2.1 随机变量及其分布

解 用X表示出现废品的情况, 则它只能取0或1两个 值. ―X=0‖表示“产品为合格”, ―X=1 ‖ 表示“产品 为废品”, 则概率分布表如下
X
0
1
P
0.95
0.05
即P(X =0)=0.95, P(X =1)=0.05, 或可写为： P(X =k)=0.05k0.951-k (k=0,1)
11
两点分布
在讨论随机试验结果时，总可以用一个变量的取 值来表示.这种用来表示随机事件的变量，由于他 的取值与某随机事件对应，能否取到某值是随机 会而定的，我们称之为随机变量.
随机变量是研究随机现象的一个重要工具，也是 概率论的一个基本概念.
随机变量
定义2.1.1(随机变量)：假如一个变量在数轴上的 取值依赖于随机现象的基本结果，则称此变量为 随机变量，常用大写字母X、Y、Z等表示,其取值 用小写x、y、z等表示.
26
注意
由连续型随机变量定义可知： 对任何实数c，P(X=c)=0.即：连续型随机变量取任 何一个数值的概率都为零。
8
课堂练习
检查下面的数列是否能组成一个概率分布
(1)p1(x)
x
2
2
,
x 1,2,3,4
x2 (2) p2 (x) 25 , x 0,1,2,3,4
(3) p3(x) 2 x , x 1,2, , n,
9
例题与解答
袋中有5张卡片，其中标有数字2的有1张，标有数 字1及3的卡片各有两张。从袋中一次随机抽取3张， 用X表示取到的3张卡片上的最大数字。求X的分布。
例1: 在掷一枚骰子试验中，试用随机变量表示 (1)―掷出点数恰好为1”;(2)―掷出点数为偶数”; (3)―掷出的点数不小于4”这些随机事件.
解：设X为掷出骰子的点数，易知X的一切可能取 值为1, 2, 3, 4, 5和6(每次抛掷前不能预知究竟会出 现几点,故它取值具有随机性),则X是一随机变量. (1) {X=1}可表示“掷出点数恰好为1‖的随机事件. (2) {X=2k, k=1,2,3}可表示“掷出的点数为偶数”. (3) {X4}可表示“掷出的点数不小于4".
为 pqi1 p p 1
i1
1 q p
19
几何分布描述的典型问题
假定一个试验成功的概率概率为p(0<p<1)，不断重
复试验(p始终不变)，直到首次成功为止，用随机变
量X表示试验的次数。则X的分布就是几何分布：
P(X =i)=p(1-p)i-1
(i=1,2,…)。
上述问题就是几何分布的经典模式。根据实际情况， 可以对试验成功做各种合理解释，如：“投篮命 中”、“抽检合格”、“碰上好运”等等，只要满 足模式的条件，便可套用它解决问题了。
25
均匀分布
f(x)
a<X从均匀分布;记作 X~U(a, b) 。
0a b x
•区间[a由,b前]上例a任,可何b知]一上，个均子匀区分间布取随值机的变概量率的，概与率意该义子是区，间长它度在成取正比值
，与子区间在[a,b]中位置无关， 比例系数恰好是1/(b-a)。
(4)设一台电视机的使用寿命为T小时，则T的一切可能取值 为[0,+)中的任意实数，显然T是一个随机变量;{ T >10000} 即表示“该电视机的使用寿命超过10000小时”的随机事件.
随机变量的分类
按随机变量的取值情况，可将其分为两类: (1) 离散型随机变量：只可能取有限个或无限可列
个值。 (2) 非离散型随机变量：可能取任何实数，情况较
U
A
.B
P ( A) A的 面 积 P(B) B的面积 0
U的面积
U的面积
区域A是有无数点组成的，能否用点
的概率来度量事件A的概率？不能！
22
连续型随机变量与概率密度
定义2.1.3：对于随机变量X，若存在非负可积函数 f(x)，(-<x<+)，使对任意实数a,b (a<b)都有
则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函 数，简称概率密度或分布密度。简记为X～ f(x)， (-<x<+)。
P(X =i)=p(1-p)i-1
(i=1,2,…)
18
几何分布
上例中，随机变量X的分布为
P(X =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)
这类分布称几何分布,此时也称随机变量服从几何分布。
这是因为：
p(1-p)i-1恰是几何级数 pqi1, (q p 1)的通项
i 1
这种几何级数的级数和,显然
20
例题与解答
例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10 个螺口, 5个卡口, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取 一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺 口灯泡前已取出的卡口灯泡数X的分布.( 几何分布？)
解 “x=0‖表示第一个就取到了螺口灯泡, ―x=1‖ 表示 第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, …因此 P(X=0)=10/15=2/3 P(X=1)=(5/15)(10/14)=5/21
X
0
1
2
3
P
0.1 0.6 0.1 0.2
p
X的概率分布图：
x 15
例题与解答
例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况 解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6
个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概 率分布图如下： (离散型均匀分布特例)
X1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
对连续型随机变量而言，概率 的几何意义是分布密度函数曲线 下方的面积 。
23
概率密度函数的两个性质
连续型的概率非负性和概率完备性表现为 （1）非负性 ：f(x) 0，(- <x< +)；
（2）正则性： f (x)dx＝1.
f(x)
f ( x)dx 1
0
x
24
例题与解答
例6 若X有概率密度 试求f(x)和P{cX d},其中[c,d][a,b]。 解
2.1 随机变量及其分布
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量 三、连续型随机变量 四、随机变量的分布函数
随机变量的概念
通过对随机试验的观察和研究，可以发现有不少 试验结果是直接用数值形式表示的，如骰子的点 数、射击命中次数、灯泡的寿命等;而另外有些试 验结果虽然没有用数值表示,但也可将其与某确定 的数字对应起来，如抛硬币出现的“正面”或“ 反面”现象，可以分别计为“1"和“0"。
P
x
16
例题与解答
例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某 人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张 , 直到中奖为止. 求该人购买次数X的分布.
解 “X =1‖表示第一次购买的奖券中奖, 依题意： P(X =1)=p ―X=2‖表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为 1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由于各期奖券中奖与否 相互独立, 所以： P(X =2)=(1-p)p; ―X=i‖表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, 所以： P(X =i)=(1-p)i-1p 由此，得到X的概率函数为：
复杂。 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量
（它的值域是一个或若干个区间）。 今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。
6
离散型随机变量的概率分布
定义2.1.2：如果随机变量X只能取有限个或可列个可 能值,这些取值依次记为x1, x2,…, xn …，且这些不同 取值的概率是确定的,记pn=P(X =xn) (n=1,2,…);则称X 为离散型随机变量，而这组概率pn称为随机变量X的 概率函数,又称X的概率分布、分布律、分布列。 其中 {X = x1}, {X = x2}, …, {X = xn}, …构成一完备事 件组。因此概率函数具有如下性质:
解： (1)记硬币正面朝上事件为X=1,正面朝下事件为X=0;则 易知X为随机变量;{X=1}即表示 “抛硬币恰好正面向上”.
(2)设抽检出的不合格品数为Y，则Y的一切可取值为0,1,2, ...,n，显然Y是一个随机变量;{Y2}即表示“不合格品不超 过2个”事件.
(3)设某十字路口一分钟内经过的车辆数目为Z，则Z的一切 可取值为: 1,2,...,n, ...，显然Z是一个随机变量;{Z > 1}即表示 “一分钟内经过的车辆数目超过1辆”事件.
解：X只能取2或3两个值.
P( X
2)
1 C3
5
1 10
P( X 3) 1 P( X 2)
P(X
3)
C
1 2
C
2 3
C
2 2
C
1 3
C3 5
9 10
更简单
因此，X的分布列为
X23
P 0.1 0.9
10
例题与解答
例1 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进 行检验, 用随机变量X来描述废品出现的情况. 并写 出X的分布.
解 令“X=k"与产品为"k等品"(k=1,2,3)相对应, ―X=0"与产品为"废品"相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(X=0)=0.1 P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1 P(X=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图:
14
续上页(概率分布表及概率分布图) X的分布律：
{ X=1 }={ B1B2A1，B1B2A2，B1B3A1， B1B3A2，B2B3A1，B1B2A2 }
{ X=2 }={ B1A1A2，B2A1A2，B3A1A2 } 概率值：P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10, P(X=2)=3/10。