第1讲：整式的恒等变形
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
全国高等学校民族预科教材 数学 第一章
于是我们猜想，是不是前n个奇数和 Sn 等于n的平方？即
Sn 1 3 5 (2n 1) n2 ?
解:当x y时，原式为零 ，于是原式有因式 x y
同理知原式还有因式 y z, z x，而原式又是关于 x, y, z 的四次齐次式，故可设
x3( y z) y3(z x) z3(x y) k(x y)( y z)( z x)( x y z)
)
k2 2(k 1)
(k 1) 1 2(k 1)
于是当n=k+1时，原式也成立。 根据1)和2)可知，对大于等于2的任何自然数都成立。
例3 证明：对于任何的自然数n, n3 5n 是6的倍数。
证 1)当n=1时，n3 5n 13 51 6 是6的倍数，所以n=1时命 题正确。 2)假设当n=k时命题正确，即 k3 5k 是6的倍数，又当n=k+1 时有 (k 1)3 5(k 1) k3 3k2 3k 1 5k 5
Байду номын сангаас齐次对称式的一般形式为
a(x3 y3 z3 ) +b(x2 y y2 x x2 z z2 x y2z z2 y) +cxyz
故可设 x y z3 =a(x3 y3 z3) +
b(x2 y y2 x x2 z z2 x y2 z z2 y) +cxyz
于是 a 1,b 0, c 5.
例4表明，有时需要给定的数学式子表示成与它恒等 的另外一种形式，这种新形式中含有待定的系数， 然后根据恒等的性质，求出这些待定系数的值，称 这种方法为待定系数法，它是数学中常用的方法。
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些整式乘法中的恒等变形技巧，那可是数学学习中的一把神奇钥匙！咱们一起来瞧瞧都有哪些好用的技巧。
先来说说“提取公因式法”。
这就好比从一堆水果中挑出大家都有的那个共同特点，比如式子“3x ＋6”，这里 3 就是公因式，咱们一提出来，就变成 3(x ＋ 2)啦。
我记得有一次给学生们讲这个，有个小调皮一直搞不明白，我就拿他们爱吃的糖果举例，说假如有 3 颗红色糖果和 6 颗蓝色糖果，咱们可以先把 3 颗这个共同的数量提出来，就相当于把这些糖果分成了 3 份，一份是 1 颗红色和 2 颗蓝色。
这么一说，那小调皮恍然大悟，眼睛都亮了起来。
再讲讲“公式法”，这里面最常用的就是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式(a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，就像两个人比赛跑步，速度快的和速度慢的一比较，差距就出来了。
完全平方公式(a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋b²呢，就像是给一个小房子搭建框架，长、宽和面积的关系一目了然。
还有“分组分解法”，这招有点像整理书包，把不同类的东西先分分组，再分别处理。
比如说对于式子“ax ＋ ay ＋ bx ＋by”，咱们可以把含 x 的放一组，含 y 的放一组，即 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y)，然后再提取公因式(x ＋ y)，就变成了（a ＋ b)（x ＋ y)。
“十字相乘法”也是个厉害的角色。
这就像是拼图游戏，要找到合适的数字组合。
比如对于式子“x² ＋ 5x ＋6”，咱们要找到两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6，那就是 2 和 3，所以就可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3)。
在实际解题中，这些技巧往往不是单独使用的，而是要灵活组合，就像炒菜要放各种调料一样，搭配好了才能做出美味的“数学大餐”。
我曾经碰到过一道题，式子长得那叫一个复杂“4x² 12xy ＋9y² 25”，一开始好多同学都被吓住了。
因式分解教案6篇
因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。
因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。
分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。
（2）运用公式法，即用写出结果。
（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
代数式的变形(整式与分式)
[文件] sxjsck0009 .doc[科目] 数学[关键词] 初一/代数式/整式/分式[标题] 代数式的变形（整式与分式）[内容]代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1． 配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1 （1986年全国初中竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例2（1984年重庆初中竞赛题）设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解 将条件化简成2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2x 2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a 是x 2-3x+1=0的根,试求1825222345+-+-a a a a a 的值. 解 ∵a 为x 2-3x+1=0的根,∴ a 2-3a+1=0,,且132+a a =1. 原式.11313)32)(13(22232-=+-=+-+++-=a a a a a a a a a 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c 则p+q+r=0.P 3+q 3+r 3-3pqr=(p+q+r)(p 2+q 2+r 2-pq-qr-rp)=0∴p 3+q 3+r 3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 (民主德国竞赛试题) 若67890123475678901235,67890123455678901234==B A ,试比较A 、B 的大小.解 设 ,y x A =则,21++=y x B)2(2)2()1()2(21+-=++-+=++-y y yx y y x y y x y x y x .∵2x ＞y ∴2x-y ＞0, 又y ＞0, 可知.021++-y x y x∴A ＞B.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若,a c zc b yb a x-=-=-求x+y+z 的值.解 令,k a c zc b yb a x=-=-=-则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a 、b 、c 为非负实数，且a 2+b 2+c 2=1,3111111-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+b a c a c b c b a ,求a+b+c 的值.解 设 a+b+c=k则a+b=k-c ，b+c=k-a,a+c=k-b. 由条件知,3-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+ab b a c ac c a b bc c b a即 .3222-=-+-+-ab c ck ac b bk bc a ak∴a 2k-a 3+b 2k-b 3+c 2k-c 3=-3abc,∴(a 2+b 2+c 2)k+3abc=a 3+b 3+c 3.∵a 2+b 2+c 2=1,∴k=a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3-3a 2b-3ab 2+c 3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c 2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca),∴k=k(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac),∴k(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a 2+b 2+c 2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n ，分数314421++n n 皆不可约., 证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约. ,314171314421+++=++n n n n 而 ,171217314++=++n n n 显然171+n 不可通约，故17314++n n 不可通约，从而314421++n n 也不可通约. （2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.例9 设n 为正整数，求证：21)12)(12(1531311 +-++∙+∙n n 证明 令1212)12)(12(1+--=+-k B k A k k 通分，,)12)(12()()(21212+-++-=+--k k B A k B A k B k A 比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=21. ∴),121121(21)12)(12(1+--=+-k k k k 令k=1,2,…,n 得)12)(12(1531311+-++⋅+⋅n n ① ②.21121121121121513131121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例10(1986年冬令营赛前训练题) 已知.0222=-+-+-cab c b ac b a bc a 求证:0)()()(222222=-+-+-c ab c b ac b a bc a . 证明 .))((222222222c ab b ac c b ac bc ab c ab c b ac b a bc a --+-+-=---=- .0))()(()()()(.))()(()(.))()(()(.))()(()(222222222222222222222222222222222222222222222222=---+-+-+-+++-+-=-+-+-∴---+-+-=----+-+-=-----++-=-∴c ab b ac a bc b a c b ab c a c a bc ac b a c b ac bc ab c ab c b ac b a bc a c ab b ac a bc c a c b ab c a c ab c c ab a bc b ac c a bc ac ab b ac b c ab b ac a bc c b ac bc ab a bc a 同理6.其他变形例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x ≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x 2.那么计算的表达式是______. 解 x 2=x(x+1)-x .1111)1(11x x x x x x -+-=-+= 或 x 2=x(x-1)+x.1111)1(11x xx x x x +--=+-=例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是正整数，且a 5=b 4,c 3=d 2,c-a=19,求d-b.解 由质因数分解的唯一性及a 5=b 4,c 3=d 2,可设a=x 4,c=y 2,故19=c-a=(y 2-x 4)=(y-x 2)(y+x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴.19,122x y x y 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y 3-x 5=757A 2+b 2+c 2=(a+b+c)2 Ab+ac+bc=0(a+b+c)2= A 2+b 2+c 2-2ab-2ac-2bc练 习 七1选择题（1）（第34届美国数学竞赛题）把25321,1,xx x x x +++相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）6 （D ）7 （E ）8（2） 已知,111b a b a +=+则ba ab +的值是（ ）. (A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x 和y 是正数并且成反比，若x 增加了p%，则y 减少了（ ）.（A ）p% (B)p p +1% (C)P 100% (D)p p +100% (E)p p +100100% 2填空题（1）（x-3）5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.(2)若yyx x y xy x y x ---+=-2232,311则=_____. (3)已知y 1=2x,y 2=198519862312,,2,2y y y y y == ,21n y -=2x 2n y =1/x 则y 1y 1986=______ 3若（x-z ）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z 与y 的关系.x 2 + 2xz + z 2 - 4xy + 4y 2 - 4yz=0(x+z)^2 -4(x+z)y+4y^2 = 0(x+z -2y)^2 = 0x+z = 2y4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把a b b a -写成两个因式的积,使它们的和为ab b a +，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求22222274253zy x z y x ++++的值. 6.已知x,y,z 为互不相等的三个数,求证.111111222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x z z y y x x z z y 7已知a 2+c 2=2b 2,求证.211ac b a c b +=+++ 8.设有多项式f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.练习七1.C.C.E2.(1)-32,210 (2)53 (3)2 3.略. 4..,.,bb a a b a b a a b b b a a b a b b a a b a a b b a -+∴+=-++-⋅+=-两个因式为而 5.118 6.略, 7.略. 8.∵p 2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p 2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x 4-4px 3+[p 2-4(m+1)]x 2+2p ·(m+1)x+(m+1)2=4x 4+p 2x 2+(m+1)2-4px 3-4(m+1)x 2+2p(m+1)x=[2x 2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp 2-(ac+bd)+pq+abq 2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq 或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
整式、分式思维导图
整式、分式考点四：特值法在整式、分式的应用对任意恒成立：恒等式问题中，常考求多项式系数，常取特值为化简求值：只需找到满足题干条件的任一组未知量特值，代入待求式即可考点三：分式分式定义：一般地，若、（中含有字母且）表示两个整式，那么就叫做分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母分式有意义、无意义：分式有意义的条件：；分式无意义的条件：分式值为零的条件：且分式的基本性质：分式与分数类似，分子分母同乘以不为零的数字或者不为零的多项式，分式的值不变（，为非零实数，多项式）分式的通分与化简：在算数中，求几个分数之和的处理方式一般是利用所有分母的最小公倍数，把分数转化为同分母分数后计算类似地，求几个分式之和也可以利用所有分母的所有因式之积，将所有分式化为同分母分式，之后进行化简计算裂项相消：类似于具有固定特征的分数求和中的裂项相消，对于多个具有固定特征的分式求和也可以使用裂项相消的方法倒数和：出现互为倒数的两数之和的形式时，由于互为倒数的两数乘积为，一部分乘法公式形态将有变化，如：完全平方：（逆向应用：）立方和与立方差：齐次分式：一般地，如果在一个分式结构或者方程中，所含各项的次数是一样的，就称之为一个齐次结构例如：等号两端各项都是二次，又如的分子和分母的次数都是二次其中分式形式的齐次结构称为齐次分式分式的大小比较设均大于若则若则若则若则常见和为的分数需要对其较敏感注意的替换比与比例相关计算公式任意分母均不为零【比的基本性质】比的前项和后项扩大或缩小相同的倍数，比值不变，即比的性质常用来将分数形式的比化为整数形式的比【等比定理】若几个分式相等，则分子相加与分母相加的比值仍与原比值相等【合比定理】等式左右同加【分比定理】等式左右同减【合分比定理】合比定理分比定理结论相除【更比定理】【反比定理】考点二：恒等变形求因式因式分解因式分解是把一个多项式恒等变形化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解例如因式分解可得因式分解常用方法乘法公式逆应用因式定理法设是关于的多项式，有：含有因式能被整除设是关于的多项式，有：含有因式能被整除十字相乘法若一个二次多项式能表示为两个一次多项式相乘的形式：根据对应项系数相等，则一定有待定系数法待定系数法是一种求代数式中未知系数的方法一般步骤为：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程（组），解方程（组）求出待定系数求系数恒等式的对应项系数相等余式定理的应用【应用】除式的数字系数不影响余式，如对多项式，除以和除以所得的余式相同【应用】余式定理的除式一般为一次式，如果题干给出的除式是二次多项式，那么该除式一般可以分解成两个一次式乘积的形式【应用】若题干给出除以二次式的余式为求除以此二项式的一个因式的余式，由于有，那么除以的余式就是除以的余式【应用】若除以一次式的余式为，即有相当于给定求除以包含这个一次式的二次式的余式，设此余式为，故有，代入可得【应用】余式定理的逆应用：当题干给定时，意味着给定除以一次式的余式为常用乘法公式考点一：整式的运算整式分为单项式和多项式单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，如多项式：几个单项式的代数和叫做多项式，如同类项如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项如和就是同类项所有的常数项也都是同类项整式的加减法：把同类项合并成一项叫做合并同类项整式的加减法运算，其实就是合并同类项的过程整式的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加即同底数幂相除，底数不变，指数相减即的正数指数幂为，的非正指数幂无意义。
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些整式加减法中的恒等变形技巧那可真是不少，掌握了这些技巧，能让咱们在数学的海洋里畅游得更轻松愉快！先来说说合并同类项吧。
这就好比把一堆水果分类，苹果跟苹果放一起，香蕉跟香蕉放一起。
比如 3x ＋ 5x，它们都含有 x 这个“同类”，那咱们就可以把它们合并成 8x。
我记得有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：2a ＋ 3a 4a，有个小同学刚开始有点懵，后来我就引导他想想家里的玩具车，红色的玩具车和蓝色的玩具车是不是都是玩具车呀，那 2 辆红色的玩具车加上 3 辆蓝色的玩具车再减去 4 辆红色的玩具车，是不是能算出来一共有多少辆玩具车啦？他一下子就明白了，很快算出结果是 a 。
所以呀，合并同类项就是把含有相同字母和相同字母指数的项合并在一起。
再说说去括号。
这就像是给整式脱掉一层“外套”。
如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；要是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
我给大家举个例子，比如 5 （3 x)，去括号就变成 5 3 ＋ x ＝ 2 ＋ x 。
有一回，我邻居家的孩子做作业的时候遇到了去括号的问题，怎么都搞不明白。
我就跟他说，你就把括号想象成一扇门，“＋”号的门打开后，里面的东西都原封不动；“”号的门打开后，里面的东西都得换个样子。
他听了之后，恍然大悟，作业很快就完成了。
还有添括号。
这就像是给整式穿上一件“新衣服”。
添括号时，如果括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，括到括号里的各项都要变号。
比如说，a ＋ b c ＝ a ＋（b c) ，a b ＋c ＝ a （b c) 。
记得有一次在课堂上做练习，有个同学总是在添括号的时候出错，我就给他打了个比方，说这添括号就像是给小动物找家，“＋”号的家很友好，小动物进去不用换样子；“”号的家有点特别，小动物进去得打扮打扮。
这之后，他就很少出错了。
整式加减法中的恒等变形技巧还包括整体代入。
因式分解(超全方法)(1)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
因式分解教案 (优秀5篇)
因式分解教案（优秀5篇）因式分解教案篇一【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义；2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）（1）若a=101,b=99,则a2-b2=___________；（2）若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；（3）若x=-3,则20x2+60x=____________。
㈡、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。
2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。
（等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？）3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。
（学生概括，老师补充。
）板书课题：§6.1 因式分解因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
㈢、前进一步1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2 （a+b）（a-b）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
初一数学竞赛系列讲座-整式的恒等变形
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除,熟练掌握整式的四则运算,善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式,可以解决许多复杂的代数问题,是进一步学习数学的基础。
3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具,最常用的乘法公式有以下几条. ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零,就说这个整式能被另一个整式整除,也可说除式能整除被除式。
5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。
特别地()a f =0时,多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数,必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数, 又在1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并不改变其代数和的奇偶数,故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号,使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1,2,3,…,1998中每相邻四个分成一组,再按上述方法添符号,即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。
七年级数学上册2.1整式恒等变形素材新人教版
恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．如：a+b＝b+a；2x+5x＝7x都是恒等式．而t2+6＝5t，x+7＝4都不是恒等式．以前学过的运算律都是恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法．1．如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的．如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个．反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项)．2．通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的．如：如果ax2+bx+c＝px2+qx+r是恒等式，那么必有：a＝p，b＝q，c＝r.例：求b、c的值，使下面的恒等成立．x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x＝1，代入①，得12+3.再设x＝2，代×1+2＝(1-1)2+b(1-1)+c,c＝6入①，由于已得c＝6，故有22+3×2+2＝(2-1)2+b(2-1)+6,b＝5.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.解二：将右边展开x2+3x+2＝(x-1)2+b(x-1)+c,＝x2-2x+1+bx-b+c,＝x2+(b-2)x+(1-b+c).比较两边同次项的系数，得由②得b＝5,将b＝5代入③得,1-5+c＝2,c＝6.∴x2+3x+2＝(x-1)2+5(x-1)+6.这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值．。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
整式恒等变形
第8 讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝____________ 【例1】（第14 届“希望杯”邀请赛试题练1】（1990 年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7 的值．题型二整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1 试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1 时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简（y＋z－2x）2＋（z＋x－2y）2＋（ x＋y－2z）2－3（y－z）2－3（x－y）2－3（x－z）2．【练3】已知x，y，z 为有理数（y－z）2＋（z－x）2＋（x－y）2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y）2＋（x＋y－2z）2，求yz 1 zx 1 xy 1 的值．x2 1 y2 1 z2 1模块二题型一恒等变形→因式分解与不定方程因式分解基础夯实【例4】（1）已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于（2）若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝______________ ．【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋⋯＋x2012＝______________ ．（2）已知15x2－47xy＋28y2＝0，求x的值．y强化挑战【例5】已知：a、b、c 为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．练5】（1）在三角形ABC 中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c 是三角形的三边，求证：a＋c ＝2b．(2)已知△ ABC 三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0 的整数解(x≤y)为_____________ ．(2)已知a> b> c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011 的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y 均为整数，且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．例7】(2000 年联赛)实数x，y 满足x≥y≥1 和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_________2练7】当x 变化时，分式3x 6 x 5的最小值是 ___________________1 x2 x 12模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．例10】已知实数a、b、c 满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b的值等于a练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝__________模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：（1）（a＋b）（a－b）＝．2 ____________________ （2）（a－b）2＝．2、三元二次：（3）（a＋b＋c）2＝_____ ．222（4）a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ __ ．3、二元三次：3（5）（a＋b）3＝___________ ．（6） ___________________a3＋b3＝．4、三元三次：（7）（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1（8）（a＋b）（b＋c）（c＋a）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc2 2 2 2 2 2（9）（a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）＝a b＋b c＋c a＋ab ＋bc ＋ca ＋3abc（10）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）5、三元四次：3 4 4 2 2 2 2 2 2（11）（a＋b＋c）（a＋b－c）（b＋c－a）（ c＋a－b）＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2 6、二元n 次：（12）a n－b n＝（a－b）（a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋⋯＋ab n－2＋b n－1）（13）a n＋b n＝（a＋b）（a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋⋯－ab n－2＋b n－1）（n 为奇数）7、n 元二次：（14）（ a1＋a2＋⋯＋a n）2＝a12＋a22＋⋯＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋⋯＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋⋯＋2a n－1a n．2 2 1 2 2（15）a1 ＋⋯＋a n ＋a1a2＋⋯＋a1a n＋a2a3＋⋯＋a2a n＋⋯＋a n－1a n＝[（a1＋a2）＋⋯＋（a n－1＋a n） ]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．2【练11】（第6 届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995（ x 17 ＋y）＋6xy－（ a＋b）的值．2例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝__________________【例13】（2009 年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．（1）求ab＋bc＋ca 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8，3 （1）求abc 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x 2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013第8 讲课后作业习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11 的值．习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc 的值．习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）A ．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数习4】正整数a、b、c 是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有（） A．1 个B．2个C．3 个D．4 个习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（）A ．恒正B ．恒负C．可正可负 D ．非负习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．2 2 2 2习7】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．习9】（1999 年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010 的值．习10】（第18 届希望杯初一）有理数a，b，c 满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（十八届希望杯初二二试）已知a1，a2，a3，⋯，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋⋯＋a2006）（a2＋a3＋⋯＋a2007），N＝（ a1＋a2＋⋯＋a2007）（a2＋a3＋⋯＋a2006），试比较M、N 的大小．习12】（2013 年联赛）已知实数x，y，z 满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝____________ 习13 】（2013 年竞赛）已知正整数a、b、c 满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为习14】（2001年联赛）求实数x，y 的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋（2x＋y－6）2达到最小值．。
沪教版(五四制)七年级数学上册 第九章整式： 整式的恒等变形讲义(无答案)
第2讲 等式的恒等变形一、代数式的恒等变形：把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用.整式的恒等变形是是代数式恒等变形的基础，涉及的主要内容有：整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解的有关知识等.分式的恒等变形以整式的恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，涉及的主要内容有：分式的性质与概念的灵活应用、四则运算、化简求值及恒等证明.二、等式的分类：（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.如：123+=，23x x x +=，()()22a b a b a b +-=-（2）条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立.如：23x +=只有在1x =时才成立.（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立.如：125+=，23x x +=+三、等式的证明：等式的证明分为恒等式的证明和条件等式的证明.恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边 证到另一边，或者证两边等于同一结果.；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系.（1）等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”.（2）等式证明的常用方法有：①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）;②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）;③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为1）.【例题1】 （1）若335,50a b a b +=+=，求22a b +的值。
（2）已知()()2216,9a b a b +=-=，求33a b ab +的值。
（3）已知()()2216,9a b a b +=-=，求44a b ab +的值。
【例题2】（1）已知210,a a +-=求32243a a ++的值。
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=∙),(都是正整数）（n m a a m n n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．A ．2x 2·3x 3=6x 3B ．2x 2+3x 3=5x 5C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5D ．54x n ·25x m =12x m+n2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 3=a 5B ．（a 2）3=a 5C ．a 6÷a 2=a 3D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空（每题2分，共28分）6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，•若坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2（a－b）2+______=（a+b）211．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算（每题3分，共24分）13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－32ax4y3）÷（－65ax2y2）·8a2y17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）20．（998）221．197×203五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题（每题4分，共12分）24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
第一章整式的运算(教师版)
第一章 整式的运算1 整式新知识记 1.整式及有关知识（1）定义：单项式和多项式统称整式. （2）单项式①定义：数字与字母的乘积.②次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.③系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数. （3）多项式①定义：几个单项式的和叫做多项式. ②次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数. ③项数：一个多项式中有几个单项式就有几项. 典例精析例1：下列整式中，次数与项数相同的有哪些？①7 ②-x ③1-s 2+3t ④πx +1 ⑤53a 2b -2bc +3 ⑥6xy【点拨】先分别找出每小题的次数与项数，再判断它们是否一致.①单项式，次数是0. ②单项式，次数是1（一致.） ③多项式，二次三项式. ④多项式，一次二项式.注意：πx 是第一项，是一次的.π只能出现在某一个单项式或项的系数中. ⑤多项式，三次三项式（一致）. ⑥单项式，次数是2. 解：次数与项数相同的②⑤. 例2 ：若12n axy+-是关于x 、y 的单项式， 且系数为-6，次数为3， 则a =________,m =________.【点拨】 “关于x 、y 的单项式”说明只有课前热身 前课之鉴1.某校学生总数为x,其中女生人数占总数的25，女生人数为25x ； 2.一个长方体的底面是边长为a 的正方形，高是h ，表面积是 224a ah +课内过关 练习精选3. 下列说法正确的是（ D ）A.单项式A 的系数是0B.单项式a 的次数是0C.a1是单项式 D.1是单项式 4. 下列代数式中整式有( B )x1, 2x +y ,31a 2b , πy x -,xy45, 0.5, a A.4个B.5个C.6D.7个5.多项式a 2－21ab 2－b 2有__3___项，其中－21ab 2的次数是___3__.6.小明家去年结余6000元，估计今年可结余10000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%.(1)若去年支出x 元，求去年收入多少元？今年的收入和支出各多少？ (2)若今年支出x 元，则今年收入多少元，去年的收入和支出各多少？ 解：（1）去年收入(6000+x)元,今年收入(1+15%)(6000+x)元,今年支出0.9x 元; (2) 今年收入(10000+x)元, 去年的收入10000+x 115%+元，去年支出110%x -元课外闯关 能力拓展7.下面说法中正确的是（ B ）A.一个代数式不是单项式，就是多项式B.单项式是整式C.整式是单项式D.以上说法都不对8. 下列说法错误的是（ D ）A ．单项式a 的系数和次数都是1 B.数字0也是单项式 C ．23xy-是系数为23-的二次单项式 D.2x x+是多项式 9.若-3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为-6，次数为4，则a =___2_____,m =__3_ .10.有一个多项式876253...x x y x y x y -+-+，按照此规律些写下去，则这个多项式的第八项是 7xy - .11.已知多项式222312akab b a +-+-不含ab 的项，求113k -（）的值。
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【专题知识点概述】
把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
例如：设a、b、c为有理数，且a+b+c=0, .证明对于任何正奇数n，都有 。
三.配方法
配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。
例9.证明：当a、b取任意有理数时，多项式 的值总是正数。
例10.若 。
例11.已知a、b、、灵活应用乘法公式
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
例4.计算
例5.已知整数a、b、（a-b）都不是3的倍数，试证 是9的倍数。
例6.当
(1)bc+ca+ab; (2)
例7.试求 。
例8.求证：
本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若a+b+c=0,则 ”和其逆命题。
整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：
例24.设 ，证明：
例25.已知a、b、c两两不等，且满足关系式：
。
（1）求m的值；（2）求证： 。
例26.证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式 总取整数值，那么2a,a+b,和c都是整数，并且反过来也成立。
例27.已知 ,
求证： 。
例17.解方程 。
五、代换法
所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。
例18.已知a、b、c、d适合 。求证： 。
例19.证明：
例20.已知 ，求证x、y、z中至少有一个等于1。
例21.证明：
例22.设 是x的一次式的完全立方式，求证3mr=
例23.已知 。求证：
（1）
（2）
（3）
下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：
一、运用运算性质和法则
例1.设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z。
例2.已知 ，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y的值。
例3.若a、b、c都是自然数，且满足 ,且c-a=19，求d-b的值。
例12.解方程 。
例13.若a、b、c、d是整数，且 ，求证mn可以表示成两个整数的平方和。
四、应用因式分解
应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。
例14.在三角形ABC中， （a、b、c是三角形的三条边），求证：a+c=2b。
例15.已知 ，试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。
例16.已知 ，求适合等式 的整数a、b、c的值。