第八章离散系统作业答案

第八章 离散系统作业答案

注明：*为选做题 1 试求下列函数的Z 变换 （1）()E z L =();n e t a = 解：01()[()]1k k k z E z L e t a z z z a

a

∞

-====

=

--∑ （2） ();at e t e -= 解：

122101()[()][]1...1at

akt k at at at at

k z

E z L e t L e e z e z e z e z z e ∞

----------=====+++=

=

--∑2 试求下列函数的终值：

（1）1

12

();(1)Tz E z z --=

-

解： 1

1

1

11

()(1)()1lim lim lim t z z Tz f t z E z z ---→∞→→=-==∞- （2）2

()(0.8)(0.1)

z E z z z =--。

解：211(1)

()(1)()0(0.8)(0.1)

lim lim lim

t z z z z f t z E z z z →∞→→-=-==-- 3* 已知()(())E z L e t =,试证明下列关系成立：

（1）[()][];n z L a e t E a =

证明：

0()()n

n E z e nT z

∞

-==∑00

()()()()[()]n n n n n n z z E e nT e nT a z L a e t a a ∞

∞

--=====∑∑ （2）()

[()];dE z L te t Tz

T dz

=-为采样周期。

证明：1

1

1

00

[()]()()()()()()()()()n

n n n n n n n n n L te t nT e nT z

Tz ne nT z dE z d

e nT z dz dz e nT n z

ne nT z ∞

∞

---==∞-=∞

∞

----======-=-∑∑∑∑∑

所以：()

[()]dE z L te t Tz

dz

=- 4 试求下图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或输出z 变换()C z 。

题2-4图

解：（a ）11121

1312312()

()()1()

()()()1()()()

1()1()

G z C z G z G G z z G z R z G z G z G G z G z G G z +Φ===++++

（b ）134()()()()h E z RG z E z G G G z =-，得：134()

()1()

h RG z E z G G G z =

+

1342434()()

()()1()

h h RG z G G G z C z RG G z G G G z =+

+

***2134******2413434***24134*

34()[()()[()()()]()()()]()[()]()[()]()[()][()]()[()]1[()]k k k k k C s R s G s R s G s C s G s G s G s R s G G s R s G G G G s C s G G G s RG G s R s G G G G s G G G s =+-=+-+=

+ 所以： 2413434()()()

()()1()

k k C z G G z G G G G z z R z G G G z +Φ=

=+ 5 试判断下列系统的稳定性： （1）已知闭环离散系统的特征方程为

()(1)(0.5)(2)D z z z z =+++=0 解： 123()01,0.5,2D z z z z =⇒=-=-=-

可见系统闭环特征方程的跟有一个在单位圆上，有一个在单位圆外，故系统不稳定。

（2）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期T=1s ，开环传递函数 2

22.57

()(1)

G s s s =

+s 解：系统闭环传递函数为：222.57

()(1)22.57

G s s s =++，特征方程式为：

32()22.57D s s s =++，劳斯表为：

3s 1 0

2s 1 22.57 1s －22.57 0 s －22.57<0 故系统不稳定。

6 采样系统的框图如图所示，试求系统的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数。

题2-6图 采样系统的框图 解：此系统有零阶保持器'112(),()()()

k k

G s G S s s a s s a =

=++

故''

111111()[()][(1)()]()Ts Ts e z G z Z G s Z e G s G z s z ----==-=

2

221111(1)[()][](1)(1)()at at

k k Tz e Z a s a s s a a z a z z e ---=--=-+--- ＝2()(1)(1)(1)()

at at at kTa z e k z e a z z e ---------

故其闭环脉冲传递函数为：

2()()(1)(1)

()1()(1)()()(1)(1)

aT at aT aT at

G z kTa z e k z e z G z a z z e kTa z e k z e ---------Φ==+--+---- 求误差脉冲传递函数：

()()()()1

()1()()()1()

e E z R z C z C z z R z R z R z G z -Φ=

==-=+ ＝22(1)()(1)()()(1)(1)

aT aT aT aT a z z e a z z e kTa z e k z e --------+----

7 用z 变换法解下列差分方程

(2)3(1)2()2(1)()c n c n c n r n r n ++++=++

初始条件为

(0)0c =,(1)1c =,(0)0r =。

解： (2)3(1)2()2(1)()C n C n C n r n r n ++++=++