第四章应力与应变关系
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地球物理场论 I
海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系
宋 鹏
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变Biblioteka Baidu系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点 分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)
图4-2 应变主轴
各向同性体的广义虎克定律
如图4-2所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主 轴，对应的剪应变 23 31 12 0 。现取 x, y, z 轴 分别为1，2，3轴，则由广义虎克定律第4式得：
23 C41 1 C42 2 C43 3
（a）
2 t 2 2 3 t 2 3
(j)
常数 和 称为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅 常数。
各向同性体的广义虎克定律 (三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系 应力与应变关系 在各向同性弹性体中，设 oxyz 为任意正交坐标系 ，它的三个轴与坐标系 O123 应力主轴的方向余弦分别 (l 为 (l1 ', m1 ', n1 ') 、2 ', m2 ', n2 ') 和 (l3 ', m3 ', n3 ')，因为1，2，3轴是 主轴，主轴方向的剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
yz
) 0 yz (
f1 zx
) 0 zx (
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变 分量等于零时的值，而 ( f1 ) 0 实际上代表初应力，由于无 初应力假设 ( f1 ) 0 等于零。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关 系式简化为： x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz C 25 zx C 26 xy z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz C 35 zx C 36 xy （4-3b） yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz C 45 zx C 46 xy zx C 51 x C 52 y C 53 z C 54 yz C 55 zx C 56 xy xy C 61 x C 62 y C 63 z C 64 yz C 65 zx C 66 xy
在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中可 看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线 (一)弹性阶段——OB段 在此段内，撤去外力时 ( , )，将沿OB线恢复回原 点O，即变形完全消失。通常为 B 称为弹性极限。而 OA段为直线，说明当 A 时， ( , ) 成线性关 系 即 (4-1) E
l1 n3 cos180 1 m2 cos 0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos 90 0
各向同性体的广义虎克定律 因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该 等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应 该不随方向面改变，故取 x, y, z 分别为1′，2′和3′ 轴，同样由式（4-3）第4式得：
C11 C 22 C33 a 2
(g)
由于各向同性，ε2和ε3对 1 的影响相同，ε2和ε3 对 1 的影响应与 3 和 1对 2的影响， 1和ε2对 3 的影 响相同，这样
C12 C 21 C13 C31 C 23 C32 b
广义虎克定律--应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性 模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 A 则称为 比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。 A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B 和比例极限 A并不严格区分。这种情况下，横向应变 ' 与轴向 应变 绝对值之比一般是常数，即
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段 当 B 后，出现应变增加很快，而应力在很小 范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增 加的现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 S 称屈 服极限。 (三)强化阶段——CD段
f 2 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 3 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 4 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 5 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位
移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要 6个方程才能求解弹性动力学问题。
应力与应变关系
x x v y y w z z v u xy x y w v yz y z u w zx z x u
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力 ，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的 强化，强化阶段中的最高点D所对应的 D 称为强度极 限。
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，
继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
式中 1 , 2 和 3 为该点主应变(对应1，2，3轴)。 将此坐标系绕2轴转180°，得新的坐标轴1′，2′， 3′，以 (l1 , m1 , n1 ) , (l2 , m2 , n2 ) 和 (l3 , m3 , n3 ) 分别表示 1′，2′，3′轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应 变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例 如对 x ，可得：
x ( f1 ) 0 (
(
f1 x f1
)0 x (
f1 y
)0 y (
f1 z
) 0 z f1 ) 0 xy
23 C41 1 C42 2 C43 3
(e)
（a）与(e)比较，可知 23 23
各向同性体的广义虎克定律
欲使上式成立，只有 23 0 。同理可证 12 31 0 。 这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而 证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴 重合。
广义虎克定律 上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。 上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数 Cmn ( m,n 1,2, ,6) 是 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
广义虎克定律
x C11 y C 21 C z 31 yz C 41 C zx 51 xy C 61 C12 C 22 C32 C 42 C52 C 62 C13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 63 C14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 64 C15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 65 C16 x C 26 y C 36 z C 46 yz C 56 zx C 66 xy
(4-4)
可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只 有21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性 常数独立。
各向同性体的广义虎克定律
如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相 同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常 数。 （一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。
(二)再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数 设所取的坐标轴为应力和应变主轴，则
1 C11 1 C12 2 C13 3 2 C 21 1 C 22 2 C 23 3 3 C31 1 C32 2 C33 3
(f)
各向同性体的广义虎克定律 式中表示 C ij 表示在 j 轴方向单位主应变引起 i 轴 方向的主应力大小。对于各向同性体， 1 对 1 的影响 应与 2 对 2 的影响， 3 对 3 的影响相同，故：
2 '3' C41 1 ' C42 2 ' C43 3 '
（b）
式中， ' 2 '和 3 '为该点主应变(对应1′，2′， 1 3′轴)，而由转轴应力分量变换公式得：
2 '3' n3 m2 23 23
各向同性体的广义虎克定律 又由转轴应变分量变换公式(3-12)得 1 ' l12 1 1 2 2 ' m2 2 2 (d) 2 3 ' n3 3 3 (c)，(d)代入(b)则有
(h)
各向同性体的广义虎克定律 由(g)和(h)可知，对应力和应变主轴而言，只有两 个弹性常数是独立的分别用a和b表示，则由(f)知 1 a 1 b ( 2 3 ) 2 a 2 b ( 3 1 ) (i) 3 a 3 b ( 1 2 ) 令 a b 2 ，b 且 t 1 2 3 则（i）变为 1 t 2 1
X x xy x xz x
yx y y y yz y
zx z zy z z z
2u X 2 t 2v Y 2 t 2w Z 2 t
在纯剪应力作用时， xy与 xy 也成正比， xy G xy ，
比例系数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分 量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。 它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量 形式表示为：
x f1 ( x , y , z , yz , zx , xy ) y z yz zx xy
平衡运动微分方程
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的 关系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即
还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的
关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量 的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克
定律。
广义虎克定律--应力应变曲线
海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系
宋 鹏
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变Biblioteka Baidu系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点 分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)
图4-2 应变主轴
各向同性体的广义虎克定律
如图4-2所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主 轴，对应的剪应变 23 31 12 0 。现取 x, y, z 轴 分别为1，2，3轴，则由广义虎克定律第4式得：
23 C41 1 C42 2 C43 3
（a）
2 t 2 2 3 t 2 3
(j)
常数 和 称为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅 常数。
各向同性体的广义虎克定律 (三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系 应力与应变关系 在各向同性弹性体中，设 oxyz 为任意正交坐标系 ，它的三个轴与坐标系 O123 应力主轴的方向余弦分别 (l 为 (l1 ', m1 ', n1 ') 、2 ', m2 ', n2 ') 和 (l3 ', m3 ', n3 ')，因为1，2，3轴是 主轴，主轴方向的剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
yz
) 0 yz (
f1 zx
) 0 zx (
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变 分量等于零时的值，而 ( f1 ) 0 实际上代表初应力，由于无 初应力假设 ( f1 ) 0 等于零。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关 系式简化为： x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz C 25 zx C 26 xy z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz C 35 zx C 36 xy （4-3b） yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz C 45 zx C 46 xy zx C 51 x C 52 y C 53 z C 54 yz C 55 zx C 56 xy xy C 61 x C 62 y C 63 z C 64 yz C 65 zx C 66 xy
在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中可 看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线 (一)弹性阶段——OB段 在此段内，撤去外力时 ( , )，将沿OB线恢复回原 点O，即变形完全消失。通常为 B 称为弹性极限。而 OA段为直线，说明当 A 时， ( , ) 成线性关 系 即 (4-1) E
l1 n3 cos180 1 m2 cos 0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos 90 0
各向同性体的广义虎克定律 因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该 等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应 该不随方向面改变，故取 x, y, z 分别为1′，2′和3′ 轴，同样由式（4-3）第4式得：
C11 C 22 C33 a 2
(g)
由于各向同性，ε2和ε3对 1 的影响相同，ε2和ε3 对 1 的影响应与 3 和 1对 2的影响， 1和ε2对 3 的影 响相同，这样
C12 C 21 C13 C31 C 23 C32 b
广义虎克定律--应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性 模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 A 则称为 比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。 A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B 和比例极限 A并不严格区分。这种情况下，横向应变 ' 与轴向 应变 绝对值之比一般是常数，即
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段 当 B 后，出现应变增加很快，而应力在很小 范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增 加的现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 S 称屈 服极限。 (三)强化阶段——CD段
f 2 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 3 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 4 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 5 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位
移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要 6个方程才能求解弹性动力学问题。
应力与应变关系
x x v y y w z z v u xy x y w v yz y z u w zx z x u
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力 ，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的 强化，强化阶段中的最高点D所对应的 D 称为强度极 限。
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，
继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
式中 1 , 2 和 3 为该点主应变(对应1，2，3轴)。 将此坐标系绕2轴转180°，得新的坐标轴1′，2′， 3′，以 (l1 , m1 , n1 ) , (l2 , m2 , n2 ) 和 (l3 , m3 , n3 ) 分别表示 1′，2′，3′轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应 变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例 如对 x ，可得：
x ( f1 ) 0 (
(
f1 x f1
)0 x (
f1 y
)0 y (
f1 z
) 0 z f1 ) 0 xy
23 C41 1 C42 2 C43 3
(e)
（a）与(e)比较，可知 23 23
各向同性体的广义虎克定律
欲使上式成立，只有 23 0 。同理可证 12 31 0 。 这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而 证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴 重合。
广义虎克定律 上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。 上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数 Cmn ( m,n 1,2, ,6) 是 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
广义虎克定律
x C11 y C 21 C z 31 yz C 41 C zx 51 xy C 61 C12 C 22 C32 C 42 C52 C 62 C13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 63 C14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 64 C15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 65 C16 x C 26 y C 36 z C 46 yz C 56 zx C 66 xy
(4-4)
可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只 有21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性 常数独立。
各向同性体的广义虎克定律
如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相 同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常 数。 （一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。
(二)再来确定各向同性弹性体独立弹性常数的个数 设所取的坐标轴为应力和应变主轴，则
1 C11 1 C12 2 C13 3 2 C 21 1 C 22 2 C 23 3 3 C31 1 C32 2 C33 3
(f)
各向同性体的广义虎克定律 式中表示 C ij 表示在 j 轴方向单位主应变引起 i 轴 方向的主应力大小。对于各向同性体， 1 对 1 的影响 应与 2 对 2 的影响， 3 对 3 的影响相同，故：
2 '3' C41 1 ' C42 2 ' C43 3 '
（b）
式中， ' 2 '和 3 '为该点主应变(对应1′，2′， 1 3′轴)，而由转轴应力分量变换公式得：
2 '3' n3 m2 23 23
各向同性体的广义虎克定律 又由转轴应变分量变换公式(3-12)得 1 ' l12 1 1 2 2 ' m2 2 2 (d) 2 3 ' n3 3 3 (c)，(d)代入(b)则有
(h)
各向同性体的广义虎克定律 由(g)和(h)可知，对应力和应变主轴而言，只有两 个弹性常数是独立的分别用a和b表示，则由(f)知 1 a 1 b ( 2 3 ) 2 a 2 b ( 3 1 ) (i) 3 a 3 b ( 1 2 ) 令 a b 2 ，b 且 t 1 2 3 则（i）变为 1 t 2 1
X x xy x xz x
yx y y y yz y
zx z zy z z z
2u X 2 t 2v Y 2 t 2w Z 2 t
在纯剪应力作用时， xy与 xy 也成正比， xy G xy ，
比例系数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分 量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。 它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量 形式表示为：
x f1 ( x , y , z , yz , zx , xy ) y z yz zx xy
平衡运动微分方程
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的 关系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即
还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的
关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量 的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克
定律。
广义虎克定律--应力应变曲线