材料力学：第13章 压杆稳定
材料力学-压杆稳定
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
材料力学第13超静定结构_OK
示，求圆环内弯矩M。
解封闭圆环为3次超静定。在A处截开，则有3个多余未知力，弯矩 X1，轴力
X2，剪力 X3（图13.18（b））。直径AB为一对称轴，对称截面A
26
的平衡可得 X2=P/2。故只有弯矩X1未知（见图13.18（c））。 选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图13.18(c)所示，则协调条件应是A 或B截面在 P及弯矩X1作用下转角 θ 应为零（由对称性可知），所以有 静定基上施加外力P（见图13.18(d)）及单位力偶（见图13.18（e）），用莫尔 法求δ11与Δ1P。 外力引起弯矩
（c）），而 是弯矩图面积ωn对ln左侧的静矩，如以an表示跨度ln内弯矩
图面积的形心到左端的距离，则 。同理bn+1表示外载荷单独作用下，跨
度ln+1内弯矩图面积ωn+1的形心到右端的距离，则
。于是有
31
（2）δn(n－1)，δnn，δn(n+1)的计算 当n支座铰链处作用有Mn=1时，其弯矩图如图 13.20（e）所示，用莫尔积分有
21
图13.13 对称结构的对称变形与反对称变形图13.14对称结构的对称变形现以如图13.14 （a）所示的对称变形为例证明载荷对称的性质。此结构为3次外力超静定结 构，切开结构对称截面，其上应有3个多余未知力，即轴力X1，弯矩X2与剪 力X3，如图13.14（b）所示。变形协调条件是，上述切开截面两侧水
3
图13.2
4
一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封闭刚 架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由静力学 平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质内部力的作用和变形规律的一门学科。
在材料力学中，压杆稳定是一个重要的概念，它涉及到杆件在受压作用下的稳定性问题。
本文将围绕材料力学中的压杆稳定问题展开讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要了解什么是压杆稳定。
在材料力学中，压杆稳定是指杆件在受到压力作用时不会发生失稳现象，保持原有形状和结构的能力。
对于一个长细杆件来说，当受到外部压力作用时，如果其稳定性不足，就会出现侧向挠曲或屈曲等失稳现象，这将导致结构的破坏。
因此，压杆稳定是材料力学中一个至关重要的问题。
接下来，我们将从材料的选择、截面形状和支撑条件等方面来探讨如何提高压杆的稳定性。
首先，材料的选择对于压杆稳定至关重要。
一般来说，高强度、高刚度的材料更有利于提高压杆的稳定性。
此外，材料的表面质量和加工工艺也会对压杆的稳定性产生影响，因此在实际工程中需要对材料的选择和加工过程进行严格控制。
其次，截面形状也是影响压杆稳定性的重要因素。
通常情况下，圆形截面是最有利于抵抗压力的，因为圆形截面能够均匀分布受力，减小局部应力集中的可能性。
相比之下，矩形或其他非圆形截面的压杆在受到压力作用时往往稳定性较差，容易发生失稳现象。
最后，支撑条件也是影响压杆稳定性的关键因素之一。
压杆的支撑条件直接影响其在受力时的变形和稳定性。
合理的支撑设计能够有效地提高压杆的稳定性，减小失稳的可能性。
综上所述，材料力学中的压杆稳定是一个复杂而重要的问题，需要综合考虑材料的选择、截面形状和支撑条件等因素。
只有在这些方面都做到合理设计和严格控制，才能保证压杆在受力时不会发生失稳现象，从而确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握材料力学中压杆稳定的相关知识，为工程实践提供一定的参考价值。
同时，也希望读者能够在实际工程中注重压杆稳定性的设计和控制，确保结构的安全可靠。
材料力学 第十三章压杆稳定
（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相
同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ μl)min值计算。 y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆 的临界力均小于理论值。
9l 5l
2l
稳定性
丧失原有平衡形式的现象称为失稳 失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
§13-2
一﹑Euler公式
细长压杆的临界力
x Fcr
1.两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a）
l
E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw
w
x O y
令 k2=Fcr / EI
M(x) Fcr=F
2 0.8 160 p 0.04 i 4
l
l
2 EI 2 210 109 0.044 / 64 Fcr 102kN 2 2 (2 0.8) l
Fcr F Fst 34kN nst
例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截
稳定的。
F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时，
在干扰力除去后，杆
干扰力
件不能恢复到原直线 位置，在曲线状态下 保持平衡。 原有的直线平衡状态是
(a)
(b)
(c)
不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。 压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学课件13压杆稳定
P A [ lj ]
lj
nw
— 极限应力法
P
Plj nw
[ Pw ] — 许可荷载法
P A
[ w ] — 折减系数法
n
Plj P
[ n w ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax：
Y 0 , N BA sin Pmax 0 ;
Pmax N BA sin 59 . 6
4 5
47 . 7 kN ;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
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• 第四节 压杆的稳定计算
由欧拉公式
l
i
2
1 3000 23 . 1
2
129 . 9 p 123
3
大柔度杆
lj
E
lj
2
200 10 129 . 9
2
117 MPa
Plj
A 117 4200 491 . 3 kN P 500 kN
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
2 4
I z I min
126 . 6 ;
(126 . 6 120 ) 0 . 423 ;
由 0 .5,
求柔度
l
i
0 . 5 10000 39 . 5
查 值，用插值公式求得：
材料力学课件 压杆稳定
w 1 ck o x s (4)
x = l 时 w = ， 由(4)式出
1co ksl
coksl0
coksl0
得 coskl = 0。kl的最小值为 kl = /2，亦即
Fcr l π EI 2 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：
轴压
压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯
失稳
曲线平衡 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象： 1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；
2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
解: 1. 建立压杆挠曲的近似微分方程
M x F cr w
E w I M ( x ) F c r w
w F E c rw I F E c rI
(1)
2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力
令 k 2 F由cr(1)式得
Fcrπ42lE2 Iπ22lE2I
试推导下端固定、上端铰支 的等直细长中心压杆临界力的欧 拉公式。图(a)中的xy平面为杆 的最小弯曲刚度平面。
M x F c w r F y l x E w I [ F c w r F y l x ]
令 k2=Fcr /EI，将上式改写为
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直
（Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
材料力学压杆稳定公式
材料力学压杆稳定公式材料力学是物理学的一个分支，研究物质的力学性质和物理性质以及它们之间的相互作用。
材料力学中的压杆稳定性问题，在工程中应用非常广泛，是一种典型的应用力学问题。
本文将对压杆稳定公式进行详细解析，并探讨它在实际应用场景中的应用。
一、压杆稳定公式的原理当压力作用于杆的轴向时，可能会导致杆件翻转或折断，这种失稳现象称为压杆稳定性。
压杆稳定性是压力元素设计过程中必须考虑的关键问题。
压杆稳定公式是工程师计算杆件失稳情况的重要工具。
压杆稳定公式由欧拉公式和Johnson公式组成。
欧拉公式是描述简单结构（如棒杆）失稳所必需满足的基本条件，它给出了压杆稳定的临界条件。
欧拉公式的表达式为：Pcr = π²EI/l²Pcr为极限荷载（稳定负荷），E为杨氏模量，I为惯性矩，l为杆的长度。
Johnson公式是实际应用中采用的压杆稳定公式，它考虑了杆的附加载荷和杆的弯曲刚度对稳定性的影响。
Johnson公式的表达式为：Pcr= σcA/{1+(σs/σc)[(A/A0)^2-1]}Pcr为极限荷载，σc为杆的材料弹性极限，σs为附加载荷产生的应力，A为杆的横截面积，A0为杆的理论横截面积。
Johnson公式是以欧拉公式为基础的，可以用于计算矩形截面、圆形截面和其他截面形状的杆件的极限稳定荷载。
二、压杆稳定公式的实际应用场景1.结构设计压杆稳定公式在结构设计中是至关重要的。
当设计师有多种杆件形状和材质可供选择时，可以利用压杆稳定公式计算每种形状和材质的极限荷载，以找到最适合的材质和形状。
2.建筑施工压杆稳定公式在建筑施工中也有广泛的应用。
在桥梁、塔和钢构建筑的建设中，压杆稳定公式可以帮助工程师确定结构的稳定性。
它们还可以检查杆件的尺寸和重量是否适当。
3.飞机制造在飞机制造中，压杆稳定公式可以用来计算气动稳定性问题，以确保飞机在不同高度和气压下的稳定性。
这对于飞行安全至关重要。
4.交通工程压杆稳定公式在交通工程中也有广泛应用。
第十三章-压杆稳定
例题13.8图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40 mm，a＝1 m。材料的λp=110，λs=60，E＝200 GPa，经验公式为 ，nst＝1.8。试求结构的许可载荷。
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
第十三章-压杆稳定(材料力学课件)
(A) P1=P2 (C) P1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解 ： 图 ( a ) 中 ， A D 杆 受 压
2EI
1 2EI
NAD 2P1
2
2a
P1 22
a2
图 （ b ） 中 ， A B 杆 受 压
2EI
NABP2 a 2
2EI
P2 a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的 多少倍？
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M (x)P v
M (x)P v E Iv M (x ) P v即 v Pv0
EI 令k2 P ， 则vk2v0
EI 特 征 方 程 为 r2 k2 0
CL13TU11
解：
2E Ib
Pcr b ( l ) 2 Pcr a 2 E I a
( l)2
h4
Ib Ia
12 hb 3
12
h b
3
8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
材料力学第十三章
A 2L
CL
P=4KN
B
y1
L=1m y2
D
8、各构件均为圆截面，直径d＝20毫米，材料弹性模
量E＝200GPa，L＝1米，第一特征柔度λp= 100，第 二特征柔度λs=57，经验公式σcr＝304－1.12λ，稳定安 全系数nw=3，许用应力 [σ]=140MPa，求此结构的许 可载荷[P]。
C
P
L
B
A
D
L
L
L EL
9、横梁为刚性杆，1、2杆件的材料相同均为A3钢，比例极 限σP＝200MPａ，屈服极限为σs=240Mpa，强度极限为σb＝ 400MPａ。 1杆的直径为ｄ１＝10毫米，杆长L1＝1米。2杆 的直径为ｄ２＝20毫米，杆长为L2＝1米。1杆与横梁的夹角 为30度，2杆与横梁的夹角为60度。两杆的强度与稳定安全 系数均为2.0。求结构的许可载荷[P]＝？
材料和直径均相同问题压杆的临界应力总图弹性失稳弹塑性稳定问题强度失效细长杆细长杆中长杆中长杆粗短粗短杆杆临界应力总图150030sin30cos1计算工作压力mm161081610732crcr26118ab杆满足稳定性要求3选用公式计算临界应力4计算安全系数5结论kn11822两根直径均为两根直径均为dd的压杆杆材料都是材料都是qq235235钢钢但二者长度和约束条件但二者长度和约束条件各不相同各不相同
A
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
压 杆 稳 定 实 验材料力学实验报告
压 杆 稳 定 实 验一．实验目的：1.观察压杆丧失稳定的现象。
2.用绘图法测定两端铰支压杆的临界荷载，并与理论值进行比较。
二．实验设备及工具：电子万能试验机、程控电阻应变仪三．试验原理：对于两端铰支受轴向压力的细长杆，根据欧拉公式，其临界荷载为式中为最小惯性矩，l 为压杆长度。
当时压杆保持直线形式，处于稳定平衡。
当时，压杆即丧失稳定而弯曲。
对于中柔度压杆，其临界应力公式为式中a 、b 为常数。
由于试样的初曲率往往很难避免，所以加载时压力比较容易产生偏心，实验过程中，即使压力很小时，杆件也发生弯曲，其挠度也随着荷载的增加而不断增加。
本实验采用由碳钢制成的矩形截面的细长试件，表面经过磨光，试件两端制成刀刃形，如图a 所示：cr F 2min2l EI F cr π=min I cr F F <crjF F ≥λσb a cr -=实验前先在试样中间截面的左右两侧各贴一个应变片1和2，以便测量其应变,见图b ，假设压杆受力后向左弯曲，以和分别表示压杆中间截面左、右两点的压应变，则除了包括由轴向力产生的压应变外，还附加一部分由弯曲产生的压应变，而则等于轴向力产生的压应变减去由弯曲产生的拉应变，故略小于。
随着弯曲变形的增加，与差异愈来愈显著。
当时，这种差异尚小，当F 接近时，迅速增加，迅速减小，两者相差极大。
如以载荷F 为横坐标，压应变为纵坐标，可绘出-F 和-F 曲线（见下图所示）。
由图中可以看出，当达到某一最大值后，随着弯曲变形的继续发生而迅速减小，朝着与曲线相反的方向变化。
显然，根据此两曲线作出的同一垂直渐近线AB ，即可确定临界荷载的大小。
1ε2ε2ε1ε1ε2ε1ε2εcr F F <cr F 2ε1ε1ε2ε1ε2εcr F以载荷P 为横坐标，压应变为纵坐标，人工绘制-P 和-P 曲线，两曲线的同一垂直渐近线与力轴的交点，即为临界荷载四．实验步骤1.测量试样尺寸，在试样的两端及中部分别测量试样的宽度和厚度，取用三次测量的算术平均值2.启动电子万能试验机，手动立柱上的“上升”或“下降”键，调整活动横梁位置，使上、下压板之间的位置相对比较小，把试样放在两压槽的正中间位置上。
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第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第十三章 压杆稳定
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例 二、两端铰支细长压杆的临界力 三、杆端约束的影响 四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图 五、压杆的稳定计算 六、提高压杆稳定性的措施
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
木结构中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
dx2
（2）
此二阶线性常数齐次微分方程通解为
C1
sin
kx
C
cos
2
kx
（3）
式中C1、C2、k为待定常数。
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
待定常数C1ห้องสมุดไป่ตู้、C2、K由边界条件确定
1)当x 0时,B 0, 代入（3）式，
x
解得 C2 0。于是（3）式为
C1 sin kx
F
若取l 2cm,按屈服强度 s 235MPa计算，
Fmax 235 106 26 106 6110N
l
26mm
若取l 30cm,按两端铰接方式使其受轴向压力, 当产生明显变形时，Fmax 180N
若取l 100cm,则产生明显变形时，Fmax 50N
若取l 200cm,则产生明显变形时， Fmax 12.80N
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
2、两端铰支细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2
dx2
M(x)
Fp
d 2 Fp
dx2
EI
(1)
令k 2
Fp , EI
则(1)式可以写成
d 2 k 2 0
平衡构形，扰动除去后， 平
能够恢复到直线平衡构形， 衡
则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
构 形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 直
平衡构形，扰动除去后， 线
不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形
Fcr
n 2 EI l2
欧拉公式
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对欧拉公式 Fcr
n2EI 中 I 如何确定？ l2
∵当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯
能力最小的纵向平面内弯曲
I Imin
y
F h
xF
b z
例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
（绕哪个轴转动）
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
脚手架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
桁架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
嫦娥奔月中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定问题:主要针对细长压杆
课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
I y0z0 0 I y0
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。 为截面对主轴 y0 的惯矩，称为主惯矩。
二、两端铰支细长压杆的临界力
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
1、临界力的概念 压杆的压力逐渐上升,使压杆从稳定的平衡状态
向不稳定的状态质变的临界点,称为临界力,以 Fcr表 示.
临界力Fcr:压杆保持直线平衡构形的最大压力. 或者说:使压杆失稳(不能保持直线平衡构形)的最小 压力.
(4)
当x l 时，A 0, 代入（4）
式后可得：C1 sin kx 0 (5)
若C1 0,则压杆轴线上各点的位移
都将等于零，这显然与压杆在微弯
状态下保持平衡的前提不符。
因此必须是 sin kl 0
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
满足 sin kl 0的条件
kl 0, ,2,3 n
平 衡 构
是不稳定的。
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定性:压杆在外力作用下保持其直线平衡构形 的能力 失稳与屈曲?
在扰动作用下,直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形,扰动去除之后,不能恢复到直线平衡构 形的过程,称为失稳或屈曲.
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至 导致整个结构破坏.
1mm
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
如何判断压杆的稳定与不稳定? 平衡构形—压杆的两种平衡构形：
F<Fcr : 直线平衡构形 F>Fcr : 弯曲平衡构形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
直 线
k nπ (n为正整数） l
由此得到两个重要结果:
(1)临界力:
K2
FP EI
又 K
n
l
FP
n2 2EI (6)
l2
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对于公式
FP
n2 2EI 的分析讨论
l2
要使压杆有可能在微弯状态下保持平衡的最大
轴向压力，实际上应该是公式中的n=1 时的FP 值，即两端铰支压杆的临界力：