解析几何与平面几何选讲

高中数学备课教案空间解析几何中的直线与平面

高中数学备课教案空间解析几何中的直线与平面高中数学备课教案：空间解析几何中的直线与平面一、概述在高中数学课程中，空间解析几何是一个重要的内容，其中直线与平面是基本元素。

本教案的目的是帮助教师准备空间解析几何中的直线与平面的教学，并提供一些相关的教学资源和方法。

二、前期准备1. 教学目标本节课的教学目标是让学生掌握直线与平面的基本概念和性质，理解直线和平面的方程表达形式，并能够应用相关概念解决实际问题。

2. 教学资源和准备为了帮助学生理解和掌握直线与平面的概念，教师可以准备以下教学资源：- 数学教材- 相关教学视频或动画- 合适的笔记本电脑和投影仪三、教学步骤1. 导入与概念解释教师可以通过展示一张包含直线和平面的图片来引起学生的兴趣。

然后解释直线和平面的基本概念，引导学生思考它们的性质和特点。

2. 直线的表示与方程通过示例和练习，教师可以向学生展示如何表示一个直线，并引导学生推导出直线的方程表达形式。

同时，教师可以提供一些实际应用的例子，让学生感受直线在现实生活中的应用。

3. 平面的表示与方程与直线类似，教师可以引导学生探索平面的表示方法，并引导学生推导平面的方程表达形式。

同样地，教师可以通过实际问题和应用来加深学生对平面概念的理解。

4. 直线与平面的关系教师可以通过示例和图示，向学生展示直线与平面之间的关系。

例如，一条直线可以位于平面内、与平面相交或平行于平面。

通过练习，学生可以进一步熟悉这些关系，并掌握相关解题方法。

5. 综合练习与拓展为了进一步巩固学生的学习成果，教师可以提供一些综合练习和拓展问题。

这些问题可以涉及到直线与平面的交点、夹角等高级概念，并结合实际应用场景，提高学生的解决问题的能力。

四、课堂互动与讨论在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与课堂互动与讨论，提出问题并互相交流。

通过互动与讨论，学生可以更好地理解和应用直线与平面的相关概念，同时培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

五、课后作业为了巩固学生的学习成果，教师可以布置一些课后作业，包括练习题和问题解答。

空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用

空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用空间解析几何是现代数学中的一个重要分支，其中曲面与平面的性质与应用是其核心内容之一。

曲面与平面的性质研究了它们在空间中的特点和行为，而应用则将这些性质运用到实际问题中。

本文将围绕这一主题展开讨论。

一、曲面的性质曲面可以用数学方法描述，其中最常见的是方程法和参数方程法。

方程法通过一元或多元方程或等式来表示曲面，常见的有二次曲面、高次曲面等。

参数方程法是通过一组参数方程来描述曲面，常见的有球面、柱面等。

曲面有许多重要的性质，如切平面、法线、曲率等。

曲面上的每一点都有一个唯一的切平面，该平面与该点的切线相切。

曲面上每一点的切线与曲面在该点处的法线垂直。

曲率是描述曲面弯曲程度的量，曲面的曲率越大，说明其弯曲越剧烈。

二、平面的性质平面是空间中的一个二维图形，可以由一个点和一对方向向量决定。

平面的方程可以由点法式或一般式表示。

点法式通过平面上的一点和该平面的法线来确定平面方程。

一般式通过平面上的一点及平面上的两个非平行向量来确定。

平面的性质包括平行性、垂直性和夹角等。

平行平面指的是在空间中没有交点的两个平面，它们的法线方向相同或相反。

垂直平面指的是两个平面的法线方向相互垂直。

平面之间的夹角是指两个平面上相应位置的两个向量之间的夹角。

三、曲面与平面的关系应用曲面与平面的关系有许多重要的应用。

以下是其中的两个典型案例。

1. 曲面与平面的相交问题：在实际问题中，经常会遇到曲面与平面相交的情况。

通过求解曲面与平面的交点，可以得到很多有用的信息。

例如，在计算机图形学中，我们可以通过计算射线与曲面的交点来确定曲面的可见性，从而实现逼真的渲染效果。

在建筑设计中，我们也可以通过曲面与平面的相交来计算悬浮物体的投影，从而预测建筑物在不同时间下的阴影变化。

2. 曲面与平面的切割问题：曲面与平面的相交还可以用于解决物体切割问题。

例如，在机械加工中，我们经常需要通过切割固体物体来制造所需的零件形状。

平面几何与解析几何

一. 平面几何与解析几何平面几何(plane geometry)是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几里得(Euclid)编辑成书，所以又叫做欧几里得几何(Euclidean geometry)，只准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平面几何象古希腊的哲学(爱智之学)，是心想而没有物质的；实用的几何则是近似的. 平面几何是数学的一支，研究“如果甲则乙”.例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem)或等腰定理：如果[三角形两边相等]则[对角相等].图 1--1故CABBAC∆≅∆，)(SAS从而ACDABC∠=∠. （ABAC,的对角）证毕.已证的结果叫定理，可以留作后用，例如SAS（边角边）是定理，在讨论上例前已证.再举一例：（毕氏定理(Pythagorean theorem)的逆(converse)定理）给出ABC∆中，三边ABACBC,,的长依惯例分别用cba,,来表示.图 1--2已知：在ABC∆中，ACAB=求证：CB∠=∠（问：为什么要“求”？答：寻求而非乞求. ）证明：考虑BAC∆及CAB∆：ACAB=，,ABAC=CABBAC∠=∠.（已知）已知222b a c +=. 求证：090=∠C证明：（可用余弦定理证或）作'''C B A ∆,使090=∠C ,≡'b AC C A =''， BC C B a =≡'''. 以'c 表示','B A . 因 2'2'2'b a c += （毕氏定理）及222b a c +=，（已知） c c ='，（取代）从而ABC ∆='''C B A ∆. )(SSS 所以=∠C 'C ∠，（对应角）即090=∠C . (取代）证毕.毕氏为希腊人毕达哥拉斯（Pythagoras)的简译，他生于公元前五百多年，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction ），用它证明了毕氏定理，由此发现了无理数（irrational number ）2：设上面的045=∠B ，且a =一单位（单位可任选），则2为a c. 暂设2为有理数（rational number ），即 nm=2, (1)其中n m ,为正整数.我们可以消去n m ,的公因子，即假设n m ,互质（relatively prime ）：没有大于1的（正整数）公因子. 由（1）得222m n =. (2) 两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于1的因子；不计乘法的顺序，这种分解至质数积的式子是唯一的，从而由（2）知m 含因子2：k m 2=，图 1--3上面提到正整数分解为质数积的结果叫做“唯一析因定理”（unique factorization theorem ），它与物理、化学里将物分解为分子、原子……类似.我们也可倒过来用质数积造数，例如用13,11,7造100113117=⨯⨯；这样，我们便知道将一个任意的三位数xyz 重复写，所得的六位数xyzxyz 能被13,11,7整除，而且商是xyz ！无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？[古印度人也会证毕氏定理:用图 1--2作四边形AB ’C ’C, B, A ’ 在 CC ’ 內同一点. 梯形AB ’C ’C 的面积为 (b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算,得 ba/2+cc/2+ab/2. 故222b a c +=.]叫直角坐标(rectangular coordinates), 图 1--4一方面将平面几何化简为“代数”或解析几何（analytic geometry ）,另一方面，三维、四维、…、n 维空间的观念也自然地接踵而来：其中k 为正整数.这样(2) 可写成222k n =.再作n 的质数因子分解，知n 也可被2整除，与n m ,互质的假设矛盾.回顾，除（1）外，步步有理，故（1）不成立，即2不是有理数. 证毕.当他人沉溺于几何国中，笛卡儿（Rene ，Descartes ，1596--1650）用两条轴来决定一点),(y x ,x 轴垂直于y 轴,n IR ≡n n a a a a a a ,......,,:),......,,{(2121是实数}n IR 表示n 维向量空间（n-dimensional vector space ）. 在n IR 中引入社会结构数积（scalar multiplication ）、点加（pointwise addition ）及点积（dot product ）:λ),......,,(),......,,(2121n n a a a a a a λλλ=,+),......,,(21n a a a =),......,,(21n b b b ),......,,(221n n b a b a b a +++, ⋅),......,,(21n a a a =),......,,(21n b b b n n b a b a b a +++.. (2211)其中λ,n a a a ,......,,21,n b b b ,......,,21都是实数,叫数量、纯量或标量（scalar ），n a a a ,......,,21分别是点（point ）或向量（vector ）),......,,(21n a a a 的第一、第二、…、图 1--5上面),(y x 可当作是一点P ，可当作是))0,0((=O ，也可以当作是平行移动所得的向量，叫做“自由”向量.这样当0>λ时，λ),(21a a 是向量),(21a a 的λ倍.注意+=),(21a a ),(21b b 也是物理中力向量),(21a a ,),(21b b 的和.例：求),(21c c R =的坐标,其中t =,=P ),(21a a ，=Q ),(21b b ，10<<t .第n 坐标.回到2=n ， λ),(),(2121a a a a λλ= ,+),(21a a =),(21b b ),(2211b a b a ++, ⋅),(21a a =),(21b b 2211b a b a +图 1--6解：从点P 作线平行于x 轴，交从Q R ,到x 轴的垂线于T S ,, 则PQS PRT ∆∆~，（相似）从而图 1--7或直接用向量算：+=，即),(),[(),(),(21212121a a b b s a a c c -+=. )1(t s -= （3）解毕.例：求两点)3,4(),2,3(-连线的中点. 解：先推公式（4），再取21=t ，得中点的公式： s QTRSPT PS ==，（对应边比）即,22221111s a b a c a b a c =--=-- )1(t s -= 从而)(1111a b s a c -+=, )(2222a b s a c -+=),(21),(221121b a b a c c ++=，（向量和的一半）（4）即)21,27()32,43(21),(21-=-+=c c . 解毕.例：证明平行四边形两对角线相互平分.证：不妨设)0,0(=A ,),(21a a B =,),(21b b D =,则),(2211b a b a C ++=. 由（4）知AC 的中点是图1--8习题：在ABC ∆中，连中线AD 及在AD 上取一点G ，使GD AG 2=. 证明)(31OC OB OA OG ++=,从而证明ABC ∆三中线相交于G .图1--9=--11x x y y 1212x x y y m --=. （6）)0,0(212211++++b a b a ),(212211b a b a ++=， BD 的中点是),(212211b a b a ++ 故BD AC ,相互平分. 证毕.给出直线(straight line )L 上的两个点),(),,(2211y x y x , 得斜率(slope ) 1212x x y y m --=（5）故L 上的任意点),(y x 的方程是图 1--10图 1--11故圆（circle ）的方程式为2121)()(y y x x -+-r =，（8）其中),(11y x 为圆心，r 为半径. 上式可改写成：22121)()(r y y x x =-+-. （9）例：求圆心为)2,1(，半径为3的圆的方程. 解：由（9）得2223)2()1(=-+-y x 展开，得+2x 04422=---y x y . 解毕.例：求经过两点)4,2(),1,3(-的直线的方程式.解：由（5）及（6）得 =--31x y 3214---. 化简，得或 01053=-+y x .解毕. 由毕氏定理知两点),(),,(2211y x y x 的距离（distance ）是d ： =d 212212)()(y y x x -+- （7）在三维、四维、……、n 维空间里也可以如上玩耍.笛卡儿因发明解析几何成为现代数学的创始人. 他又是现代哲学的创始人，他的名言是：我思故我在. 想是在思考及怀疑一切、几乎失落之际迸出来的，强调怀疑与独立思考的重要性.快五十岁时他在荷兰，瑞典女皇邀他；我们不知笛卡儿瞬间的感觉，只知女皇派军舰接他上路.以后在黎明前，他为女皇讲习，如渊明为菁青.只叹当时北风凛冽如湘南的柏林，笛卡儿终于不支，患上肺炎，于次年病逝，何其浪漫！ n 维空间结果拾穗：给出向量c b a ,,，其中c b b a ⊥⊥,，即c b b a ⋅==⋅0，则,)(c b a ⊥±其中⊥读作垂直（orthogonal ）于，±表示+或-.证明：000)(=±=⋅±⋅=⋅±c b c a c b a ，即图 1- 12注意:n 维空间不一定要有一般的几何意义，例如给出四维空间的一个点如在相对论里 ,,(b a ),,d c ),,(c b a 可以代表一般空间的点，d 代表时间；如在统计学里 ,,(b a ,c )d 也可以代表一个人的(高度, 重量，性别，年龄).c b a ⊥±)(. 证毕. 特例：（立体几何定理）如果PD a ≡垂直平面S ，且S 里的DE b ≡垂直平面S 里的OE c ≡,则PE 垂直OE .。

平面几何与解析几何综合应用

平面几何与解析几何综合应用几何学在我们的日常生活中无处不在，无论是建筑设计、工程规划还是地图绘制，几何学都扮演着重要的角色。

在几何学的学科中，平面几何和解析几何是两个不可忽视的重要分支。

本文将探讨平面几何和解析几何的综合应用，以展示两者在实际问题中的价值与意义。

一、平面几何的应用平面几何是几何学的一个分支，关注平面内的点、线、面等基本几何对象之间的关系和性质。

它广泛应用于建筑设计、城市规划、地图绘制等领域。

下面介绍几个例子来说明平面几何的应用。

1. 建筑设计建筑设计离不开平面几何的应用。

在建筑规划和设计过程中，设计师需要运用平面几何的原理，确定建筑物的外形、布局和比例。

例如，设计一个几何严谨的对称建筑，需要运用平面几何的对称性原理来确保建筑物的外观美观，同时考虑结构的稳定性。

此外，在建筑设计过程中，平面几何还用于确定楼层平面的布局，如厨房与卧室的合理分隔，确保每个功能空间的使用效率。

2. 地图绘制地图是我们了解和导航世界的重要工具，而地图的制作离不开平面几何的技巧。

地图绘制需要考虑地球表面的曲率和平面表面的差异，运用平面几何的方法将三维地球表面投影到二维平面上。

例如，常见的等经纬度网格投影，就是一种基于平面几何原理的地图投影方法。

通过将地球分割成小的区域，再将这些区域按照特定方式展开到平面上，制作出我们常见的平面地图。

3. 城市规划城市规划是通过将公共设施、道路、建筑物等要素进行合理布局来提供良好的城市环境。

平面几何在城市规划中发挥着重要作用。

通过运用平面几何的原理，城市规划师可以确定道路的走向和宽度，以最大程度地提高交通效率。

此外，平面几何还可以用于确定公共空间的形状和大小，确保城市的绿化率和生态环境。

二、解析几何的应用解析几何是几何学的一个分支，将几何问题转化为代数问题，并利用代数方法解决。

它通过运用坐标系和方程等工具，研究几何对象的性质和关系。

以下是解析几何在实际问题中的应用。

1. 航空航天在航空航天领域，解析几何被广泛应用于轨道运动和飞行路径的计算与分析。

《平面解析几何》课件

向量运算
向量的加法和减法
向量加法和减法是向量运算中的基本运算，包括向量的平移、旋转和拉伸等。
向量的数量积和向量积
在所有的线性代数中，向量的数量积和向量积是最常用的向量积运算之一。
向量的投影
向量的投影是计算向量在投影方向上的长度的一种方法，是一种常用的数学概念，应用广泛。
二次曲线
椭圆双曲线抛物线
《平面解析几何》PPT课件
本课程介绍平面解析几何，一门研究平面上点、直线、圆、二次曲线等图形的位置关系和相互运算的学科。
简介
什么是平面解析几何
是最基础的空间几何的入门课，学习解析几何可以帮助你更好地理解各种数学问题。
历史发展
解析几何的提出是十七世纪科学革命时期的一项重要成就。
坐标系
直角坐标系
由平面上到定点F1、F2的距离之和为定常值 2a。
双曲线也由平面上到定点F1、F2的距离之差为定常值2a。
抛物线是是一个平面曲线，因其具有完美的抛物线形状而得名。
结论
平面解析几何的应用
平面解析几何是现代数学的一个分支，它对于计算机科学、物理学、经济学、心理学等学科都有非常重要的应用。
本课程的主要内容回顾
截距法是三种构图法之一，大大简化了复杂的运算。
3 法线式
4 点斜式
数学中，直线的法线式是表示某直线在某点处垂直的一条直线的代数式。
在点斜式中，直线上任意一点的坐标及其方向与坐标平面上已知一点相对应的斜率确定。
圆的方程
标准式
以坐标系原点为圆心，以半径长为圆的方程。
一般式
圆的一般式是用Ax2 + Ay2 + Bx + By + C = 0的形式表示的。

平面几何与解析几何

平面几何与解析几何平面几何和解析几何都是数学中重要的分支，它们分别从不同的角度研究几何学问题。

平面几何着重于研究二维平面上的图形和性质，而解析几何则运用代数的方法研究几何学问题。

本文将分别介绍平面几何和解析几何的基本概念和应用，以及它们之间的联系和区别。

一、平面几何平面几何是几何学的一个重要分支，它研究的对象是平面上的点、线、面及其相互之间的关系。

在平面几何中，我们研究的主要内容包括几何图形的性质、相似、全等、共线关系、垂直关系等。

1.1 点、线、面的定义与性质在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。

线由无数个点连成，具有长度但没有宽度。

面由无数条线相互交织而成，具有长度和宽度。

在平面几何中，我们还研究了点、线、面的性质。

例如点到点之间可以连接成线段，线段有长度；线与线之间可以相交、平行或垂直；平面内直线和平面之间可以相交、平行或垂直。

1.2 图形的性质在平面几何中，我们研究了各种几何图形的性质。

例如，矩形的对角线相等且互相垂直；正方形的四条边相等，对角线相等且互相垂直；圆的任意一条弧都等于其半径乘以对应的角度。

1.3 相似与全等在平面几何中，我们还研究了相似和全等的概念。

两个图形相似意味着它们的形状相似但大小不同，而全等意味着它们形状和大小完全相同。

二、解析几何解析几何是代数与几何的结合，它运用了坐标系和代数的方法来研究几何学问题。

解析几何将平面几何问题转化为代数问题，通过代数运算来求解。

2.1 坐标系与点的表示在解析几何中，我们使用坐标系来表示平面上的点。

坐标系由横轴和纵轴组成，将平面分为四个象限。

每个点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。

2.2 直线方程与曲线方程在解析几何中，我们研究了直线和曲线的方程。

通过求解方程，我们可以确定直线和曲线在平面上的位置和形状。

例如，直线的一般方程可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数；曲线的方程可以通过方程的形式来确定，例如圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)表示圆心坐标，r表示半径。

平面几何在解析几何中的运用

平面几何在解析几何中的运用平面几何在解析几何中的运用平面几何学是一门重要的数学课程，也被称为解析几何。

它是数学中最基本但又最重要的部分之一。

解析几何中用到的概念可以分为几何图形，圆，直线，三角形等，都是基于平面几何学而推演而出的基本图形。

一、几何图形几何图形是平面几何学中最重要的概念，它有许多不同的类别，如点，线，多边形，圆，椭圆等。

通常情况下，它可以分为正多边形，椭圆多边形和变形多边形三大类。

此外，它还可以根据它的几何特性来分类，如对称图形，对称多边形，正多边形等。

他们有助于我们知道有关一个多边形或图形的全部特性，如它的边数，边长，角数，面积，周长等等。

二、圆圆是解析几何中应用最广泛的图形之一，也是由平面几何学而推演而出的基本图形之一。

它由一个固定的中心点和一个固定的半径组成，是由一个不变的圆心内切的一系列圆周而形成的。

它可以用直角坐标系的极坐标表示，也可以用圆的标准式表示。

它与内接圆相比，既有圆心角又有弧度，能用于求解几何问题，也与其他几何图形形成有趣的关系。

三、直线直线在解析几何中也有广泛的应用。

它是由两个点构成的，由一般式表示。

它可以分为斜率和弧长两类，并且由它们共同决定线段的长度和斜率。

另外，它也可以用矢量形式表示，以及用于求出两条直线的交点。

四、三角形三角形在解析几何中也有重要的作用，它由三条线段的交点组成。

它有三条边和三个内角，根据它的边和角的特点，可以分为等腰三角形，等边三角形，直角三角形等。

它的构成则取决于它的内角的大小，内角的总和是180°，根据它的性质可以换算出各边的长度，求出内角，外角等。

总结以上内容中，平面几何学在解析几何中发挥重要作用，几何图形，圆，直线和三角形等常见图形都是由平面几何学而推演而出的。

各种图形也可以在实际中应用，比如解决几何问题，求出长度和角度，根据其特性对对称，对称多边形等类进行划分。

空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解

空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解一、直线方程的求解在空间解析几何中，直线是两点间的最短路径，它可以用直线方程来表示。

直线方程一般可以采用两种常见的形式：点向式和一般式。

1. 点向式直线方程设直线上一点为P(x,y,z)，直线的方向向量为a(i,j,k)，则该直线的点向式方程可以表示为：(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(i,j,k) (1)其中(x1,y1,z1)为直线上已知的一点的坐标，t为参数。

根据这个方程就可以唯一确定直线上的任意一点。

2. 一般式直线方程一般式直线方程是通过直线上的两个不重合的点的坐标来表示的。

设直线通过点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)，则一般式直线方程的表示形式为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1) (2)或者简化为：(x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c (3)其中a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1。

二、平面方程的求解平面是空间中的一个二维平面，可以用平面方程来表示。

平面方程一般可以采用三种常见的形式：一般式、点法式和截距式。

1. 一般式平面方程一般式平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为常数。

一般式平面方程中的法向量可以通过已知法向量的坐标和平面上的一点来确定。

2. 点法式平面方程设平面上一点为P(x,y,z)，平面的法向量为n(A,B,C)，则点法式平面方程可以表示为：n · (P-P0) = 0 (5)其中·表示点乘运算，P0为平面上已知的一点的坐标。

3. 截距式平面方程截距式平面方程可以表示为：x/a + y/b + z/c = 1 (6)其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。

三、直线与平面方程的求解在空间解析几何中，求解直线与平面的交点，可以通过将直线方程代入平面方程，得到交点的坐标。

空间解析几何与平面曲线的综合应用

空间解析几何与平面曲线的综合应用在空间解析几何学中，平面曲线是一种重要的概念。

它们在几何图形的研究和实际应用中扮演着重要的角色。

本文将探讨空间解析几何与平面曲线的综合应用。

第一部分：空间解析几何的基础知识空间解析几何是研究空间中点、直线、平面和曲面之间的位置关系和性质的学科。

它利用向量和坐标等工具，通过方程和参数方程的形式，描述几何对象的特征。

在空间解析几何中，平面曲线是一种重要的研究对象。

第二部分：平面曲线的方程表示平面曲线可以通过方程来表示。

在空间解析几何中，最常见的平面曲线方程形式有直线方程、圆方程、椭圆方程和抛物线方程等。

这些方程形式不仅可以帮助我们描述曲线的位置和形状，还可以用来解决实际问题。

第三部分：空间解析几何和平面曲线的应用空间解析几何和平面曲线在许多学科领域中都有广泛的应用。

在工程学中，通过解析几何的方法可以确定建筑物的结构和设计，包括计算建筑物的轮廓和几何参数。

在物理学中，空间解析几何和平面曲线可以用来描述物体的运动轨迹和形状等。

此外，在计算机图形学中，空间解析几何和平面曲线也发挥着重要的作用。

通过几何算法和曲线插值技术，可以实现计算机对曲线的绘制和显示。

在计算机辅助设计中，空间解析几何和平面曲线可以用来生成平面图形和进行三维建模。

结论空间解析几何和平面曲线的综合应用涵盖了数学、物理、工程学和计算机科学等多个学科领域。

通过准确地描述和分析几何对象的位置和形状，我们可以更好地理解和应用这些概念。

未来，随着技术的不断发展，空间解析几何和平面曲线的应用将会进一步扩展，并为解决实际问题提供更多的可能性。

以上是关于空间解析几何与平面曲线的综合应用的文章。

通过探讨空间解析几何的基础知识、平面曲线的方程表示以及空间解析几何和平面曲线的应用，我们可以更好地理解和应用这些概念。

这些知识对于数学、物理、工程学和计算机科学等学科领域都具有重要意义。

解析几何全册课件

易错点和难点的避免：认真审题、仔细计算、规范答题，避免粗心大意和盲目做题
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解析几何全册课件大纲
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目录
Contents
01 添加目录项标题 02 解析几何概述 03 平面解析几何 04 空间解析几何 05 解析几何中的变换 06 解析几何中的重要定理和公式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义空间直线方程的表示方法空间直线方程的性质空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义空间平面方程的表示方法空间平面方程的性质空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程旋转曲面：定义、性质、方程球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和曲面方程：描述空间中曲线和曲面的形状和位
置
空间解析几何在实际生活中的应用：如建筑设计、机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形沿某个方向移动一定距离的
变换
性质：保持图形的形状和大
小不变
应用：在解析几何中，平移变换常用于求解方程、证明
定理等
例子：平移变换可以将一个图形移动到另一个位置，例如将直线y=x 平移到y=x+1

《高中数学教案：平面几何与解析几何的关系》

《高中数学教案：平面几何与解析几何的关系》一、平面几何与解析几何的概念及基础平面几何和解析几何是数学中重要的两个分支，它们相互关联且相辅相成。

平面几何是研究在一个二维平面上的点、线、面之间关系的数学分支，主要通过欧氏几何理论进行研究。

而解析几何则是运用代数方法来研究空间中点和坐标之间关系的分支，其发展受到笛卡尔坐标系的推动。

1.1 平面几何基础平面几何涉及到直线、角度、圆等概念以及它们之间的关系。

直线可以通过两点确定，在平面上可延伸至无限远；角度由两条射线共同确定，并以弧度或度数表示；圆则由一个确定的中心和固定半径来定义。

此外，还有如三角形、四边形等多边形的性质和计算，这些都是平面几何基础。

1.2 解析几何基础解析几何引入了坐标系统，通常使用笛卡尔坐标系。

在二维情况下，我们将平面上每个点都用一对有序实数(x, y)表示；在三维情况下，我们使用(x, y, z)来表示空间中的点。

解析几何通过坐标系统，将几何问题转化为代数问题，并可以通过代数方法求解。

二、平面几何与解析几何的关系平面几何和解析几何之间存在着紧密的联系和相互依赖。

它们的关系主要体现在以下几个方面：2.1 平面几何与解析几何的交融平面上的点可以看作是(x, y)这样一个有序实数对，这个点也同时具备了两者的性质。

例如，我们想要研究平面上两条直线是否相交，可以使用解析几何中的代数方法计算这两条直线的方程，并通过比较方程得到结论。

2.2 解析法描述平面图形与变换利用解析方法可以更加精确地描述平面图形以及各种变换。

例如，在平面上进行旋转、平移、缩放等操作时，常常借助于坐标系上点位置的变化来描述变换过程。

2.3 平面曲线与函数关系许多平面曲线都可以用函数方程来表达，并借助于解析方法进行分析。

例如，圆可以用函数方程表示为x²+y²=r²，通过解析计算可以得到圆的半径、面积、周长等性质。

三、平面几何与解析几何教学设计为了帮助高中生更好地理解和应用平面几何与解析几何的关系，下面给出一个针对这一主题的教案设计：教案名称：探究平面几何与解析几何的联系教学目标：1. 理解平面几何和解析几何的基本概念；2. 掌握平面上点坐标与图形性质之间的关系；3. 运用代数方法分析引入坐标系统的问题。

解析几何全册课件

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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
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叫做空间向量的基底
这时
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线性表示的
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取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
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关的向量叫做线性无关
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对于
定义
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高中新课程“数学史选讲”应讲些什么——以平面解析几何产生为例

Ｙ）的对应关系．
（）用坐标法，出用曲线表示方程的思想：２利提考虑二元方程，）＝０的性质，元前４世纪中叶古希腊数学家阿波罗尼奥斯全面论述圆锥曲线性质时采用过一种 “ 标 ”，坐以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标．
一
，
的前驱，他在《论形态幅度》这部著作中借用 “ 经度 ”、纬度 ”这两个地理学术语来描述他的图线， “ 相当于横坐标与纵坐标．他的思想已接触到在直角坐标系中用曲线表示函数的图像，他的中心思想是用图形来表示一个变量的值，这个量依赖于另一个量，这可以说是函数概念及函数图像法的萌芽．１６世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的想法，给解析几何的创立很大启发．１７世纪初，开普勒发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，出了行星运动三大定律，提伽利略提出各种抛射体的运动轨迹是抛物线，些都要求数学从这运动变化的观点研究问题，引起人们对圆锥曲线并的兴趣，客观上促进了解析几何的建立．从解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿与费马，他们工作的出发点：，同但却
殊途同归．２笛卡儿与平面解析几何笛卡儿（５６—１５）是法国杰出的哲学家、１９６０物
１平面解析几何的基本思想及重要前驱

《高中数学教案：平面几何与解析几何的关系》

《高中数学教案：平面几何与解析几何的关系》平面几何和解析几何是高中数学中重要的两个分支，它们在数学教学中相互联系、相互渗透。

平面几何是大家熟悉的几何学，研究点、直线、圆等几何元素之间的关系以及形状和空间的性质。

而解析几何则是在坐标系的基础上，利用代数和分析方法研究几何问题。

本教案旨在探讨平面几何与解析几何的关系，帮助学生深入理解平面几何的基础，并为进一步学习解析几何打下坚实的基础。

一、平面几何的基础知识回顾1.1 点、直线、圆的定义与性质点是平面几何中最基本的元素，它没有长度、面积和体积，只有位置。

直线是由无数个点连成的，它没有宽度和厚度，在平面上是最短的路径。

圆是平面内一条特殊的曲线，由与一个固定点的距离恒定的所有点组成，这个固定点叫做圆心。

1.2 平行线、垂直线和角的概念平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。

垂直线是与平面上的另一条线交成直角的线。

角是由两条交叉的线段形成的，可以用来度量两条线段之间的夹角。

二、解析几何的基本概念介绍2.1 直角坐标系直角坐标系是解析几何的基础，由两条相互垂直的坐标轴构成，通常用x轴和y轴表示。

2.2 坐标的表示和性质在直角坐标系中，每个点都可以通过它在x轴和y轴上的坐标来表示，坐标用有序数对(x, y)表示。

其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

2.3 解析几何中的直线和圆的表示直线可以用线性方程来表示，通常形式是y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是y轴截距。

圆可以用二次方程来表示，通常形式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。

三、平面几何与解析几何的关系3.1 平面几何问题的解析表示在解析几何中，我们可以用坐标系来表示平面几何中的问题。

例如，如果要求两条直线的交点，我们可以将其表示为两个方程组的解。

3.2 解析几何的几何意义解析几何可以将几何问题转化为代数问题，通过解方程组来求解几何问题。

空间解析几何中的直线与平面

空间解析几何中的直线与平面在空间解析几何中，直线和平面是两个重要的几何概念，它们在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。

本文将对空间解析几何中的直线与平面进行分析和探讨。

一、直线的解析表示与性质直线是由无限多个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。

直线可以通过两个不同的点来确定，也可以通过一个点和一个方向向量来确定。

直线的解析表示通常使用参数方程或者对称式方程。

参数方程的形式为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量，t是参数。

通过改变参数t的取值可以得到直线上的所有点。

直线的性质包括长度、方向、倾斜角等。

直线的长度可以通过两点之间的距离来计算，方向可以通过方向向量来描述，倾斜角可以通过方向向量与坐标轴的夹角来计算。

二、平面的解析表示与性质平面是由无限多个点组成的二维几何图形，它有无限多个方向。

平面可以通过三个不共线的点来确定，也可以通过一个点和两个不平行的向量来确定。

平面的解析表示通常使用一般式方程或者点法式方程。

一般式方程的形式为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。

点法式方程的形式为：r · n = d其中r是平面上的一点的位置矢量，n是平面的法向量，d是一个常数。

通过这两种方程形式可以确定平面上的所有点。

平面的性质包括法向量、倾斜角、与其他平面或直线的交点等。

平面的法向量可以通过一般式方程的系数来确定，倾斜角可以通过法向量与坐标轴的夹角来计算，与其他平面或直线的交点可以通过方程组来求解。

三、直线与平面的关系直线与平面可以相交、平行或者重合。

当直线与平面相交时，它们的交点可以通过求解方程组来确定。

当直线与平面平行时，它们的方向向量和法向量平行。

当直线包含在平面内时，它们的方向向量和法向量垂直。

直线与平面的关系可以通过向量的内积来判断。

空间解析几何中的直线与平面

空间解析几何中的直线与平面在空间解析几何中，直线和平面是两个基本的几何概念。

直线是无限延伸的一维几何体，而平面是无限延伸的二维几何体。

本文将从几何关系、方程和性质等方面介绍空间解析几何中的直线与平面。

一、直线的几何关系在三维空间中，两个不平行的直线可以有三种几何关系：相交、平行和异面，这与二维空间中直线的关系类似。

当两直线相交时，它们的交点确定了一个平面，这个平面同时包含了两个直线。

当两直线平行时，它们在无穷远处相交，但不在有限距离内相交。

而两直线异面，表示两个平面不重合。

二、平面的方程在空间解析几何中，我们可以用多种方式来表示一个平面的方程，常见的有点法式和一般式。

1. 点法式点法式是平面方程最常用的表示方法，它通过一个平面上的一点和垂直于平面的法向量来确定平面。

设平面上的一点为P(x₁, y₁, z₁)，法向量为n(a, b, c)，则点法式表示的平面方程为ax + by + cz = d。

其中d为平面与原点O的距离，可以通过将O的坐标代入方程得到。

2. 一般式一般式是通过平面上的三个点来表示平面方程，可以用于确定一个平面。

设平面上的三个点分别为A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)，则一般式表示的平面方程为```[x - x₁ y - y₁ z - z₁][x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁] = 0[x₃ - x₁ y₃ - y₁ z₃ - z₁]```其中方程中的[x, y, z]表示平面上的任意一点。

三、直线与平面的性质在空间解析几何中，直线与平面之间有一些重要的性质。

1. 直线垂直于平面当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，我们称该直线垂直于平面。

根据向量的垂直性质，直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，即a₁x + b₁y + c₁z = 0。

这个方程可以表示直线的方向向量与平面的法向量的垂直关系。

2. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有三种：直线在平面上、直线与平面相交和直线与平面平行。

平面解析几何专题讲座名师课件

整理得 (k 2 1)x1x2 (k c)( x1 x2 ) c2 1 0. ……③ 把②式及 c 6 代入③式化简得
2
5k 2 2 6k 6 0.
解得k 6 6 或k 6 6 (2, 2)(舍去)
5
5
可知 k 6 6 使得以线段AB为直径的圆 5
的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点P在双曲线的
右支上，且| PF1 | 4 | PF2 | ,则此双曲线的离
心率e的最大值为：
（）
A． 4
3
B． 5 3
C． 2
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例：设P是双曲线
x2 a2

y2 9
1 上一点，双曲线
的一条渐近线方程为3x 2y 0, F1 、F2 分
别是双曲线的左、右焦点，若| 则| PF2 |
2
坐标为
(1, 1) 22
，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2） | NP | 的最小值与最大值.
例：设双曲线C x2 y 2 1(a 0)与直线l : x y ：1
a2
相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且 PA 5 PB.
(k 2 2)x2 2kx 2 0. ……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
k 2 2 0,

(2k ) 2

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[课件]解析几何中的平面几何PPT

2 2

F1
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点
o
x
坐标方程
曲线
解析几何：建立坐标系，点用坐标表示，曲线用方程表示，通过坐标，方程之间的代数运算解决曲线中的几何问题.
心脏线
Apollonius圆
克莱线
双叶线
对数螺线
历史地位
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。人们把解析几何的创建称为是近代数学的第一个里程碑。
欧几里德（约公元前330年—前275年）古希腊数学家，被称为“几何之父”。欧几里德几何：把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系。
阿波罗尼采用欧几里德几何方法即用演绎、推理的方法研究圆锥曲线
几何法
圆锥曲线
在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13 个世纪里，除了古希腊数学家帕普斯（Pappus 约 4 世纪）在《数学汇编》证明：与定点及定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线外，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展。
皮埃尔· 德· 费马，（1601年8月17日 —1665年1月12日）法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。
在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。

平面几何与解析几何

一. 平面几何与解析几何平面几何(plane geometry)是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几里得(Euclid)编辑成书，所以又叫做欧几里得几何(Euclidean geometry)，只准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平面几何象古希腊的哲学(爱智之学)，是心想而没有物质的；实用的几何则是近似的. 平面几何是数学的一支，研究“如果甲则乙”.例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem)或等腰定理：如果[三角形两边相等]则[对角相等].图 1--1故CABBAC∆≅∆，)(SAS从而ACDABC∠=∠. （ABAC,的对角）证毕.已证的结果叫定理，可以留作后用，例如SAS（边角边）是定理，在讨论上例前已证.再举一例：（毕氏定理(Pythagorean theorem)的逆(converse)定理）给出ABC∆中，三边ABACBC,,的长依惯例分别用cba,,来表示.图 1--2已知：在ABC∆中，ACAB=求证：CB∠=∠（问：为什么要“求”？答：寻求而非乞求. ）证明：考虑BAC∆及CAB∆：ACAB=，,ABAC=CABBAC∠=∠.（已知）已知222b a c +=. 求证：090=∠C证明：（可用余弦定理证或）作'''C B A ∆,使090=∠C ,≡'b AC C A =''， BC C B a =≡'''. 以'c 表示','B A . 因 2'2'2'b a c += （毕氏定理）及222b a c +=，（已知） c c ='，（取代）从而ABC ∆='''C B A ∆. )(SSS 所以=∠C 'C ∠，（对应角）即090=∠C . (取代）证毕.毕氏为希腊人毕达哥拉斯（Pythagoras)的简译，他生于公元前五百多年，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction ），用它证明了毕氏定理，由此发现了无理数（irrational number ）2：设上面的045=∠B ，且a =一单位（单位可任选），则2为a c. 暂设2为有理数（rational number ），即 nm=2, (1)其中n m ,为正整数.我们可以消去n m ,的公因子，即假设n m ,互质（relatively prime ）：没有大于1的（正整数）公因子. 由（1）得222m n =. (2) 两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于1的因子；不计乘法的顺序，这种分解至质数积的式子是唯一的，从而由（2）知m 含因子2：k m 2=，图 1--3上面提到正整数分解为质数积的结果叫做“唯一析因定理”（unique factorization theorem ），它与物理、化学里将物分解为分子、原子……类似.我们也可倒过来用质数积造数，例如用13,11,7造100113117=⨯⨯；这样，我们便知道将一个任意的三位数xyz 重复写，所得的六位数xyzxyz 能被13,11,7整除，而且商是xyz ！无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？[古印度人也会证毕氏定理:用图 1--2作四边形AB ’C ’C, B, A ’ 在 CC ’ 內同一点. 梯形AB ’C ’C 的面积为 (b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算,得 ba/2+cc/2+ab/2. 故222b a c +=.]叫直角坐标(rectangular coordinates), 图 1--4一方面将平面几何化简为“代数”或解析几何（analytic geometry ）,另一方面，三维、四维、…、n 维空间的观念也自然地接踵而来：其中k 为正整数.这样(2) 可写成222k n =.再作n 的质数因子分解，知n 也可被2整除，与n m ,互质的假设矛盾.回顾，除（1）外，步步有理，故（1）不成立，即2不是有理数. 证毕.当他人沉溺于几何国中，笛卡儿（Rene ，Descartes ，1596--1650）用两条轴来决定一点),(y x ,x 轴垂直于y 轴,n IR ≡n n a a a a a a ,......,,:),......,,{(2121是实数}n IR 表示n 维向量空间（n-dimensional vector space ）. 在n IR 中引入社会结构数积（scalar multiplication ）、点加（pointwise addition ）及点积（dot product ）:λ),......,,(),......,,(2121n n a a a a a a λλλ=,+),......,,(21n a a a =),......,,(21n b b b ),......,,(221n n b a b a b a +++, ⋅),......,,(21n a a a =),......,,(21n b b b n n b a b a b a +++.. (2211)其中λ,n a a a ,......,,21,n b b b ,......,,21都是实数,叫数量、纯量或标量（scalar ），n a a a ,......,,21分别是点（point ）或向量（vector ）),......,,(21n a a a 的第一、第二、…、图 1--5上面),(y x 可当作是一点P ，可当作是))0,0((=O ，也可以当作是平行移动所得的向量，叫做“自由”向量.这样当0>λ时，λ),(21a a 是向量),(21a a 的λ倍.注意+=),(21a a ),(21b b 也是物理中力向量),(21a a ,),(21b b 的和.例：求),(21c c R =的坐标,其中t =,=P ),(21a a ，=Q ),(21b b ，10<<t .第n 坐标.回到2=n ， λ),(),(2121a a a a λλ= ,+),(21a a =),(21b b ),(2211b a b a ++, ⋅),(21a a =),(21b b 2211b a b a +图 1--6解：从点P 作线平行于x 轴，交从Q R ,到x 轴的垂线于T S ,, 则PQS PRT ∆∆~，（相似）从而图 1--7或直接用向量算：+=，即),(),[(),(),(21212121a a b b s a a c c -+=. )1(t s -= （3）解毕.例：求两点)3,4(),2,3(-连线的中点. 解：先推公式（4），再取21=t ，得中点的公式： s QTRSPT PS ==，（对应边比）即,22221111s a b a c a b a c =--=-- )1(t s -= 从而)(1111a b s a c -+=, )(2222a b s a c -+=),(21),(221121b a b a c c ++=，（向量和的一半）（4）即)21,27()32,43(21),(21-=-+=c c . 解毕.例：证明平行四边形两对角线相互平分.证：不妨设)0,0(=A ,),(21a a B =,),(21b b D =,则),(2211b a b a C ++=. 由（4）知AC 的中点是图1--8习题：在ABC ∆中，连中线AD 及在AD 上取一点G ，使GD AG 2=. 证明)(31OC OB OA OG ++=,从而证明ABC ∆三中线相交于G .图1--9=--11x x y y 1212x x y y m --=. （6）)0,0(212211++++b a b a ),(212211b a b a ++=， BD 的中点是),(212211b a b a ++ 故BD AC ,相互平分. 证毕.给出直线(straight line )L 上的两个点),(),,(2211y x y x , 得斜率(slope ) 1212x x y y m --=（5）故L 上的任意点),(y x 的方程是图 1--10图 1--11故圆（circle ）的方程式为2121)()(y y x x -+-r =，（8）其中),(11y x 为圆心，r 为半径. 上式可改写成：22121)()(r y y x x =-+-. （9）例：求圆心为)2,1(，半径为3的圆的方程. 解：由（9）得2223)2()1(=-+-y x 展开，得+2x 04422=---y x y . 解毕.例：求经过两点)4,2(),1,3(-的直线的方程式.解：由（5）及（6）得 =--31x y 3214---. 化简，得或 01053=-+y x .解毕. 由毕氏定理知两点),(),,(2211y x y x 的距离（distance ）是d ： =d 212212)()(y y x x -+- （7）在三维、四维、……、n 维空间里也可以如上玩耍.笛卡儿因发明解析几何成为现代数学的创始人. 他又是现代哲学的创始人，他的名言是：我思故我在. 想是在思考及怀疑一切、几乎失落之际迸出来的，强调怀疑与独立思考的重要性.快五十岁时他在荷兰，瑞典女皇邀他；我们不知笛卡儿瞬间的感觉，只知女皇派军舰接他上路.以后在黎明前，他为女皇讲习，如渊明为菁青.只叹当时北风凛冽如湘南的柏林，笛卡儿终于不支，患上肺炎，于次年病逝，何其浪漫！ n 维空间结果拾穗：给出向量c b a ,,，其中c b b a ⊥⊥,，即c b b a ⋅==⋅0，则,)(c b a ⊥±其中⊥读作垂直（orthogonal ）于，±表示+或-.证明：000)(=±=⋅±⋅=⋅±c b c a c b a ，即图 1- 12注意:n 维空间不一定要有一般的几何意义，例如给出四维空间的一个点如在相对论里 ,,(b a ),,d c ),,(c b a 可以代表一般空间的点，d 代表时间；如在统计学里 ,,(b a ,c )d 也可以代表一个人的(高度, 重量，性别，年龄).c b a ⊥±)(. 证毕. 特例：（立体几何定理）如果PD a ≡垂直平面S ，且S 里的DE b ≡垂直平面S 里的OE c ≡,则PE 垂直OE .。