江苏省南京市2018年高二数学暑假综合练习

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江苏省南京市2018年高二数学暑假综合练习(一)

高二暑假综合练习（一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。

复数（1＋2i）2的共轭复数是____________．2。

若双曲线错误!－错误!＝1（a、b＞0）的离心率为2,则错误!＝____________。

3。

样本数据11，8，9，10，7的方差是____________．4. 函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________。

5。

已知集合A＝｛2，5｝,在A中可重复的依次取出三个数a、b、c，则“以a、b、c为边恰好构成三角形”的概率是__________．6. 设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6,则错误!·错误!＝____________。

7. 设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线,给出下列四个命题：① 若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；② 若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α,n⊥m，则n⊥β;③ 若m⊥n,m∥α，n∥β，则α⊥β；④ 若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中,所有真命题的序号是____________．8. 已知tanα＝错误!，tanβ＝错误!,且α、β∈（0，π)，则α＋2β＝__________。

9。

右图是一个算法的流程图,最后输出的S＝____________.10。

已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交,则实数m的取值范围为____________．11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0。

1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3。

14，精确到1 m）．12. 已知数列{a n｝满足a1＝2,a n＋1＝错误!(n∈N*）,则数列｛a n｝的前100项的和为____________．13. 已知△ABC的三边长a、b、c满足b＋2c≤3a，c＋2a≤3b,则错误!的取值范围为____________．14。

2018高二数学暑假作业及答案

【导语】着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛苦中，进步是⼀个由量变到质变的过程，只有⾜够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。

⽆忧考⾼⼆频道为你整理了《2018⾼⼆数学暑假作业》，希望对你有所帮助！【⼀】（⼀）选择题（每个题5分，共10⼩题，共50分） 1、抛物线上⼀点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为() A2B3C4D5 2、对于抛物线y2=2x上任意⼀点Q,点P(a,0)都满⾜|PQ|≥|a|,则a的取值范围是() A（0,1）B(0,1)CD(-∞,0) 3、抛物线y2=4ax的焦点坐标是（） A（0,a）B(0,-a)C(a,0)D(-a,0) 4、设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并且满⾜OA⊥OB.则y1y2等于 () A–4p2B4p2C–2p2D2p2 5、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最⼩值时，点P的坐标为（）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2） 6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的⾯积为() （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 7、直线ｙ＝ｘ－3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂⾜分别为P、Q，则梯形APQB的⾯积为（）（A）48.（B）56（C）64（D）72. 8、(2011年⾼考⼴东卷⽂科8)设圆C与圆外切，与直线相切．则C的圆⼼轨迹为（） A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆 9、已知双曲线：的离⼼率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的⽅程为 (A)(B)(C)(D) 10、（2011年⾼考⼭东卷⽂科9)设M(，)为抛物线C：上⼀点，F为抛物线C的焦点，以F为圆⼼、为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则的取值范围是 (A)(0，2)(B)[0，2](C)(2，+∞)(D)[2，+∞) （⼆）填空题：（每个题5分，共4⼩题，共20分） 11、已知点P是抛物线y2=4x上的动点，那么点P到点A（－1,1）的距离与点P到直线x=－1距离之和最⼩值是。

教育最新K12南京市2018年高二数学暑假综合练习二

高二暑假综合练习（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x R }，则A ∩Z 中元素的个数为 ___________． 2．已知2＋3ii＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝___________．3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ___________．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为___________． 5．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为___________．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为___________．7．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝___________．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝___________．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ___________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是_________．12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有___________．(填写所有正确命题的序号) 13．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为___________．14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为___________．(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋π4)的值．16．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．ABC DA1B1C1 (第16题)17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数；（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若＝，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由；（3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．(第18题)19．设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S ＝3n 2a n ＋S ，a n ≠0，n≥2，n ∈N *．（1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ，使aM 时，数列{a n }是递增数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ．求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为23，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．ABDCP O· (第21A 题)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率P (X ≥7)；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望E (X )．PAB C D E(第22题)高二暑假综合练习（二）参考答案一、填空题．1．4 2．－6 3．4 4．13 5．16．72 7．－5 8．11 9．3610． 2 11．[12，1) 12．②③④ 13．710 14．(－∞，－12－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为a ∥b ，所以1×3－2sin θ×5cos θ＝0， (3)分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝35． (6)分（2）因为a ⊥b ，所以1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分所以tan θ＝－56． (10)分所以tan(θ＋π4)＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝111． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ．因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD Ì平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1Ì平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1． …………………7分（2）(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ，则O 为A 1C 的中点． A B C D A 1 B 1 C 1 （第16题图） OA B C DA 1B 1C 1（第16题图） D 1因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分因为ODÌ平面ADC1，A1B/Ì平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分(证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ．所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B// C 1D ．因为C 1D Ì平面ADC 1，D 1B /Ì平面ADC 1，所以D 1B//平面ADC 1．同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1Ì平面A 1BD 1，D 1B Ì平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1，所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分因为A 1B Ì平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t ＝100－3． …………………2分所以E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v (3，＋¥))． …………………6分（2）E ¢＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2． …………………10分令E ¢＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)．因为k ＞0，v ＞3，所以当v (3，4.5)时，E ¢＜0，当v (4.5，＋¥)时，E ¢＞0．故E ＝100kv 3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋¥)上单调递增．…………13分所以，当v ＝4.5时，E 取得最小值．即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c ＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．所以b 2＝3．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1． …………………4分（2）因为＝，所以x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)，所以直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，所以＝(－1，32)，＝(2，3)． …………………8分因为·＝52≠0，所以点B 不在以PM 为直径的圆上． …………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)．直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以y p ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，所以y p ＝－2y 1x 1－2， …………………12分所以6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，所以6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1．所以点M 的坐标为(1，32)． …………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． ………………4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， …………………6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分（3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，所以直线l 的方程为y ＝－4t327． (10)分令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． (12)分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． …………………小学+初中+高中16分 20．（本小题满分16分）解：（1）在S ＝3n 2a n ＋S 中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ． …………………2分因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．……4分经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S ＝3n 2a n ＋S ．（2）由S ＝3n 2a n ＋S ，得S －S ＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，① ……………6分所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③ ………………8分所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列， ………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数， (12)分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)，解得94＜a ＜154．所以M ＝(94，154)，当aM 时，数列{a n }是递增数列． ………………16分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，所以∠DPA ＝∠PBA ． ………………2分因为AB 为圆O 直径，所以∠APB ＝90°，所以∠BAP ＝90°－∠PBA ． ………………6分因为AD ⊥CP ，所以∠DAP ＝90°－∠DPA ，所以∠DAP ＝∠BAP ． ………………10分ABDCPO· (第21A 题)小学+初中+高中B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程． ………………6分所以⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3． ………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2a ＝0． ………………4分所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2 ＝|1＋a |． ………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，所以r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．证明：因为a ，b 是正数，所以a 2＋4b 2≥4ab ． ………………2分所以a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab ≥24ab ×1—ab＝4．即a 2＋4b 2＋1—ab≥4． ………………10分22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，小学+初中+高中＝(12，0，12)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．因为·＝0，·＝0，所以⊥，⊥．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP Ì平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ． ………………4分（2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·＝0，n ·＝0．因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量． ………………8分因为AE ⊥平面PBC ，所以是平面PBC 的法向量．所以cos<，n >＝＝5714．由此可知，与n 的夹角的余弦值为5714．根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分23．解（1）P (X ＝7)＝＝835，P (X ＝8)＝＝335．所以P （X ≥7）＝1135. ………………………4分（2）P (X ＝6)＝＝1335，P (X ＝5)＝＝835，P (X ＝4)＝＝335．所以随机变量X 的概率分布列为…………………………………………8分所以E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6． ………………………10分。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(12)两角和与差的三角函数

高二暑假作业（12)两角和与差的三角函数考点要求1．熟记两角和与差的正弦､余弦､正切公式；2．灵活运用公式解决问题，如公式的正用､逆用和变形等；3．要学会辩证地看待和角与差角，根据需要可以进行适当的变换．考点梳理1．两角和与差的余弦公式：___ _____．2．两角和与差的正弦公式：______ __．3．两角和与差的正切公式：__ ______．4．几个特殊值:sin15°＝cos75°＝错误!；sin75°＝cos15°＝错误!；tan15°＝2－错误!；tan75°＝2＋错误!．考点精练1．已知cos α＝错误!，α∈错误!，则cos 错误!＝____________．2．计算：错误!＝______________．3．已知sin α·sin β＝1，则cos(α＋β)＝______________．4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝错误!,则cos C ＝____________．5．已知α∈错误!，β∈错误!，sin α＝错误!，cos(α＋β)＝－错误!，则sin β＝______________．6．已知cos α－cos β＝错误!，sin α－sin β＝错误!，则cos （α－β）＝____________．7．已知cos α＝错误!，cos （α＋β)＝－错误!，α，β∈错误!，则β＝____________．8．若θ＝15°，则tan 错误!＋tan 错误!·tan 错误!＋tan 错误!＝____________．9．函数y ＝3sin x －错误!cos x ,x ∈[0，π］的值域是____________．10．求值:错误!．11．已知函数f（x）＝2错误!sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R)．(1) 求函数f（x）的最小正周期及在区间错误!上的最大值和最小值；(2) 若f（x0)＝错误!,x0∈错误!，求cos2x0的值．第12课时两角和与差的三角函数1．错误! 2．错误! 3．－1 提示：cos αcos β＝0． 4．错误!5．错误! 提示:β＝(α＋β)－α,特别注意β的范围．6．错误! 提示：两式平方相加．7．错误! 提示：由已知得cos β＝cos ［（α＋β）－α]＝错误!．8． 1 提示：θ2＋错误!＝45°，tan 错误!＝1．9．错误! 提示：y ＝3sin x －错误!cos x ＝2错误!sin 错误!．10．解：原式＝错误!＝错误!＝错误!．11．解：f (x )＝2sin 错误!．（1） T ＝π，最大值为2,最小值为－1．（2） cos2x 0＝cos 错误!＝错误!．12．解：∵ 2α＋β＝(α＋β）＋α，β＝（α＋β)－α， ∴ 8cos[（α＋β)＋α］＋5cos[（α＋β)－α］＝0,得13cos(α＋β)cos α＝3sin(α＋β）sin α，则tan （α＋β)·tan α＝133．。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(7)函数与方程

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高二暑假作业(7) 函数与方程考点要求1．了解二分法求方程近似解的方法，体会函数的零点与方程根之间的联系，形成用函数观点处理问题的能力；2．会利用函数的图象求方程的解的个数以及研究一元二次方程的根的分布．考点梳理1．一般地，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的________就是二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a ≠0)的值为0时自变量x 的值，也就是__________________________，因此，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根也称为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的____________．2．如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________________，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内________，即存在c ∈(a ，b )，使得________，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．3．对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近______________，进而得到零点近似值的方法叫做____________．考点精练1．若f (x )＝x －1x，则方程f (4x )＝x 的根是____________．2．设函数f (x )对于任意x ∈R 都满足f (3＋x )＝f (3－x )，且方程f (x )＝0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为____________．3．要求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，则下一个有根区间是____________．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数是____________．5．若函数f (x )＝e x ＋x －2的零点在区间(n ，n ＋1)(n ∈Z )内，则n ＝__________．6．若方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是____________．7．若方程x 2－3x ＋m ＝0在[0，2]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围是____________．8．已知方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1，1n ，则正整数n ＝____________．9．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x－1．若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)＝log a(x＋2)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是____________．10．若方程2a＝|a x－1|(a＞0且a≠1)有两个实数解，则实数a的取值范围是____________．11．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1．(1) 若f (x )＞0的解集是(－3，4)，求实数a ，b 的值；(2) 若a 为整数，b ＝a ＋2，且f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求a 的值．12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)．(1) 求证:f (x )在(－1，＋∞)上是增函数；(2) 求证:f (x )＝0没有负数根；(3) 若a ＝3，求方程f (x )＝0的根．(精确到0.1)第7课时函数与方程1． 122． 18 提示：由f (3＋x )＝f (3－x )可知函数f (x )的图象关于x ＝3对称．3． [2，2.5] 4． 2 5． 0 6． [2,52) 7． [2,94) 8． 2 9． (34，2)10．解：令y 1＝2a ，y 2＝|a x－1|，题意即为两函数y 1与y 2有两个不同的交点．分a ＞1与0＜a ＜1两种情况作图，得0＜2a ＜1，∴ a 的取值范围为0＜a ＜12．11．解：(1) 由题意知，－3､4是方程ax 2－bx ＋1＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋1＝0，16a －4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－112，b ＝－112．(2) ∵ b ＝a ＋2，∴ f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1．①若f (x )有两相异实根，且只有一根在(－2，－1)上，则f (－2)·f (－1)＜0，即(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴ －32＜a ＜－56．∵ a ∈Z ，∴ a ＝－1．②若f (x )有两相等实根，且根在(－2，－1)上，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4a ＝0，－2＜a ＋22a ＜－1无解．综上，a ＝－1．12． (1) 证明：f (x )＝a x ＋1－3x ＋1(a ＞1)．∵ 函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝1－3x ＋1在(－1，＋∞)均为增函数，∴ f (x )＝a x ＋1－3x ＋1(a ＞1)在(－1，＋∞)上为增函数．∴ f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2) 证明：当x ∈(－∞，－1)时，3x ＋1恒小于零，故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )恒大于零，∴ f (x )＝0在(－∞，－1)上没有实根；当x ∈(－1，0]时，∵ f (x )在(－1，0]上为增函数，计算f (0)＝－1＜0，故对任意x ∈(－1，0]均有f (x )＜0．∴ 方程f (x )＝0没有负数根．(3) 解：若a ＝3，则f (x )＝3x ＋x －2x ＋1，计算f (0)＝－1＜0，f (1)＝2.5＞0，根据解的存在性定理可知f (x )＝0在(0，1)上有实根．利用二分法可求得它的一个根为0.3．本文档仅供文库使用。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(3)函数的奇偶性

高二暑假作业(3) 函数的奇偶性考点要求1．理解函数奇偶性的概念及其几何意义；2．掌握判断函数奇偶性的方法．考点梳理函数的奇偶性(1) 一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有____________，那么称函数f (x )是偶函数；如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有______________，那么称函数f (x )是奇函数．(2) 如果函数f (x )是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x )具有__________________．(3) 偶函数的图象关于____________对称，奇函数的图象关于____________对称．考点精练1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x ＋2x ，则f (－3)＝____________．2．函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|是____________(填“奇”或“偶”)函数．3．对于定义在R 上的函数f (x )，给出下列三个命题：① 若f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数；② 若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数； ③ 若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确的命题为____________．(填序号)4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝____________．5．已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 3－1，那么当x ∈(－1，0)时，f (x )的表达式是______________．6．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 是奇函数，则k ＝____________．7．设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )＜0的解是____________．8．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－2)与f (a 2－2a ＋3)(a ∈R )的大小关系是__________．9．若函数y ＝f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且在[－1，0]上为减函数，若f (a 2－a －1)＋f (4a －5)＞0，则实数a 的取值范围为____________．10．试判断下列函数的奇偶性：(1) f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x ； (2) f (x )＝1－x 2|x ＋3|－3．11．设f (x )＝－2x＋a 2x ＋1＋b(a 、b 为实常数)． (1) 当a ＝b ＝1时，证明：f (x )不是奇函数；(2) 设f (x )是奇函数，求a 与b 的值．12．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，求实数a 的取值范围．第3课时函数的奇偶性1．－14 提示：f (－3)＝－f (3)．2．偶提示：f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x －2|＋|x ＋2|＝f (x )．3． ②4． 13 提示：b ＝0，(a －1)＋2a ＝0，∴ a ＝13． 5． x 3＋1 提示：当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，则f (－x )＝(－x )3－1＝－x 3－1，又f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )＝－x 3－1，所以当x ∈(－1，0)时，f (x )＝x 3＋1．6． ±1 提示：令f (－1)＝－f (1)．7． (－2，0)∪(2，5] 提示：将图象画完整．8． f (a 2－2a ＋3)≤f (－2) 提示：由f (x )是偶函数知f (－2)＝f (2)，因为(a 2－2a ＋3)－2＝(a －1)2≥0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2－2a ＋3)≤f (－2)．9． 1≤a ＜－3＋33210．解：(1) 函数的定义域为(－2，2)，关于原点对称．由f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x 知f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2－x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．由f (x )＝1－x 2|x ＋3|－3＝1－x 2x 知f (－x )＝1－x 2－x＝－f (x )，故f (x )为奇函数．11．解：(1) f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，所以f (－1)≠－f (1)，f (x )不是奇函数．(2) f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对任意实数x 成立．化简整理得(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b )＝0，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2． 12．解：由于f (x )是偶函数，不等式f (ax ＋1)≤f (x －2)等价于f (|ax ＋1|)≤f (|x －2|)，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴ |ax ＋1|≤|x －2|．∵ 上式不等式在[12,1]上恒成立，∴ |x －2|＝2－x ， ∴ x －2≤ax ＋1≤2－x 在[12,1]上恒成立，即1－3x ≤a ≤1x －1在[12,1]上恒成立． ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x max ＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1min＝0， ∴ 实数a 的取值范围为[－2，0]．。

【小初高学习】南京市2018年高二数学暑假作业20等比数列

高二暑假作业(20) 等比数列考点要求1．理解等比数列的概念和性质；2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．考点梳理1．等比数列的概念(1) 定义∶若数列{a n}从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则数列{a n}叫等比数列；(2) 定义式∶________＝q(q为不等于零的常数)．2．等比数列的通项公式(1) a n＝a1×q n－1； (2) a n＝a m×q n－m．3．等比数列的前n项和公式S n＝____________＝____________．4．等比中项如果a，b，c成等比数列，则b叫做a与c的等比中项，即b＝________．5．等比数列{a n}的两个重要性质(1) m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则________．(2) 若等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n≠0，则S n，S2n－S n，S3n－S2n成________数列．考点精练1．在等比数列{a n}中，已知a1＝1，a k＝243，q＝3，则S k＝__________．2．若等比数列{a n}的前n项和S n＝3n＋a，则a＝__________．3．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为____________．4．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝____________．5．在等比数列{a n}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11＝____________．6．在数列{a n}与{b n}中，a1＝2，4a n＋1－a n＝0(n∈N*)，b n是a n与a n＋1的等比中项，则{b n}的通项公式是____________．7．在等比数列{a n}中，S3＝72，S6＝632，则a n＝____________．8．已知等比数列{a n}的首项为8，前n项和为S n，某同学经计算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是________，该数列的公比是________．9．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q ＝__________．10． (1) 三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数；(2) 由正数组成的等比数列{a n }，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{a n }的通项公式．11．设数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n ＋b (a ，b 为非零实数，q ≠0且q ≠1)．(1) 当a ，b 满足什么关系时，{a n }是等比数列；(2) 若{a n }为等比数列，证明∶以(a n ，S n )为坐标的点都落在同一条直线上．12．已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1，2，…． (1) 求证∶数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列； (2) 记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n ＜100，求最大正整数n .第20课时等比数列1． 364 2．－1 3． 216 4． 32 5． 3 6． ⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1或－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1 7． 2n －12 8． S 2，329．－9 10．解：(1) 由题意，设三个数分别为a q ，a ，aq ，则a 3＝27，所以a ＝3．又⎝ ⎛⎭⎪⎫3q 2＋32＋(3q )2＝91，所以q ＝3或13，所以，三个数分别为1，3，9或9，3，1．(2) 显然，q ≠1．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 2n )1－q ＝11a 1q (1－q 2n )1－q 2，a 1q 2＋a 1q 3＝11(a 1q )(a 1q 3).解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝110，a 1＝10.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110n －2． 11． (1) 解：由S n ＝aq n ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(aq n ＋b )－(aq n －1＋b )＝a (q －1)q n －1，所以a n ＋1a n ＝a (q －1)q na (q －1)q n －1＝q ，故若数列{a n }是等比数列，只要a 1＝S 1＝aq ＋b 符合a (q －1)q n －1的形式即可，所以a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)q 0，所以a ＋b ＝0，所以当a ＋b ＝0时，数列{a n }是等比数列．(2) 证明：当{a n }是等比数列时，S n ＝aq n －a ，a n ＝a (q －1)q n －1，a 1＝a (q －1)，所以S n －S 1a n －a 1＝(aq n －a )－a (q －1)a (q －1)q n －1－a (q －1)＝q q －1(n ≥2)，即以(a n ，S n )为坐标的点都落在恒过点(a 1，S 1)且斜率为qq －1的直线上．12． (1) 证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，得1a n ＋1＝23＋13a n ，∴ 1a n ＋1－1＝13a n －13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1．∵ 1a 1－1≠0，∴ 1a n －1≠0(n ∈N *)，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列． (2) 解：由(1)可求得1a n －1＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，∴ 1a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1． S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n ＝n ＋2·13－131－13＝n ＋1－13n ，若S n ＜100，则n ＋1－13n ＜100，∴ n max ＝99．。

江苏省南京市2018年高二数学暑假综合练习(二)

高二暑假综合练习（二)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A ＝{x ｜x 2＜3x ＋4，x R }，则A ∩Z 中元素的个数为 ___________． 2．已知错误!＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位),则ab ＝___________．3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ___________．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为___________．5．已知非零向量a ，b 满足｜a |＝|a ＋b ｜＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为___________．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为错误!，则线段PF 的长为___________．7．已知等比数列{a n ｝的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则错误!＝___________．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝___________．9．在△ABC 中,角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°, c ＝错误!，则△ABC 的面积为 ___________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0）两点,且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 11．已知函数f (x )＝错误!是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是_________． 12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α,则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若α∩β＝n ,m ∥α, m ∥β，则m ∥n ; ④若α⊥β,m ⊥α，n ⊥β,则m ⊥n ．其中是真命题的有___________．（填写所有正确命题的序号)13．已知直线x ＝a (0＜a ＜错误!)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为___________．14．已知函数f (x ）＝2x 2＋m 的图象与函数g （x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为___________．(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知平面向量a ＝（1，2sin θ)，b ＝（5cos θ，3）．（1)若a ∥b ，求sin2θ的值；（2）若a ⊥b ，求tan （θ＋错误!）的值．16．如图,已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．（1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,求证：AD ⊥DC 1；（2）求证：A 1B//平面ADC 1．17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．ABC D A 1 B 1 C 1(第16题)(1)将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数；（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ,B ，离心率为错误!，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若＝，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由;（3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ,若直线MN 垂直于x 轴,求点M 的坐标．19．设t ＞0,已知函数f (x ）＝x 2(x －t ）的图象与x 轴交于A 、B 两点． (1)求函数f (x )的单调区间；(第18题)(2）设函数y ＝f （x ）在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1］时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；(3)有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f （x ）的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20．已知数列｛a n ｝的首项a 1＝a ，S n 是数列｛a n }的前n 项和,且满足：S ＝3n 2a n ＋S ，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *．（1)若数列｛a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ,使aM 时，数列｛a n ｝是递增数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1:几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ．求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4-2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝错误! 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：错误!＋错误!＝1．（1)求a ，b 的值；(2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－错误!）＝a 截得的弦长为2错误!，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证:a 2＋4b 2＋错误!≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图,PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证:AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．A B D C P O· (第21A 题) P23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1,1，2,2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；(2)求X的概率分布列，并求其数学期望E（X)．高二暑假综合练习(二）参考答案一、填空题．1．4 2．－6 3．4 4．错误! 5．1 6．727．－5 8．11 9．错误! 10．错误! 11．[错误!，1） 12．②③④ 13．错误! 14．（－∞，－错误!－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1)因为a ∥b ，所以1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝错误!． …………………6分（2）因为a ⊥b ，所以1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分所以tan θ＝－错误!． …………………10分所以tan(θ＋π4）＝错误!＝错误!． …………………14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ．因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD Ì平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1Ì平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1． …………………7分（2）（证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ，则O 为A 1C 的中点．因为D 为BC 的中点,所以OD//A 1B ． …………………11分因为OD 错误!平面ADC 1,A 1B 错误!平面ADC 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分A B C D A 1 B 1 C 1（第16题图） OA B C DA 1B 1C 1（第16题图） D 1（证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1,D 1D ，D 1B ．则D 1C 1错误!BD ．所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B// C 1D ．因为C 1D 错误!平面ADC 1，D 1B 错误!平面ADC 1，所以D 1B//平面ADC 1．同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1错误!平面A 1BD 1,D 1B 错误!平面A 1BD 1,A 1D 1∩D 1B ＝D 1，所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分因为A 1B ，Ì平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t ＝错误!． …………………2分所以E ＝kv 3t ＝kv 3错误!＝错误!（v (3，＋¥)）． …………………6分（2）E ¢＝100k 错误!＝100k 错误!错误!． …………………10分令E ¢＝0，解得v ＝4。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(8)导数的概念及运算

高二暑假作业(8) 导数的概念及运算考点要求1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义；2．能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．考点梳理1．函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率是__________．2．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是______________________________________．我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记作________或________．3．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ' (x 0)的几何意义是________．4．从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ' (x 0)是一个________．这样，当x 变化时，f ' (x )便是x 的一个________．我们称它为f (x )的________(简称导数)，记作________．5．基本初等函数的导数公式(1) c ′＝________； (2) (x n )′＝________； (3) (sin x )′＝________； (4)(cos x )′＝________；(5) (a x )′＝________(a ＞0，a ≠1)；(6) (e x )′＝________；(7) (log a x )′＝________(a ＞0，a ≠1)；(8) (ln x )′＝________．6．导数运算法则(1) [f (x )±g (x )]′＝____________________； (2) [f (x )·g (x )]′＝____________________；(3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________(g (x )≠0)．考点精练1． f (x )＝x cos x ，则f '⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝____________．2．若f ' (x 0)＝3，则当h →0时，f (x 0＋h )－f (x 0)h＝____________． 3．曲线y ＝cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率是____________．4．已知函数f (x )＝e x 1－x，则 f ' (2)＝____________．5．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C :y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____________．6．已知直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝____________．7．已知f (x )＝x 2＋2x f ' (1)，则f ' (－1)＝____________．8．在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是__________．9．曲线1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是____________．10．求下列函数的导数:(1) y ＝ln x x ； (2) y ＝()x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1．11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求f (－1)和f ′(－1)的值．12．已知函数f (x )＝x 3－3x ．(1) 求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32上的最值； (2) 过点P (－2，6)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线的方程．第8课时导数的概念及运算1． 3－3π62． 3 3．－32 提示：y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴ y ′|x ＝π3＝－32． 4． 05． (－2，15) 提示：y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，得x ＝±2(舍正)．6． ln2－1 提示：y ′＝1x ，令y ′＝12，得x ＝2，∴ 切点为(2，ln2)，代入直线方程即可．7．－6 提示：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴ f ′(1)＝－2，∴ f (x )＝x 2－4x ，∴ f ′(－1)＝－6．8． 0 提示：y ′＝3x 2－8，令0＜y ′＜1，∴ 0＜3x 2－8＜1，解得83＜x 2＜3． 9． 34 提示：函数y ＝1x 与y ＝x 2交点为(1，1)．y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，y ′＝(x 2)′＝2x ，则函数y ＝1x在(1，1)处斜率为－1，函数y ＝x 2在(1，1)处斜率为2，所以两切线方程分别为y －1＝－(x －1)，y －1＝2(x －1)．令y ＝0得x 1＝2，x 2＝12，∴ S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34． 10．解：(1) y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1－ln x x2． (2) ∵ y ＝1x －x ，∴ y ′＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －32＋x －12． 11．解：∵ y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)､(2，－1)，∴ a ＋b ＋c ＝1， ① 4a ＋2b ＋c ＝－1， ②又y ′＝2ax ＋b ，∴ y ′|x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9．∴ f (x )＝3x 2－11x ＋9，∴ f (－1)＝23．∴f '(x )＝6x －11，∴ f ′(－1)＝－17．12．解：(1) f '(x )＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－3，－1)或x ∈(1,32]时，f ′(x )＞0， ∴ [－3，－1]，[1,32]为函数f (x )的单调增区间，当x ∈(－1，1)为函数f (x )的单调减区间．∵ f (－3)＝－18，f (－1)＝2，f (1)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－98， ∴ x ＝－3时，f (x )min ＝－18；当x ＝－1时，f (x )max ＝2．(2) 由于点P 不在曲线上，故设切点为(x 0，x 30－3x 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) ①，又点P (2，－6)在此切线上，得6－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(－2－x 0)，整理得x 03＋3x 02＝0，解得x 0＝0或－3，故k ＝－3或24，故可求得切线方程为y ＝－3x 和y ＝24x ＋54．。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(11)三角函数的图象与性质

增区间．
12．若函数f(x)＝2cos(2x＋φ)对任意实数x都有f ＝f ．
（1)求f 的值；
(2）求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时,求f（x）在上的最大值和最小值．
第11课时三角函数的图象与性质
1．102．［1，2］3．( ）4．y＝5sin
5．（－∞，0］提示:由 ≤1解得．
6．提示：2× ＋φ＝kπ＋，即φ＝kπ－，k∈Z．
设y＝2sin ，令x＝0，有2sinφ＝1．
又｜φ｜＜，∴ φ＝．
∴所求函数解析式为y＝2sin ．
11．解：∵b＞0，∴ ∴
∴f(x）＝3－2sin ．
令4x－ ∈［ ],解得x∈［ ],k∈Z，即函数的单调递增区间为［］，k∈Z．
12．解：（1)由f ＝f 可知x＝是f(x）图象的一条对称轴，∴f ＝－2或2．
（2）由2cos ＝±2得＋φ＝kπ，即φ＝kπ－ ,k∈Z．
∴ φ的最小正值为．
（3)由(2）知，f(x）＝2cos ．
当－ ≤x≤ ，即 ≤2x＋ ≤π时，－1≤cos ≤ ,
∴f（x）在[ ]上的最大值为1,最小值为－2．
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2．函数y＝2sin ，x∈ 的值域是____________．
3．函数y＝2sin (x∈［0，π])为增函数的区间是____________．
4．将函数y＝5sin2x的函数图象左移 ,再将周期扩大到原来的2倍，所得到图象对应的解析式是____________．

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(14)正弦定理与余弦定理

高二暑假作业(14) 正弦定理与余弦定理考点要求1．理解正弦定理与余弦定理及三角形面积公式；2．能运用正余弦定理求解三角形．考点梳理1．正弦定理:___ _____；变形形式:______ __．2．余弦定理:____________________；____________________；____________________；变形形式:____________________；____________________；____________________．3．三角形面积公式:___ _____．考点精练1．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边长为__________．2．已知锐角三角形的边长分别为2､3､x ，则x 的取值范围是______________．3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C ＝____________．4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是____________三角形．5．若△ABC 的面积为3，BC ＝1，C ＝60°，则边AB 的长度为__________．6．在△ABC 中，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝__________．7．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围是__________．8．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋b a ＋c ＝____________．9．在△ABC 中，面积S 与三边a ，b ，c 满足关系式2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝____________．10． △ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列，边长a ＝8，b ＝7，求边c 及△ABC 的面积．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，(1) 求b a ；(2) 若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B 的值．12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A成等差数列．(1) 求B 的值；(2) 若b ＝5，求△ABC 周长的取值范围．第14课时正弦定理与余弦定理1．63 2． 5＜x ＜13 3． 120° 4．等腰 5． 13 6． 337． (2，3) 8． 1 9．－43 10．解：由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴ B ＝π3．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得49＝64＋c 2－2×8c cos π3，即c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5，当c ＝3时，S △ABC ＝12×8×3sin π3＝63；当c ＝5时，S △ABC ＝12×8×5sin π3＝103． 11．解：(1) 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ．故sin B ＝2sin A ，所以b a＝2．(2) 由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c，由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12．又cos B ＞0，所以cos B ＝22，所以∠B ＝45°． 12．解：(1) ∵ a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴ a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B ．∵ sin B ≠0，∴ cos B ＝12．又0＜B ＜π，∴ ∠B ＝π3． (2) ∵ a sin A ＝b sin π3＝103，∴ a ＝103sin A ．同理c ＝103sin C ． ∵ B ＝π3，∴ A ＋C ＝2π3，∴ △ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝5＋103sin C ＋103sin A ＝5＋103sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋103sin A ＝5＋5cos A ＋53sin A ＝5＋10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6．∵ 0＜A ＜2π3，∴ π6＜A ＋π6＜5π6，∴ △ABC 周长的取值范围为(10，15]．。

江苏省南京市2018年高二数学暑假作业(13)二倍角的三角函数

高二暑假作业（13) 二倍角的三角函数考点要求1．熟记二倍角的正弦､余弦､正切公式；2．能运用二倍角公式熟练进行化简､求值等．考点梳理1．二倍角公式(1） sin2α＝________；(2) cos2α＝_________＝_________＝_________；（3） tan2α＝__________．2．降幂公式(1） sin2α＝________；(2) cos2α＝________．3．升幂公式(1） 1＋cosα＝____________；（2) 1－cosα＝____________．考点精练1．若sin错误!＝错误!，cos错误!＝错误!，则θ是第________象限角．2．函数f（x）＝cos x－错误!cos2x(x∈R)的最大值等于____________．3．已知sin2θ＝m，若θ∈错误!，则sinθ－cosθ＝____________．4．函数y＝1－sin2错误!的最小正周期是____________．5．若sin错误!－2cos错误!＝0，则tanθ＝____________．6．求值:cos20°cos40°cos60°cos80°＝____________．7．计算:错误!＝____________．8．已知0＜α＜错误!，sinα＝错误!，则错误!＝____________．9．设α为锐角，若cos错误!＝错误!，则sin错误!的值为____________．10．已知函数f(x）＝错误!．(1) 求f(x)的定义域；(2）设α是第四象限的角，且tanα＝－错误!，求f(α)的值．11．已知函数f(x)＝sin2x－2sin x cos x＋3cos2x (x∈R）．(1) 求函数f(x)的最小正周期;(2）当x∈错误!时，求函数f（x)的最大值和最小值．12．设cos错误!＝－错误!，sin错误!＝错误!，且错误!＜α＜π，0＜β＜错误!，求cos（α＋β）．第13课时二倍角的三角函数1．二 2．错误! 3．－错误! 4． π 5．－错误! 6．错误! 7．错误!8． 20 9．错误!10．解：（1) 由cos x ≠0得x ≠k π＋错误!（k ∈Z )，故f （x ）的定义域为｛ x |x ≠k π＋错误! ，k ∈Z ｝．（2）因为tan α＝－错误!,且α是第四象限的角，所以sin α＝－错误!，cos α＝错误!,故f （α）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2（cos α－sin α)＝错误!．11．解：(1） f （x ）＝错误!－sin2x ＋错误!＝cos2x －sin2x ＋2＝错误!cos 错误!＋2,所以函数f (x ）的最小正周期T ＝π；(2) 因为x ∈[错误!］,所以2x ＋错误!∈［错误!]，所以cos 错误!∈［错误!]，所以f （x ）的最大值为2＋错误!,最小值为3．12．解:∵ 错误!＜α＜π,0＜β＜错误!，∴ 错误!＜α－错误!＜π，－错误!＜错误!－β＜错误!．故由cos 错误!＝－错误!,得sin 错误!＝错误!．由sin 错误!＝错误!,得cos 错误!＝错误!．∴ cos 错误!＝cos 错误!＝cos 错误!cos 错误!＋sin 错误!sin （错误!－β)＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．∴ cos（α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×错误!错误!－1＝－错误!．。

江苏省南京市高二数学暑假综合练习(一)

高二暑假综合练习（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 复数(1＋2i)2的共轭复数是____________．2. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a 、b ＞0)的离心率为2，则ba＝____________.3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是____________．4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________.5. 已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a 、b 、c ，则“以a 、b 、c 为边恰好构成三角形”的概率是__________．6. 设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3， AC ＝6，则AE →·AF →＝____________.7. 设α、β为两个不重合的平面，m 、n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：① 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；② 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ③ 若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④ 若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是____________．8. 已知tan α＝17，tan β＝13，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝__________.9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝____________.10. 已知圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0相交，则实数m 的取值范围为____________．11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14，精确到1 m)．12. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为____________．13. 已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足b ＋2c ≤3a ，c ＋2a ≤3b ，则b a的取值范围为____________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，过点P 作切线与两个坐标轴交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最小值为______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1) 求A；(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)16.三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.17. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长l (m)的积，且车距不得小于一个车身长l (假设所有车身长均为l )．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．(1) 求通过隧道的最低车速；(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18.如图，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于B 、C 两点．(1) 若＝λ，求实数λ的值；(2) 设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．(1) 求S 1，S 2及S n ；(2) 设b n ＝(12)a n ，若对一切n ∈N *，均有∑nk =1b k ∈(1m ，m 2－6m ＋163)，求实数m 的取值范围．20. 设函数f (x )＝ln x －kx －aax－ln a (x ＞0，a ＞0且a 为常数)．(1) 当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明；(2) 当k ＝0时，求证：f (x )＞0对一切x ＞0恒成立；(3) 若k ＜0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数.数学试卷附加题21．B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 －1 2 ，B ＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1．(1) 计算AB ；(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l'，求直线l'的方程．C ．选修4—4参数方程与极坐标已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ（a 是常数）．（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若两个圆的圆心距为5，求a 的值．22．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝6，D是棱CC1的中点．(1) 证明：A1D⊥平面AB1C1；(2) 求二面角B－AB1－C1的余弦值．23．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D 与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作X．(1) 求该观众得分非负的概率；(2) 求X的分布列及数学期望．高二暑假综合练习（一）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. －3－4i2. 33. 24. π45. 586. 107. ①②8. π4 9. 25 10. 1＜m ＜121 11. 100 12. 200 13. (34，53) 14. 3324二、解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解：(1) 由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，(2分)∴ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)∵ A 是三角形内角，∴ A ＝60°.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°，得B ＝105°，C ＝15°.(8分)由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°.(10分)∴ b ＝4tan75°.(12分)∵ tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴ b ＝8＋4 3.(14分)16. 证明：(1) 连DA 、DB 1、DO ， ∵ AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，而DB 1＝DC 21＋C 1B 21，DA ＝DC 2＋CA 2，∴ DB 1＝DA .(2分)又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点， ∴ DO ⊥AB 1.(4分)又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ， ∴ AB 1⊥平面A 1BD .(7分) (2) 取A 1O 的中点F ，在△A 1OA 中，∵ E 是OA 中点，∴ EF 12AA 1.(9分)又D 为C 1C 的中点，∴ CD 12AA 1.∴ EFCD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴ CE ∥DF .(12分) 又DF ⊂平面A 1BD ，CE ⊄平面A 1BD ， ∴ EC ∥平面A 1BD .(14分)17. 解：(1) 依题意，设d ＝kv 2l ，其中k 是待定系数， ∵ 当v ＝60时，d ＝1.44l ，∴ 1.44l ＝k ×602l .(2分)∴ k ＝0.000 4.则d ＝0.000 4v 2l .(4分)∵ d ≥l ，∴ 0.000 4v 2l ≥l .则v ≥50.∴ 最低车速为50 km/h.(7分)(2) 因为两车间距为d ，则两辆车头间的距离为l ＋d (m)，一小时内通过汽车的数量为Q ＝ 1 000v l ＋0.000 4v 2l ，即Q ＝ 1 000l (1v＋0.000 4v ).(9分)∵ 1v＋0.000 4v ≥21v ×0.000 4v ＝0.04，∴ Q ≤25 000l.(12分)当1v ＝0.000 4v ，即v ＝50时，Q 取得最大值为25 000l.∴ 当v ＝50 km/h 时，单位时段内通过的汽车数量最多．(14分)18. 解：(1) 由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.∵ AB ⊥AF ，∴ 直线AB 的斜率为－33.则直线AB 的方程为y ＝－33x ＋ 3.(2分)令y ＝0，得x ＝3.∴ 点C 的坐标为(3,0)．(3分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0.解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413.∴ 点B 的坐标为(2413，5313)．(5分)∵ ＝λ，∴ λ＞0，且λ＝ABBC.∴ λ＝24133－2413＝85.(7分)(2) ∵ △ACF 是直角三角形，∴ △ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2.∴ 圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(9分)∵ AB 是定值，∴ 当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大．过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点．(11分) ∴ 直线m 的方程为y ＝3(x －1)．(13分)代入圆D 的方程，得(x －1)2＋3(x －1)2＝4.(14分) ∴ x ＝0或x ＝2(舍)．则点P 的坐标为(0，3)．(16分)19. 解：(1) 依题意，n ＝1时，S 1＝2，n ＝2时，S 2＝6.(2分)∵ 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1，① n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＝n －1n，②①－②，得1S n ＝n n ＋1－n －1n，∴ S n ＝n (n ＋1)．(4分)上式对n ＝1也成立，∴ S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(5分) (2) 由(1)知，S n ＝n (n ＋1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .(7分)∵ a 1＝2，∴ a n ＝2n (n ∈N *)．(8分)∴ b n ＝(14)n.∵ b n ＋1b n ＝14，∴ 数列{b n }是等比数列．(10分)则∑k ＝1nb k ＝14(1－14n )1－14＝13(1－14n )．(12分)∵ 13(1－14n )随n 的增大而增大，∴ 14≤∑k ＝1n b k ＜13.(13分) 依条件，得⎩⎪⎨⎪⎧1m ＜14，m 2－6m ＋163≥13.(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，或m ＞4，m ≤1，或m ≥5.∴ m ＜0或m ≥5.(16分)20. (1) 解：当k ＝1时，f (x )＝ln x －1a ·x 12＋ax －12－ln a ，∵ f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －32(1分)＝－(x －a )22axx≤0，(3分)∴ 函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数．(4分)(2) 证明：当k ＝0时，f (x )＝ln x ＋ax －12－ln a ，f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a2x x，令f ′(x )＝0，解得x ＝a4.(6分)当0＜x ＜a4时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞a4时，f ′(x )＞0，f (x )是单调幸函数．∴ 当x ＝a 4时，f (x )有极小值为f (a4)＝2－2ln2.(8分)∵ e ＞2，∴ f (x )的极小值f (a 4)＝2(1－ln2)＝2ln e2＞0.∴ f (x )＞0恒成立．(10分)(3) 证明：∵ f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，∴ f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2axx .令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0.(12分)∴ x 0＝a 1－1－k k .(x 0＝a 1＋1－kk舍去)∴ x 0＝a(1＋1－k )2.(14分) 当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞x 0时，f ′(x )＞0，f (x )是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．(15分)又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a＋a x 0，而x 0a ＝1(1＋1－k )2是与a 无关的常数， ∴ ln x 0a ，－kx 0a ，ax 0均与a 无关．∴ f (x 0)是与a 无关的常数．则f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．(16分) 21．B ．解：(1) AB ＝⎣⎡⎦⎤2 －3－1 4 ， ………………………………3分(2) 设P (x ，y )是直线l'上一点，P (x ，y )由直线l 上点P'(x'，y')经矩阵B 变换得到，……4分则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1 ⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x'－2y' y'， ………………………………6分所以⎩⎨⎧x ＝x'－2y'，y ＝y'，解得⎩⎨⎧x'＝x ＋2y ，y'＝y ．………………………………8分代入直线l 的方程x ＋y ＋2=0，得x ＋2y ＋y ＋2＝0，即x ＋3y ＋2＝0，故直线l'的方程为x ＋3y ＋2＝0． ………………………10分C ．解：（1）两圆原方程可化为ρ2＝2ρcos θ和ρ2＝2a ρsin θ．∴两圆的直角坐标方程分别是x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2－2ay ＝0．（2）根据（1）可知道两圆圆心的直角坐标分别是O 1(－1，0)和O 2(0，a )．由题知1＋a 2＝5，解得a ＝±2．22．证明(1) ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BC ⊥CC 1．∵ AC CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1．以C 为坐标原点，，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向的方向向量，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，∴C (0，0，0)，B (10)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)．(1) ＝(0，－62，－3)，＝(－1，0，0)，＝(1，6，－3)， ∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即AD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥AB 1．∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，B 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1D ⊥平面AB 1C 1．(2) 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的法向量，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y －3z ＝0，6y ＝0．取z ＝1，则n ＝(3，0，1)是平面ABB 1的一个法向量．又＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且＜，n ＞与二面角B －AB 1－C 1的大小相等．由cos ＜，n ＞＝＝(0，－62，－3)·(3，0，1)３22×２＝－66．故二面角B －AB 1－C 1的余弦值为－66．11 23．解：(1) X 的可能取值为－4，0，4，12．P (X ＝12)＝＝124；P (X ＝4)＝＝624＝14；P (X ＝0)＝＝824＝13；该同学得分非负的概率为P (X ＝12)＋P (X ＝4)＋P (X ＝0)＝1524．(2) P (X ＝－4)＝＝924．X 的分布列为E (X )＝－4×924＋4×14＋12×124＝0．。

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