朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

合集下载

北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案

北京市朝阳区高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类）三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--，又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 8 7 5 6 9826 甲乙5 57 2 58 5随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB=A ，所以AC ⊥平面PAB ．又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ，则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．又因为13OG OA OB =+（），所以(,,0)33a b G ．于是(,,)33a b DG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ．因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ，所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点，所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点，所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ．又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =．又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ，由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18．解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+．令()0f x '=，得1ex =．当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立．由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立．设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．B因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =．当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=．因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++．因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥．（1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-．当1m =-时，由②不合题意舍去.由①②知，35m =时，k =．（2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去，即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +，因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+，则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>．故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >．所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大．解法2：依题意lglg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>．因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >．于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >，所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+，所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1）当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<．又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<．所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =．（3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．t ．………………13分综上所述4,10,11,12,...20,21。

【精选高中试题】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos 2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.b dacbD C证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三高点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21B表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +)4x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-= 当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=. 由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())4f B B π=+，则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为A DAC D =，所以BC ⊥平面AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩)ACBB 1C 1A 1DE 1再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+.所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

2020朝阳区高三理科数学期末试题及答案

北京市朝阳区2020-2020学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2020．1 （考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =I A ．{}|01x x ≤< B ．{x C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6km/h ）频率第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ． 12B ．1 C． 2 D ． 3 7A ．27 B ．30 C ．32 D ．36侧视图俯视图第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a < 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是，最小值是．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=u u u r u u u r，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0u u u r u u u r u u u r，记,,AOB BOC AOC∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOCS S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos ADB ∠= （Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；ADBC（ⅱ）并说明理由．19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N L 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-L ．（Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列；（Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合；（Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2020-2020学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2020．1 一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===．所以随机变量X的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB ∥EF ． ………………………5分（Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥．在菱形ABCD 中，因为AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===，则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(,,)22E a -，(,0,)22a F -．所以3(,0,)22a AF =-u u u r，(,,0)22a EF =-u u u r ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r所以,.3z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =u u u r是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,13GB <GB >GB⋅===⋅n n n u u u ru u u r u u u r ，所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立，即1()0f x a x'=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立，则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=．（ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e单调递增．令()0f x '<,得1(,)ex ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e+∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2eeef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-，所以2|)(|≥x f ．设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='．令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增，令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<，即2)(<x g ．所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +．所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C…………………………3分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ==231k =+223131k k ==++=．所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =；由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去；所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ．因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=．所以112n n a a +=或11(1,2,3)n n a n a +==．如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件；所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n n a a +=，共有下面4种情况：（1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =；综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分（Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==-L ．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2i t m a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2t m a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====L ，有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=．所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=． (13)分。

朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试题答案

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）40（12）28n n + （13）（14）43（答案不唯一）（15）① ④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由(0)10f m =+=得1m =−．所以2()cos cos 1f x x x x =+−cos2111212cos222222x x x x +=+−=+−π1sin(2)62x =+−．所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． ················································· 7分（Ⅱ）由πππ2π22π262k x k −++≤≤（k ∈Z ），得ππππ36k x k −+≤≤（k ∈Z ）．所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k −+（k ∈Z ）．因为()f x 在区间[0,]t 上单调递增，且ππ0[,]36∈−，此时0k =，所以π6t ≤，故t 的最大值为π6． ······················································· 13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PB 的中点F ，连接,CF EF ．因为E 是PA 的中点，所以//,2EF AB AB EF =．又因为//,2AB DC AB DC =，所以//EF DC 且EF DC =．所以四边形CDEF 为平行四边形．所以//DE CF ．又因为DE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ······································································ 5分（Ⅱ）取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB PC =，所以PO BC ⊥．又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ，且平面PBC平面ABCD BC =，所以PO ⊥平面ABCD ．如图，在平面ABCD 中，作//Oy BA ，则,,PO BC PO Oy Oy BC ⊥⊥⊥，建立空间直角坐标系O xyz −．选条件①：连接AO ，在Rt ABO △中，因为2AB =，1BO =，所以AO 在Rt PAO △中，因为AP =，AO =PO ．所以1(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(2A B C D P E −−−．所以13(,1,),(2,1,0)22BE BD ==．设平面EDB 的法向量是(,,)x y z =m ，则 0,0,BE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即10,220.x y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则2,y z =−=．于是(1,=−m ．因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 是平面BDC 的法向量．所以cos ,||||〈〉⋅==m n m n m n ．由题知，二面角E BD C −−为钝角，所以其余弦值为． ···················· 14分选条件③：连接AO ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PAO ∠是直线AP 与平面ABCD 所成角．所以tan PO PAO AO ∠==．在Rt ABO △中，因为2,1AB BO ==，所以AO在Rt PAO △中，因为PO AO AO =，所以PO =．下同选条件①． ··············································································· 14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件A ．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以2()7P A =． ··············································································· 3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X 的所有可能取值为0,1,2，321255230127277533(0),(1),(2)777241C C C C C P X P X C C C C =========．所以X 的分布列为2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ························································· 10分（Ⅲ）11月6日． ···················································································· 13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由()ln 1()R f x x a x a =−−∈得()1af x x '=−，依题意，(1)10f a '=−=，得1a =．经验证，()ln 1f x x x =−−在点(1,0)处的切线为0y =，所以1a =． ··········· 4分（Ⅱ）由题得()1a x a f x x x −'=−=．（1）若1a ≤，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点．（2）若1a >，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，故()f x 在区间(1,)a 上单调递减，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间(,)a +∞上单调递增．所以x a =为()f x 的极小值点，且()f x 无极大值点．综上，当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为0；当1a >时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为1． ····················· 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=．所以()f x 在区间(1,)+∞内无零点．当1a >时，()f x 的单调递减区间为(1,)a ，单调递增区间为(,)a +∞．所以()(1)0f a f <=．若()f x 在区间(1,)+∞内有零点t ，则(,)t a ∈+∞．而22()2ln 1f a a a a =−−，设2()2ln 1(1)g x x x x x =−−>，则()22(1ln )1ln )g x x x x x '=−+=−−．设()2(1ln )(1)h x x x x =−−>，则12(1)()2(1)0x h x x x −'=−=>，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0g a g >=，即2()0f a >．又2()0,f t a a =>，所以2t a <． ··················································································· 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知(,0),(0,),||A a B b AB −=因为AOB △的面积为1，所以112AOB S ab ==△．因为点O 到直线AB的距离为，所以1||12AOB S AB ===△．所以222,5,,ab a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>⎩得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为2214x y +=． ························································ 5分（Ⅱ）点N 为线段CM 的中点，理由如下：由题知直线l 的斜率存在，设过点(2,1)P −的直线l 的方程为1(2)y k x −=+，即(2)1y k x =++．由22(2)1,44,y k x x y =++⎧⎨+=⎩得2222(14)(168)16160k x k k x k k +++++=．由2222(168)4(14)(1616)640k k k k k k ∆=+−++=−>，得0k <．设11)(,C x y ，22)(,D x y ，则221212221681616,1414k k k k x x x x k k +++=−=++．直线AD 的方程为22(2)2y y x x =++，令1x x =，得点M 的纵坐标212(2)2M y x y x +=+．直线AB 的方程为1(2)2y x =+，令1x x =，得点N 的纵坐标11(2)2N y x =+．要证点N 为线段CM 的中点，只需证明1)1(2N M y y y =+，即112M N y y y +=．因为2211112(2)(2)(2)(2)2M N y y y y y x x x x +++++=+121121121222222222222222(2)(2)(4)(2)(2)422()4168414216161682()41414(168)416216162(168)4(14)48242121,k x x x x x x x x k x x x x k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k+++++=++++=+++++−++=++++−+++−+++=++−+++−=+=+−=所以点N 为线段CM 的中点． ····························································· 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）10b =，20b =，31b =，103b =； ························································ 3分（Ⅱ）由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =．若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾．所以11a =．设*1)(n n n d a a n +−∈=N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ．假设存在*k ∈N 使得2k d ≥．设k a t =，由12k k a a +−≥得12k a t ++≥．由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾．所以对任意*n ∈N 都有1n d =．所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+−=． ······································ 8分（Ⅲ）因为对于*n ∈N ，1n n B B +⊆，所以1n n b b +≤．所以111n n n n b n b n b ++++<++≤，即数列{}n n b +是递增数列．先证明S T =∅．假设ST ∅≠，设正整数p ST∈．由于p S ∈，故存在正整数i p <使得i p i a =+，所以i a p i =−．因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以11i a p i +−+≥．所以1p i b i −=−，1p i b i−+=．所以()11p i p i b p i i p −−+=−+−=−，1(1)11p i p i b p i i p −+−++=−++=+．又因为数列{}n n b +是递增数列，所以p T ∈/，矛盾．所以S T =∅．再证明*ST =N ．由题可知*ST ⊆N ．设*q ∈N 且q S ∈/，因为数列{}n n a +是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数j ，使得jq j a <+．令0min{|}j j j q j a =<+．若01j =，则11q a <+，即11a q >−，所以1a q ≥．所以q b =，所以q q b q T+=∈．若01j >，则000101j j j a q j a −−+<<+，所以00101j j a q j a −<−+≤．所以0101q j b j −+=−，所以00100(1)11q j q j b q j j q−+−++=−++−=．因为001(1)q j q j b T−+−++∈，所以q T ∈．所以*S T ⊆N ．综上，*ST =N 且ST =∅．·························································· 15分。

朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试卷及答案

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学 2024.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则AB =（A ）[0,3]（B ）[0,3)（C ）(0,3)（D ）(0,3]（2）设a ∈R ，若复数(2i)(2i)a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =（A ）4- （B ）1- （C ）1 （D ）4（3）若01a <<，则（A ）1132a a < （B ）23a a < （C ）11log log 23aa > （D ）sin cos a a >（4）在ABC △中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（A（B ）23（C）（D ）83（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1),(2,1)A B ，动点P 满足0PA PB ⋅=，则||OP 的最大值为（A ）1（B（C ）2（D1（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是平面1111A B C D 内一点，且//EB 平面1ACD ，则1tan DED ∠的最大值为（A）2（B ）1 （C（D ）2（7）设函数()()2mf x x m x =+∈-R 的定义域为(1,2)-，则“30m -<≤”是“()f x 在区间(1,2)-内有且仅有一个零点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若30PEF ∠=，则sin PFE ∠= （A（B（C（D（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0,0,0,01,01A K L αβ>>><<<<．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是（A ）存在12α<和12β<，使得Q 不变（B ）存在12α>和12β>，使得Q 变为原来的2倍（C ）若14αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍（D ）若221+2αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍（10）在ABC △中，AB AC ==，当λ∈R 时，||AB BC λ+的最小值为4．若AM MB =，22sin cos AP AB AC θθ=+，其中ππ[,]63θ∈，则||MP 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区届高三上学期期末考试数学(理)试题.pdf

1、已知△ADF≌△CBE，则结论： ①AF=CE ②∠1=∠2 ③BE=CF ④AE=CF，正确的________2、面积相等的两个三角形一定全等吗？3、周长相等的两个三角形一定全等吗？用刻度尺和圆规画△ABC使其三边的长为AB=4cm，AC=3cm，BC=2cm。

画法： 1.画线段AB=4cm 分别以A，B为圆心，3cm,2cm长为半径画圆,弧交于点C 3.连接AC，BC. ∴△ABC就是所求的三角形把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？ A B C E F G ABC ≌ EFG AB=EF BC=FG AC=EG （SSS）有三边对应相等的两个三角形全等 (简写成“边边边”或“SSS”) 在△ABC和△EFG中用数学语言表述：用这样的结论可以判定两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．由上面的结论可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的稳定性：三角形的稳定性举例例1:在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,则∠A=∠C，请说明理由。

A B C D 解：在△ABD和△CDB中，（已知）（已知） AB=CD AD=CB BD=DB （公共边）∴ △ABD ≌ △CDB （SSS） ∴ ∠A=∠C （根据什么？） A B C D A B C D 1.在四边形ABCD中，AB=AD，CD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?把请说明理由。

A C B D 有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫辅助线。

辅助线通常画成虚线。

2.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?有几种添法。

A B C D A B C D 3.在△ABC中,，AB=AC，AD是BC边上的中线, △ABD和△ADC是否全等? 请说明理由。

朝阳高三数学理科期末答案

C1A1 n
a
2
所以 cos C1A1, n
C1A1 n a 2
.
2
3
由图可知，二面角 F
BC1
E 为钝角，所以二面角
F
BC1
E 的大小为 . 4
（ⅱ）假设在线段 EF 上存在点 P ，使得 AP EF .
…………… 10 分
EP
设
, [0,1]，则 EP EF .
EF
因为
AP AE EP AE 又 AP EF ，
所以 EF // 平面 A1C1CA .
B F
C1
z
E
A1
C
A
xB
C1 E
y
C
………………… 4 分
（Ⅱ）因为侧面 A1C1CA 是正方形，所以 A1C 1 C1C . 又因为平面 A1C 1CA 平面 BCC1B1 ，且平面 A1C1CA 平面 BCC1B1 C1C ，
所以 A1C1 平面 BCC1B1 .所以 A1C1 C1B . 又因为 BC1 C1C ，以 C1为原点建立空间直角坐标系 C1 xyz ，如图所示 . 设 C1C a ，则 A(0, a, a), B (a,0,0), C (0, a,0), A1(0,0, a), B1(a, a,0) ，
北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类）
2019.1
一、选择题（ 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
B
A
A
B
C
B
二、填空题（ 30 分）
题号
9
答案

北京市朝阳区高三数学上学期期末考试(理)新人教版

2009-2010学年度第一学期高三年级抽样测试数学（理工类）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3页至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数21i i +等于 A 、1i -+ B 、1i + C 、22i -+ D 、22i +2. 已知命题:,20x p x R ∀∈>。

那么命题p ⌝为A 、,20x x R ∃∈<B 、,20x x R ∀∈<C 、,20x x R ∃∈≤D 、,20x x R ∀∈≤3. 已知幂函数()y f x =的图象经过点()2,4，则()f x 的解析式为A 、()2f x x =B 、()2f x x =C 、()2x f x =D 、()2f x x =+4. 甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用x x 甲乙、表示，则下列结论正确的是A 、x x >甲乙，且甲比乙成绩稳定B 、x x >甲乙，且乙比甲成绩稳定C 、x x <甲乙，且甲比乙成绩稳定D 、x x <甲乙，且乙比甲成绩稳定5. 如图给出的是九三11113519S =+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A 、10i >B 、10i <C 、9i >D 、9i <6. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是A 、1B 、2C 、3D 、47. 已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是A 、(,5][5,)-∞-+∞B 、(,25][25,)-∞+∞C 、[]25,25-D 、[]5,5-8. 设集合{}1,2,3,4,5,6I =，集合,A I B I ⊆⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合,A B 有A 、33组B 、29组C 、16组D 、7组第II 卷（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区2018-2019学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x =-<，{ |ln(1) }B x y x ==-，则U ()A B I C 是（A ）2, 1-（）（B ）[1, 2) （C ）(2, 1]- （D ）1, 2（）2．要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位（B ）向右平移4π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位3．设a ，b ，g 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若a b ^，b g ^，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；③若l a ^，//l b ，则a b ^；④若//a b ，l b Ë，且//l a ，则//l b .其中正确的命题是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④4．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x = （B ）21x y =- （C ）212y x =- (D) 3y x =-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-, 则2a 等于（A ） 4 （B ）2 （C ）1 （D ） -26.若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a+=扫过A 中的那部分区域的面积为（A）（B）（C ）72 (D)747．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 498．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关.其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知3cos()5x π+=，(, 2)x ππ∈，则tan x = .10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，CD 交BA 的延长线于点E .若3AB =，2ED =，则 BC 的长为________.11．曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0r r q -=的直角坐标方程分别为，，两条曲线的交点个数为个.12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 .13．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14．已知数列*{} ()n a n ÎN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为.E三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最小值时，)4tan(π-A 值.16．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ?o ，侧面PAB 为等边三角形，侧棱PC =（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ^平面ABC ；（Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值． 17．（本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程；（Ⅱ）当102a ≤<时，讨论()f x 的单调性.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），()0,()() 0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k的取值范围；CABP（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？19．（本小题满分14分）设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222FF FQ +=0uuu u r uuu r，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切. 过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围20．（本小题满分14分）已知函数2()1ax bf x cx +=+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）.（Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1ax bf x cx +=+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *∈（p q ≠），证明：221()2p q p q S S S +<+；（Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足112x =，1()n n x f x +=，求证：2222311212231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<.北京市朝阳区2018-2019学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一．选择题：二．填空题：三．解答题： 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1cos 2B =. ……………………………………………………… 5分因为0B p <<，所以3B π=. ……………………………………… 7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ……………………………………… 8分所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . ……………… 10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A =. …………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+. ……………………………………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，………… 1分因为AP BP =，所以PD AB ^.又AC BC =，所以CD AB ^. ………………… 2分因为PD CD D =I ，所以AB ^平面PCD .因为PC Ì平面PCD ，所以PC AB ^. ……… 4分CABPED（Ⅱ）由已知90ACB?o ，2AC BC ==，所以AD BD CD ===AB =.又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，所以PD =…………………… 6分因为PC =，所以222PC CD PD =+. 所以90CDP?o .由（Ⅰ）知CDP Ð是二面角P AB C --的平面角.所以平面PAB ^平面ABC . …………………………………………… 8分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD ^平面PAB .过D 作DE PA ^于E ，连结CE ，则CE PA ^.所以DEC Ð是二面角B AP C --的平面角. ………………………………… 10分在Rt CDE D中，易求得2DE =.因为CD =tan 3CD DECDE ?=………………………… 12分所以cos 7DEC?. 即二面角B AP C --. …………………………………… 13分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. ……………………… 9分以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0, 0, 0)D，C，(0,A -，(0, 0,P .所以AC =u u u r，PC =-u u u r. ……………………… 10分设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.AC PCìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n即0,0.ìï+=ïíï-=ïî令1x =，则1y =-，3z =.所以平面PAC的一个法向量为(1, 1,=-n . ……………………… 11分A易知平面PAB 的一个法向量为DC =u u u r.所以cos , 7||||DCDC DC ×<>==uuu ruuu r uuu r n n n . …………………………………… 12分由图可知，二面角B AP C --为锐角.所以二面角B AP C --的余弦值为7. …………………………………… 13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =-时，2()ln 1f x x x x=++-，(0,)x ??.所以222()x x f x x+-=′，(0,)x ??. ………（求导、定义域各一分） 2分因此(2)1f =′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分又(2)ln 22f =+， …………………………………………………… 4分所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 20x y -+=. ……… 5分（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xaax x x f ，所以211()a f x a x x -=-+′221xa x ax -+--=，(0,)x ??. ………… 7分令2()1g x ax x a =-+-，(0,)x ??，①当0a =时，()1g x x =-+，(0,)x ??，当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当102a <<时，由()0f x ′=即210ax x a -+-=解得11x =，211x a=-. 此时1110a->>，所以当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分 1(1,1)x a∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分1(1, )x a∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a-上单调递增；在1(1,)a-+?上单调递减. …………………………………………………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40.a b a >⎧⎨∆=-=⎩ ……………………… 2分所以24(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+.所以22(1) 0,()(1) 0.x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ …………………………………… 4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-， ………………………… 6分所以当222k -≥或222k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]-?或[6,)+?时，()g x 是单调函数． …………… 8分（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+.所以220,() 0.ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩……………………………………………… 10分因为0mn <，依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. ………………………………………………………… 12分此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为1222F F F Q +=0uuu u r uuu r，所以1F 为2F Q 中点. 设Q 的坐标为(3, 0)c -，因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………… 2分因为该圆与直线l 相切，所以|3|22c c --=. 解得1c =，所以2a =，b =.故所求椭圆方程为13422=+y x . …………………………………………… 4分（Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143y kx x y ì=+ïïïíï+=ïïïî 得22(34)1640k x kx +++=. 设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k+=-+. ………………………5分所以1122(, )(, )PG PH x m y x m y +=-+-=uu u r uuu r1212(2, )x x m y y +-+.=1212(2, () 4 )x x m k x x +-++21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =. ……………………6分所以21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=. 故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k -+-+++=.因为0k >，所以210x x -?.所以21212()2 ()40x x m k x x k +-+++=即212(1)()420k x x k m +++-=.所以2216(1)()42034k k k m k+-+-=+ 解得2234k m k =-+. 即234m k k=-+. 因为0k >，所以0m <. 故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[ 0). ……………………… 8分（Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程13422=+y x 得22(34)1640k x kx +++=.由0∆>，得214k >. …………………………………………………… 9分设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k=+. 又MG MH λ=，所以1122(,2)=(,2)x y λx y -- . 所以12=x λx . …… 10分所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx . 所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)34kλλ+=+. …………………………………………… 11分因为214k >，所以2644164k <<+. 即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<.解得77λ-<<+.又01λ<<，所以71λ-<. …………………………………… 13分②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时G，(0, H，(0,2)MG =，(0, 2)MH =， 23MG MH-=，所以7λ=-所以71λ-<，即所求λ的取值范围是[7 1)-. ……………… 14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依条件有()f x ax b =+.因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分所以(1)()2n n n S n a b a -=++⋅(1)2n n nb a +=+⋅. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)2n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分（Ⅱ）证明：依条件有()27, 434()24.2a b a a b a ++=⎧⎪⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+.所以.22)(21n n a a n S n n +=+= ……………………………………… 3分因为222()p q p q S S S +-+=2222[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+22()p q =--，又p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.即221()2p q p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分（Ⅲ）依条件2()1ax b f x x +=+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=.即22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0b =. 所以2()1ax f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =. 故22()1x f x x =+. ……………………………………………………………6分因为1()n n x f x +=，所以1221n n n x x x +=+. 所以1102x =>时，有10n x +>（n N *∈）. 又1222()112n n n n n nx x x f x x x +===+≤，若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与112x =矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分所以121(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-⋅+≤1124121k k x x ⋅++-+≤14=.所以2111111()111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 12231111111[()()()]n n x x x x x x +<-+-++- 111111())n n x x x ++=-=-. …………………12分因为112x =，1n n x x +>，所以1112n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++31521)816+-<=. …14分。

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷数学2023.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集|0}{U x x =>，集合{|12}A x x =<<，则UA =（A ）(,1][2,)-∞+∞ （B ）(0,1][2,)+∞ （C ）(,1)(2,)-∞+∞（D ）(0,1)(2,)+∞（2）在复平面内，复数(1i)(i)a +-对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(1,)+∞ （3）函数223,0,()e 2,0x x x x f x x ⎧+-⎪=⎨->⎪⎩≤的零点的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（4）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为60︒，则双曲线的离心率为（A ）52（B ）233（C ）3 （D ）2（5）在ABC △中，“sin2sin2A B =”是“ABC △为等腰三角形”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（A ）3 （B ）2 （C ） 1 （D ）33（7）已知函数()sin()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><，，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（A ）π3-（B ）π6-第（7）题（C ） π6 （D ）π3（8）2022年10月31日，长征五号B 遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：t ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：t ）的关系满足2000ln(1)Mv m=+， M ,m ,v 之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（A ）当3M =，800m =时，7.9v > （B ）当2M =，600m <时，7.9v < （C ）当5M >，800m =时，11.2v > （D ）当3M >，600m >时，11.2v >（9）已知A ,B ,C 是单位圆上不同的三点，AB AC =，则AB AC ⋅的最小值为（A ）0（B ）14- （C ）12-（D ）1-（10）在数列{}n a 中，11a =，211()n na ka n *+=+∈N ，若存在常数c ，对任意的n *∈N ，都有n a c <成立，则正数k 的最大值为（A ）15（B ）14 （C ）13（D ）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
在中，已知，
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求边上的中线的长.
16.（本小题满分13分）
某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
所以，且 .
所以四边形是平行四边形.
所以 .
又因为平面，平面，
所以平面 .…………………4分
（Ⅱ）因为侧面是正方形，所以 .
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面 .所以 .
又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，
.
（ⅰ）设平面的一个法向量为 .
由得即令，所以 .
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设复数满足，则 =
A. B. C.2D.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 =
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴
截得的弦长为
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过
点，则的最小值为
（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；
（Ⅱ）求证： .
20.（本小题满分13分）
已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：
① 是的倍数；
② .
（Ⅰ）若，，写出满足条件的所有的值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）求所有可能取值中的最大值.

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学理)

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2012.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（）A ． 2788n n +B ．2744n n + C ．2324n n+D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ．1 B ．1- C ． 2- D ．05.已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD的边长为ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC-ADBNMOC的体积()y f x =的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+ m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅ 成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有辆.10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；时速（km/h ）01002 003 004 40 50 60 70 80（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =AB AC的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列及数学期望．17. （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB =，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分）数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n = ）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案（理工类） 2012.1一、选择题：二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分又B 为锐角，则3B π=. …………………………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是222cos2b c a A bc +-===， ………………………… 11分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ==== ． …………… 13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5) 共3类情况．所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分所以X所以533EX np ==⨯=．所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，AD =，所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．在Rt CDS ∆中，tan CDCSD SD ∠===所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥．又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则)S，,0,0)A ，,0)B，(,0)C ，(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分（Ⅰ）易知(0,,0),,0,)CD SA ==因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有0SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00=⎪-=⎩，所以=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分所以1cos ,2<>==n m ，所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++，则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分（1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.…… 6分（2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以x =.因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为. …… 10分（Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意.……… 11分当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为，则()f x的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意. 所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =.所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分（Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切，由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. …………………… 13分所以直线m的方程为(4)4y x =±-. …………………………………… 14分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==.所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立.②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l ll a b a a ++==<.综上所述，猜想成立.所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故211,12.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列, 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s = ,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m +=21.因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m+->-.…… 12分因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->.所以11m mc m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ或，k∈Z，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题．6.设为实数，则是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由“x＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x＜0”，从而得出“x＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x＜0，﹣x＞0，则：；∴“x＜0“是““的充分条件；若，则；解得x＜0；∴“x＜0“是““的必要条件；综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件．故选：C．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a3，故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S5＝55+20＝25，故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A 处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长.【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，. （3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，.则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

北京市朝阳区高三数学第一学期期末考试理

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x =-<，{ |ln(1) }B x y x ==-，则U ()A B I C 是（A ）2, 1-（）（B ）[1, 2) （C ）(2, 1]- （D ）1, 2（）2．要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位（B ）向右平移4π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位3．设a ，b ，g 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若a b ^，b g ^，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；③若l a ^，//l b ，则a b ^；④若//a b ，l b Ë，且//l a ，则//l b .其中正确的命题是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④4．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x = （B ）21x y =- （C ）212y x =- (D) 3y x =-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-, 则2a 等于（A ） 4 （B ）2 （C ）1 （D ） -26.若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a+=扫过A 中的那部分区域的面积为（A）（B）（C ）72 (D)747．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 498．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关.其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知3cos()5x π+=，(, 2)x ππ∈，则tan x = .10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，CD 交BA 的延长线于点E .若3AB =，2ED =，则 BC 的长为________.11．曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0r r q -=的直角坐标方程分别为，，两条曲线的交点个数为个.12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 .13．已知点1F ，2F 分别是双曲线22221 (0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14．已知数列*{} ()n a n ÎN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为.E三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最小值时，)4tan(π-A 值.16．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ?o ，侧面PAB 为等边三角形，侧棱PC =（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ^平面ABC ；（Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程；（Ⅱ）当102a ≤<时，讨论()f x 的单调性. 18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），()0,()() 0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？CABP19．（本小题满分14分）设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222FF F Q +=0uuu u r uuu r，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切. 过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围20．（本小题满分14分）已知函数2()1ax bf x cx +=+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）.（Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1ax bf x cx +=+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *∈（p q ≠），证明：221()2p q p q S S S +<+；（Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足112x =，1()n n x f x +=，求证：2222311212231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一．选择题：二．填空题：三．解答题： 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1cos 2B =. ……………………………………………………… 5分因为0B p <<，所以3B π=. ……………………………………… 7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ……………………………………… 8分所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . ……………… 10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A =. …………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A Aπ--==+. ……………………………………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，………… 1分因为AP BP =，所以PD AB ^.又AC BC =，所以CD AB ^. ………………… 2分因为PD CD D =I ，所以AB ^平面PCD .因为PC Ì平面PCD ，所以PC AB ^. ……… 4分（Ⅱ）由已知90ACB?o，2AC BC ==，所以AD BD CD ===AB =.CABPED又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，所以PD =…………………… 6分因为PC =，所以222PC CD PD =+. 所以90CDP?o .由（Ⅰ）知CDP Ð是二面角P AB C --的平面角.所以平面PAB ^平面ABC . …………………………………………… 8分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD ^平面PAB .过D 作DE PA ^于E ，连结CE ，则CE PA ^.所以DEC Ð是二面角B AP C --的平面角. ………………………………… 10分在Rt CDE D中，易求得DE =因为CD =tan CD DECDE ?=………………………… 12分所以cos DEC?. 即二面角B AP C --的余弦值为7. …………………………………… 13分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. ……………………… 9分以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0, 0, 0)D，C，(0,A -，(0, 0,P .所以AC =u u u r，PC =-u u u r. ……………………… 10分设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.AC PCìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n即0,0.ìï+=ïíï-=ïî令1x =，则1y =-，z =.所以平面PAC的一个法向量为(1, 1,=-n . ……………………… 11分易知平面PAB的一个法向量为DC =u u u r.A所以cos , ||||DCDC DC ×<>==uuu ruuu r uuu r n n n . …………………………………… 12分由图可知，二面角B AP C --为锐角.所以二面角B AP C --. …………………………………… 13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =-时，2()ln 1f x x x x=++-，(0,)x ??.所以222()x x f x x+-=′，(0,)x ??. ………（求导、定义域各一分） 2分因此(2)1f =′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分又(2)ln 22f =+， …………………………………………………… 4分所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 20x y -+=. ……… 5分（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xaax x x f ，所以211()a f x a x x -=-+′221x a x ax -+--=，(0,)x ??. ………… 7分令2()1g x ax x a =-+-，(0,)x ??，①当0a =时，()1g x x =-+，(0,)x ??，当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当102a <<时，由()0f x ′=即210ax x a -+-=解得11x =，211x a=-. 此时1110a->>，所以当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分 1(1,1)x a∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分 1(1, )x a∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a-上单调递增；在1(1,)a-+?上单调递减. …………………………………………………… 13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40.a b a >⎧⎨∆=-=⎩ ……………………… 2分所以24(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+.所以22(1) 0,()(1) 0.x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ …………………………………… 4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-， ………………………… 6分所以当222k -≥或222k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]-?或[6,)+?时，()g x 是单调函数． …………… 8分（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+.所以220,() 0.ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ ……………………………………………… 10分因为0mn <，依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. ………………………………………………………… 12分此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为1222F F F Q +=0uuu u r uuu r，所以1F 为2F Q 中点. 设Q 的坐标为(3, 0)c -，因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………… 2分因为该圆与直线l 相切，所以|3|22c c --=. 解得1c =，所以2a =，b =.故所求椭圆方程为13422=+y x . …………………………………………… 4分（Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143y kx x y ì=+ïïïíï+=ïïïî得22(34)1640k x kx +++=. 设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k+=-+. ………………………5分所以1122(, )(, )PG PH x m y x m y +=-+-=uu u r uuu r1212(2, )x x m y y +-+.=1212(2, () 4 )x x m k x x +-++21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =. ……………………6分所以21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=. 故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k -+-+++=.因为0k >，所以210x x -?.所以21212()2 ()40x x m k x x k +-+++=即212(1)()420k x x k m +++-=. 所以2216(1)()42034kk k m k+-+-=+解得2234k m k =-+. 即234m k k=-+. 因为0k >，所以06m -<≤. 故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[ 0). ……………………… 8分（Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程13422=+y x 得22(34)1640k x kx +++=.由0∆>，得214k >. …………………………………………………… 9分设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 又MG MH λ=，所以1122(,2)=(,2)x y λx y -- . 所以12=x λx . …… 10分所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx . 所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)34kλλ+=+. …………………………………………… 11分因为214k >，所以26441634k <<+. 即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<.解得77λ-<<+.又01λ<<，所以71λ-<. …………………………………… 13分 ②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时G，(0, H，(0,2)MG =，(0, 2)MH =， 23MG MH-=，所以7λ=-所以71λ-<，即所求λ的取值范围是[7 1)-. ……………… 14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依条件有()f x ax b =+.因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分所以(1)()2n n n S n a b a -=++⋅(1)2n n nb a +=+⋅. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)2n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分（Ⅱ）证明：依条件有()27, 434()24.2a b a a b a ++=⎧⎪⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+.所以.22)(21n n a a n S n n +=+= ……………………………………… 3分因为222()p q p q S S S +-+=2222[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+22()p q =--，又p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.即221()2p q p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分（Ⅲ）依条件2()1ax b f x x +=+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=.即22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0b =. 所以2()1ax f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =. 故22()1x f x x =+. ……………………………………………………………6分因为1()n n x f x +=，所以1221n n n x x x +=+. 所以1102x =>时，有10n x +>（n N *∈）. 又1222()112n n n n n nx x x f x x x +===+≤，若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与112x =矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分所以121(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-⋅+≤1124121k k x x ⋅++-+≤14=.所以2111111()111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 12231111111[()()()]n n x x x x x x +<-+-++- 111111())n n x x x ++=-=-. …………………12分因为112x =，1n n x x +>，所以1112n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++31521)816+-<=. …14分。

高三试题——2018—2019北京市朝阳高三上期末数学(理)试题及答案

m；旗杆 BA C
P1
P2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) sin x cos x sin2 x 1 . 2
（Ⅰ）求 f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ ABC 中, a,b, c 为角 A, B,C 的对边，且满足 bcos 2A bcos A asin B ，且 0 A ，求 f (B) 的取值范围. 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.
i=i+1
9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ，则双曲线 C 的
渐近线方程为
.
10. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为
.
11. ABCD 中， E, F 分别为边 BC,CD 中点，若 AF x AB y AE
20. (本小题满分 13 分)
已知集合 P a1, a2,..., an ，其中 ai R 1 i n, n 2. M (P) 表示
ai +a（ j 1 i j n) 中所有不同值的个数.
（Ⅰ）若集合 P 1,3,5，7,9，求 M (P) ；
（Ⅱ）若集合 P 1, 4,16,..., 4n1 ，求证： ai +a j 的值两两不同，并求 M (P) ；
（Ⅲ）求 M (P) 的最小值.（用含 n 的代数式表示）
6
北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类）
2018.1
一、选择题（40 分）
题号
1

辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( )A． B．0 C．1 D．或1参考答案：A2. 命题“对任意R，都有”的否定是A．存在R，使得B．不存在R，使得C．存在R，使得 D．对任意R，都有参考答案：C3. “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【知识点】几何概型;椭圆的简单性质．H5 K3∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为，故选B．【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．5. 下列命题中，真命题是（）A．B．C． D．充分条件参考答案：D略6. 函数的零点个数为( )A．0 B．1 C．4 D．2参考答案：D略7. 各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有（▲ ）项.A．B．C．D．参考答案：【知识点】等差数列前n项和 D2D设是公差为4的等差数列，则，则即，因此，解得，因为，所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项，故选择D.【思路点拨】设是公差为4的等差数列，则，由此能够推导出，由此能求出这样的数列共有8项8. 在△ABC 中，=，=，若点D满足=2，则等于（）A.+B.-C.-D.+参考答案：A9. 执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（）A．B． C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，利用裂项相消法计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12，∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．故选：B．10. 执行如图所示的程序框图，其输出的结果是(A) 1 (B) (C) (D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．参考答案：4f(x+2)=f(x) f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是．【答案】【解析】a、b、c成等差数列T a-2b+c=0T a⋅1+b⋅(-2)+c=0，∴直线l：ax+by+c=0过定点Q(1,-2)，又P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90︒，∴M在以PQ为直径的圆上,圆心为C(0, -1)，半径r=，线段MN长度的最小值即是N(0, 3)与圆上动点M距离的最小值=|NC|-r=4-.12. 某同学学业水平考试的科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为．参考答案：13. 已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列的前项和，则数列的一个通项公式，数列的前项和为 .参考答案：，考点：1.程序框图；2.裂项抵消法．【方法点睛】本题考查学生对程序框图的识图、用图能力和利用裂项抵消法求数列的前项和，属于中档题；裂项抵消法是一种非常常见的求和方法，其解决的主要题型有：（1）；（2）；（3）.14. 若的展开式中的系数是80，则实数的值是 .参考答案：215. 已知函数（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是_______________.参考答案：略16. 若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是___________.参考答案：17. 已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1项起，a m﹣1，a m，a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1=﹣2，则m=，{a n}的前6项和S6=．参考答案：4，28【考点】数列的求和．【分析】由已知利用等差数列的通项公式求出a m﹣1，a m，再由等比数列的定义求得m；然后求出数列前6项可得S6．【解答】解：由a1=﹣2，公差d=2，得a m﹣1=﹣2+2（m﹣2）=2m﹣6，a m=﹣2+2（m﹣1）=2m﹣4，则，∴m=4；∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣2+0+2+4+8+16=28．故答案为：4，28．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学试卷理科含解析

2021-2021学年北京市朝阳区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以下函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是〔〕A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．假设a＞0，且a≠1，那么“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是〔〕A．6 B．8 C．10 D．126．某四棱锥的三视图如下列图，其俯视图为等腰直角三角形，那么该四棱锥的体积为〔〕A．B．C．D．47．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，那么当λμ获得最大值时，||的值为〔〕A．B．3 C．D．8．某校高三〔1〕班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，那么这两项成绩均合格的人数是〔〕A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，那么b等于．10．等差数列{a n}的前n项和为S n．假设a1=2，S2=a3，那么a2=，S10=．11．执行如下列图的程序框图，那么输出S的结果为．12．在△ABC中，，那么∠C=．13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A〔x，y〕，那么2x+y的最大值是，的取值范围是．14．假设集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，那么称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M〔M⊆R〕，f：M→M是从集合到集合的一个函数，①假设都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，就称是保加法的；②假设∀x，y∈M都有f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，就称f是保乘法的；③假设f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的〔填“是〞或“否〞〕；假设函数f〔x〕在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f〔x〕=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．函数f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：乙：9295807583809085〔Ⅰ〕用茎叶图表示这两组数据；〔Ⅱ〕现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为适宜？并说明理由；〔Ⅲ〕假设对甲同学在今后的3次测试成绩进展预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ〔将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率〕，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．在如下列图的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．〔Ⅰ〕求证：AC∥平面DEF；〔Ⅱ〕假设二面角D﹣AB﹣E为直二面角，〔i〕求直线AC与平面CDE所成角的大小；〔ii〕棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．18．椭圆上的动点P与其顶点，不重合．〔Ⅰ〕求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；〔Ⅱ〕设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．19．设函数f〔x〕=ln〔x﹣1〕+ax2+x+1，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2，a∈R．〔Ⅰ〕当a=1时，求函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕有两个零点，试求a的取值范围；〔Ⅲ〕证明f〔x〕≤g〔x〕20．设m，n〔3≤m≤n〕是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i〔1≤i≤m〕是集合{1，2，3，…，n}中互不一样的元素．假设数列A m满足：只要存在i，j〔1≤i＜j≤m〕使a i+a j≤n，总存在k〔1≤k≤m〕有a i+a j=a k，那么称数列A m是“好数列〞．〔Ⅰ〕当m=6，n=100时，〔ⅰ〕假设数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列〞？〔ⅱ〕假设数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列〞，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？〔Ⅱ〕假设数列A m是“好数列〞，且m是偶数，证明：．2021-2021学年北京市朝阳区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集和交集的定义进展求解即可．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，那么〔∁U A〕∩B={x|0≤x＜2}，应选：B2．在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点〔1，﹣1〕位于第四象限．应选：D．3．以下函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是〔〕A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进展判断即可．【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=〔〕x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．应选：D4．假设a＞0，且a≠1，那么“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：假设函数y=a x在R上是减函数，那么0＜a＜1，此时2﹣a＞0，那么函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数成立，即充分性成立，假设函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数，那么2﹣a＞0，即0＜a＜2，那么函数y=a x 在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的充分不必要条件，应选：A．5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个应选C．6．某四棱锥的三视图如下列图，其俯视图为等腰直角三角形，那么该四棱锥的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，把数据代入锥体的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．应选B．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，那么当λμ获得最大值时，||的值为〔〕A．B．3 C．D．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据条件建立坐标系，利用根本不等式的性质进展求解即可．【解答】解：将三角形放入坐标系中，那么C〔0，4〕，B〔3，0〕，∵=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，∴λ+μ=1，那么1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=〔3，0〕+〔0，4〕=〔，2〕那么||==，应选：C8．某校高三〔1〕班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，那么这两项成绩均合格的人数是〔〕A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进展求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，那么跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，那么26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，应选：B二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，那么b等于3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线〔a＞0〕的渐近线和3x+2y=0相比较，得到b的值．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．等差数列{a n}的前n项和为S n．假设a1=2，S2=a3，那么a2=4，S10=110．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．执行如下列图的程序框图，那么输出S的结果为30．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进展模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．在△ABC中，，那么∠C=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C．【解答】解：由题意：，即b=a由正弦定理=，那么有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°那么C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A〔x，y〕，那么2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y获得最大值，由，可得A〔，〕时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈〔﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2获得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0〕．故答案为：．[﹣，0〕．14．假设集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，那么称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M〔M⊆R〕，f：M→M是从集合到集合的一个函数，①假设都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，就称是保加法的；②假设∀x，y∈M都有f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，就称f是保乘法的；③假设f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的〔填“是〞或“否〞〕；假设函数f〔x〕在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f 〔x〕=f〔x〕=x，x∈Q．【考点】进展简单的合情推理．【分析】设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，利用新定义证明即可，设当f 〔x〕=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，根据新定义验证即可．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=〔m+a〕+〔n+b〕，m+a，n+b∈Q，即f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，∴xy=〔m+n〕〔a+b〕=3ma+〔mb+an〕+bn=〔mb+an〕+〔bn+3ma〕，mb，an，bn，3ma∈Q，∴f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，∴上述定义下，集合是封闭的，当f〔x〕=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f〔m+n〕=m+n=f〔m〕+f〔n〕，f〔mn〕=mn=f〔m〕•f〔n〕，故答案为：是，f〔x〕=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．函数f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】〔Ⅰ〕先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；〔Ⅱ〕根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin〔2x+〕最值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin〔2x+〕∴T=．〔Ⅱ〕∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin〔2x+〕≤2∴函数f〔x〕在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：乙：9295807583809085〔Ⅰ〕用茎叶图表示这两组数据；〔Ⅱ〕现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为适宜？并说明理由；〔Ⅲ〕假设对甲同学在今后的3次测试成绩进展预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ〔将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率〕，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔Ⅰ〕作出茎叶图．〔II〕利用平均数、方差的计算公式即可得出．〔Ⅲ〕记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8〞为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．可得，k=0，1，2，3．【解答】解：〔Ⅰ〕作出茎叶图如下：〔Ⅱ〕派甲参赛比较适宜．理由如下：，，〔88﹣85〕2+〔93﹣85〕2+〔95﹣85〕2]=35.5，〔90﹣85〕2+〔92﹣85〕2+〔95﹣85〕2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较适宜．注：本小题的结论及理由均不唯一，假设考生能从统计学的角度分析，给出其他合理答复，同样给分．如派乙参赛比较适宜．理由如下：从统计的角度看，甲获得8以上〔含85分〕的频率为，乙获得8以上〔含85分〕的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较适宜．〔Ⅲ〕记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8〞为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．〔或．〕17．在如下列图的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．〔Ⅰ〕求证：AC∥平面DEF；〔Ⅱ〕假设二面角D﹣AB﹣E为直二面角，〔i〕求直线AC与平面CDE所成角的大小；〔ii〕棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】〔Ⅰ〕连结BD，设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．〔Ⅱ〕〔i〕以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小．〔ii〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，求出P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕，从而．由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．〔另解〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，求出平面DEF的一个法向量，由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．【解答】〔本小题总分值14分〕证明：〔Ⅰ〕连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，那么OG∥BE，且．由AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…解：〔Ⅱ〕〔i〕由，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系〔如图〕．因为AB=BE=2AF=2，所以A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，C〔2，2，0〕，D〔2，0，0〕，E〔0，2，2〕，F 〔0，0，1〕，所以．设平面CDE的一个法向量为n=〔x，y，z〕，由得即取x=1，得n=〔1，0，1〕．设直线AC与平面CDE所成角为θ，那么，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…〔ii〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，那么，因为，所以〔x﹣2，y，z〕=λ〔﹣2，2，2〕．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕．因为B〔0，2，0〕，所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．〔另解〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，那么，因为，所以〔x﹣2，y，z〕=λ〔﹣2，2，2〕．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕．因为B〔0，2，0〕，所以．设平面DEF的一个法向量为=〔x0，y0，z0〕，那么，由，得取x0=1，得=〔1，﹣1，2〕．由，即〔2﹣2λ，2λ﹣2，2λ〕=μ〔1，﹣1，2〕，可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…18．椭圆上的动点P与其顶点，不重合．〔Ⅰ〕求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；〔Ⅱ〕设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔Ⅰ〕设点设P〔x0，y0〕，从而可得直线PA与PB的斜率乘积为〔Ⅱ〕设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB及〔Ⅰ〕得直线OM，ON的斜率乘积为﹣，可得到m、k的关系，再用弦长公式及间隔公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．【解答】〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕证明：设P〔x0，y0〕，那么．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…〔Ⅱ〕依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，那么．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得〔3k2+2〕x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4〔3k2+2〕〔3m2﹣6〕＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，．=．设点O到直线MN的间隔为d，那么．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…19．设函数f〔x〕=ln〔x﹣1〕+ax2+x+1，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2，a∈R．〔Ⅰ〕当a=1时，求函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕有两个零点，试求a的取值范围；〔Ⅲ〕证明f〔x〕≤g〔x〕【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的断定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，计算f〔2〕，f′〔2〕的值，求出切线方程即可；〔Ⅱ〕求出函数g〔x〕的导数，通过讨论a的范围，判断函数g〔x〕的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；〔Ⅲ〕设h〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1，其定义域为〔1，+∞〕，只需证明h〔x〕≥0即可，根据函数的单调性求出h〔x〕的最小值，从而证出结论．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕的定义域是〔1，+∞〕，．当a=1时，f'〔2〕=4a+2=6，f〔2〕=4a+3=7．所以函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y﹣7=6〔x﹣2〕．即y=6x﹣5．…〔Ⅱ〕函数g〔x〕的定义域为R，由得g'〔x〕=x〔e x+2a〕．①当a=0时，函数g〔x〕=〔x﹣1〕e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈〔﹣∞，0〕时，g'〔x〕＜0；当x∈〔0，+∞〕时，g'〔x〕＞0．所以函数g〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增．又g〔0〕=﹣1，g〔1〕=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x〔x﹣1〕＞x﹣1，所以g〔x〕＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g〔x0〕＞0所以g〔0〕g〔1〕＜0，g〔x0〕g〔0〕＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由g'〔x〕=x〔e x+2a〕=0，得x=0，或x=ln〔﹣2a〕．ⅰ〕当，那么ln〔﹣2a〕＞0．当x变化时，g'〔x〕，g〔x〕变化情况如下表：x〔﹣∞，0〕0〔0，ln〔﹣2a〕〕ln〔﹣2a〕〔ln〔﹣2a〕，+∞〕g'〔x〕+0﹣0+g〔x〕↗﹣1↘↗注意到g〔0〕=﹣1，所以函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．ⅱ〕当，那么ln〔﹣2a〕=0，g〔x〕在〔﹣∞，+∞〕单调递增，函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．假设，那么ln〔﹣2a〕≤0．当x变化时，g'〔x〕，g〔x〕变化情况如下表：x〔﹣∞，ln〔﹣2a〕〕ln〔﹣2a〕〔ln〔﹣2a〕，0〕0〔0，+∞〕g'〔x〕+0﹣0+g〔x〕↗↘﹣1↗注意到当x＜0，a＜0时，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2＜0，g〔0〕=﹣1，所以函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．综上，a的取值范围是〔0，+∞〕．…〔Ⅲ〕证明：g〔x〕﹣f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1．设h〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1，其定义域为〔1，+∞〕，那么证明h〔x〕≥0即可．因为，取，那么，且h'〔2〕＞0．又因为，所以函数h'〔x〕在〔1，+∞〕上单增．所以h'〔x〕=0有唯一的实根x0∈〔1，2〕，且．当1＜x＜x0时，h'〔x〕＜0；当x＞x0时，h'〔x〕＞0．所以函数h〔x〕的最小值为h〔x0〕．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f〔x〕≤g〔x〕．…20．设m，n〔3≤m≤n〕是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i〔1≤i≤m〕是集合{1，2，3，…，n}中互不一样的元素．假设数列A m满足：只要存在i，j〔1≤i＜j≤m〕使a i+a j≤n，总存在k〔1≤k≤m〕有a i+a j=a k，那么称数列A m是“好数列〞．〔Ⅰ〕当m=6，n=100时，〔ⅰ〕假设数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列〞？〔ⅱ〕假设数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列〞，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？〔Ⅱ〕假设数列A m是“好数列〞，且m是偶数，证明：．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕〔ⅰ〕由“好数列〞定义能求出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是一个“好数列〞．〔ⅱ〕由数列必含89，100两项，假设剩下两项从90，91，…，99中任取，有种；假设剩下两项从79，80，…，88中任取一个，有10种．由此分类讨论，能求出a，b，c，d共有多少种不同的取值．〔Ⅱ〕一个“好数列〞各项任意排列后，还是一个“好数列〞．设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．例用反证法，能证明．【解答】〔本小题13分〕解：〔Ⅰ〕〔ⅰ〕∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列〞．…〔ⅱ〕由〔ⅰ〕可知，数列必含89，100两项，假设剩下两项从90，91，…，99中任取，那么都符合条件，有种；假设剩下两项从79，80，…，88中任取一个，那么另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；假设取68≤a≤77，那么79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列〞必超过6项，不符合；假设取a=67，那么11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；假设取56＜a＜67，那么67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列〞必超过6项，不符合；假设取a=56，那么b=67，符合条件，假设取a＜56，那么易知“好数列〞必超过6项，不符合；综上，a，b，c，d共有66种不同的取值．…证明：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕易知，一个“好数列〞各项任意排列后，还是一个“好数列〞．又“好数列〞a1，a2，…，a m各项互不一样，所以，不妨设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．用反证法，假设存在，使a j+a m+1﹣j≤n，＜a1+a m﹣j+1＜a2+a m﹣j+1＜…＜a j+a m﹣j+1≤n，因为数列单调递增，所以a m﹣j+1又因为“好数列〞，故存在1≤k≤m，使得a i+a m+1﹣j=a k〔1≤i≤j〕，显然a k＞a m+1﹣j，故k＞m+1﹣j，所以a k只有j﹣1个不同取值，而a i+a m+1﹣j有j个不同取值，矛盾．所以，每一对和数都不小于n+1，故，即．…2021年2月15日。

朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案

【精选高中试题】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2020朝阳区高三理科数学期末试题及答案

朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试题答案

朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试卷及答案

北京市朝阳区届高三上学期期末考试数学(理)试题.pdf

朝阳高三数学理科期末答案

北京市朝阳区高三数学上学期期末考试(理)新人教版

2018朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学理)

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区高三数学第一学期期末考试 理

高三试题——2018—2019北京市朝阳高三上期末数学(理)试题及答案

辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学试卷理科含解析

北京市朝阳区高三数学第一学期期末考试理