4-3旋转曲面
曲面立体曲面立体及表面上点的三视图解析课件
可见，则点A必在后半个圆柱面
上；A点在左半个圆柱面上，故a”
可见。
a
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
作图：
(1)过(a’ )作投影线，找到直
线与圆周的交点;
(2)根据投影规律求出a”。
三、回转体及其表面上的点和线
1、圆柱体
例2 已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。
d' c' f'
a'
(b')
(3)在sm和s”m”上求得a和a”。
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
三、回转体及其表面上的点和线
2、圆锥体
锥体作辅助 线方法之二：
平切法
例4 已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。
s'
s”
分析：
PV m'
a'
A在圆锥面上，则过A必存在圆
(a”)
PW
锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥面 上，则a’ 可见；A点在右半个圆锥面
最后素线投影
X 前后分界线
Y 左右分界线
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
各面投影特点：
(1)圆锥面：一个 圆与两个等腰三角形；
(2)底面：一个圆 与两条直线。
一、曲面立体的三视图
3、圆球体
空间分析：
圆球面平行V面 的圆素线投影
前后分界线
Z
圆球面平行W面 的圆素线投影
三个圆都需要用 细点画线画出对
一、曲面立体的三视图
在工程上，回转体是应用广泛的曲面立体。常见的回转体 包括：
圆柱体
圆锥体
圆球体
圆环体
回转面——由母线绕固定轴线旋转得到的一类曲面 回转体——表面是回转面或回转面和平面的立体
第三章 4旋转曲面
z
绕 z 轴旋转一周
.
C
o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
得旋转曲面 S
绕 z轴旋转一周
z
M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 )
.
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
2
S
x2 y2
z
o
z1
C
.
S：f ( x y , z ) 0
一、旋转曲面
通过轴线的平面与旋转曲面相截
所得的平面曲线叫旋转曲面的子
Ｌ
午线。
任意一条子午线都可以当做这个 旋转曲面的生成曲线。
Ｃ
求旋转面的方程
1、坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕z轴 C o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
பைடு நூலகம்
x y
f (t ) g (t ) cos 2 2 f (t ) g (t ) sin ,(a t b,0 2 )
2 2
z h(t )
例4
x y z 1 ： 求直线 绕 Z轴旋转所得的旋转曲面的方程 2 1 0
z
例 2：求 oyz 平面上的直线 y=ztanθ 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程．
O
y x z tan
2 2
y
x
即： x 2 y 2 z 2 tan2 0
旋转曲面的面积
作业
P255：1，2，3.
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
x x(t)
y
y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2
y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt
若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2
( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
解析几何全册课件(吕林根版)精选全文完整版
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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向量减法
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A
B
C
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
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解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
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由题意知：
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定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
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空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
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根据题意有
化简得所求方程
解
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例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
第四章曲线与曲面
圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线 素线 下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以 它的直径为回转轴旋转而 成。
土木工程制图
解析几何教案(四)
第四章 常见曲面§4.1柱面1.定义：在空间，由平行于定方向v 且与一条定曲线c 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向v 叫柱面的方向，定曲线c 叫柱面的准线。
那族平行直线中的每条直线，都叫做柱面的母线。
(生成图见课件flash 动画)2.柱面方程： 设柱面曲线为c ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F ()1母线方向{}z y x v ,,= 点),,z y x M （在柱面上⇔ 点M 在过准线线某一点),,1111z y x M （的母线上⇔点M 的坐标满足过1M 的母线方程zz z y y y x x x 111-=-=- ()2 其中点),,1111z y x M （满足条件⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x F z y x F ()3 由 ()1，()2，()3消去参数111,,z y x 得柱面方程0),,(=z y x F例1． 柱面的准线方程为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 而母线方向数是1,0,1-，求这个柱面的方程。
解：设),,1111z y x M （是准线上任一点，那么过1M 的母线方程为101111z z y y x x -=-=-- ()* 且有⎩⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x ()()54将()* 化成参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y t x x 111 ()6 代入()4及()5得()()()()⎩⎨⎧=-+++=-+++2221222222t z y t x t z y t x ()()87 从()7，()8消去t ，()02=-t z ∴ t z =，代入()7得()122=++y z x即012222=-+++xz z y x 为所求柱面方程。
例2 已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x，点()121，，-在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
解析几何(第四章)
y2 = – 4x
L：
L:
x
z
y
0
L
( )
.
消去z
(消去x )
y2+(z – 2)2 = 4
y2 = – 4x
y2+(z – 2)2 = 4
y2 = – 4x
空间曲线作为射影柱面的交线
P147 2, 8(3)
一、锥面的概念
S
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
经线和母线 一样吗？
l
M
经线
满足什么条件母线就是经线？
旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成
纬圆（纬线）
经线
二、旋转曲面的方程
设旋转曲面的母线 ，
§4.4 椭球面
椭球面的几种特殊情况：
长形旋转椭球面
扁形旋转椭球面
三轴椭球面
球面
二、椭球面的性质
1 对称性
2 范围
3 形状
截口是曲面与平面的交线
椭球面 与三个坐标面的交线
椭球面
椭球面的主截线（主椭圆）
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
规律： 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时， 为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
三、几种特殊的旋转曲面
b
y
z
例1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程
解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
CATIA_自由曲面教程
自由造型单元可以创建不规则的曲面，构图方式自由，故称自由造型。
自由造型构图方式是透过移动控制点的方式来决定曲面或曲线的外形，与其他实体为主的单元的不同处，在于自由造型可以脱离实体的限制，由用户的主观意识来决定所要的外形。
自由曲面优化模块扩展了CATIA自由曲面造型设计的外形和曲面造型功能，主要针对复杂的多曲面外形的变形设计。
设计者可以象处理一个曲面片一样对曲面进行整体更改，而同时保持每个曲面先前规定的设计品质。
系统能够使一个设计和其他的几何元素匹配。
为检验曲面的设计质量，用户可以实施一个虚拟展室，通过计算出反射光线对曲面进行检查。
2.1 进入自由曲面造型单元打开CATIA软件后，在菜单栏中的开始菜单中选择形状模块，并单击FreeStyle单元，如图2.1所示，进入自由曲面造型单元。
图 2.1自由曲面造型功能总览：自由曲面造型单元共有八项主要的工具栏，可以在插入和工具菜单中找到，全部的工具栏请参考图2.2。
插入工具栏所提供的功能主要用于曲面与曲线的创建和修改，工具菜单中所提供的功能主要为辅助用户的设计工作。
图 2.2 八项主要工具简介如下：. CurveCreation(曲线创建):可以用各种条件创建并修改曲线。
. SurfaceCreation(曲面创建):可以用各种条件创建并修改曲面。
. ShapeModification(外形修正)：可以对曲面、曲线的外形进行修正。
.Operations(修改操作)：可以对曲线、曲面等对象进行修改。
. ShapeAnalysis(外形分析)：可以对曲面、曲线进行间隙、曲率、曲面品质、距离误差等的分析。
. GenericTools(一般工具)：可以显示曲面的几何状态，改变指南针方向。
. ViewManipulation(自定义观察方式)：可以修改屏幕的显示比例，使用指南针来移动视角，变换前后视角。
. FreeStyleDashboard(自由造型辅助面板)：建立与修改曲面、曲线时的辅助工具。
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
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5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
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( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
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2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
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3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
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y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
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x y z 2 1 2 a c
masterCAM9.1教程(全)
表 3-4 F倒圆角 T修剪 B打断 J连接 N曲面法向 NURUBS 控 制 转 成 NURUBS E延伸
D动态移位 A曲线变弧
修整菜单功能描述
绘制圆角 修剪用延伸线条 将一条完整的线断开成两段或多段 连接断开的直线或圆弧 可以改变曲面法线的方向 可 以 修 改 NURBS 曲 线 或 曲 面 的 控 制 点 把 非 NURBS 图 素 转 换 为 NURBS 曲 线 将 图 素 (包 括 线 、 圆 弧 、 曲 线 和 曲 面 )延 伸一定的长度 动态地移动或者复制图素到指定的位置 将绘出的曲线转换成圆弧
25取y轴进行镜像的结果4旋转操作图423旋转前图形图424旋转对话框图425旋转后的结果图426侧视图构图面以p2点旋转后的结果图427前视图构图面以p1点旋转后的结果5平移操作图428平移设置对话框图429平移后结果43构建曲面431曲面的基本概念和分类曲面是用数学方程式来定义物体表面的形状表现一个曲面包含有多个段面sections或缀面patches它们熔接在一起而形成一个图素
（三）区域 （四）仅某图素 （五）所有的 （六）群组 （七）结果 （八）重复图素 （九）回复删除
表3-3 回复已删除菜单功能 单一图素 恢复前一个刚被删除的图素 指定图素 恢复前面指定数目被删除的图素 所有图素 最大可能恢复所有的被删除的图素
3.2 修 整
选取如图3-11主菜单上的“Ｍ修整” 或按功能键Ｆ７，弹出修整菜单，
直接生成曲线或利用已知点来生成曲 线，包括SPLINE曲线或NURBS曲线。 SPLINE曲线可以视作一条有弹性的强力橡 皮，通过在其上各点加上重量使其经过指定 位置，点两侧的曲线有相同的斜率和曲率。
而NURBS（Non－ Uniform Rational Ｂ－Ｓpline）曲线可以视作比 SPLINE曲线更加光滑的曲线，可以通过移 动它的控制点来编辑NURBS曲线，适用于 设计模具模型的外形与复杂曲面的轮廓曲 线。如汽车表面轮廓曲线。
旋转曲面的方程特点
旋转曲面的方程特点旋转曲面是指由一个曲线绕着某一轴旋转而形成的曲面。
旋转曲面在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将从方程特点的角度，对旋转曲面进行详细介绍。
一、旋转曲面的定义二、旋转曲面的方程1. 柱面的方程2. 圆锥的方程3. 球体的方程4. 扭曲表面的方程三、旋转曲面的特点1. 对称性2. 曲率半径3. 面积和体积4. 积分计算四、结语一、旋转曲面的定义旋转曲面是由一个平面图形，以某条轴线为轴进行旋转所得到的空间图形。
这个平面图形可以是任何形状，包括圆形、椭圆形和多边形等。
二、旋转曲面的方程通过不同类型图形绕不同轴线所得到的旋转曲面，其方程也各不相同。
下文将对常见几种情况进行介绍。
1. 柱面的方程柱体是指一个平行于轴线且截距相等的长方体。
若将一个矩形绕着其中一条边所在的直线旋转一周，就可以得到一个柱面。
柱面的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 = r^2$$其中，r是旋转轴线到矩形边缘的距离。
2. 圆锥的方程圆锥是指以一个圆为底面，以一个点为顶点，通过连接底面和顶点而得到的曲面。
圆锥的方程可以表示为：$$z^2 = \frac{r^2}{h^2}(x^2 + y^2)$$其中，r是底面半径，h是高度。
3. 球体的方程球体是由绕着一个直线旋转一条弧线所得到的曲面。
球体的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$其中，r是球体半径。
4. 扭曲表面的方程扭曲表面是指由任意平面图形绕任意轴线旋转而得到的曲面。
扭曲表面没有特定公式可用于计算其方程，需要根据具体情况进行推导。
三、旋转曲面的特点1. 对称性旋转曲面具有轴对称性，在旋转轴线上的任意点，其左右两侧的形状是相同的。
这种对称性使得旋转曲面在计算中具有方便性。
2. 曲率半径旋转曲面的曲率半径取决于其绕轴线旋转时所用到的图形和轴线。
例如，圆锥和球体具有不同的曲率半径。
3. 面积和体积旋转曲面的面积和体积可以通过积分计算得到。
4-3 旋转面-花瓶曲面
3、选择工具栏中造型—曲面生成—旋转面—功能，见图1-3
图1-3图1-4
4、根据提示，一次选择旋转轴线与截面线生成旋转面。如图1-4
5、选择生成的曲面，点击右键选择渲染。如图1-5
适应课程
《CAD/CAM软件应用》
适用地区
全国
版权和限制
是
文档编辑
张国威
贡献日期
2013年05月25日
审核校对
审核日期
2013年月日
任务旋转面的曲面建模
引入策略
内容学习
一、建模流程
二、建模操作
1、绘制。选择XZ平面，直线工具延Z轴绘制旋转轴，如图1-1
图1-1图1-2
2、选择样条线工具绘制花瓶截面如图1-2
CAXA制造工程师应用课题
知识点制作脚本
知识点元数据信息
标题
花瓶旋转面曲面建模
语种
中文
关键字
描述
覆盖范围
全国
贡献者
张国威
要求
工程师
CAXA
学习资源类型
教学课件
难度
中
知识点代号
4-3
交互程度
中
知识点位置
项目四任务三4-3旋转面的曲面建模
典型学习时间10分钟Fra bibliotek持续时间
20分钟
终端用户类型
学习者
适用对象
中等职业教育
图1-5
内容小结
1、图形绘制
2、直线工具，样条线工具使用
3、曲面功能的使用
4、渲染的使用
mastercam曲面操作方法
项目4三维曲面造型4.1项目描述本项目主要介绍Mastercam X三维曲面造型功能命令的使用，例如拉伸、旋转、扫掠等功能。
通过本项目的学习，完成操作任务—一建立图4-1所示的笔筒曲面模型。
图4-1笔筒曲面模型4.2项目目标【知识目标】（1）熟悉Mastercam X三维造型的类型；（2）熟悉Mastercam X三维线架模型的构建思路；（3）掌握Mastercam X构图面、视角及构图深度的设置技术；（4）掌握Mastercam X曲面造型功能命令的使用技术。
【技能目标】（1）能综合运用构图面、视角及构图深度，绘制三维线架模型；（2）能综合运用Mastercam X三维曲面造型功能命令，对二维图像进行拉伸、旋转、扫掠等操作来创建各种各样的三维曲面，以及对曲面进行圆角、修剪、曲面融接等操作来构建较为复杂的三维曲面；（3）完成“项目描述”中的操作任务。
4.3项目相关知识4. 3.1 Mastercam X三维造型的类型Mastercam中的三维造型可以分为线架造型、曲面造型以及实体造型三种，这三种造型产生的模型可以从不同角度来描述一个物体。
线架模型用来描述三维对象的轮廓及端面特征，它主要由点、直线、曲面等组成，不具有面和体的特征，不能进行消影、渲染等操作。
曲面模型用来描述曲面的形状，一般是将线架模型经过进一步处理得到的。
曲面模型不仅可以显示出曲面的轮廓，而且可以显示出曲面的真实形状。
各种曲面是由许多的曲面片组成，二这些曲面片又通过多边形网格来定义。
实体造型是使设计者们能在三维空间中建立计算机模型。
实体模型中除包含二维图形数据外，还包括相当多的工程数据，如体积、边界面和边等。
实体模型具有体的特征，可以进行布尔运算等各种体的操作。
5.3.2构图面、视角及构图深度设置1.设置构图面在Mastercam中通过构图平面的设置可以将复杂的三维绘图简化为简单的二维绘图。
构图面是指用户进行绘图的平面。
设置方法：(1)点击如图4-2所示平面工具栏中的相应按钮来设置俯视图(Set plances to TOP)、前视图(Set plances to FRONT)、右视图(Set plances to RIGHT)、实体面(Set plances to a solide face)、图形定面(Set plances by geometry)等构图面。
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平面 分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆 ＝
球
当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 1 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z (2) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 F1 x1 , y1 , z1 0(3) 母线： F2 x1 , y1 , z1 0(4)
⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
z
o
规律：
y
一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时， 为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两 坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
x
解析几何
z 例 3 （ 1）
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
x2 y 2 2 1 2 将椭圆 : a b 绕短轴（即 y 轴）旋转 b a z 0 y
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 a 2
扁形旋转椭球面
o
a
x
b
z
解析几何
b
z
x
0
y2 x2 z 2 2 2 1 2 b c c
双叶旋转双曲面
解析几何
三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面
3 旋转抛物面
4 环面 5 旋转椭球面
解析几何
z 例 3 （ 1）
b
y
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
解析几何
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
b
z
0
解析几何
z
o
y
.
x 例5
2 . y b z 2 a2 . 将圆 : 绕 z 轴旋转 b a 0 x 0
环面
解析几何
救生圈
.
S
l 称为旋转曲面的旋转轴 （axis of rotation）
解析几何
解析几何
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线 说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。 l
§4.3 旋转曲面
解析几何
一、旋转曲面的有关概念
l
解析几何
定义1 在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S 称为旋转曲面（或回转曲面） （ surface of revolution）
l
Γ 称为旋转曲面的母线 （generating curve）
o
y 旋转抛物面
x
解析几何
z
o
a
b
y
例5
2 y b z 2 a2 将圆 : b a 0 绕 z 轴旋转 x 0
解析几何
z
o
y
x 例5
2 y b z 2 a2 将圆 : b a 0 绕 z 轴旋转 x 0
F x, y, z 0
l
M1
注： ⅰ 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程或母线族 ⅱ 写出参数 x1 , y1 , z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
解析几何
例1 求直线 ：
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
解析几何
z 例 3 （ 1）
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
o
解析几何
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
b
z
0
解析几何
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
x 2
y z 1 绕直线 l : x y z 旋转所得的旋转曲面的方程 1 0
注：为方便，今后将取旋转曲面的 某一条经线作为它的母线。
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解析几何
例2
F y, z 0 设母线 : ，⑴ 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程； x 0
M
纬圆
S
经线
解析几何
二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 1 旋转曲面的一般方程
设旋转曲面的母线
F1 x, y, z 0 x x0 y y0 z z0 : 旋转轴为直线 ， l: F x , y , z 0 2 X Y Z
解析几何
y
例 6 （ 1）
x2 y 2 1 将椭圆 : a 2 b 2 a b z 0
o b
z
a
x
绕长轴（即 x 轴）旋转
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 b2
长形旋转椭球面
解析几何
例 6 （ 2）
解析几何
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
b
z
x
0
y2 x2 z 2 2 2 1 2 b c c
双叶旋转双曲面
解析 x 0
o
b
y
解析几何
z 例 3 （ 1）
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
2
z
绕它的对称轴旋转
o
y
解析几何
例4
y 2 pz : 将抛物线 x 0
2
z
绕它的对称轴旋转
o
y
x
解析几何
例4
y 2 pz : 将抛物线 x 0
2
z
绕它的对称轴旋转
.
x2 y 2 2 pz