机构学和机器人学-2运动学中的向量法

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机器人机构学的数学基础

机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。

首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。

向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。

其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。

例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。

第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。

例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。

最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。

例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。

总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。

掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。

基于向量法解决机器人正向运动学教学难题

摘要：为解决机器人正向运动学教学中大学生对位姿矩阵以及刚体变换难以理解的难题，以
向量法建立了刚体的位姿矩阵，并以向量法推导了刚体绕空间任意轴线旋转的变换矩阵．以此
为基础，证明了矩阵左乘和右乘所对应的不同刚体运动，最终利用矩阵右乘导出了Ｄ－Ｈ变换矩阵，从而建立机器人学正向运动学方程．关键词：向量；矩阵；机器人；正向运动学；教学法中图法分类号：ＴＰ２４文献标识码：Ａ
第３１卷
第４期 பைடு நூலகம்
陕西科技大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．３ｌＮｏ．４
Ａｕｇ．２０１３
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｇｈａｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０１４１８，Ｃｈｉｎａ）
２０１３年８月
文章编号：１０００ — ５８１Ｉ（２０１３）０４ — ０１４７ — ０５
基于向量法解决机器人正向运动学教学难题
荆学东

机器人第2章数学基础-矢量变换

a (b c)
a (bc)
a (bc) 0
矢量微分和积分 r r(t) x(t) y(t) z(t)T
dr d (xi) d ( yj) d (zk)
dt dt
dt
dt
T
rdt xdt ydt zdt
2.2 矩阵基础
1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量（4 矩阵分解）
2
旋转矩阵
r ArP
旋转矩阵(Rotation Matrix)
A E u sin 2u2 sin2
2
u u1
u2
u3 T
sin 2sin cos
22
A E 2u sin (Ecos u sin )
2
2
2
定义欧拉参数 (Euler Parameters)
cos -sin

Rot(z,
)

sin
cos
1

1

1

Rot(x,
)

cos -sin sin cos

1
cos
sin

Rot(y, )
1

-sin cos

1

1

矢量运算
矢量的叉积(Cross Product)
a

b

azby aybz azbx axbz

aybx axby
i jk ax ay az bx by bz
反对称矩阵记法

第三讲)：机器人运动学和动力学(二

... ... ... ... ... ...
x qn y qn z qn x qn y qn z qn
微分运动学的概念
雅可比矩阵
x q 1 y q1 z p q1 J T x q q 1 y q1 z q1 x q2 y q2 z q2 x q2 y q2 z q2
Jl 2 Ja 2
q1 J q ln 2 J an qn

方位雅可比矩阵，代表相应的关节速度dq对与广义速度
微分运动
微分移动矢量微分转动矢量
d D
T Rot (z2 , 3 ) Trans (x 3 , a3 )
连杆2: 连杆3:
2 3
机器人运动学方程
正向运动学实例二
PUMA560六自由度机器人连杆1: 0 T
1
Rot (z0 , 1 ) Rot (x 1 , -π/2)

c1 0 -s1 0 s1 0 c1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1
o
A
y x
B
A
x
A
齐次坐标及齐次变换
齐次坐标：齐次变换阵：
px p y P pz 1
A B
R T 0
A B
A
pBO 1
齐次坐标及齐次变换
齐次变换：
A B R A P A T BP B 0
A
B p pBO 1 1
对时间求导：
d p V p T q dt q
x q 1 y q1 z q p J T 1 x q q 1 y q1 z q1

机器人机构学基础课件第2章

对于给定的 ABT 求 BAT
步骤：
➢
利用旋转矩阵的正交性质，可以得出
B A
R
R A 1
B
Bபைடு நூலகம்RT
➢
求出原点 A pBo在坐标系
{B}中的描述：B pAo
B A
R
A
pBo
BART
A pBo
➢
得到 BAT 表达式:
BAT
BART 0
BART 1
A
pBo
2.4.3 变换方程
{B}代表基坐标系，{T} 工具坐标系，{S}是工作台坐标系，{G}是目标坐标系，则它们之间的位姿关系可以用相应的齐次变换矩阵来描述。
（3）工作台（用户）坐标系（S）：在工作台上建立用户坐标系---用于示教编程。（4）工件坐标系（Work Object Coordinate System）：表示的相对位置—用于创建目标和路径。（5）腕坐标系（W）：定义工具方向。（6）工具坐标系（T）：与腕坐标系配合，确定两者之间的相对位姿。。（7）目标坐标系（T）：描述机器人运动结束时工具的位置。
A B
R
I
当表示姿态时，有 AP 0
机器人末端手爪的位姿描述：选定一个参考坐标系{A}，另规定一坐标系与手爪固连，称手爪坐标系{T}
n oa
手爪坐标系{T}这样规定的：其z轴设在手爪接近物体的方向，z轴单位矢量称为接近矢量，用a表示；y 轴设在两手指的连线方向，y轴单位矢量称为方位矢量，用o表示；x轴方向由右手法则确定，其单位矢量称为法向矢量，用n表示。
cos x,zb cos y,zb cos z,zb
按旋转的相对性，有：
B A

机器人学第二章(数学基础)

微分的几何意义：切线的纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线性性质、乘积性质、商的微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似最优解。

机器人运动学的表示

机器人运动学的表示机器人运动学是研究机器人在空间中的运动规律和姿态变化的学科。

它通过建立数学模型来描述机器人的运动和姿态，以便进行轨迹规划、运动控制、碰撞检测等操作。

本文将介绍机器人运动学的表示方法，包括正运动学和逆运动学表示。

一、正运动学表示正运动学表示是通过机器人的关节状态来确定末端执行器的位置和姿态。

它可以用来计算机器人的末端执行器在给定关节角度下的位置和姿态。

1. 齐次变换矩阵表示齐次变换矩阵是一种常用的正运动学表示方法。

它采用4×4的齐次变换矩阵来表示机器人的位姿变换关系。

通过逐关节的变换矩阵相乘，可以得到整个机器人的位姿变换矩阵。

2. 旋转矩阵和平移向量表示除了齐次变换矩阵，还可以使用旋转矩阵和平移向量来表示机器人的位姿变换关系。

旋转矩阵用于描述机器人的姿态变化，平移向量用于描述机器人的位置变化。

3. 世界坐标系和局部坐标系表示在正运动学表示中，通常会使用世界坐标系和局部坐标系来描述机器人的位置和姿态。

世界坐标系是一个固定的参考坐标系，而局部坐标系是机器人自身的坐标系。

通过坐标系之间的变换关系，可以将机器人的位置和姿态从局部坐标系转换到世界坐标系。

二、逆运动学表示逆运动学表示是通过机器人的末端执行器位置和姿态来确定关节状态。

它可以用来计算机器人在给定末端执行器位置和姿态下的关节角度。

1. 解析法解析法是一种常用的逆运动学表示方法。

它基于数学解析的方法，通过求解关节角度的解析表达式来确定机器人的关节状态。

解析法适用于一些简单的机器人结构，但对于复杂的机器人结构往往难以求解。

2. 迭代法迭代法是一种常用的逆运动学表示方法。

它通过迭代计算的方法，不断调整关节角度，使机器人的末端执行器逐渐接近目标位置和姿态。

迭代法适用于各种类型的机器人结构，并且具有较好的收敛性和鲁棒性。

三、运动学约束除了正运动学和逆运动学的表示方法，机器人运动学还涉及到运动学约束的问题。

运动学约束是指机器人在运动过程中受到的各种限制条件，如关节角度限制、碰撞检测等。

第2章(运动学)重要知识点总结(理论力学)

【陆工总结理论力学考试重点】之（第2章）运动学1、矢量法？答：运动方程为⃗⃗（）速度：⃗⃗（）加速度：⃗⃗⃗（）⃗（）2、直角坐标法？答：运动方程表示为：将运动方程里面的参变量（时间t）消去，便可得到动点的轨迹方程。

速度：即：动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间t的一阶导数。

则合速度：√加速度：即：加速度在直角坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间t的二阶导数。

则全加速度：√。

3、自然法（也称弧坐标法）？答：运动方程：（）速度：加速度：切向加速度：切向加速度的大小等于动点的弧坐标对时间t的二阶导数，用来表示速度大小随时间变化的快慢程度，方向沿轨迹的切线方向。

法向加速度：式中：为曲线的曲率半径，对于圆来说即为圆的半径。

法向加速度用来表示速度方向随时间变化的快慢程度，方向总是指向圆心方向。

则全加速度：√4、直角坐标法与自然法的联系？对于同一种运动，采用直角坐标法，其加速度求法为：全加速度：√。

采用自然法，其加速度求法为：全加速度：√直角坐标法与自然法的联系：对于同一种运动，采用上述两种方法求出的全加速度是一样的，即：√√5、刚体的平行移动？答：平移运动的特征：1）刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线；2）当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

6、刚体的定轴转动？答：运动方程（）角速度：单位：rad/s。

角加速度：单位：速度：加速度：切向加速度：法向加速度：则全加速度：√ √7、轮系传动比？答：如图设大齿轮的角速度为，半径为；小齿轮的角速度为，半径为。

则根据大小齿轮的齿合点A和B的线速度相等，可得：即：得：即轮系的角速度比（传动比）等于半径的反比。

机械设计基础机器人运动学和逆运动学

机械设计基础机器人运动学和逆运动学机器人技术一直是工业自动化领域的重要组成部分。

了解机器人的运动学和逆运动学是机械设计师的基本技能之一。

本文将介绍机器人运动学和逆运动学的基本概念和计算方法。

一、机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动的学科。

它主要关注机器人的位置、速度和加速度等运动状态。

机器人的运动学可以分为正运动学和逆运动学两个方面。

正运动学是根据机器人的关节角度计算末端执行器（例如机械臂末端的工具）的位置、速度和加速度。

正运动学通常采用变换矩阵的方法进行计算。

变换矩阵是描述坐标系之间变换关系的数学工具，可以将机器人的关节角度转化为末端执行器的位置。

逆运动学与正运动学相反，它通过给定末端执行器的位置，计算机器人各个关节的角度。

逆运动学也是机器人控制中的关键问题，因为在很多应用中，我们更希望直接控制机器人的末端位置而不是关节角度。

二、机器人运动学的计算方法机器人运动学的计算方法主要包括几何法和代数法。

几何法是一种直观的计算方法，它根据机器人各个链节的长度和关节角度，通过几何关系计算末端执行器的位置。

这个计算过程类似于通过三角函数计算一个三角形的边长。

几何法的优点是容易理解和使用，但是对于复杂的机器人结构和多自由度机器人，几何法的计算可能会变得非常复杂。

代数法则通过变换矩阵的乘法来计算机器人的运动学，相较于几何法，代数法更具有通用性和灵活性。

代数法的关键是构建机器人的正运动学和逆运动学的解析解。

解析解的计算通常基于一些代数求解的方法，例如向量法、四元数法等。

三、机器人逆运动学的解析解和数值解在机器人逆运动学的计算中，如果能够得到解析解，那么可以直接得到机器人各个关节的角度。

然而，对于大部分机器人而言，解析解可能并不存在，或者过于复杂而难以计算。

这时我们可以用数值方法来近似计算逆运动学。

数值解通常采用迭代的方法来计算。

具体来说，我们可以通过给定初始角度，计算得到末端执行器的位置，然后调整关节角度，再次计算末端位置，不断迭代，直到达到所需的位置精度。

第二章机器人运动学

1
0
Y
0 0 1 Z
0 0 0
1
式中：第四列元素X、
Y、Z分别表示沿坐
标轴X、Y、Z的移动量。
cossin242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai求得ai如下
k
X
kY
vers 0
kY s
kY kZ vers kX s 0
kZ kZ vers c 0
0 1
式中： vers 1 cos
反之，若给出某个旋转算子
nX oX aX 0
R
nY
oY
aY
0
nZ 0
oZ 0
aZ 0
0 1
求出其等效转轴矢量k及等效转角为
sin 1
2
oZ
aY
2
aX
nZ
4 4矩阵表达式。
图2.5 动坐标系{B}的位姿表示
解 XB的方向列阵：n cos30 cos60 cos90 0T 0.866 0.500 0.000 0T
YB 的方向列阵： o cos120 cos30 cos90 0T 0.500 0.866 0.000 0T
ZB的方向列阵： a 0.000 0.000 1.000 0T
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.2.2 平移的齐次变换一、点在空间直角坐标系中的平移变换
如图2.13所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A点后，坐标为(XA，YA，ZA)。其中

机器人学-第二章运动学

2、方位的描述
为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。
用坐标系{B}的三个单位主矢量
，
x
，
B
y相B 对于z B坐标系{A}的方向余
弦组成的3*3 阶矩阵来表示刚体B相对于{A}的方位：
BAR[AxB AyB AzB]
r11 r12 r13
BAR rr3211
r22 r32
r31 r32 r33
AXˆB, AYˆB, AZˆB
标量来表示。
r可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量 ij
•2021/6/7
•5
第二章机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
3、旋转矩阵计算称BA为R 旋转矩阵，上标A代表参考系{A}，下标B代表被描述的坐
•3
第二章机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
2、坐标系在固定参考坐标系中的表示
由表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示
n x o x a x Px
F
n y o y a y Py
n z o z a z Pz
0001
例
a
z
45
on45P Nhomakorabea3
7
5 x
y
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n轴与x轴平行，o轴相对于y轴45° a轴相对于z轴45° F坐标系位于参考坐标系3,5,7位置
BAR1BART
A B
R
1
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第二章机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—坐标系的描述
用
B A
R
和

机器人机构学的数学基础引用

机器人机构学的数学基础引用机器人机构学是机器人学中的一个重要领域，它研究机器人的结构、运动及其控制等问题。

机器人机构学的研究需要运用到一定的数学知识。

本文将就机器人机构学的数学基础进行引用和总结。

一、向量和矩阵机器人机构学中常用向量和矩阵来表示机器人的位置、姿态、运动等信息。

向量是一个具有大小和方向的量，可以用来表示位置、速度、加速度等物理量。

矩阵则是由多个向量组合而成，可以用来表示变换、旋转、平移等变换。

在机器人机构学中，常用齐次坐标系来表示机器人的位置和姿态。

二、三角函数三角函数是机器人机构学中常用的数学工具。

在机器人运动学中，三角函数可以用来描述机器人的角度、朝向、运动路径等信息。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

例如，正弦函数可以表示机器人关节的位置，余弦函数可以表示机器人末端执行器的位置。

三、相似变换和仿射变换相似变换是机器人机构学中常用的一种变换方式，它保持物体的形状不变但可以改变物体的大小和位置。

相似变换需要用到欧氏变换、即平移和旋转。

在机器人机构学中，常用相似变换来描述机器人的运动学结构。

仿射变换也是机器人机构学中常用的一种变换方式，它可以改变物体的形状和大小，而且可以进行平移、旋转和剪切等操作。

在机器人机构学中，仿射变换常用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。

四、李群和李代数李群和李代数是机器人机构学的重要数学工具。

李群是一种数学对象，它描述了物体的对称性和运动规律。

李代数则是对李群进行线性化的结果，它可以求出物体在某一点的切空间。

在机器人机构学中，李群和李代数可以用来描述机器人的变换及其群结构。

总结：机器人机构学的数学基础涉及到向量和矩阵、三角函数、相似变换和仿射变换以及李群和李代数等领域。

这些数学概念和工具可以帮助机器人机构学家更加准确地描述机器人的位置、姿态、运动及其控制方式，从而为机器人的应用研究提供有力的数学支撑。

物理学中的向量运算

物理学中的向量运算在物理学中，向量是一种重要的数学工具，用于描述物理量的大小和方向。

向量运算是对向量进行各种操作的方法，包括加法、减法、乘法等。

本文将介绍物理学中的向量运算，并探讨其在物理学中的应用。

一、向量的定义和表示向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。

箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在物理学中，我们通常将向量用字母加上一个箭头来表示，比如A⃗、B⃗。

向量的大小用数值表示，向量的方向用角度或者方向余弦表示。

二、向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的加法和减法都是按照向量的方向进行运算的。

向量的加法满足交换律和结合律。

即A⃗+B⃗=B⃗+A⃗，(A⃗+B⃗)+C⃗=A⃗+(B⃗+C⃗)。

向量的减法可以看作是加法的逆运算，即A⃗-B⃗=A⃗+(-B⃗)。

三、向量的乘法向量的乘法有数量积和矢量积两种形式。

数量积是指将两个向量的大小相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为A⃗·B⃗=|A⃗||B⃗|cosθ。

矢量积是指将两个向量的大小相乘再乘以它们的夹角的正弦值，并乘以一个单位向量，表示为A⃗×B⃗=|A⃗||B⃗|sinθn⃗。

数量积可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的投影。

矢量积可以用来求两个向量的叉乘，得到一个与原向量垂直的新向量。

四、向量的应用向量运算在物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 力学：在力学中，向量运算用于描述物体的运动和力的作用。

通过对物体的位移、速度和加速度进行向量运算，可以计算物体的运动轨迹和受力情况。

2. 电磁学：在电磁学中，向量运算用于描述电场和磁场的分布和相互作用。

通过对电场和磁场的强度和方向进行向量运算，可以计算电荷的受力和电流的磁场。

3. 光学：在光学中，向量运算用于描述光的传播和干涉。

通过对光的电场和磁场进行向量运算，可以计算光的传播方向和干涉图样。

机构学和机器人学-3运动学中的矩阵法

p1 x （3—21） p1 y
式中α为刚体相对固定坐标系x-y的转角。
q1 为已知，可将(3—20)改成适合计算Q点新位置坐标的形式，由式（3—20）求解 q j 得：
Q(q ) 点的起始位置因此当
通常，起始位置 p1 和最终位置 p j 及转角 1 是同时给定，
由（3—3） r2 R , z r1
p j q j R , j
可写成：
知：

p j qj
q j p j R , j

qj p j
而∵ ∴
q j q1 p j p1
q j p j q1 p1
s c 0
0 0 1
（自转）（3-18）
其中：
x1 R , x0

z R , x1 z0
1

R ，， R ， R ， R ， z x
R
，，

cc scs sc ccs s s
——为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法，都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：
( ( ( E k 、 E i 、 E j 、 Cij ) 、 Cij ) 、 Cij )
若定长矢量 r
二、绕直角坐标轴的一组旋转随刚体旋转，旋转次序为：
先绕z转α→绕y轴转β角→绕x轴转γ角达到终点，则：
然后使刚体绕
u
这一暂时位置
（即z轴）旋转φ角，最后再将 u 轴转回原先的位置，这种方法可用五次转动来实现。

r2 R , y R , x R , z R , x R , y r1

【机械原理课程设计】向量法运动分析

单位
数据
mm
70
mm
200
mm
315
度
60
度
120
mm
70
mm
320
mm
225
mm
150
mm
60
转/分
100
• 偏置直动滚子从动件盘形凸轮中升程h＝28mm，偏距e＝12mm，基圆半径r＝30mm，滚子半径 r＝10mm，[α]＝30°，从动件运动规律：凸轮转过60°时，从动件以余弦加速度运动规律上升，其后转过30°从动件保持不动，再转过 60°时，从动件以余弦加速度运动规律返回原处，其后又转过230°从动件保持不动。凸轮与曲柄共轴以逆时针回转。
平面机构运动分析
（矢量方程图解法）
•矢量方程的图解法
•同一构件上各点间的运动关系
•两构件瞬时重合点间的运动关系
§3
用矢量方程图解法分析平面机构的运动 b
A
一、矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
AB C
a
B

x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
2
无ak 1 2 B 3
3
无ak
1
2 3
有ak B 有ak
2 B 3 1
1 B
3有ak 2
2
B 有a k 3
2 1 B 3 有ak
1
B
1
例求图3-5所示机构的运动关系（P52） B 解：1）以长度比例尺L作机构位置图 2）速度分析求Vc、 2 （第一类问题） VB2 4 D 2 3 C
D
//EF VD5

机构学和机器人学-2运动学中的向量法

第二章运动学中的向量法
向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直角坐标，也可用极坐标表示。 §2-1 复数矢量法(复极向量法)
一、复数用两个实数x、y表示一个复数
Y i O
Z

y x X
z x iy
x、y 分别称为复数的实部和虚部，实部单位为“1”，略去不写，虚部单位“i” 有求法规则： i i 1
未知量 3 左移：、 4
(r sin ) (r sin ) r 3 3 3 4 4 4 2 2 sin 2 （2-24） 3 (r3 cos 3 ) 4 (r4 cos 4 ) r2 2 cos 2
( d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。
取（2—20）的虚部得：
r3 sin 3 d sin d r4 sin 4
r3 sin 3 d sin d sin 4 r4
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析由位置方程
最后，用Cramer（克莱姆）法则解（2—24）
3
sin r2 2 2 cos r r3 sin 3 r3 cos 3
2 2
r4 sin 4
2
r4 cos 4 r4 sin 4 r4 cos 4
于是可得：
r2 r4 cos 2 sin 4 r2 r4 sin 2 cos 4 3 2 r3 r4 cos 3 sin 4 r3 r4 sin 3 cos 4 r2 sin( 4 2 ) 2 r3 sin( 3 4 )
将（2-27）分解为实数分量和虚数分量，便可和的两个方程：得含有未知数 3 4

运动学矢量法一般解题方法(修改稿)

运动学概念及矢量法解题一般方法（132492629群主）运动学是定律描述物体运动状态和过程的数学理论。

学生在学习运动学知识时，一定要掌握一般解题方法；在掌握一般解题方法后，再学习一些技巧；而不要反过来，否则，技巧越多，需要记忆的越多，最后负担过重，弄巧成拙。

下面，我讲讲运动学解题的基本方法。

一、基本概念1、矢量位移、速度、加速度，都是矢量，因为它们都有大小和方向。

2、位置矢量由坐标原点向位置点作有向线段，如右图，O A 、OB都是位置点A 、B 的位置矢量。

位置矢量有大小，有方向。

如O A，大小就是OA 的长度，方向就是由O 指向A 。

3、位移一段时间内质点位置矢量的变化量，就是位移。

如右图中，AB就是位移矢量。

位移是矢量，既有大小，又有方向。

大小，就是起点至终点的（直线）距离；方向，就是起点朝着终点的指向。

位移，就是一条起点指向终点的线段。

【点睛】位移只与两点有关：起点，终点。

前面说过，位移是有方向的。

通常，方向要事前进行设定。

如上图，向右的方向（数轴方向）被设定为正方向。

左图Δx = x 2 – x 1 ＞ 0，表示物体位移方向与数轴方向一致；右图Δx = x B – x A ＜ 0，表示物体位移方向与数轴方向相反。

4、速度速度是矢量，既有大小，又有方向。

从公式可以看出，速度的方向，就是位移方向。

5、加速度加速度是矢量，既有大小，又有方向。

加速度方向，和速度的改变Δv 方向一致。

右图，位移（数轴）方向为右向，速度的方向也是右向；上图的汽车加速度为右向，即a ＞0；下图的汽车加速度为左向，即a ＜0。

二、学会看懂图像（匀速、匀变速直线运动）1、位移时间图像都告诉你什么？①（横轴）时间：甲的起始时刻0s ，结束时刻25s；乙的起始时刻10s ，结束时刻25s 。

②（纵轴）位置：甲的初始位置矢量20m ，结束位置矢量40m ；乙的位置矢量0m ，结束位置40m 。

③ 位移：甲的位移20m ，乙的位移40m 。

机器人动力学(一)空间向量(Spatial Vectors)简介

机器人动力学（一）空间向量（Spatial Vectors）简介介绍了机器人动力学建模和分析的空间矢量法。

这篇文章是一次演讲的汇编。

本讲座通过分析物体的运动和描述方法，介绍一种更有效的描述刚体运动的方法。

该方法使用的基本工具是六维空间矢量。

什么是空间向量？空间向量(Spatail Vectors)首先是一种向量，它提供了关于刚体运动状态或施加在其上的力的完整描述。

它与欧氏向量提供的关于运动状态和受力的完整描述是一样的。

特别的，空间向量将刚体运动或力的线性运动和旋转运动两个方面结合成了一个单独的量。

空间向量为什么好用？在描述、分析和计算单个刚体或刚体系统的运动学和动力学时，空间矢量为我们提供了简洁的符号。

向量（Vectors）•根据定义，向量就是向量空间（vector space）中的的一个元素•向量空间则是一种数学结构，它包含了一个交换群 G ，一个域 K ，以及一个二元运算符它定义了一个映射 G\times K \rightarrow G . G 的元素就叫作向量（vector）， K 的元素叫作标量（scalar）•对于所有的向量，加法和标量乘法都需要被定义不同种类的向量大多数向量都有一些额外的性质。

我们将使用三种向量，每一种都有自己的特殊属性向量场向量场是将欧几里得空间中的每一点映射到该点的欧几里得向量的函数。

事实上，它结合了空间中每一点的大小和方向。

矢量场可以描述各种物理现象，比如下图是一个向量场示意图下面是两个向量场相加的图例速度向量场体固定点（body-fixed point）是一个固定在刚体相对位置上的点，当刚体运动的时候这些点也跟着运动，如图你可以想象整个空间都是这样的不动点，那么当刚体运动的时候，我们定义了一个向量场。

特别地，物体的速度可以定义一个速度矢量场，它指定了一个固定点通过空间中每一点时的线速度。

刚体在三维空间中运动时所有可能的速度都由向量场来描述，向量场的集合可以构成一个六维向量空间。