的代号为

12310,,s s s s ，相应的钻井费用为1210,,,c c c ，并且井

位选择上要满足下列限制条件：

①选择1s 和7s 就不能选择钻探8s ；反过来也一样； ②选择了3s 或4s 就不能选5s ，反过来也一样；

③在

5678,,,s s s s 中最多只能选两个； 试建立这个问题的整数规划模型。（不求解） 解：设用xi 表示第i 个井位是否钻井探油，即

⎩

⎨⎧=不钻井钻井

01i x

由题意可知数学模型如下：

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≤+++≤+≤+≤++==∑∑==10,...,

1,1021

125min 87655

4

5387110

1

10

1

i x x x x x x x x x x x x x x c Z i i i i i

i 或 5 友谊农场有3万亩（每亩等于666.66平方米）农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施肥分别为0.12、0.20、0.15t 。预计秋后玉米每亩可收获500kg ，售价为0.24元/kg ；大豆每亩可收获200kg ，售价为1.20元/kg ；小麦每亩可收获300kg ，售价为0.7元/kg ；农场年初规划时考虑如下几个方面：

1 年终收益不低于350万元；

2 总产量不低于1.25万t ；

3 小麦产量以0.5万t 为宜；

4 大豆产量不少于0.2万t ；

5 农场现能提供5000t 化肥；若不够，可以在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。 试建立数学模型不求解。

解：设种植玉米、大豆和小麦三种农作物的面积分别为

x1,x2,x3（亩）.

{}

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=-+⨯+⨯+⨯=-+⨯=-+⨯=-+⨯+⨯+⨯=-+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++-+-+-+-+

-+-=+

-

+---∑,0,,500015.020.012.0200020050003001250030020050035000007.030020.120024.050030000,),(,,min

5532144233322321113213

1

55443332211i i i i i d d x d d x x x d d x d d x d d x x x d d x x x x d P d P d d P d P d

P

6已知表为某线性规划问题的最终单纯形表，表中4x ，5x 为松弛变量，请求出最初的线性规划问题。

解：上述表格通过初等行变换可得如下表：

所以最初的线性规划问题为：

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≤+≤++=3,...,1,010*******max 31

3231i x x x x x x x Z i