矩阵的对角化1

相似是矩阵之间的一种关系。 这种关系具有如下性质： 1)自反性 对任意方阵A，都有A～A； ) 2)对称性 若A～B，则B～A； ) 3)传递性 若A～B，B～C，则A～C。 )
相似矩阵之间有如下性质： 性质1 相似矩阵的行列式的值相等。 性质 性质2 性质 相似矩阵或者都可逆，或者都不 可逆，且在可逆的情形，逆矩阵也相似。 性质3 性质 若A～B，则An～Bn，n为自然数。 性质3在求矩阵的正整数幂时非常有用。
其一般解写成向量形式为
x1 −( x2 + x3 ) −1 −1 x2 = x2 = x2 1 + x3 0 x 0 1 x3 3
由此得知，属于特征值 λ1 = −1 的全部特征向量为
− 1 − 1 k1 1 + k 2 0 0 1
其中 k1 , k 2 为不全为0的任意常数。
4 x1 − 2 x 2 − 2 x3 = 0 类似地，对于λ2 = 5 ，由 − 2 x1 + 4 x 2 − 2 x3 = 0 − 2 x − 2 x + 4 x = 0 1 2 3 x1 x3 1 得 x 2 = x3 = x3 1 x x 1 3 3
Aα 为A的属于 λ 的特征向量。 如何求A的特征值与特征向量呢？
由 Aα = λα ，得 λα − Aα = 0 即 所以
λIα − Aα = 0
(λI − A)α = 0
(λ I − A) x = 0
这说明 α 是齐次线性方程组 的非零解，从而必须
| λ I − A |= 0
α1 , α 2 ,..., α s ，并写成列向量 列向量的形式，则 列向量
A属于λ0 的全部特征向量为：
k1α1 + k2α 2 + ... + ksα s (k1 , k2 ,..., ks 不全为0)
例2 求A的全部特征值和特征向量，其中
1 2 2 A = 2 1 2 2 2 1
α 1 = (−1,−1,1) T 得属于 λ1 = 0 的特征向量
将 λ2 = −1 代入线性方程组 (λ2 I − A) x = 0 对系数矩阵施行初等行变换：
− 2 − 2 − 3 1 1 0 − 2 − 2 − 3 → 0 0 1 − 3 − 3 − 7 0 0 0
可见，系数矩阵的秩为2，而未知数的个 数为3,故基础解系只含有1个线性无关的 解，因而A不能对角化。
定理2.2 方阵A的属于不同特征值的 定理 特征向量线性无关。 推论2.3 若n阶方阵A有n个互异的特 推论 征值，则A可对角化。
例5 将方阵
1 2 3 A = 2 1 3 3 3 6
若对于给定的n阶方阵A，存在可逆方阵U， 使得
B = U −1 AU
即AU=UB，其中
0 λ1 λ2 B= O λn 0
记U的列向量为 α1 , α 2 ,..., α n ，即
U = (α1 , α 2 ,..., α n )
由于AU=UB
λ1 0 ... 0 即 0 λ2 ... 0 A(α1 , α 2 ,..., α n ) = (α1 , α 2 ,..., α n ) ... ... ... 0 0 ... λn
故属于特征值 λ2 = 5 的全部特征向量为
1 k 1, 1 k≠0
1 1 例3 求 A = − 1 1 的全部特征值和特征
向量。
解：由 λ I − A =
λ −1
1
2
−1
λ −1
= (λ − 1) + 1 = 0
得两个特征根：
λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i (复特征根)
−1
A = UBU −1，按性质3，有 由 B = U AU 得
−1
A = UB U
n n
−1
1 4 1 2 0 = − 1 − 1 0 − 1 3
n
1 1 −1 − 4
4 1 2 n 1 = − 1 − 1 0 3
UB U
m −1
= U (U A U )U
m
−1
−1
= (UU −1 ) Am (UU −1 ) = IAm I = Am
这样
A = UB U
m m −1
= U diag(λ , λ ,..., λ ) U
m 1 m 2 m n
−1
例4 矩阵
5 −1 2 A = −1 − 3 0 2 3 − 2
能否对角化？
解：由定理2.1，问题转化为该矩阵是否 存在三个线性无关的特征向量。
λ −2
−5 1 0 = (λ + 1)3 = 0 λ+2
由 λI − A = 1
−2
λ +3
−3
知A有三重特征值 λ = −1
将 λ = −1代入齐次线性方程组 (λI − A) x = 0 对系数矩阵 − I − A 施行初等行变换：
对角化。
解：首先求特征值，由
λ −1
λI − A = −2
−3 −2 −3 −3
λ −1
−3
λ −6
= λ 3 − 8λ 2 − 9λ = 0
得三个互异的特征值 λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 9
由定理2.2的推论，A是可以对角化的。 于是，求特征向量。 将 λ1 = 0 代入线性方程组 (λ1 I − A) x = 0 对系数矩阵施行初等行变换：
概率与线性 代数初步
主讲人： 主讲人：
第2章 相似矩阵与二次型 章
主要内容： 主要内容： 一、相似矩阵 二、特征值和特征向量 三、矩阵可对角化的条件
一、相似矩阵
定义2.1（相似） 定义 （相似）对于同阶方阵A与B， 若存在可逆矩阵U，使得 B = U AU ， 则称A与B是相似的，记为A～B。
−1
例1 若 B = U −1 AU ，其中
4 3 4 1 U = , A = −1 − 2 −1 −1
试求 A（n为正整数）。
n
1 1 1 ，于是 解：容易求得 U = 3 −1 − 4 1 4 4 1 3 1 1 −1 B = U AU = − 1 − 2 − 1 − 1 −1 − 4 3 2 0 = 0 − 1
− 1 − 2 − 3 − 1 − 2 − 3 1 0 1 3 3 → 0 1 1 − 2 − 1 − 3 → 0 − 3 − 3 − 6 0 3 3 0 0 0
得一般解 x 2 = − x3 , x1 = − x3 。令 x3 = 1
对于 λ1 = 1 + i ，解齐次线性方程组 (λ1 I − A) x = 0 利用初等行变换变换其系数矩阵：
i − 1 1 i 1 i 1 i → i − 1 → 0 0 − i 一般解 x1 = −ix2 ，于是一个基础解系为 1
得方程组 (λ2 I − A) x = 0 的一般解 x1 = ix2
i 从而得到一个基础解系 1
故属于λ2 = 1 − i 的全部特征向量为
i k , k ≠ 0 为任意复数. 1
说明： 说明： 若限于实数范围内，例3讨论的矩阵A没有 特征值，因而也就没有特征向量。 相似矩阵还有如下性质： 性质4 相似矩阵有相同的特征多项式和 性质 特征值。
1 0 1 n (−1) − 1 − 4
2 n + 2 − (−1) n 1 = n 3 − 2 + (−1) n
4(2 n − (−1) n ) n n − 2 + 4(−1)
二、特征值和特征向量
由上例可见，若方阵A相似于对角方阵B， 亦即存在可逆矩阵U，使得B＝U－1AU ， 而B为对角方阵，则计算A的正整数幂就 B A 较简单。 那么，怎样的矩阵A能相似于对角矩阵？ 又如何求对角矩阵B及可逆矩阵U？
2 0 1 2 0 1 2 0 − 3 − 5 1 1 2 0 → − 3 − 5 1 → 0 1 1 → 0 1 1 1 − 2 − 3 1 − 2 − 3 1 0 1 1 0 0 0
λ ，齐次线性方程组 (λI − A)α = 0 的一切
非零解就是属于它的全部特征向量。 这样，我们就得到求矩阵A的全部特征值 和特征向量的方法。
步骤： 步骤： 第一步，计算行列式 λI − A ，并求出 第一步
λI − A = 0 的全部根，即A的特征值。
第二步，对于每一个特征值 λ0 ，求齐次 第二步 线性方程组 (λ0 I − A) x = 0的一个基础解系

则属于 λ1 = 1 + i 的全部特征向量为
− i k , k ≠ 0 为任意复数。 1
类似地，对于 λ2 = 1 − i ，由
− i − 1 1 − i 1 − i 1 − i → − i − 1 → 0 0
式 | λ I − A |= 0 表明，A的特征值必定是 特征方程的根。 反之，若λ 是式 | λ I − A |= 0 的根，则方 程组 (λI − A)α = 0 有非零解 α ，亦即有非零 向量α 使得 Aα = λα ，即 λ 是特征值。
总之，A的全部特征值就是特征方程的全 部的根(实根和虚根)，而对每一个特征值
三、矩阵可对角化的条件