时间序列趋势模型预测法
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3n 1
2n
(b n 1) 2 2 yt 1 yt a b 1 n 2 n (b 1) 3 y t 2 y t ab b 1
b
n
3 2
yt 2 yt yt 1 yt
ˆ n b
3 2
yt 2 yt yt 1 yt
2 ˆ ( y y ) t t
, m为未知参数的个数
三次抛物线模型：m=4
§4.2 指数曲线模型预测法
指数曲线模型预测法
修正指数曲线模型预测法
一、指数曲线模型
yt ab
１、图形特征
t
10 8 6 4 2 0 -15 -10 -5 0 5 10 15
b>1 0<b<1
（一）模型识别：
§4.3 生长曲线模型预测法
Compertz曲线模型预测法
Logistic 曲线模型预测法
一、Compertz模型
（一）模型识别 １、数值特征
ˆ t ka y
bt
ˆ t ka y
bt
ˆ t lnk bt lna lny
t y k a b
序列的对数的 一阶差分的环
t t t t t t
2 3
3 4
2 2
1
y ty t2 y y ty t2 y
∑t=0时
0 2 t 0
0 4 t
t
1
二次抛物线模型OLS的Excel实现
第四章 趋势曲线模型预测法
主讲人：李丽
第四章 趋势曲线模型预测法
§4.1多项式曲线模型预测法 §4.2 指数曲线模型预测法 §4.3 生长曲线模型预测法
常见的趋势线
y ab
y a bt
直线 指数曲线
t
y a bt ct 2
二次曲线
y a bt ct 2 dt3
2 3 y na b t c t d t t
2 3 4 ty a t b t c t d t t
2 2 3 4 5 t y a t b t c t d t t
三次曲线
2 y na c t t
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a
图形是凸的
k
K+a
t→-∞时，bt→0 ，yt→k
a<0,b>1
(4)k>0,a >0,b>1时
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a
图形是凹的
K+a
t→-∞时，bt→0 ，yt→k
k
a>0,b>1
（二）参数估计：分组法 （三段法、三和法）
将整个数列分为相等的三段，每段求和以估计参数。
设yt有Ｎ=3n项数据，序号从0开始，到3n-1结束
分段求和： 1 y t y t nk a(b b b
二、二次抛物线预测模型
2 ˆ yt a bt ct
（一）模型识别：时间序列的二阶差分接近于常数
（二）参数估计：最小平方法
Q ( y yt )2 ( y a bt ct 2 )2 min
2 y na b t c t t
y
t
na ct 2
t
2 t a y 3 t b ty 3 2 t c t y
a n b t c t2 a n b 0 c t2
t 2 t 3 t 4 t
2 t 3 t 4 t 5 t
3 t a y 4 t b ty 2 5 t t c y 3 6 t t d y
(b n 1) 2 代入 2 yt 1 yt a b 1
bn 1 代入 1 y t nk a b 1
ˆ 1 b ˆ ( 2 yt 1 yt ) n a ˆ 1) 2 (b
n 1 b 1 ˆ ˆ k [ 1 y t a ] n b 1
三次抛物线模型OLS的Excel实现
• 方法1：按步骤计算t、t2、t4、 t6 、y、ty、 t2y、 t3y的和，代入方程组，求解a,b,c,d • 方法2：运用Excel数据分析模块 • 方法3：运用Excel数组公式
（三）预测的置信区间
ˆ t /2 SE y
nm t分布的自由度也是n m 其中 : SE
2
y
t
ˆ b
n tyt
t
2
2
对 a和 b求反对数， 即得到a, b
二、修正指数曲线
yt k ab
（一）模型识别
１、数量特征
t
yt a(b 1)bt 1
y t b y t 1
序列的一阶差分的环比接近于常数
２、图形特征
(1)k>0,a<0,0<b<1时
t 1
y t lny t a (b 1)b
yt b yt -1
比接近于常数
2.图形特征
t y t ka lnab lnb
bt
yt ka b t lna(lnb) 2 (bt ln a 1)
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
ห้องสมุดไป่ตู้
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a t→∞时，bt→0 ，yt→k
图形是凹的
K+a
k a>0,0<b<1
即：yt随t增加而减少，递减速度先快后慢，最后接近于k
(3)k>0,a<0,b>1时
, m为未知参数的个数
二次抛物线模型：m=3
三、三次抛物线预测模型
ˆ t a bt ct dt y
2 3
y a bt ct 2 dt3
（一）模型识别：时间序列的三阶差分接近于常数 （二）参数估计：最小平方法
Q ( y yt )2 ( y a bt ct 2 dt 3 )2 min
y k ab
三次曲线 修正指数曲线
t
y ka
龚柏兹曲线
bt
§4.1多项式曲线模型预测法
• 直线模型
• 二次抛物线模型 • 三次抛物线模型
一、线性模型
ˆ t a bt y
（一）模型识别：序列的一阶差分为常数
（二）参数估计：最小平方法
2 2 ˆ Q ( yt yt ) ( yt a bt ) min
ˆ a ˆ b
y t
t
n tyt
2
3696 404 9 2092 34.87 60
ˆ t 404 34.87t 2.模型: y
3.预测 (1)点估计 ˆ 10 404 34.87 5 578.35 y
(2)区间估计 ˆ t /2 SE y
0 3636
ty
t
bt 2 d t 4
t
2
yt at 2 ct 4
t
3 3 4 5 6 t y a t b t c t d t t
t y
3
bt 4 d t 6
用矩阵表示上述方程组：
n t t2 t3
∑t=0时
a n 0 b c t2 d 0
0 2 t 0 4 t
t
0
2
4 t 0
0 4 t 0 6 t
1
y ty t2 y t3 y
（三）预测的置信区间
1 (t0 t ) 2 ˆ t /2 SE 1 y n (t t ) 2
ˆ t /2 SE y
, m为未知参数的个数
nm t分布的自由度也是n m
直线模型：m=2
其中 : SE
2 ˆ ( y y ) t t
直线模型最小平方法计算表
0 1
t 0
n 1
n 1
bn 1 ) nk a b 1
n 1
2
y t y t nk ab (b b b
n 0 1
t n
2n 1
bn 1 ) nk ab b 1
n
bn 1 y t nk ab 3 y t t b 1 2n
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a t→∞时，bt→0 ，yt→k
图形是凸的
k
K+a
a<0,0<b<1
即：yt随t增加而增加，增长速度先快后慢，最后接近于k
(2)k>0,a>0,0<b<1时
n tyt t y ˆ b n t 2 ( t ) 2 ˆ a
t只是个序号 令∑t=0
ˆ a ˆ b
y
t
y
n
t
b t n
n tyt
2 t
怎样令∑t=0？
• 如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，… • 如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…
• 方法1：按步骤计算t、t2、t4、y、ty、t2y的 和，代入方程组，求解a,b,c • 方法2：运用Excel数据分析模块 • 方法3：运用Excel数组公式
（三）预测的置信区间
ˆ t /2 SE y
nm t分布的自由度也是n m 其中 : SE
2 ˆ ( y y ) t t
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
t
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1.参数估计
yt
265 297 333 370 405 443 474 508 541
tyt
-1060 -891 -666 -370 0 443 948 1524 2164 2092
t2
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
tyt at bt 2 ct 3
2 2 3 4 t y a t b t c t t
2 ty b t t
2 2 4 t y a t c t t
用矩阵表示上述方程组：
n t t2
2 t 3 t
２、数据特征
（１）序列的环比发展速度大体相等 （２）对数的一阶差分近似为一个常数
（二）参数估计：最小平方法
lgy t lga tlgb
y a bt
y na b t ty a t b t y na ty b t
ˆ a
—
其中 : SE ˆt )2 ( yt y n2 32.934 2.1691 92
0.05
t /2 (n 2) t0.025 (7) 2.365
即： 578.35 2.365 2.1691
线性模型OLS的Excel实现
• 方法1：按步骤计算t、y、ty的和，代入方 程组，求解a,b • 方法2：运用Excel函数求解a,b • 方法3：运用Excel数据分析模块 • 方法4：运用Excel数组公式
ˆt y
264.53 299.40 334.27 369.13 404.00 438.87 473.73 508.60 543.47 3636.00
ˆt yt y
0.47 -2.40 -1.27 0.87 1.00 4.13 0.27 -0.60 -2.47
ˆ t )2 (y t y
0.22 5.76 1.60 0.75 1.00 17.08 0.07 0.36 6.08 32.93
2n
(b n 1) 2 2 yt 1 yt a b 1 n 2 n (b 1) 3 y t 2 y t ab b 1
b
n
3 2
yt 2 yt yt 1 yt
ˆ n b
3 2
yt 2 yt yt 1 yt
2 ˆ ( y y ) t t
, m为未知参数的个数
三次抛物线模型：m=4
§4.2 指数曲线模型预测法
指数曲线模型预测法
修正指数曲线模型预测法
一、指数曲线模型
yt ab
１、图形特征
t
10 8 6 4 2 0 -15 -10 -5 0 5 10 15
b>1 0<b<1
（一）模型识别：
§4.3 生长曲线模型预测法
Compertz曲线模型预测法
Logistic 曲线模型预测法
一、Compertz模型
（一）模型识别 １、数值特征
ˆ t ka y
bt
ˆ t ka y
bt
ˆ t lnk bt lna lny
t y k a b
序列的对数的 一阶差分的环
t t t t t t
2 3
3 4
2 2
1
y ty t2 y y ty t2 y
∑t=0时
0 2 t 0
0 4 t
t
1
二次抛物线模型OLS的Excel实现
第四章 趋势曲线模型预测法
主讲人：李丽
第四章 趋势曲线模型预测法
§4.1多项式曲线模型预测法 §4.2 指数曲线模型预测法 §4.3 生长曲线模型预测法
常见的趋势线
y ab
y a bt
直线 指数曲线
t
y a bt ct 2
二次曲线
y a bt ct 2 dt3
2 3 y na b t c t d t t
2 3 4 ty a t b t c t d t t
2 2 3 4 5 t y a t b t c t d t t
三次曲线
2 y na c t t
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a
图形是凸的
k
K+a
t→-∞时，bt→0 ，yt→k
a<0,b>1
(4)k>0,a >0,b>1时
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a
图形是凹的
K+a
t→-∞时，bt→0 ，yt→k
k
a>0,b>1
（二）参数估计：分组法 （三段法、三和法）
将整个数列分为相等的三段，每段求和以估计参数。
设yt有Ｎ=3n项数据，序号从0开始，到3n-1结束
分段求和： 1 y t y t nk a(b b b
二、二次抛物线预测模型
2 ˆ yt a bt ct
（一）模型识别：时间序列的二阶差分接近于常数
（二）参数估计：最小平方法
Q ( y yt )2 ( y a bt ct 2 )2 min
2 y na b t c t t
y
t
na ct 2
t
2 t a y 3 t b ty 3 2 t c t y
a n b t c t2 a n b 0 c t2
t 2 t 3 t 4 t
2 t 3 t 4 t 5 t
3 t a y 4 t b ty 2 5 t t c y 3 6 t t d y
(b n 1) 2 代入 2 yt 1 yt a b 1
bn 1 代入 1 y t nk a b 1
ˆ 1 b ˆ ( 2 yt 1 yt ) n a ˆ 1) 2 (b
n 1 b 1 ˆ ˆ k [ 1 y t a ] n b 1
三次抛物线模型OLS的Excel实现
• 方法1：按步骤计算t、t2、t4、 t6 、y、ty、 t2y、 t3y的和，代入方程组，求解a,b,c,d • 方法2：运用Excel数据分析模块 • 方法3：运用Excel数组公式
（三）预测的置信区间
ˆ t /2 SE y
nm t分布的自由度也是n m 其中 : SE
2
y
t
ˆ b
n tyt
t
2
2
对 a和 b求反对数， 即得到a, b
二、修正指数曲线
yt k ab
（一）模型识别
１、数量特征
t
yt a(b 1)bt 1
y t b y t 1
序列的一阶差分的环比接近于常数
２、图形特征
(1)k>0,a<0,0<b<1时
t 1
y t lny t a (b 1)b
yt b yt -1
比接近于常数
2.图形特征
t y t ka lnab lnb
bt
yt ka b t lna(lnb) 2 (bt ln a 1)
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
ห้องสมุดไป่ตู้
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a t→∞时，bt→0 ，yt→k
图形是凹的
K+a
k a>0,0<b<1
即：yt随t增加而减少，递减速度先快后慢，最后接近于k
(3)k>0,a<0,b>1时
, m为未知参数的个数
二次抛物线模型：m=3
三、三次抛物线预测模型
ˆ t a bt ct dt y
2 3
y a bt ct 2 dt3
（一）模型识别：时间序列的三阶差分接近于常数 （二）参数估计：最小平方法
Q ( y yt )2 ( y a bt ct 2 dt 3 )2 min
y k ab
三次曲线 修正指数曲线
t
y ka
龚柏兹曲线
bt
§4.1多项式曲线模型预测法
• 直线模型
• 二次抛物线模型 • 三次抛物线模型
一、线性模型
ˆ t a bt y
（一）模型识别：序列的一阶差分为常数
（二）参数估计：最小平方法
2 2 ˆ Q ( yt yt ) ( yt a bt ) min
ˆ a ˆ b
y t
t
n tyt
2
3696 404 9 2092 34.87 60
ˆ t 404 34.87t 2.模型: y
3.预测 (1)点估计 ˆ 10 404 34.87 5 578.35 y
(2)区间估计 ˆ t /2 SE y
0 3636
ty
t
bt 2 d t 4
t
2
yt at 2 ct 4
t
3 3 4 5 6 t y a t b t c t d t t
t y
3
bt 4 d t 6
用矩阵表示上述方程组：
n t t2 t3
∑t=0时
a n 0 b c t2 d 0
0 2 t 0 4 t
t
0
2
4 t 0
0 4 t 0 6 t
1
y ty t2 y t3 y
（三）预测的置信区间
1 (t0 t ) 2 ˆ t /2 SE 1 y n (t t ) 2
ˆ t /2 SE y
, m为未知参数的个数
nm t分布的自由度也是n m
直线模型：m=2
其中 : SE
2 ˆ ( y y ) t t
直线模型最小平方法计算表
0 1
t 0
n 1
n 1
bn 1 ) nk a b 1
n 1
2
y t y t nk ab (b b b
n 0 1
t n
2n 1
bn 1 ) nk ab b 1
n
bn 1 y t nk ab 3 y t t b 1 2n
y t k abt y t (alnb)b t y t a (lnb) 2 b t
y t 0, y t 0
t=0时，yt=k+a t→∞时，bt→0 ，yt→k
图形是凸的
k
K+a
a<0,0<b<1
即：yt随t增加而增加，增长速度先快后慢，最后接近于k
(2)k>0,a>0,0<b<1时
n tyt t y ˆ b n t 2 ( t ) 2 ˆ a
t只是个序号 令∑t=0
ˆ a ˆ b
y
t
y
n
t
b t n
n tyt
2 t
怎样令∑t=0？
• 如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，… • 如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…
• 方法1：按步骤计算t、t2、t4、y、ty、t2y的 和，代入方程组，求解a,b,c • 方法2：运用Excel数据分析模块 • 方法3：运用Excel数组公式
（三）预测的置信区间
ˆ t /2 SE y
nm t分布的自由度也是n m 其中 : SE
2 ˆ ( y y ) t t
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
t
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1.参数估计
yt
265 297 333 370 405 443 474 508 541
tyt
-1060 -891 -666 -370 0 443 948 1524 2164 2092
t2
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
tyt at bt 2 ct 3
2 2 3 4 t y a t b t c t t
2 ty b t t
2 2 4 t y a t c t t
用矩阵表示上述方程组：
n t t2
2 t 3 t
２、数据特征
（１）序列的环比发展速度大体相等 （２）对数的一阶差分近似为一个常数
（二）参数估计：最小平方法
lgy t lga tlgb
y a bt
y na b t ty a t b t y na ty b t
ˆ a
—
其中 : SE ˆt )2 ( yt y n2 32.934 2.1691 92
0.05
t /2 (n 2) t0.025 (7) 2.365
即： 578.35 2.365 2.1691
线性模型OLS的Excel实现
• 方法1：按步骤计算t、y、ty的和，代入方 程组，求解a,b • 方法2：运用Excel函数求解a,b • 方法3：运用Excel数据分析模块 • 方法4：运用Excel数组公式
ˆt y
264.53 299.40 334.27 369.13 404.00 438.87 473.73 508.60 543.47 3636.00
ˆt yt y
0.47 -2.40 -1.27 0.87 1.00 4.13 0.27 -0.60 -2.47
ˆ t )2 (y t y
0.22 5.76 1.60 0.75 1.00 17.08 0.07 0.36 6.08 32.93