材料力学：第13章 压杆稳定

(4)
当x l 时，A 0, 代入（4）
式后可得：C1 sin kx 0 (5)
若C1 0,则压杆轴线上各点的位移
都将等于零，这显然与压杆在微弯
状态下保持平衡的前提不符。
因此必须是 sin kl 0
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
满足 sin kl 0的条件
kl 0, ,2,3 n
I y0z0 0 I y0
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。 为截面对主轴 y0 的惯矩，称为主惯矩。
Fcr
n 2 EI l2
欧拉公式
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对欧拉公式 Fcr
n2EI 中 I 如何确定？ l2
∵当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯
能力最小的纵向平面内弯曲
I Imin
y
F h
xF
b z
例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
（绕哪个轴转动）
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例 二、两端铰支细长压杆的临界力 三、杆端约束的影响 四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图 五、压杆的稳定计算 六、提高压杆稳定性的措施
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
木结构中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
2、两端铰支细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2
dx2
M(x)
Fp
d 2 Fp
dx2
EI
(1)
令k 2
Fp , EI
则(1)式可以写成
d 2 k 2 0
1mm
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
如何判断压杆的稳定与不稳定? 平衡构形—压杆的两种平衡构形：
F<Fcr : 直线平衡构形 F>Fcr : 弯曲平衡构形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
直 线
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
dx2
（2）
此二阶线性常数齐次微分方程通解为
C1
sin
kx
C
cos
2
kx
（3）
式中C1、C2、k为待定常数。
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
待定常数C1 、C2、K由边界条件确定
1)当x 0时,B 0, 代入（3）式，
x
解得 C2 0。于是（3）式为
C1 sin kx
二、两端铰支细长压杆的临界力
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
1、临界力的概念 压杆的压力逐渐上升,使压杆从稳定的平衡状态
向不稳定的状态质变的临界点,称为临界力,以 Fcr表 示.
临界力Fcr:压杆保持直线平衡构形的最大压力. 或者说:使压杆失稳(不能保持直线平衡构形)的最小 压力.
左图桥下侧面观察，右图桥上看：长15.372米的 斜杆一根鼓出1.46米，另一根鼓出0.905米。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第十三章 压杆稳定
F
若取l 2cm,按屈服强度 s 235MPa计算，
Fmax 235 106 26 106 6110N
l
26mm
若取l 30cm,按两端铰接方式使其受轴向压力, 当产生明显变形时，Fmax 180N
若取l 100cm,则产生明显变形时，Fmax 50N
若取l 200cm,则产生明显变形时， Fmax 12.80N
脚手架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
桁架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
嫦娥奔月中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定问题:主要针对细长压杆
课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
平 衡 构
是不稳定的。
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定性:压杆在外力作用下保持其直线平衡构形 的能力 失稳与屈曲?
在扰动作用下,直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形,扰动去除之后,不能恢复到直线平衡构 形的过程,称为失稳或屈曲.
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至 导致整个结构破坏.
k nπ (n为正整数） l
由此得到两个重要结果:
(1)临界力:
K2
FP EI
又 K
n
l
FP
n2 2EI (6)
l2
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对于公式
FP
n2 2EI 的分析讨论
l2
要使压杆有可能在微弯状态下保持平衡的最大
轴向压力，实际上应该是公式中的n=1 时的FP 值，即两端铰支压杆的临界力：
平衡构形，扰动除去后， 平
能够恢复到直线平衡构形来自百度文库 衡
则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
构 形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 直
平衡构形，扰动除去后， 线
不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形