第1讲：整式的恒等变形
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整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：
（1）
（2）
（3）
下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：
一、运用运算性质和法则
例1.设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z。
例2.已知 ，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y的值。
例3.若a、b、c都是自然数，且满足 ,且c-a=19，求d-b的值。
二、灵活应用乘法Baidu Nhomakorabea式
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
例4.计算
例5.已知整数a、b、（a-b）都不是3的倍数，试证 是9的倍数。
例6.当
(1)bc+ca+ab; (2)
例7.试求 。
例8.求证：
本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若a+b+c=0,则 ”和其逆命题。
例12.解方程 。
例13.若a、b、c、d是整数，且 ，求证mn可以表示成两个整数的平方和。
四、应用因式分解
应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。
例14.在三角形ABC中， （a、b、c是三角形的三条边），求证：a+c=2b。
例15.已知 ，试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。
例16.已知 ，求适合等式 的整数a、b、c的值。
例17.解方程 。
五、代换法
所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。
例18.已知a、b、c、d适合 。求证： 。
例19.证明：
例20.已知 ，求证x、y、z中至少有一个等于1。
例21.证明：
例22.设 是x的一次式的完全立方式，求证3mr=
例23.已知 。求证：
例24.设 ，证明：
例25.已知a、b、c两两不等，且满足关系式：
。
（1）求m的值；（2）求证： 。
例26.证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式 总取整数值，那么2a,a+b,和c都是整数，并且反过来也成立。
例27.已知 ,
求证： 。
第一讲 整式的恒等变形
【专题知识点概述】
把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
例如：设a、b、c为有理数，且a+b+c=0, .证明对于任何正奇数n，都有 。
三.配方法
配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。
例9.证明：当a、b取任意有理数时，多项式 的值总是正数。
例10.若 。
例11.已知a、b、c、d为四边形的四条边，且 求证：此四边形是菱形。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：
（1）
（2）
（3）
下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：
一、运用运算性质和法则
例1.设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z。
例2.已知 ，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y的值。
例3.若a、b、c都是自然数，且满足 ,且c-a=19，求d-b的值。
二、灵活应用乘法Baidu Nhomakorabea式
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
例4.计算
例5.已知整数a、b、（a-b）都不是3的倍数，试证 是9的倍数。
例6.当
(1)bc+ca+ab; (2)
例7.试求 。
例8.求证：
本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若a+b+c=0,则 ”和其逆命题。
例12.解方程 。
例13.若a、b、c、d是整数，且 ，求证mn可以表示成两个整数的平方和。
四、应用因式分解
应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。
例14.在三角形ABC中， （a、b、c是三角形的三条边），求证：a+c=2b。
例15.已知 ，试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。
例16.已知 ，求适合等式 的整数a、b、c的值。
例17.解方程 。
五、代换法
所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。
例18.已知a、b、c、d适合 。求证： 。
例19.证明：
例20.已知 ，求证x、y、z中至少有一个等于1。
例21.证明：
例22.设 是x的一次式的完全立方式，求证3mr=
例23.已知 。求证：
例24.设 ，证明：
例25.已知a、b、c两两不等，且满足关系式：
。
（1）求m的值；（2）求证： 。
例26.证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式 总取整数值，那么2a,a+b,和c都是整数，并且反过来也成立。
例27.已知 ,
求证： 。
第一讲 整式的恒等变形
【专题知识点概述】
把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
例如：设a、b、c为有理数，且a+b+c=0, .证明对于任何正奇数n，都有 。
三.配方法
配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。
例9.证明：当a、b取任意有理数时，多项式 的值总是正数。
例10.若 。
例11.已知a、b、c、d为四边形的四条边，且 求证：此四边形是菱形。