浙江2019高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题选用学案(优选.)
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第3讲 数列不等式的证明问题(选用)
高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.
真 题 感 悟
(2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *
).
证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ；
(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；
(3)12n －1≤x n ≤12n －2. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0.
当n ＝1时，x 1＝1＞0.
假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，x k ＞0， 那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0，
因此x n ＞0(n ∈N *
). 所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，
因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *
). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，
x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2
n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1).
记函数f (x )＝x 2
－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln ()
1＋x ＞0(x ＞0)， 函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，
因此x 2
n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *
). (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1，
所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝12n －1. 故x n ≥12n －1. 由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1
x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －12＞0， 所以1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤12n －2.
综上，12n －1≤x n ≤12n －
2(n ∈N *). 考 点 整 合
1.数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
2.反证法
一般地，由证明p q 转向证明：綈q r …t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法.
3.放缩法
放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A
热点一 数学归纳法证明数列不等式
【例1】 (2017·金丽衢联考)设数列{a n }满足：a 1＝a ，a n ＋1＝2a n
a 2n ＋1(a >0且a ≠1，n ∈N *
). (1)证明：当n ≥2时，a n (2)若b ∈(a 2，1)，求证：当整数k ≥（b －a 2）（b ＋1）a 2（1－b ） ＋1时，a k ＋1>b . 证明 (1)由a n ＋1＝2a n a 2 n ＋1知，a n 与a 1的符号相同， 而a 1＝a >0，所以a n >0， 所以a n ＋1＝2 a n ＋1a n ≤1，当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1， 下面用数学归纳法证明： ①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1， a 3a 2＝2a 22＋1 >1，即有a 2 )时，有a k k ＋1＋1＝2a k ＋1＋1a k ＋1 <1， 且a k ＋2 a k ＋1＝2a 2 k ＋1＋1>1，即a k ＋1 综上，对任意n ≥2，均有a n (2)若a k ≥b ，则由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ； 若a k ≥1＋nx ， 而a 2k ＋1 ＋1 ＝a 2·2k －1 （1＋a 22）（1＋a 23）…（1＋a 2k ）>a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋b 2k －1 > a 2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫21＋b k －1 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－b 1＋b k －1≥a 2⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1＋1－b 1＋b （k －1）. 因为k ≥（b －a 2）（b ＋1）a 2（1－b ） ＋1， 所以1－b 1＋b (k －1)＋1≥b －a 2a 2＋1＝b a 2， 所以 a k ＋1>b . 探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出a n >0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ，然后利用数列的递推公式证明即可. 热点二 反证法证明数列不等式 【例2】 (2018·温州调考)已知数列{a n }满足：a n >0，a n ＋1＋1a n <2(n ∈N *). (1)求证：a n ＋2 )； (2)求证：a n >1(n ∈N *).