多元函数微分学习题

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第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。

证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。

多元函数微分学的应用习题及详细解答

（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

第八章多元函数微分练习题

5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy

《微积分(下)》第2章多元函数微分学--练习题

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1) ()211(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin ;x y x yxy→∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xy x→ (4)()(,)0,0limx y →2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x yf x y xy=+的极限不存在。

二、填空题3. 若 22(,)f x y y x y +=-，则 (,)f x y = ；4.函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知 2(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当 23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若 2xy Z e yx =+，则 Z y∂=∂ ；8. 设 (,)ln()2y f x y x x=+，则 '(1,0)y f =；9. xyZ xe Z ==二元函数全微分d ； 10. arctan()Z xy =设，则dz= .11.1,0xyx y Z e Z====二元函数全微分d三、选择题12.设函数 ln()Z xy =，则Z x∂=∂ ( )A1yBx yC 1xDy x13.设 2sin(),Z xy = 则Z x∂=∂ ( )A 2cos()xy xyB 2cos()xy xy -C 22cos()y xy -D 22cos()y xy14.设 3xy Z =，则Z x∂=∂ ( )A 3xy yB 3ln 3xyC 13xy xy - D3ln 3xyy四、计算与应用题15. (1) 22e x yz +=, 求(0,1),(1,0)xy z z ''； (2) arctan y z x=, 求(1,1),(1,1)xy z z ''--；16.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和17.已知 2242(3),x y Z Z Z x y xy+∂∂=+∂∂设求和18.22exyz x y=+，求y xz z '';。

第九章多元函数微分学习题简解

基本训练11．设函数222),(yx xy y x f +=，求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1．答案：222yx xy +2．求下列函数的定义域：（1）()84ln 2+-=x y z ；答案：)}2(4|),{(2->x y y x ；（2）yx yx z -++=11；答案：|}||),{(y x y x >；（3）xy z arcsin=；答案：}0|||||),{(≠≤x x y y x 且3．求下列极限：（1）11lim 22220-+++→→y x yx y x ；提示：分母有理化；答案：2（2）xxy y x )sin(lim0→→；答案：0（3）()yxy x y x 1cos1sinlim 30+→→．提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小；答案：04．证明极限yx y x y x -+→→00lim不存在：提示：令(x, y ) 沿不同的路径kx y =趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数yx z -=1在何处是间断的？答案：在位于xOy 平面的直线y = x 上.6．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222yx y x y x xy z 的连续性．提示：选取直线kx y =，则2222)0,0(),(l 22)0,0(),(1im limkkkx x kxy x xykxy y x kxy y x +=+=+=→=→随着k 的变化而变化，即22)0,0(),(limyxxyy x +→不存在，函数在除)0,0(外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数： (1) 22yx y x z +-+=；答案：221yx x xz +-=∂∂，221yx y yz +-=∂∂（2）yx z tanln =；答案：yx yx y xz cossin1=∂∂，yx y x y x yz cossin2-=∂∂（3）yx z arctan =；答案：)1(22yyx x yxxz +=∂∂，)1(2ln 2yyx x x yz +=∂∂（4）)sec(xy z =；答案：)sec()tan(xy xy y xz ⋅=∂∂，)sec()tan(xy xy x yz ⋅=∂∂8．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(4444442yx y x y x xyy x f ，证明函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在，但不连续．简解： 000lim)0,0()0,(lim )0,0(0=-=-=→→xxf x f f x x x ，同理0)0,0(=y f ；但0≠k 时，442)0,0(),(limy x xykxy y x +=→∞=+==→443)0,0(),(limkxx kxkxy y x ,所以函数在)0,0(处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数： (1) yxz 2=，求22xz ∂∂，yx z ∂∂∂2；答案：2222)12(2--=∂∂y xy y xz ，)ln 21(2122x y xyx z y +=∂∂∂-(2) x y y x z sin sin 33+=，求yx z∂∂∂2；答案：x y y x cos 3cos 322+(3) )l n(xy x z =，求yx z ∂∂∂23．答案：02．设222zy x r ++=，证明rzr yr xr 2222222=∂∂+∂∂+∂∂．简解： rx zyxxxr =++=∂∂222，322222rz yrxr x r xr +=∂∂⋅-=∂∂，同理可得,32222rz xyr +=∂∂32222ry x zr +=∂∂，因此rrz y x zr yr xr 2)(23222222222++=∂∂+∂∂+∂∂3．求下列函数的全微分：(1) y x z arcsi n =；答案：22||x y y xdyydx --（2）)ln(22y x z +=，求)1,1(dz ；答案：dy dx +(3) zy x u =．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xdz y xdy z dx x yzx yz ln ln4．求函数32y x z =当2=x ，1-=y ，02.0=∆x ，01.0-=∆y 时的全增量及全微分．答案：.2.0,20404.0-=-=∆dz z*5．设有一圆柱，它的底圆半径r 由2cm 增加到05.2cm ，其高h 由10cm 减少到8.9cm ，试确定其体积的近似变化．6．设22uv v u z -=，而y x u cos =，y x v sin =，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：)sin (cos 2sin 232y y y x xz -=∂∂，)cos(sin)sin (cos 2sin 3333y x x y y y x yz +++-=∂∂7．设xy z =，而t e x =，t e y 21-=，求dtdz ．答案：t t e e ---．8．设)arctan(xy z =，而xe y =，求dxdz ．答案：xxex x e 221)1(++．基本训练31．设1)(2+-=a z y eu ax，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ．答案：x e ax sin ．2．设())4(32y x y x z ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．两边取对数答案：()())32ln(3232)4(2414y x y x y x y x xz yx y x +++++=∂∂+-+，()())32ln(32432)4(3414y x y x y x y x yz yx y x +++++=∂∂+-+4．设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证xy z yz yx z x+=∂∂+∂∂．解答：因为xyu xy xu 1,2=∂∂-=∂∂，故)()()()(u F x y u F y xu u F x u F y xz '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x yz'+=∂∂'+=∂∂，所以 xy z xy u xF xy u F y xy u F y u xF xy yzyx zx+=++='++'-+=∂∂+∂∂))(()()()(5．求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）：(1))(zx yz xy f u ++=；答案：)()(xz yz xy f z y xu ++'+=∂∂，)()(xz yz xy f z x yu++'+=∂∂，)()(xz yz xy f y x zu ++'+=∂∂（3）),,(xyz xy x f u =．答案：321f yz f y f xu '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy zu '=∂∂6．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，试求yz y xz x ∂∂+∂∂11．简解：因为)()(22)()(2222222222y xfy x f xy x y xf y xfy xz --'-=⋅-'--=∂∂,)()(2)()()2()()(222222222222222y xfy x f yy xf y xfy y x f y y xf yz --'+-=--⋅-'--=∂∂,所以yz y xz x ∂∂+∂∂11)()(222222y xfy x f y --'-=)()(2)(22222222y xyfy x f y y xf --'+-+)(122y x yf -=.7．求下列函数的二阶偏导数（其中f 有二阶连续的偏导数）： (1) )(222z y x f u ++=，求22xu ∂∂；答案：)(4)(22222222z y x f x z y x f ++''+++'.（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u ,，求22y u ∂∂；答案：2242232f yx f yx ''+'.(3) ),sin (22y x y e f z x +=，求yx z ∂∂∂2；简解：因为 212s i n f x f y e xz x'+'=∂∂，所以)2c o s (2)2c o s (s i n c o s 2221121112f y f y e x f y f y e y e f y e yx z x xx x ''+''+''+''+'=∂∂∂ y e f f xy f y x y y e y y e f x x x cos 4)cos sin (2cos sin 12212211'+''+''++''=.(4) ),,(y x u f z =，yxe u =，求yx z ∂∂∂2；答案：1232113112f e f f xe f e f xe y y y y '+''+''+''+''8．设)()(t x t x y μψμϕ-++=，其中ϕ，ψ是任意的二次可导函数，求证： 22222xy ty ∂∂=∂∂μ．简证：因为 )()(t x t x ty μψμμϕμ-'-+'=∂∂,)()(2222t x t x ty μψμμϕμ-''++''=∂∂又 )()(t x t x xy μψμϕ-'++'=∂∂,)()(22t x t x xy μψμϕ-''++''=∂∂所以22222xy ty ∂∂=∂∂μ.基本训练41．设xy yx arctan ln22=+，求dxdy ．提示：原方程就是xy y x arctan)ln(2122=+，对方程两边关于x 求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令xy y xz y x F arctan)ln(21),,(22-+=, 利用隐函数存在定理的求导公式来解. 答案：yx y x -+.2．设03333=-++axyz z y x ，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：axyz xayz xz --=∂∂22，axyz yaxz yz --=∂∂22.3．设0=-xyz e z ，求xz ∂∂，yz ∂∂．简解：令xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xz F y -=， xy e F z z -= xz F y -= 所以xz ∂∂xy eyzxy eyzzz-=---=，yz ∂∂xyexzxy exzzz-=---=因此yx z ∂∂∂2=--∂∂--∂∂+=2)()())((xy e x yz eyz xy e yz y z zzz()zy x e xyz zexy e z xz22223)(1---4．证明由方程0),(=--bz cy az cx ϕ（),(v u ϕ具有连续的偏导数，a ，b ，c 为常数）所确定的函数),(y x f z =满足关系式c yz bx z a=∂∂+∂∂．简解：（方法一）方程两边微分得,0)()(212121ϕϕϕϕϕϕ'+''+'=⇒=-⋅'+-⋅'b a dy c dx c dz dz b dy c dz a dx c因此211ϕϕϕ'+''=∂∂b a c xz ，212ϕϕϕ'+''=∂∂b a c yz ，得c yz bxz a=∂∂+∂∂.（方法二）记),,(bz cy az cx F --=ϕ 则,211ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zx.212ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zy5．设023=+-y xz z ，求22xz ∂∂，22y z ∂∂．答案：3222)23(16x z xz xz --=∂∂，3222)23(6x z zyz --=∂∂7．设223),,(z y x z y x f u ==，其中),(y x z z =是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的函数，求)1,0,1(-∂∂xu ．简解：令 xyz z y x z y x F 3),,(333-++=，则,332yz x F x -= xy z F z 332-=；xyz xyz xyz yz x xz --=---=∂∂22223333，所以xz z y x z y x xu ∂∂⋅+=∂∂2322223.232223222xyz xyz z y x z y x --⋅+=基本训练51．求曲线2y x =，3x z =在)1,1,1(处的切线与法平面方程．答案：切线方程611121-=-=-z y x ，法平面方程962=++z y x2．求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x ．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ()23,2,1t t s =，已知平面的法向量为()1,2,1=n . 由题意得 0=⋅n s ，即 03412=++t t ，解得1-=t 或31-=t ，故所求的点为)1,1,1(--，或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,313．求曲线⎩⎨⎧+==++222226y x z z y x 在点)2,1,1(处的切线方程．提示：曲线可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y tx ，曲线上点)2,1,1(处也就是4π=t 时的切线的方向向量为)0,1,1(-=s.答案：切线方程⎩⎨⎧=--+=-++0222062z y x z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021111z y x4．求曲面xy z arctan=在⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面和法线方程．答案：切平面方程022=-+-πz y x ，法线方程241111π-=--=-z y x5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．答案：切平面方程0279=--+z y x ，法线方程111193--=-=-z y x6．在曲面222y x z +=上求一点，使该点处的法线垂直于平面0142=+++z y x ，并写出法线方程．答案：所求点为),3,1,1(-- 法线方程134121-=+=+z y x ．7．求曲面2222z yx +=上平行于平面01422=+-+z y x 的切平面方程．答案：切平面方程012=+-+z y x8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) y e y e z yxcos si n +=，在点⎪⎭⎫⎝⎛2,0π沿向量}1,2{-；提示：方向l 的方向余弦为51cos ,52cos -==βα；ye xz xs i n =∂∂，y e y e y e yz yyxsin cos cos -+=∂∂，βαπππc o s c o s )2,0()2,0()2,0(yz xz lz ∂∂+∂∂=∂∂522πe +=．(2) z e xy u +=，在点)0,1,1(处沿从点)1,2,4(-到)0,1,5(的方向．提示：ze zu x yu y xu =∂∂=∂∂=∂∂,,，方向l 的方向向量)1,1,1(-=s；所以方向l 的方向余弦为：31cos ,31cos ,31cos =-==γβα；代入方向导数公式可得γβαcos cos cos )0,1,1()0,1,1()0,1,1()0,1,1(zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂31=9．设从x 轴正向到方向l 的转角为θ，求函数332y xy x u +-=在点)1,1(M 处沿方向l 的方向导数lu ∂∂．问θ为何值时，方向导数lu ∂∂：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：2232,23yy xu x x xu +-=∂∂-=∂∂，1)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yu xu ，)4sin(2sin cos )1,1(πθθθ+=+=∂∂lu ,所以当4πθ=时，lu ∂∂最大；当45πθ=时，lu ∂∂最小；当43πθ=或47πθ=时，0=∂∂lu ．10．设z y x xy z y x u 62332222---+++=，求)0,0,0(f grad 及)1,1,1(f grad ．答案：k j i f 623)0,0,0(---=grad ，j f 3)1,1,1(=grad11．设22y xy x z +-=，求在点)1,1(处的梯度，并问函数z 在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：j i z +=)1,1(grad ，函数z 在)1,1(处沿j i +方向lz ∂∂取最大值，沿j i --方向lz ∂∂取最小值，沿j i +-或j i -方向lz ∂∂取值为零．基本训练61．问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：22,2,xy zu xyz yu z y xu =∂∂=∂∂=∂∂，4,2)2,1,1()2,1,1(-=∂∂=∂∂--yu xu ,1)2,1,1(=∂∂-zu ，所以kj i u +-=42grad 是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21||=u grad ．2．求下列函数的极值：(1) 22324y xy x x z -+-=；答案：极大值为0)0,0(=f(2) y y ye x e z -+=cos )1(；答案：极大值为2)0,2(=πk f ， ,2,1,0±±=k 3．求函数22y x z +=在条件1=+by a x 下的极值．答案：极小值为2222222222,b a b a b a ba b a ab f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为z y x ,,，令)(22),,,(V xyz zx yz xy z y x L --++=λλ, 关于λ,,,z y x 求偏导，求得驻点为)4,2,2(333V V V ，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为3334,2,2V V V 时，建筑材料最省.5．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短．提示：目标函数为 13632),(-+=y x y x f ，条件函数为44),(22-+=y x y x ϕ.为了求目标函数的最值，可设)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ，求得可能极值点为)53,58(，)53,58(--, 代入, 比较得所求点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,58. 6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H ，截面是半径为R 的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数0S ，试求R 与H 的值，使其容积最大．简解：令)(21),,(022S R RH H R H R L -+-=ππλπλ，求得唯一可能极值点为：)32,3(),(0ππS S H R =；因此当π30S R =，π32S H =时，容积最大．7．在平面023=-z x 上求一点，使得它到点)1,1,1(A 、点)4,3,2(B 的距离平方之和为最小．提示：目标函数为2222)2()1()1()1(),,(-+-+-+-=x z y x z y x f 22)4()3(-+-+z y)16543(2222+---++=z y x z y x ，条件函数为z x y x 23),(-=ϕ,答案是点⎪⎭⎫⎝⎛2663,2,1321.本篇自测A 卷一、填空题1．答案：),(y x f 2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：πn x =，或πm y =，（n ，,2,1,0±±=m ）． 4．答案：⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x二、单项选择题 1．答案：B2．提示：函数),(y x f 在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在 ⇔ 点存在偏导数在点连续在函数点可微函数在点连续在偏导数P P P P ⇓⇒⇓故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A .4．提示：令3),,(-+-=xy z e z y x F z ，则y F x =，x y F =，1-=z z e F 所以曲面在点)0,1,2(处法向量为：)0,2,1(，从而可得C 为正确答案.三、计算题1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0.2. 答案：)1(21yyy x x yxxz +=∂∂-，)1(2ln yyyx x x x yz +=∂∂3. 提示：两边取对数得()y x y x z ++=2ln )2(ln , 两边关于y 求偏导得122ln(2)2z x y x y z yx y∂+=++∂+.故答案为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∂∂+y x y x y x y x yz yx 22)2ln(222.4. 答案：321f y f f xz '+'+'=∂∂，321f x f f yz '+'-'=∂∂5．答案：)22()(122323zzze z y z xy zey xy e ---．6．答案：2222y x y x +-． 7．答案：22212f xy f ''-''. 8．答案：dydx 5252-．9．提示：令09632=-+=∂∂x xxz , 得3-=x 或1=x ,令0632=+-=∂∂y yyz , 得0=y 或2=y ;所以驻点为 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(--, 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为5)0,1(-=f ，极大值为31)2,3(=-f .四、应用题1. 简解：设切点为),,(z y x ，则切点处的方向向量)3,2,1(2x x s =，已知平面的法向量)1,2,1(=n.由题意得 s 与n 垂直, 即 0=⋅n s, 所以03412=++x x , 解得1x =-或13x =-. 故所求点为:)1,1,1(--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.2. 简解: 令)1()1543(),,,,(222-++-+++=y x z y x z z y x L μλμλ,分别求关于μλ,,,,z y x 的偏导数得,52,24,23λμλμλ+=+=+=z L y L x L x y x1543-++=z y x L λ,122-+=y x L μ解得可能极值点为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛--1285,53,54. 比较z 的大小得所求点为： ⎪⎭⎫⎝⎛1235,53,54.3. 简解: 设第一卦限内的内接点为),,(z y x , 由空间解析几何知识得: 直角平行六面体的长宽高分别为z y x 2,2,2, 体积xyz V 8=; 故令).1(8),,,(222222-+++=cz by ax xyz z y x L λλ答案为：长、宽、高分别为32a ，32b ，32c 时，有最大体积 abc V 338=．五、证明题1．简解: )(z y x z ϕ+= 两边关于x ，y 求偏导得xz z y xz ∂∂'+=∂∂)(1ϕ，yz z y z yz ∂∂'+=∂∂)()(ϕϕ，解得 )(11z y x z ϕ'-=∂∂，)(1)(z y z yz ϕϕ'-=∂∂, 又 xzz f xu ∂∂'=∂∂)(， yz z f yu ∂∂'=∂∂)(所以xu z yu ∂∂=∂∂)(ϕ.2. 简证: 令 ⎪⎭⎫⎝⎛----=c z b y cz ax f z y x F ,),,(，则cz f F cz f F y x -'=-'=21,， 2221)()()()(c z b y f c z a x f F z ---⋅'+---⋅'=．所以曲面上任一点),,(z y x 处的法向量为：),)()(,,(2121cz b y f cz a x f f f ---⋅'+---⋅'''故点),,(z y x 处的切平面为,0)]()()([)()(2121=----⋅'+---⋅'+-⋅'+-⋅'z Z cz b y f cz a x f y Y f x X f即 .0)])(())([()])(())([(21=-----⋅'+-----⋅'z Z b y c z y Y f z Z a x c z x X f 不论z y x ,,取何值，c Z b Y a X ===,,总能使上式恒成立；即切平面总通过点),,(c b a .本篇自测B 卷一、填空题1．答案：}104|),{(222<+<≤y x x y y x 且． 2．提示：分子有理化，原式41241lim)24(44lim000=++=++-+=→→→→xy xy xy xy y x y x .3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.二、单项选择题 1．提示：令xy v y x u =+=,，则1u x v=+，1uv y v=+ 代入得21(,)1v f u v u v-=+，故答案为B2．简解：xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→xb a f b x a f xb a f b x a f x x ---+-+=→→),(),(lim),(),(lim),(2b a f x =.3．提示：切点为)0,1,1(, 方向向量为)1,1,1(-，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A 错误；由题设条件知曲面),(y x f z =的法向量为}1,1,3{--，故B 错误；曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的一个切向量为{1,0,}{1,0,3}x f =，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C 正确而D 错误.．三、计算题 1.提示：因为xy yxy x xy y xy x xy =++≤+-≤22222222)()(0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+-≤22222221)(0y x y x y x xy 或，由夹逼准则得0)(lim2222=+-→→yxy x xy y x .2．答案：⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x y f xy x y f xy f )(．3．简解：21)(f x f xz '+''=∂∂ϕ, 所以))(()())((222112112f y f x f y f yx z'''+''-+''''+''-=∂∂∂ψϕψ 221211)()1)()(()(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ. 4．提示：两边关于x 求偏导得：)(222xy x y f x x y f x zzx -⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂+,zx x y f x y x y f xz 22-⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂.也可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y xf z y x z y x F 222),,(，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+dz y z x dy x y z dx z x y z y x xzyln ln ln 6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：0)()()(21=++-+'++'zdz ydy xdx dz dy F dz dx F ，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(.（解法二）方程两边关于x 求偏导得： 0)1(21=∂∂--∂∂'+∂∂+'xz zx x z F x z F ，解得 z F F F x x z-'+''-=∂∂211，同理得 z F F F y y z-'+''-=∂∂212，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(. *7．简解：方程组两边对x 求偏导得： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-022022x v v x u u y x v u v x u x解关于xu ∂∂，xv ∂∂的二元一次方程组得)(24222v u uyxv xu ++=∂∂，)(24222v u vyxu xv +-=∂∂.四、应用题1. 简解：曲面上任一点),,(z y x 处切平面的法向量为 )1,2,2(-=y x n，又已知直线的方向向量为： )2,1,0()2,0,1(⨯=s)1,2,2(--= 由题意, s n//, 即112222-=-=-y x .解得1,1==y x ，代入曲面方程得2=z ，故所求的切平面方程为0)2()1(2)1(2=---+-z y x ，即 0222=--+z y x .*2．简解：x y yh y x xh +-=∂∂+-=∂∂2,2,00),(00),(2,20000x y y h y x x h y x y x +-=∂∂+-=∂∂,所以j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad ，沿梯度j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad方向的方向导数最大，最大值为 00202000855),(y x y x y x g -+=. 令xyy x y x L 855),,(22-+=λ)75(22--+-xy yxλ,由拉格朗日乘数法得)5,5(1-M ，)5,5(2-M ，),35,35(3M )35,35(3--M 为),(00y x g 的可能极值点，计算相应函数值并比较得)5,5(1-M 或)5,5(2-M 可作为攀登的起点．五、证明题 1. 简证：因为=∂∂xz [])]()([2)()(2ax y ax y a ax y ax y a -+++-'-+'ψψϕϕ，[])]()([21)()(21ax y ax y ax y ax y yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ;[])]()([2)()(22222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ,[])]()([21)()(2122ax y ax y ax y ax y yz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ.所以022222=∂∂-∂∂yz axz .*2．简证：因为 ()22|||)|2(02/12/3222/32222xy xy yx yxyx =≤+≤，又022||lim2/10=→→xy y x ，所以 ()0lim2/3222200=+→→yx yx y x ，注意到0)0,0(=f ，因此函数在点)0,0(处连续；因为0)0,(≡x f ，所以0)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x f x f f x x ，同理 0)0,0(=y f ；考虑极限 ρρ)0,0(),(limf y x f -→()22222)0,0(),(limy x yx y x +=→，其中22yx+=ρ，若沿直线kx y =取极限，则()22242242)0,0(),()1(1limk kxk xk kxy y x +=+=→随着k 的变化而变化，表明上述极限不存在，因此函数在点)0,0(处不可微．。

多元函数微分学选择题

第七章多元函数微分学1 多元函数题目尽量简单，难难度系数在0.1-0.5每个题目都标上难难度系数），格式如下：选择题：1、设。

，则。

等于（）（c, 难难度系数0.1） A 、 B 、 C 、 D 、 1、2200lim3x y xyx y →→+之值为（）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、不存在C 、13 D 、 142、若()(),ln 1ln xy xy e f x y x x e x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则(),f x y 等于（）（D, 难难度系数0.2） A 、1xye B 、x x e yC 、 xxe D 、 2x yxe ye3、已知ln x y x =是微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭的解，则x y ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式为（）（A, 难难度系数0.3） A 、22y x - B 、22y x C 、22x y- D 、22x y4、设函数(),zf x y =的定义域为(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则函数()23,z f x y =的定义域为（）（B, 难难度系数0.3） A 、 (){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ B 、 (){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤C 、(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤ D 、 (){},11,11D x y x y =-≤≤-≤≤ 5、下列函数中，在点()0,0处连续的函数是（）（c, 难难度系数0.3）A 、33x y z x y +=+ B 、()()()()222,,0,010,,0,0xyx y x y z x y -⎧≠⎪++=⎨⎪=⎩C 、sin(),00,0xy x z xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ D 、 ()()()(),,0,00,,0,0x y x y x y z x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩6、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（）（D, 难难度系数0.1）A 、22x y - B 、 22x y + C 、 2()x y - D 、 xy7、22(,)(,)limx y x yx xy y →∞∞+=-+（）（A, 难难度系数0.3）A 、 0B 、 1C 、1- D 、 ∞8、设(),,0,xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，则(),f x y 在()0,0点（）（D, 难难度系数0.2） A 、极限存在且为1 B 、极限存在且为1- C 、连续 D 、极限不存在9、设()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则（）（c, 难难度系数0.2）A 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 B 、极限()(,)(0,0)lim ,x y f x y →存在，且(),f x y 在点()0,0处连续 C 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 D 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处连续 10、函数()1,sin cos f x y x y=的间断点为（）（D, 难难度系数0.1）A 、(),x y ，其中2,1,1,2,x y n n π===±±B 、 (),x y ，其中2,1,1,2,2x y n n ππ==+=±±C 、(),x y ，其中,1,1,2,x y n n π===±±D 、(),x y ，其中,,1,1,2,2x n y n n πππ==+=±±11、下列式子正确的是（）（D, 难难度系数0.3） A 、2200lim 0x y xyx y →→=+ B 、 00lim0x y xy x y →→=+ C 、 32600lim 0x y xy x y →→=+ D 、 2244lim 0x y x y x y →∞→∞+=+12、00limx y xyx y →→+之值为（）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、不存在C 、∞ D 、 1-13、2(,)lim x y →=（）（A, 难难度系数0.2）A 、 12B 、不存在C 、 1-D 、 ∞的不存在14、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（）（B, 难难度系数0.1）A 、()22y x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭B 、211y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ C 、 11y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭D 、 22x y - 15、函数22ln 4x y z +-=的定义域是（）（c, 难难度系数0.2）A 、 224x y +≥且20x y >≥B 、 224x y +>且20x y ≥≥C 、224x y +>且20x y >≥ D 、 224x y +≥且20x y ≥≥16、已知函数()2,4f x y x y =+，则(),f x y xy -=（）（B, 难难度系数0.2）A 、 ()2x y - B 、()2x y + C 、24x y - D 、 24x y +17、已知函数()33,2f x y x y =+，则(),f y x --=（）（C, 难难度系数0.1）A 、332xy - B 、 332y x + C 、 332x y -- D 、 332x y -+18、已知函数()2,2x y f x y x y-=-，则()1,3f =（）（B, 难难度系数0.1）A 、15 B 、 5 C 、 15- D 、 5- 19、已知函数()22,3f x y x y x y -+=+，则(),f x y =（）（D, 难难度系数0.2）A 、223()()x y x y -++B 、22()3()x y x y -++C 、22xxy y ++ D 、 22x xy y -+20、已知函数(),32f x y x y =+，则()(),,f xy f x y =（）（B, 难难度系数0.2）A 、32x y +B 、364xy x y ++ C 、36xy x + D 、34xy y +20、()2222arcsin ln 14x y z x y +=++-的定义域是（）（D, 难难度系数0.2） A 、(){}22,14x y x y ≤+≤ B 、(){}22,14x y x y <+< C 、(){}22,14x y xy ≤+< D 、 (){}22,14x y x y <+≤21、)]ln(ln[x y x z -=的定义域是（）（D, 难难度系数0.2）A 、(){},0,1x y x x y x <<<+B 、 (){},,0,1x y x y x >≥+C 、(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >≥+⋃<<<+ D 、 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y xx y x>>+⋃<<<+ 22、()()ln arcsin 3z y x x =-+-的定义域是（）（C, 难难度系数0.2）A 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤< B 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤<≤ C 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤≤ D 、(){},,,2,24x y y x y x x ><≤≤23、02sin limx y xyx →→=（）（A, 难难度系数0.1）A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在24、()2222001lim52sin34x y xy x y →→+=+（）（D, 难难度系数0.2）A 、不存在B 、∞C 、1D 、 025、(,)(0,0)limx y →=（）（A, 难难度系数0.2）A 、14B 、∞C 、1D 、 0 26、00x y →→=（）（D, 难难度系数0.2）A 、∞B 、1C 、0D 、 16-27、二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、不存在D 、028、二重极限26300lim y x yx y x +→→值为（）（D, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在 29、二重极限()102lim1xx y xy →→+=（）（A, 难难度系数0.2）A 、 2eB 、1C 、∞D 、 030、22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+=）（）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在31、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x xxyy x f 的连续范围是（）（D, 难难度系数0.3） A 、220xy +≠ B 、0xy ≠ C 、0x ≠ D 、全平面32、函数2222y x z y x+=-在22y x =处（）（B, 难难度系数0.1）A 、不能判定B 、间断C 、连续D 、不间断也不连续 33、函数2sinzx xy=在0xy =处（）（A, 难难度系数0.1） A 、连续 B 、不能判定 C 、不间断也不连续 D 、间断34、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点（）（A, 难难度系数0.2）A 、间断B 、连续C 、极限存在D 、不间断也不连续 35、函数()22(,)ln f x y x y =+在点)0,0(（）（B, 难难度系数0.2）A 、连续B 、间断C 、极限存在D 、不间断也不连续2 偏导数1、设(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在，则()()00000,,limx f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（）（c, 难难度系数0.2） A 、()00,x f x y ' B 、 ()002,x f x y ' C 、 ()002,x f x y ' D 、()001,2x f x y ' 2、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0y f '=（）（B, 难难度系数0.3）A 、 1B 、 12C 、 2D 、 0 3、若()22,f xy x y x y xy +=++，则(),x f x y =（）（A, 难难度系数0.3）A 、1- B 、 2y C 、 ()2x y + D 、 2x4、二元函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（）（c, 难难度系数0.2） A 、连续，偏导数存在 B 、连续，偏导数不存在 C 、不连续，偏导数存在 D 、不连续，偏导数不存在 5、已知(),f x y = ）（D, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在6、二元函数()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（）（c, 难难度系数0.3）A 、连续，偏导数存在B 、连续，偏导数不存在C 、不连续，偏导数存在D 、不连续，偏导数不存在7、设函数(),z f x y =满足222fy∂=∂，且()(),01,,0y f x f x x ==，则(),f x y =（）（B, 难难度系数0.4） A 、21xy y -+ B 、 21xy y ++ C 、221x y y -+ D 、 221x y y ++8、设(),zf x y =在点()00,x y 处偏导数存在，则()00,x y zx ∂=∂（）（B, 难难度系数0.3）A 、()()00000,,limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ B 、 ()()00000,,lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆C 、()()0000,,limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆ D 、 ()()0000,,lim x f x y x f x y x∆→+-∆9、若()22,f xy x y x y xy +=+-，则()(),,x y f x y f x y +=（）（c, 难难度系数0.3）A 、22x y + B 、 23y + C 、 23y - D 、 23x +10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（）条件（D,难难度系数0.3）A 、充分条件但非必要条件B 、必要条件但非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件 11、二元函数(),f x y 在点()0,0处连续，且偏导数存在，()0,00f =，则当()(),0,0x y ≠时，(),f x y 可以等于下列四个式子中的（）（c, 难难度系数0.3）A 、2422x y x y ++ BCD 、22xy x y +12、已知(),f x y = ）（c, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在13、二元函数()()()()()544,,0,0,0,,0,0x xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（）（c, 难难度系数0.3）A 、 0B 、∞C 、 1D 、不存在但不是无穷大14、二元函数()()()()()3322,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩，则下列各式错误的是（）（c, 难难度系数0.4） A 、()0,0x f =0 B 、()0,x f y y =- C 、()0,01xy f = D 、 ()0,01xy f =-15、曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是（）（c, 难难度系数0.3）A 、2π B 、 3π C 、4π D 、 6π 16、设x zy =,则xy z =（）（c, 难难度系数0.2）A 、1ln x xy x -B 、()1ln x y x y -+C 、()11ln x y x y -+D 、2ln x y x17、()22,f x y xy x y π=---，则(,)f x y x∂=∂（）22y x y --（c, 难难度系数0.2）A 、22y x y π--- B 、 22y x y -- C 、2y x - D 、 22y x y --18、设()22,f x y xy x y e =--+，则(,)f x y y∂=∂（）（B, 难难度系数0.2）A 、22y x y e --- B 、2x y - C 、 22y x y -- D 、 22y x y --19、已知理想气体状态方程RT PV =，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂PT T V V P （）（A, 难难度系数0.3 A 、1- B 、 1 C 、 2 D 、没意义20、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（）（C,难难度系数0.3）A 、 1B 、1- C 、 0 D 、不存在21、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,1x f =（）（A,难度系数0.3） A 、1- B 、 1 C 、 0 D 、不存在22、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,x f y =（）（B,难度系数0.3）A 、yB 、y -C 、x -D 、123、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则(),0y f x =（）（A,难度系数0.3）A 、xB 、y -C 、x -D 、124、设)cos()2cos(),(y x y x y x f +-=，则=')4,(ππyf （）（D,难度系数0.3）A 、0BC 、D 、 -25、设y x y x u arcsin)1(-+=，则xu∂∂在(2,1)的值是（）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、226、设(ux y =+-，则(,1)x f x 的值是（）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、2 27、设(21)arcsinx ux y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（D,难度系数0.3）A 、1-B 、1+C 、1-D 、 31+28、设(21)arccosx u x y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（B,难度系数0.3）A 、1-B 、1-C 、1+D 、 31+29、设(1)arctanx u y y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（D,难度系数0.3）A 、15 B 、 15- C 、25- D 、 2530、设2arctan (21)arccoty xue y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（C,难度系数0.3）A 、35 B 、35- C 、 65- D 、6531、设(21)arctanyux x x=+-，则u y ∂∂在(1,1)-的值是（）（B,难度系数0.3）A 、32 B 、 12 C 、12- D 、1 32、设2arctan 2y ux x =+，则uy∂=∂（）（D,难度系数0.3） 33、设2arcsin 2y ux y =+，则ux∂=∂（）（A,难度系数0.3）A 、212y yx - B 、22ln yxx C 、2ln y x x D 、2122214y yx x -++34、设(),z f x y x y ==+()3,4x f =（）（D,难度系数0.3）A 、35 B 、85 C 、15 D 、 2535、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1x y f y ==∂=∂（）（C,难度系数0.3）A 、23 B 、13 C 、12D 、 1 36、设2e xyu =，则2u uxy x y∂∂+=∂∂（）（C,难度系数0.4） A 、1 B 、224xy x eyC 、0D 、224xy x ey-37、设2x yue=，则2ux y∂=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、22x yxe B 、2x ye C 、()2321x yyx e+ D 、()2221xyx x y e +38、设2sin xu xz y=+，则42u x y z ∂=∂∂∂（）（A,难度系数0.3） A 、0 B 、2xz C 、2z D 、21sin xy y-39、设xyz ln =，则22zx ∂=∂（）（D,难度系数0.4） A 、1 B 、0 C 、2ln 2ln ln x y y y x + D 、 2ln 2ln ln xy y y x- 40、设xyzln =，则2zx y∂=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、ln 2ln ln 1xx y y x - C 、 ln ln ln 1x y x y xy ⋅+ D 、 2ln 2ln ln x y y y x - 41、设yxz u arctan =，则222222u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂（）（C,难度系数0.3）A 、()2224xyzxy-+ B 、()2224xyzxy-+ C 、 0 D 、1A 、B 、C 、连续D 、不连续 42、设()22,f xy x y x y -=+，则1f f x y y∂∂+=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、2 D 、43 全微分及其应用1、函数(),zf x y =在点()00,x y 处具有偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''是函数在该点可微的（）（A,难度系数0.2）A 、必要条件但非充分条件B 、充分条件但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件 2、二元函数(),f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（）（C,难度系数0.3）A 、()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B 、()(),00,0lim0x f x f x→-=,且()()00,0,0lim0y f y f y →-= C 、()(,0,0,0,0lim0x y f x y f →-=D 、()()0lim ,00,00x x x f x f →''-=⎡⎤⎣⎦,且()()0lim 0,0,00y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 3、若函数(),f x y 在点()00,x y 处的偏导数存在，则(),f x y 在该点处函数（）（D,难度系数0.3）A 、有极限B 、连续C 、可微D 、 A 、B 、C 都不成立 4、考虑二元函数(),f x y 的下面4条性质：①(),f x y 在点()00,x y 处连续， ②(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续， ③(),f x y 在点()00,x y 处可微， ④(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（）（A,难度系数0.3） A 、②⇒③⇒① B 、③⇒②⇒① C 、③⇒④⇒① D 、 ③⇒①⇒④ 5、设z=()1,1dz =（）（B,难度系数0.3）A 、()12dx dy + B 、 dx dy + C 、 ()13dx dy + D 、)dx dy + 6、设1zx uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1,1,1du=（）（B,难度系数0.3）A 、dx dy dz ++B 、 dx dy -C 、 dx dz -D 、 dy dz -7、设cos ,sin x r y r θθ==，则xdy ydx -=（）（B,难度系数0.2）A 、2rd rdr θ+ B 、 2r d θ C 、 rdr D 、 rd θ8、在下列条件中，使函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且全微分为零的是（）（D,难度系数0.3） A 、具有偏导数且()()0000,0,,0x y f x y f x y ''== B 、()00,x y f∆=C 、()0022,sin x y x y f∆+∆∆=D 、()()0022,x y fx y ∆=∆+∆9、下列函数在点()0,0处可微的是（）（C,难度系数0.3）A、z =B 、()()()(),0,00,,0,0x y z x y ≠==⎩ C 、()()()()()22221sin ,,0,00,,0,0x y x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩ D 、()()()()22,,0,00,,0,0xy x y x y z x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩10、若()()(),,zf x y x yg x y ==+，(),g x y 在点()0,0处连续，则(),f x y 在该点处结论错的是（）（C,难度系数0.3）A 、有极限B 、连续C 、不可微D 、 dz dx dy =+11、若函数(),f x y 在点()00,x y 处不连续，则（）、（D,难度系数0.1） A 、()00,f x y 必不存在 B 、()()00(,),lim,x y x y f x y →必不存在C 、()()0000,,,x y f x y f x y 必不存在D 、 (),f x y 在()00,x y 必不可微12、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与z y∂∂连续的（）条件（A,难度系数0.2） A 、必要 B 、充分 C 、充要 D 、无关 13、设432z x y x =+，则()1,2dz =（）（C,难度系数0.2）A 、()3342423x ydx x y dy ++ B 、1234dx dy + C 、 3412dx dy + D 、3412dx dy -14、arctanxz y=，则dz =（）（D,难度系数0.2） A 、22xdy ydx x y -+ B 、22xdx ydy x y -+ C 、22ydx xdy x y ++ D 、 22ydx xdyx y -+15、(),fx y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的（）条件（B,难度系数0.2）A 、必要B 、充分C 、充要D 、无关16、若(),f x y =()1,1df=（）（D,难度系数0.2）A 、22xdx ydy x y ++ B 、221xdx ydyx y +++ C 、2dx dy+ D 、3dx dy+17、u =()0,1处的du =（）（B,难度系数0.3）A 、2dxB 、dxC 、()2222yx dx xydy x y--+ D 、222y dx xydyx y-+ 18、设yx yx y x z-+++=arctanln 22，则d z =（）（D,难度系数0.3） A 、()()22x y dy x y dxx y --++ B 、()()22x y dx x y dyx y --++C 、()()22x y dx x y dyx y ++-+ D 、()()22x y dx x y dyx y -+++19、设(),zf x y =在点()00,x y 处的全增量为z ∆,全微分为dz ,则(),z f x y =在点()00,x y 处的全增量与全微分的关系式是（）（B,难度系数0.2） A 、zdz ∆= B 、()z dz o dz ∆=+ C 、()z dz o z ∆=+ D 、()z dz o dx ∆=+20、函数)ln(22z y x u++=，则在点)1,0,1(A 处的全微分为（）（C,难度系数0.2）A 、22dx ydy zdz x y z ++++ B 、2222dx ydy zdzx y z ++++ C 、22dx dz + D 、2dx dz+ 21、函数32),(y x y x f =在点)0,0(处（）（D,难度系数0.3）A 、两个偏导函数连续B 、可微C 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都不存在 D 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都存在，但不可微22、若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（）（B,难度系数0.3）A 、(),z f x y =在点()00,x y 处连续B 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续C 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在D 、曲面(),zf x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面23、二元函数),(y x f 在点),(000y x M 处连续，且),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，这是),(y x f 在点可微的（）条件（B,难度系数0.2）A 、充分非必要B 、必要非充分C 、充分必要D 、既非充分亦非必要 24、．难度0、3答案设2yu x =，则du =（）（A,难度系数0.3）A 、22212ln y y y xdx yx xdy -+ B 、2221ln y y y xdx x xdy -+C 、221()y y x dx dy -+ D 、22212ln y y y x dy yx xdx -+25、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=（）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.20-C 、0.2040402004-D 、0.2040402004 26、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全微分d z =（）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.2040402004C 、0.2040402004-D 、0.20- 27、x y ucos )(ln =,则d u =（）（A,难度系数0.3）A 、cos cos (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ B 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤⋅+⎢⎥⎣⎦C 、cos sin (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ D 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦28、z yxu)(=,则d u =（）（D,难度系数0.3）A 、11()ln z x x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ C 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 29、2221zy x u++=,则d u =（）（C,难度系数0.3）A 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ B 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ C 、 ()()32222x y z xdx ydy zdz --++++ D 、()()32222xy zxdx ydy zdz ++++30、(),f x y =()0,0处（）（C,难度系数0.3）A 、不连续B 、()0,0x f 与()0,0y f 不存在C 、不可微D 、可微31、设xy zxe y =+，则()1,1dz =（）（B,难度系数0.2）A 、edx dy +B 、 ()21edx e dy ++C 、xyedx dy + D 、()()211xy xy xy e dx x e dy +++4 多元复合函数的求导法则1、设(),u f x y =，且cos ,sin x r y r θθ==，其中f 具有二阶连续的偏导数，则22uθ∂=∂（）（C,难度系数0.3） A 、 2222sin cos xx yy r f r f θθ+B 、 22222sin sin 2cos xx xy yy r f r f r f θθθ-+C 、 22222sin sin 2cos cos sin xx xy yy x y r f r f r f rf rf θθθθθ-+--D 、2222sin cos cos sin xx yy x y r f r f rf rf θθθθ+--2、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则2ty z∂=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、2132333xyf x yf xyzf ++ B 、 222333x yf x yzf +C 、2223333x yf x yzf f ++ D 、 2223333x yf x yzf xf ++3、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则22tx∂=∂（）（D,难度系数0.3）A 、222112233f y f y z f ++B 、 2121323222yf yzf y zf ++C 、 2222112233121323222y f yf y z f f yzf y zf +++++D 、2222112233121323222f y f y z f yf yzf y zf +++++4、设函数()()(),ux y x y x y ϕϕ=++-，其中函数ϕ具有二阶导数，则必有（）（B,难度系数0.3） A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 20u x y ∂=∂∂ D 2220u ux x y∂∂+=∂∂∂ 5、设()(),,,zf x v vg x y ==，其中,f g 均有二阶连续导数，则（）（C,难度系数0.3）A2222f f vx v x ∂∂∂+∂∂∂ B222222f f v f vx v x v x∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂C222222222f f v fv f v x x v x v x v x∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ D2222222f fv f v x v x v x∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭6、设函数222200,0x y z x y +≠=+=⎩，又,x t y t ==，则t dzdt ==（）（C,难度系数0.3） A 、 0 B、 C 、D 、 17、设函数()()()(),x yx yux y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（）（B,难度系数0.4）A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u ux y x ∂∂=∂∂∂ 8、设函数()21ax e y z u a -=+，又sin ,cos y a x z x ==，则du dx=（）（A,难度系数0.3）A 、sin ax e x B 、cos ax e x C 、21(cos sin )1ax e a x x a ++ D 、 21cos 1axe x a + A 、 B 、 C 、 D 、 9、设()v uf z,=，其中e ,x u v x y -==+，下面运算中（）（B,难度系数0.3）:e x z f f I x u v-∂∂∂=-+∂∂∂，222:v f y x z II ∂∂=∂∂∂A 、I 、II 都不正确B 、I 正确，II 不正确C 、I 不正确，II 正确D 、 I 、II 都正确10、设(),u f x y xz =+有二阶连续偏导数，则2ux y∂=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、 ()2111222f xf x z f xzf ++++ B 、 1222xf xzf +C 、21222f xf xzf ++ D 、 22xzf11、设()(),,,,zf x y z yg x t ==，其中,f g 可微，则zx∂=∂（）（B,难度系数0.3） A 、()(),,,y x f x y z g x t - B 、 1x y x z f f g f +-C 、 ()(),,,y x f x y z g x tD 、1x y x zf fg f ++12、若设()22222,f x y x y M x y∂++=∂∂，其中f为二次连续可微函数，则（）（D,难度系数0.3）A 、2f f M x u v ∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭ B 、 22222f f M x u v ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭C 、22222f f M xy u v ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭ D 、 22224f f M xy uv ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭13、若函数(),x y uxyf f t xy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为可微函数，且满足()22,u u x y G x y u x y ∂∂-=∂∂，则(),G x y 必等于（）（B,难度系数0.3） A 、x y + B 、 x y - C 、 22x y - D 、 ()2x y +14、设()()2,zf x yg x xy =-+，其中f有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则下列正确的是（）（C,难度系数0.3）A2x x xy zf g yg x∂''=++∂ B2,,2xy x xy xy xy xy z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ C2122222z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ D 2122222zf xg g xyg x y∂'''''''=-++-∂∂ 15、设函数()2222,z x y u x y ϕ=+=+，其中函数ϕ可微，则下列四个式子正确的是（）（B,难度系数0.2） Az u x u x ϕ∂∂∂=⋅∂∂∂ B z d u x du x ϕ∂∂=⋅∂∂ C z d du x du dx ϕ∂=⋅∂ D z du x u dxϕ∂∂=⋅∂∂16、设y zxyf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为（）（D,难度系数0.2）A 、2xy B 、 ()2x y z + C 、()2x y + D 、 2z17、设)(22y x z-=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（）（C,难度系数0.2）A 、y z y x z x∂∂=∂∂ B 、 y z x x z y ∂∂=∂∂ C 、 y z x x z y ∂∂-=∂∂ D 、 yzy x z x ∂∂-=∂∂5 隐函数求导法1、设有三元方程ln 1xzxy z y e-+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）（D,难度系数0.3）A 、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),z z x y =B 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =C 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),z z x y =D 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =2、已知,tan ,cos zxx y z e xe t y t +-===，则220t d zdt ==（）（D,难度系数0.3）A 、12 B 、 14 C 、 18 D 、 138- 3、若(),u u x y =为可微函数，且满足()22,1,y x y x uu x y x x==∂==∂，则必有2y x u y=∂=∂（）（C,难度系数0.3）A 、 1B 、12 C 、 12- D 、 1- 4、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（）（B,难度系数0.3） A 、 x B 、 z C 、 x - D 、 z -5、设(),z z x y =由方程()22y z xf y z +=-确定，f 可微，则z zxy x y∂∂+=∂∂（）（B,难度系数0.3）A 、xB 、yC 、zD 、 1 6、设函数(),z f x y =由方程()x y z x y z e-++++=确定，则（）（C,难度系数0.3）A 、z zx y∂∂≠∂∂ B 、2222z z x y ∂∂≠∂∂ C 、 222z z x y y ∂∂=∂∂∂ D 、 222z z x x y ∂∂≠∂∂∂7、设(),z x y 由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=确定，则zx∂=∂（）（C,难度系数0.2）A 、z x B 、 x z C 、 z x - D 、 x z- 8、设ln x zz y=，则()0,1=dz （）（B,难度系数0.2） A 、1122dx dy + B 、 1122dx dy - C 、 dx dy + D 、 dx dy - 9、设(),0f x az y bz ++=，则z zab x y∂∂+=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、1- D 、 ab10、设(),z z x y =由方程222124y z x ++=确定，则（）（C,难度系数0.3） A 、2z xx z∂=-∂ B 、 224z x z ∂=-∂ C 、 2223416z x x z z ∂=--∂ D 、2223416z x x z z∂=-+∂11、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分=dz （）（C,难度系数0.3）A dy -B dy +C 、 dx -D 、dx +12、设⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微函数，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、()x y z + B 、0 C 、z - D 、 z13、若(),zz x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（）（A,难度系数0.3）A 、zB 、z -C 、0D 、 114、由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dz dx =（）（B,难度系数0.3）A 、13y z - B 、 13x z + C 、13x z - D 、13yz+15、设函数()zf u =，又方程()()d xyu u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),Pt u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠、则()()z zP y P x x y∂∂+=∂∂（）（A,难度系数0.3） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、()()xPy yP x +6 方向导数与梯度1、函数(),arctanxf x y y =在点()0,1处的梯度等于（）（A,难度系数0.2） A 、iB 、i- C 、jD 、j-2、设2uxy z =-，则在点()1,2,2-处方向导数的最大值为（）（C,难度系数0.2） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 3、设2uxy z =，则在点()01,1,1M 处方向导数的最大值为（）（D,难度系数0.2）A 、B 、 4C 、 1D 、4、函数(),zf x y =在点()0,0处的两个偏导数()()0,0,0,0x y f f ''都存在，则在点()0,0处，函数(),z f x y =（）（B,难度系数0.2）A 、沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等B 、关于x 连续，关于y 也连续C 、沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等D 、连续 5、设22223326ux y z xy x y z =++++--在原点沿()1,2,1方向的方向导数为（）（C,难度系数0.2） A 、B 、C 、D 、 6、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点有方向导数的（）条件（D,难度系数0.1）A 、无关B 、充要C 、必要D 、充分7、在梯度向量的方向上，函数的变化率（）（B,难度系数0.1） A 、 B 、最大 C 、 D 、8、函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是（）（B,难度系数0.2）A 、0B 、cos cos cos αβγ++ C 、1 D 、{cos ,cos ,cos }αβγ9、函数xyxu =在点)1,1,1(的梯度为（）（B,难度系数0.3）A 、{}1,1- B 、 {}1,1,0- C 、{}1,1,0- D 、{}1,1-10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，则),(y x f （）（D,难度系数0.2）A 、在该点可微；B 、在该点连续；C 、在该点沿任意方向的方向导数存在；D 、以上结论都不对、； 11、函数e cos()x u yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是（）（D,难度系数0.3）A 、13 B 、13- C 、23- D 、 2310．难度0、3答案函数)ln(22z y x u++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是（）（C,难度系数0.3） A 、1 B 、0 C 、 12 D 、12- 12．难度0、2答案设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向（）（B,难度系数0.2）A 、{3,1,2}---B 、 {3,1,2}C 、{1,3,2}D 、{3,2,1}13、函数z=在点()0,0处沿方向{}1,0的方向导数zl∂=∂（）（A,难度系数0.2） A 、 1 B 、1- C 、0 D 、不存在 14、设2)0,0(,1)0,0(='='y x f f ，则（）（D,难度系数0.3）A 、),(y x f 在点)0,0(处连续；B 、 dy dx y x df 2),()0,0(+=；C 、 βαcos 2cos )0,0(+=∂∂lf ，其中βαcos ,cos 为l 的方向余弦；D 、),(y x f 在点)0,0(处沿x 轴负方向的方向导数为1-。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

多元函数微分学习题.-共28页

第五部分多元函数微分学（1）[选择题]容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。

1．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )(A) 平行于π。

(B) 在上π。

(D) 与π斜交。

答：C2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处 ( )(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组⎩⎨⎧+=+=22v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=∂∂x u( ) (A)v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) vu y- 答：B4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。

(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

(D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )92,91,91(2- 答：A6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全微分的（）。

微积分第七章-多元函数微分学习题

总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当自变量改变量Δx、Δy等趋于0时，全微分等于偏导数乘以自变量改变量。因此，在求函数在某一点的切线斜率时，可以使用偏导数；而在计算函数在某一点的微小改变量时，则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
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Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内，一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

多元函数微分学练习题

x y
（2）
xy ；（3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4．设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2，。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e

( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.

多元函数微分学习题

多元函数微分学习题答案基本要求：二元函数的定义域及图示，二元函数的极限，二元函数的间断点，连续函数的基本性质，偏导数求法，高阶偏导数，全微分及全增量，多元函数求导法则，空间曲线的切线与法平面方程，空间曲面的切平面和法线方程，梯度计算，多元函数的极值的判定，简单的条件极值。

填空题1、函数z=ln(x-y-1)的定义域为 .2、函数22ln(4)z x y=--的定义域是 .3、极限0sinlim x a yxy y→→=，21lim(243)xyx xy x y→→+-+=，xy→→= .4、函数f(x,y)=ln(x2+y2)的间断点为 .5、1(,)f x yx y=-在处间断.6、设z=xy，则关于x的偏导数为，关于y的偏导数为。

7、函数z=x2y-xy2在点(1,2)处的全微分.函数z=y sin xy的全微分dz=8、函数f(x,y,z)=xyz在点(1,1,2)处的梯度grad f(x,y)= .9、函数z=x2y-xy的驻点为，它不是极值点.函数u=x2+y2+z2的极小值为 .10、曲面z=x3+y3-3xy在点(0,-1,-1)处的切平面方程为 .选择题1、下列说法正确的是（）（A）有界区域都是闭区域（B）开区域一定是无界区域（C）闭区域一定有界（D）邻域是闭区域2、下列说法正确的是（）（A）连续函数一定有最值（B）有界区域上的连续函数一定有最值（C）闭区域上连续函数一定有最值（D）连续函数一定有极大值和极小值3、对于二元函数f(x,y),下列说法正确的是（）（A）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点连续（B）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点可微（C）函数在某点处关于x的偏导数连续，则函数在该点可微（D）函数在某点处可微，则函数在该点关于x,y的偏导数均存在4、设函数f(x,y)在点(x,y)处间断，则（）（A）函数f(x,y)在点(x,y)处一定没有定义（B）函数f(x,y)在点(x,y)处极限一定不存在（C）函数f(x,y)在点(x,y)处可能有定义，也可能有极限（D）函数f(x,y)在点(x,y)处一定有定义和极限，但该点函数值不等于该点极限值5、0sinlim xyxy x→→（）（A）等于0（B）等于1 （C）不存在（D）等于∞6、下列说法不正确的是（）（A ）函数沿着梯度方向增加最快（B ）函数沿着梯度相反方向减少最快（C ）函数沿着与梯度垂直方向增加最快（D ）函数沿着与梯度垂直方向变化率为07、对于二元函数f (x ,y )，下列说法正确的是（）（A ）使偏导数都等于0的点（驻点）一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）具有偏导数的函数，其极值点必为驻点（D ）偏导数不存在的点是极值点解答题1、试判断函数22(,)xy f x y x y=+在（0,0）处的极限是否存在？ 2、设z =x y ，求它的两个偏导数z x ，z y .3、设f (x ,y )= x 2y -3xy 3，求f xx ，f xy ，f yy .4、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(2,2)处的全微分.5、求函数z =e xy 的全微分.6、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(1,2)处的梯度.7、求函数z =x 2y -xy -x 的极值.8、函数z =x 3+y 3-3xy 的极值.。

多元函数的微分学典型例题

多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微，且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求（1）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数．解（1）设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ．因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2）在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微．例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ．可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微．例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可微．证设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微．例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分：（1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ．（2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ．（3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ；解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ．（2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ．例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2．则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ．例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2）求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ．因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ．由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ．（2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ．同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ．（3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ；解方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ．（2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ．解设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ；方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ．例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数．在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ；类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ．于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ．代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a ．证设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ，亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ．可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ．这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式．例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离．解这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4），导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5），解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ．而该问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ．可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值．设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3），得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面积最大．。

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多元函数微分学习题五1、设函数z z(,x y) 由方程2、设函数z z(,x y) 由方程yz ln( xyz) 2 ( yz1)所确定，求2 z。

y 2 x lnz所确定，求2 z 。

z y x y3、设函数z z(,x y) 由方程 e z z x sin2y2 z。

所确定，求x y4、设函数z z(,x y) 由方程 1xy 2z z 2 z。

e所确定，求x y5、设函数z z(,x y) 由方程 e z x2 zy 1 所确定，求2 z 。

x y6、设函数z z(,x y) 由方程 x22y z2z x y9 所确定，求2 z 。

x y 7、设函数z z(,x y) 由方程 e z zx y 1 所确定，求2 z 。

x y8、设函数uu( x, y) 由方程 ue u xy 所确定，求2u。

x y232y 2230yz所确定的可微函数，9、设u x yz ,其中 z z(,x y)是由方程 x zx且 z(11,)1,求uy x 1 。

y 110、设函数y y()x 由方程 1 xy ln( e xy e xy )0 所确定，求 d y 和 d 2y。

d x d x211、设函数y y()x 由方程 xy e x y所确定，求d y和d2 y。

d x d x 212、函数y y()x13、函数y y()x 由方程 x22xy y2 1 所确定，求d 2y。

d x22y23所确定，求y , y。

由方程 xx y14、函数z z(,x y) 由方程 z y xe z 1 cosy 所确定，求2 z。

x215、函数 zz(,x y) 由方程 z 33xyza3所确定，求2z 。

x 216、函数 zz(,x y) 由方程 si n( xz) x 3 y 2z 2 所确定，求2 z。

y 217、函数 zz(,x y) 由方程 2xy zxyz 所确定，求2z1 。

x2xy218、函数 zz(,x y) 由方程 z 3 2x 39(x 1) z10(1 y)y 5 所确定，求2z x 1。

多元函数微积分练习题共6页

练习题一多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限（1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1）设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]2、（）．A、9B、4C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

多元函数微分学练习题及答案

六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y）（）
2 、二元函数 z ln 4 arcsin 1 的定义域是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8

多元函数微分学习题课

2 2
平行的切平面方程为：
.
答案：x + 4 y − z = 0 2
15 二元函数f ( x , y )在点(0, 0)可微的充分条件为[ ]. A. lim [ f ( x , y ) − f (0, 0)] = 0;
( x , y )→ (0,0)
f ( x , 0) − f (0, 0) f (0, y ) − f (0, 0) B .lim = 0, 且 lim = 0; x→0 y→0 x y C.
1 设u = f ( x , y , z ), z = ϕ ( y , t ), t = ψ ( y , x ),
∂u ∂u 其中f , ϕ ,ψ 均可微，求 , . ∂x ∂y
y 2 验证：z = , f ( u)可微， 2 2 f (x − y )
则 1 ∂z 1 ∂z z + = 2. x ∂x y ∂y y
Ans : ( −5, −5, 5),(1,1,1).
27 设z = z ( x , y )是由x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 +18=0确定的函数，求z = z ( x , y )的极值点和极值. [2004考研]
x+ y x− y
ψ ( t )dt
其中ϕ 具有二阶导数，ψ 有一阶导数，则必有[ ].
[2005考研]
Ans : B.
22 设f ( x , y ), ϕ ( x , y )均为可微函数，且ϕ y ( x , y ) ≠ 0. 设( x0 , y0 )为f ( x , y )在约束条件ϕ ( x , y )下的一个极值点则必有[ ]. A.若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; B .若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0; C .若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; D.若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0. [2006考研]

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第五章-多元函数微分学习题参考答案

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