第四章应力与应变关系
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
17.04.2020
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
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16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
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17.04.2020
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
弹塑性力学第四章
x
y
)
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§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
1 有限元-应力应变关系
p 时，应力与应 线弹性阶段， 变成比例。
E
E
上 海 交 通 大 学
SJTU
纯剪切应力状态下，线弹性阶段， p 时，切应力与切应变成比例。
o
p
G
G
G
剪切弹性模量（Shear Modulus)
Robert Hooke－England Scientist
y
x
x
x
y
z
z
上 海 交 通 大 学
SJTU
x
z
z
1 x
x
E
线应变 x : 同样可以得 到y 和 z
2 2 x y
y
E 3 x z3 z E
1 x 2 x 3 x
x
x ( y z )
b
上 海 交 通 大 学
SJTU
2 无屈服、强化和局部变形现象，衡
量其强度的唯一指标是强度极限。
3 受拉直至断裂，变形很小，横截面
o
的大小几乎无变化。
0.4 ~ 0.5%
典型脆性材料
材料力学 Mechanics of Materials
第四章 应力－应变关系
其他塑性材料的拉伸 1.7 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为
断口
1 低碳钢拉伸
2
颈缩阶段－滑移线
上 海 交 通 大 学
SJTU
低碳钢（受拉）
铸铁（受压）
混凝土（受压）
铸铁（受拉）
材料力学 Mechanics of Materials
第四章 应力－应变关系
第四章应力与应变关系
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
对 ， 可x 得：
x (f1)0(f1x)0x (f1y)0y (f1z)0z
( f1
yz
)0yz
(f1zx)0zx
(f1xy)0xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f 1 际) 0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f 1零) 0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
3 t 2 3
和 称 为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅常数
各向同性体的广义虎克定律
(三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应 力与应变关系
在各向同性弹性体中，设 o为x y任z 意正交坐标系，它
的三个轴与坐标系 应O力12主3 轴的方向余弦分别为 、 (l1 ',m1和',n1 ') (l2，',m因2 ',n为2 ')1，(2l3，',m33 ',轴n3是') 主轴，主轴方向的 剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
系O123各轴的方向余弦，知:
l1 n3 cos180 1 m2 cos0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos90 0
各向同性体的广义虎克定律
因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等
于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应
该不随方向面改变，故取 x, y分, z别为1′，2′和3′轴，同
上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cm n(m ,n1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
动荷载下土的应力应变关系
4．3．1 等效线性模型（Hardin-Drnevich 模型）
等效线性模型就是将土视为粘弹性体，采用等效弹性模量 E 或 G 和等效阻尼比 λ 来反
映土体动应力～动应变关系的非线性与滞后性。并且将模量与阻尼比表示为动应变幅的函
数，即 Ed = E(ε d )， λ = λ(ε d ) 或 Gd = G(ε d )， λ = λ(ε d ) ，同时在确定上述关系中考
4．2 应力应变关系的力学模型
从土受力后的表现可以抽象出以下三个基本力学元件（即弹性元件、粘性元件和塑性元 件），并且可用这三个元件的组合来近似地描述土的力学性能。
如果在上述每种力学元件上作用的应力σ 为往返动应力，即σ d = σ m sin ω ⋅ t ，则可以
看出，对于弹性元件（Hooke 模型），动应力应变关系为过原点的一条斜直线（如图 4-4a）， 直线的斜率取决于弹性元件的弹性模量 E，应力应变曲线内的面积等于零。对塑性元件
σ d ≥ σ 0 时为粘性元件的关系，因此组合成一个
如图 4-9 所示的曲线形态。
图 4－8
6
σ
σ σ0 o −σ0
σ0
c (Bigham 体)
σ
σ
σ
0
σ0
σc o εd
E1
σ
σ
E2
σ0
σd
σ0 1
o E
−σ0 1
E1 E 1 εd
图 4-9
图 4-10
对于双曲线模式如图 4-10 所示，当 σ d ≤ σ 0 时，σ d = (E1 + E2 )ε d ；当 σ d ≥ σ 0 时，
（3）变形积累性
由于土体在受荷过程中会产生不可恢复的塑性变形，这一部分变形在循环荷载的作用下
第四章 应力和应变的关系
σ = c ε + c (ε + ε ) y 11 y 12 x z σ z = c11ε z + c12 (ε x + ε y )
σ x = c11ε x + c12 (ε y + ε z )
τ = c 44 γ xy xy τ =c γ 44 yz yz τ zx = c 44 γ zx
= c 44 γ
= c 44 γ
xy
yz
τ
zx
= c 44 γ
zx
第三节 各向同性体中的弹性常数 当绕Z轴转一角度 α 时，即 x y
m1 = sin α
z ( z ')
z
n1 = 0 n2 = 0 n3 = 1
x
x'
y'
α
y
x′
y′
l1 = cos α
α
l2 = − sin α m2 = cos α l3 = 0 m3 = 0
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
第四章应力应变关系
4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。
由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。
前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。
弹性力学第四章应力应变
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
第四章 应力和应变关系
第四章应力和应变关系内容介绍 知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程。
设等温过程中，输入物体的单位体积热量为d Q ，熵的增量为d S ，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有因为 ，d Q=TdS ， 所以， Q=TS 。
上式中，T 为绝对温度，TS 为输入单位体积的热能。
代入公式可得所以 。
上式中，E 0为物体单位体积的内能，TS 为输入的热能，即U 0=E 0 - TS 。
所以在等温条件下，功能公式仍然成立。
上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和材料的性质的限制。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此根据齐次函数的欧拉定理，可得即用张量表示，写作设物体的体积为V ，整个物体的应变能为 。
由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。
本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。
若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的一般表达式为这里的函数f i （i =1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。
对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。
但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。
这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小变形问题。
对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
例如将的第一式展开，可得上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
第4章 真实应力——应变曲线
一、拉伸图和条件应力-应变曲线
条件应力----应变曲线 最大拉力点b----强度极限。b点以后继续拉伸 ，试样断面出现局部收缩，形成所谓缩颈，此后，应力逐渐减小，曲 线下降，直至k点发生断裂。
对于大多数金属，没有明显的屈服点（屈服平台），典型的应力-应变曲线如下图 所示。这时的屈服应力规定用ε=0.2%时的应力表示，即σ0.2
n=0 理想刚塑性 线弹性
抛物线型真实应力——应变曲线的经验方程
在失稳点b处， 由于
只要知道失稳点的真实应力Sb和对数应变∈b ，抛物线型真实应力——应变曲线方程即可 求得。
(2) 初始屈服应力 的冷变形金属材料
➢刚塑性硬化材料模型 刚塑性非线性硬化材料模型
的数学表达式为
S
➢适合于预先经过冷加工 s
该斜线与横坐标轴的交点到失稳点横坐标的距离为 = 1 。
四、真实应力——应变曲线的简化形式
一般由实验得到的真应力—真应变曲线（等效应力—等效 应变曲线）比较复杂，不能用简单的函数形式来描述，在应用方 面也不方便。因此通常都将实验得到的曲线处理成可以用某种函 数表达的形式
(1)抛物线形状
幂指数硬化材料模型
包申格效应：随加载路线和方向不同而屈服应力降低的现象。
二、拉伸时的真实应力——应变曲线
（一）
真实应力 相对伸长 相对断面收缩
F试样瞬时断面积。
对数应变（真实应变） l——试样的瞬时长度 dl——瞬时的长度改变量
当试样l0拉伸至l1时，总的真实应变为：
在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态：
当在小变形时 ，可以认为，
的金属材料。材料在屈 服前为刚性的，屈服后 硬化曲线接近于抛物线
应力应变关系
第四章 应力应变关系前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。
应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。
这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。
本章开始将研究材料的性质。
这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。
下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。
作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。
事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。
它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。
低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。
这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。
固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。
力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。
材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。
这种试验通常是在常温（室温）下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
5l d =一、低碳钢拉伸试验按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。
图4－1所示是一根中间直径为d 的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。
试件中间取一段长度为l 的等直部分作为标距。
对圆截面标准试件，规定标距l 与直径d 的关系为 ，或，分别称为10倍试件和5倍试件。
试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为10l d==l和l =，其中A 为试件的横截面面积。
弹性力学 第04章应力和应变关系
第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。
这样，物体的弹性常数从21个变为13个。
若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。
第4章 应力与应变
E
图4-9 低碳钢的力学性能曲线
这一变形规律称为Hooke(虎克)定律
21
22
3)断后伸长率和断面收缩率
A L1 L0 100 % L0
Z S0 Su 100 % S0
(注意A与的区别)
23
4)卸载规律及冷作硬化
卸载规律：试样加载到超过屈服强度后卸载，卸 载线平行OP；若再次加载，加载线沿卸载线上 升，因此加载的应力应变关系符合虎克定律。
4
工程上所称的应力就是正应力与切应力
➢应力的单位为N/m2或Pa，因Pa这个单位太小，工 程中常用的应力单位为MPa，1MPa=1000000Pa。
➢内力系在截面上的分布情况，可用正应力和切应力 表示。截面上内力系的分布规律即为应力的分布规律， 内力分量也就是截面上的应力系向截面形心简化的结 果。应力分量反映截面上各点内力作用的强弱程度， 反映各点处的变形情况。因此，应力分量表示了一点 处的危险程度，是建立构件强度条件的力学量。
第4章 应力与应变
正应力与切应力 一点处应力状态的概念
正应变与切应变
材料的力学性能及其测试
线弹性材料的物性关系
1
4.1 正应力与切应力 第
4 4.2 一点处应力状态的概念 章
应 4.3 正应变与切应变
力
与 4.4 材料的力学性能及其测试
应
变 4.5 线弹性材料的物性关系
目录
2
4.l 正应力与切应力
9
4.2 一点处应力状态的概念
(1)问题的提出
凡提到“应力”，必须指 明作用在哪一点，哪个(方向) 截面上，因为受力构件内同一 截面上不同点的应力是不同的， 通过同一点不同(方向)截面上 应力也是不同的。例如：
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
弹性力学第四章应力应变
弹性力学问题的求解方法
解析法
通过数学手段，将弹性力学问题转化为数学方程，如微分方程或积 分方程，然后求解这些方程得到弹性体的应力和应变。
数值法
对于一些难以解析求解的弹性力学问题，可以采用数值方法进行求 解，如有限元法、有限差分法等。
实验法
通过实验手段测量弹性体的应力和应变，如拉伸、压缩、弯曲等实验。
本构方程描述了物体内部的应力与应变之间的关系，是材料力学性质的表现。
本构方程的数学表达式因材料而异，对于线性弹性材料，本构方程为：$sigma_{ij} = lambda epsilon_{kk} + 2mu epsilon_{ij}$，其中$lambda$和$mu$分别为拉梅 常数。
04
弹性力学问题解法
01
材料性能评估
利用弹性力学理论，可以对材料的性能进行评估，包括材料的弹性模量、
泊松比、剪切模量等参数，为材料的加工和应用提供依据。
02
材料结构设计
通过弹性力学理论，可以对材料进行结构设计，通过调整材料的微观结
构和组分，优化材料的性能，提高材料的承载能力和稳定性。
03
材料失效分析
弹性力学还可以用于材料失效分析，通过分析材料的应力分布和应变状
分类
单位
根据不同的分类标准，应变可以 分为多种类型，如线应变、角应 变、剪应变等。
应变的单位是单位长度上的变形 量，常用的单位有百分数、弧度 等。
应变状态
01
02
03
单轴应变
当物体受到单向拉伸或压 缩时，只在某一方向上发 生形变，其他方向上保持 不变。
多轴应变
当物体受到多方向上的作 用力时，会在多个方向上 发生形变，形变情况比较 复杂。
第四章应力与应变关系本构方程
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
常数关系:
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
本构方程：
x
x
Ex
xy y
Ey
xz z
Ez
y
y
Ey
yx x
Ex
yz z
Ez
z
z
Ez
zy y
Ey
zx x
Ex
xy
xy
Gxy
yz
yz
Gyz
zx
zx
Gzx
4－4 层向同性体的本构方程
层向同性材料，弹性常数有5个
C11 C12 C13 C23 C55 C66
C44
1 2
第四章 应力与应变关系 本构方程
4―1 4－2 4－3 4－4 4－5
广义虎克定律 应变能、应变能与弹性常数的关系 正交各向异性体的本构方程 层向同性体的本构方程 各向同性体的本构方程
4―1 广义虎克定律
一、单向虎克定律
E
二、广义虎克定律的一般形式
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
四弹性常数之间的关系36个常数就变为21个常数对于完全的各向异性弹性体有21个弹性常数对于具有一个弹性对称面的各向异性材料具有13个弹性常数对于正交各向异性材料弹性常数有9个对于层向同性材料弹性常数有5个对于各向同性材料弹性常数有2个43正交各向异性体的本构方程对于正交各向异性材料弹性常数有9个本构方程
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平衡运动微分方程
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的 关系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即
还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的
关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量 的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克
定律。
广义虎克定律--应力应变曲线
式中 1 , 2 和 3 为该点主应变(对应1，2，3轴)。 将此坐标系绕2轴转180°，得新的坐标轴1′，2′， 3′，以 (l1 , m1 , n1 ) , (l2 , m2 , n2 ) 和 (l3 , m3 , n3 ) 分别表示 1′，2′，3′轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:
f 2 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 3 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 4 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 5 ( x , y , z , yz , zx , xy ) f 6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中可 看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线 (一)弹性阶段——OB段 在此段内，撤去外力时 ( , )，将沿OB线恢复回原 点O，即变形完全消失。通常为 B 称为弹性极限。而 OA段为直线，说明当 A 时， ( , ) 成线性关 系 即 (4-1) E
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应 变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例 如对 x ，可得：
x ( f1 ) 0 (
(
f1 x f1
)0 x (
f1 y
)0 y (
f1 z
) 0 z f1 ) 0 xy
地球物理场论 I
海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系
宋 鹏
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变关系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点 分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)
广义虎克定律
x C11 y C 21 C z 31 yz C 41 C zx 51 xy C 61 C12 C 22 C32 C 42 C52 C 62 C13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 63 C14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 64 C15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 65 C16 x C 26 y C 36 z C 46 yz C 56 zx C 66 xy
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力 ，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的 强化，强化阶段中的最高点D所对应的 D 称为强度极 限。
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，
继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
C11 C 22 C33 a 2
(g)
由于各向同性，ε2和ε3对 1 的影响相同，ε2和ε3 对 1 的影响应与 3 和 1对 2的影响， 1和ε2对 3 的影 响相同，这样
C12 C 21 C13 C31 C 23 C32 b
在纯剪应力作用时， xy与 xy 也成正比， xy G xy ，
比例系数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分 量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。 它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量 形式表示为：
x f1 ( x , y , z , yz , zx , xy ) y z yz zx xy
(h)
各向同性体的广义虎克定律 由(g)和(h)可知，对应力和应变主轴而言，只有两 个弹性常数是独立的分别用a和b表示，则由(f)知 1 a 1 b ( 2 3 ) 2 a 2 b ( 3 1 ) (i) 3 a 3 b ( 1 2 ) 令 a b 2 ，b 且 t 1 2 3 则（i）变为 1 t 2 1
பைடு நூலகம்
图4-2 应变主轴
各向同性体的广义虎克定律
如图4-2所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主 轴，对应的剪应变 23 31 12 0 。现取 x, y, z 轴 分别为1，2，3轴，则由广义虎克定律第4式得：
23 C41 1 C42 2 C43 3
（a）
X x xy x xz x
yx y y y yz y
zx z zy z z z
2u X 2 t 2v Y 2 t 2w Z 2 t
23 C41 1 C42 2 C43 3
(e)
（a）与(e)比较，可知 23 23
各向同性体的广义虎克定律
欲使上式成立，只有 23 0 。同理可证 12 31 0 。 这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而 证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴 重合。
广义虎克定律 上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。 上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数 Cmn ( m,n 1,2, ,6) 是 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
yz
) 0 yz (
f1 zx
) 0 zx (
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变 分量等于零时的值，而 ( f1 ) 0 实际上代表初应力，由于无 初应力假设 ( f1 ) 0 等于零。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关 系式简化为： x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
2 t 2 2 3 t 2 3
(j)
常数 和 称为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅 常数。
各向同性体的广义虎克定律 (三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系 应力与应变关系 在各向同性弹性体中，设 oxyz 为任意正交坐标系 ，它的三个轴与坐标系 O123 应力主轴的方向余弦分别 (l 为 (l1 ', m1 ', n1 ') 、2 ', m2 ', n2 ') 和 (l3 ', m3 ', n3 ')，因为1，2，3轴是 主轴，主轴方向的剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段 当 B 后，出现应变增加很快，而应力在很小 范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增 加的现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 S 称屈 服极限。 (三)强化阶段——CD段
2 '3' C41 1 ' C42 2 ' C43 3 '
（b）
式中， ' 2 '和 3 '为该点主应变(对应1′，2′， 1 3′轴)，而由转轴应力分量变换公式得：
2 '3' n3 m2 23 23
各向同性体的广义虎克定律 又由转轴应变分量变换公式(3-12)得 1 ' l12 1 1 2 2 ' m2 2 2 (d) 2 3 ' n3 3 3 (c)，(d)代入(b)则有
广义虎克定律--应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性 模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 A 则称为 比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。 A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B 和比例极限 A并不严格区分。这种情况下，横向应变 ' 与轴向 应变 绝对值之比一般是常数，即
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz C 25 zx C 26 xy z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz C 35 zx C 36 xy （4-3b） yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz C 45 zx C 46 xy zx C 51 x C 52 y C 53 z C 54 yz C 55 zx C 56 xy xy C 61 x C 62 y C 63 z C 64 yz C 65 zx C 66 xy
与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位
移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要 6个方程才能求解弹性动力学问题。
应力与应变关系