(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域

第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页

)

1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋

1

2－x

的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2}

2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2

－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．

答案：{－1，0，3}

解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．

3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x

5x ＋1

的值域为____________．

答案：⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

y|y≠25

解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠2

5

，∴ 值

域为

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0

，g(x)＝1x ；

② f(x)＝

x x

，g(x)＝x ；

③ f(x)＝x 2

，g(x)＝(x)4

；

④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩

⎪⎨⎪

⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.

答案：④

解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．

5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2

－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．

答案：[2，4]

解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2

－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]．

1. 函数的定义域

(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤

① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．

③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．

② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．

④ y ＝a x

，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π

2

，k ∈Z }．

⑥ 函数f(x)＝x a

的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域

(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．

(2) 基本初等函数的值域

① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．

② y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b

2

4a

，＋∞)；当a<0时，值域

为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 2

4a ． ③ y ＝k

x

(k≠0)的值域为{y|y≠0}．

④ y ＝a x

(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值

一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；

(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]

题型1 求函数的定义域

例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝1

2－|x|＋lg(3x ＋1)；

(2) y ＝4－x

2

ln （x ＋1）

.

解：(1)由⎩⎪⎨⎪

⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0 ⎩

⎪

⎨⎪⎧x≠－2且x≠2，

x>－1

3

，

解得x>－1

3

且x≠2，

所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>－13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2

≥0 ⎩

⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，

－2≤x≤2， 解得－1

所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练

(1) 求函数y ＝（x ＋1）

|x|－x

的定义域；

(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）

x －1

的定义域．

解：(1) 由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0， 所以x<－1或－1

(2) 由⎩

⎪⎨⎪⎧x －1≠0，

0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．

题型2 求函数的值域

例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；

(2) y ＝x 2

－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1

x ＋1，x ∈[3，5]；

(4) y ＝x 2

－4x ＋5

x －1

(x>1)．