1.解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
平面直角坐标系中的面积计算专题
平面直角坐标系中的面积计算知识点一：已知点的坐标求图形面积类型一：平面直角坐标系中三角形的面积①三角形有一边在坐标轴上例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)， B(1，0)，C(6，0). 求△ABC 的面积. x yO A (4,-4)B (1,0)C (6,0)例2：平面直角坐标系中，A(0，3)， B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC 的面积. x y123–1–2123–1–2–3OCB A②三角形有一边平行于坐标轴例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)， B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC 的面积.xy –1–2–3123–1–2–3123OA （-2,3）B (-2,-3)C (2,1)③三角形没有一边平行于坐标轴变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3–4123–1–2–31234OA (-2,3）C (2,1）B x y –1–2–3–4123–1–2–31234O A (-2,3）C (2,1）B x y –1–2–3–4123–1–2–31234O A (-2,3）C (2,1）B练习：如图中，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），求△ABO 的面积．类型二：平面直角坐标系中不规则多边形的面积例4：平面直角坐标系中，A(-3，-2)，B(3，-2)，C(1，3)，D(-2，1)，求四边形ABCD 的面积. xyO A (-3,-2)B (3,-2)C (1,3)D (-2,1)练习：如图，已知四边形ABCD 四个顶点的坐标分别是A （-5，2），B （1，5），C （5，-2），D （-4，-5）.求四边形ABCD 的面积.知识点二：已知图形面积求点的坐标例5：（1）▲ABC 的两个顶点分别为A （2，3），B （-2，0），且▲ABC 的面积为9，若点C 在x 轴上，求点C 的坐标.（2）已知A （1，0），B （0，3），点P 在x 轴上，且▲PAB 的面积为6，求点P 的坐标.（3）已知O （0，0），B （3，2），点A 在坐标轴上，且6=∆OAB S ，求A 点的坐标.练习1.如图A （﹣4，0），B （6，0），C （2，4），D （﹣3，2）．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）在y 轴上找一点P ，使△APB 的面积等于四边形的一半．求P 点坐标．练习2.如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），C （2，4），D （0，2）（1）求三角形ABC 的面积；（2）设P 为坐标轴上一点，若S △APC ＝S △ABC ，求P 点的坐标．练习3.如图，已知三点A （0，1），B （2，0），C （4，3）（1）求三角形ABC 的面积；（2）设点P 在坐标轴上，且三角形ABP 与三角形ABC 的面积相等，求点P 的坐标．。
专题在平面直角坐标系中求图形的面积(四大题型)(原卷版)
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
【变式41】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
【变式45】（2022秋•渭滨区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【变式46】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
【变式24】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【变式25】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
中考数学专题：平面直角坐标系
中考数学专题：平面直角坐标系教学目标：1.学会在平面直角坐标系中求点的坐标，图形的面积，字母的取值范围。
2.解决平面直角坐标系中的综合问题1. 复习定义：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴。
⎡⎤⎣⎦数轴平面直角坐标系 ,x x y x y ⎧⎪⎪⎧⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪→→⎡⎤⎣⎦⎩⎪⎪⎪⎩b 第一象限第二象限轴位置轴垂直于y 轴且原点重合第三象限第四象限轴平面轴把平面分成六个部分x 轴y 轴⎡⎤⎣⎦点数轴→点平面直角坐标系→点→点的坐标 ⎧⎪→⎨⎪⎩b 已知点确定坐标＋－已知坐标确定点点的坐标→点到点的距离[]∍直线()()()[]|a-h||b-m|x y x h y m ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪=⎧⎪⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩轴：P(a,b)到x 轴的距离为|b|坐标轴轴：P(a,b)到y 轴的距离为|a|点p a,b 到的距离为[与坐标轴平行的直线]点p a,b 到的距离为[任意直线]点p a,b 到直线Ax+By+C=0的距离为|Aa+Bb+C|[点]d =任意两点⊃1122121211221221(,0)(,0)||||(0,)(0,)||||P a P a PP a a P b P b PP b b ⎧→=-⎧⎪⎨→=-⎩⎨⎪⎩与在坐标轴上的两点与点到原点的距离：P(a,b)到原点的距离 点的坐标⊃[一点]特殊位置上的点的坐标⊃(,)0[](,)0[][](,)P a b x b P a b a P a b y =⎧⎨=⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩€€€€€€€€在轴上坐标轴在y 轴上P(a,b)在第一象限a>0,b>0P(a,b)在第二象限a<0,b>0[象限]P(a,b)在第三象限a<0,b<0P(a,b)在第四象限a>0,b<0象限角平分线一三象限角平分线上点P(a,b)a=b 二四象限角平分线上点P(a,b)a=-b 与坐标轴平行的直线在与轴平行的直(,)x h a h P a b k b k⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎧⎪⎨⎪==⎩⎩€€线在与x 轴平行的直线y 点的坐标 →[]对称点的坐标直线(,)[](,)x P a b x P a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩轴：关于轴对称点的坐标为(a,-b)坐标轴y 轴：关于y 轴对称点的坐标为(-a,b) ''[](,)(2,)(,)(,2)P a b x h P h a b P a b y m P a m b =⎧⎪-⎪⎨=⎪⎪-⎩与坐标轴平行的直线关于对称的点的坐标为关于对称的点的坐标为 (,)(,)b a b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩''P(a,b)关于y=x 对称的点坐标为P [角平分线]P(a,b)关于y=-x 对称的点坐标为P[点]'(,)(,)(2,2)P a b x y P x a y b --关于点对称的点坐标为'00(,)P a b ⊃--关于（，）对称的点的坐标为 点的坐标→平移后的点的坐标()()()()()()()()'''',,,,,,,,p a b mp a b m p a b mp a b m p a b mp a m b p a b mp a m b ⎧⎧+⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎨-⎪⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎩⎨⎧-⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎨⎪+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎩u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r 向上平移点向上上下平移后点的坐标向下平移点向下向左平移点向左左右平移后点的坐标向右平移点向右[对应]平面直角坐标系的点与有序实数对一一对应[点] 平面直角坐标系←⎧⎨⎩定义画法→确定平面内点的位置（点表示出无理数）二.综合题（一）求点的坐标∨点的位置A 、(1)位置，距离直接求点的坐标点的坐标⎧←⎧→→⎪⎨←⎪⎩→⎨←⎧⎪→→⎨⎪←⎩⎩符号点在直角坐标系的位置横坐标实数绝对值点到坐标轴(y 轴)的距离符号点在直角坐标系的位置纵坐标实数绝对值点到坐标轴(x 轴)的距离 例1.已知点p 在第二象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点p 的坐标为_______小结：首先确定点p 所在位置(象限)来确定横纵坐标的符号，再确定点到坐标轴距离确定横纵坐标的绝对值→p 点的坐标用所学知识点：1.坐标所在象限位置2.点到直线的距离练习：1.一个点在x 轴上，距离原点2个单位长度，这个点是_____2.点N 在y 轴左侧，且到x 轴，y 轴的距离依次是4，3.则点N 的坐标为_______,ON=_______3.已知点A 在x 轴的下方及y 轴的的右侧，且点A 到x 轴的距离为23，到y 轴的距离为4，则点A 的坐标为_________例2. 已知直线AB 平行于x 轴，且A 点坐标为(-3) 则B 点坐标为_______,条件是_______小结：利用与坐标轴平行直线点的特征直线的判定练习：①已知A(a,3),B(5,b),且AB//x 轴，则a= ,b= .A 点的坐标为 ，B 点的坐标为 。
人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)
人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7； （2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0）， （2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ， 由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。
《平面直角坐标系中的面积问题》教学设计
A
A
（1） 能否通过小房子的各点坐标求出小房子的面积引入课题 回顾旧知
1.若P （-2,4）则点P 到x 轴的距离为 点P 到y 轴的距离为
2.若A （2,0） B （5,0） 则AB=
若A （0,3），B （0,-5） 则AB=
若A （2,3），B （2,6） 则AB=
若A （4,1），B （-3,1） 则AB=
3.已知：A （1,4），B （-4,0），C （2,0）则三角形ABC 的面积
（二）探索方法
若A （4,0），B （3,3），C （0,2）求四边形OABC 的面积
复习在平面直角坐标系内①两点在
轴上；②两点不在轴上却与坐标轴平行；
两点间的距离。
为解
决简单三角形面积
做铺垫。
通过小组合作交流，不仅可以突破难点，学习更多解题方
法。
同时，利用面积和差求得.渗透转化
思想解；通过不同方法的选择，培养学生设计解决问题方案
时要考虑可行性的习惯；通过一题多解发展学生的创新思维.
（三）巩固练习
已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．学生体验解题方法和技巧，感受解题的快乐。
通过自我展示，提高学生的语言表达能力，锻炼他们的胆识。
（四）归纳方法
1、知识方面
在平面直角坐标系中，求面积的方法有：2、数学思想方面1、通过自己的归纳总结，逐步提高学生提炼方法和技巧的
意识。
2、通过学生的表述，。
期末专项训练 专题一 探索平面直角坐标系中点的坐标特征
8．已知点 M(3，－2)与点 M′(x，y)在同一条平行于 x 轴的直线上，且 M′
到 y 轴的距离等于 4，则点 M′的坐标是 (4，－2)或(－4，－2)
.
9．已知点 P 的坐标为(a－3，a2－4)． (1)若点 P 在 y 轴上，试确定点 P 的坐标； (2)若点 P 在 x 轴上，试确定点 P 的坐标． 解：(1)若点 P 在 y 轴上，则 a－3＝0，解得 a＝3，所以 a2－4＝5，所以点 P 的坐标为(0,5)； (2)若点 P 在 x 轴上，则 a2－4＝0，解得 a＝2 或－2，所以 a－3＝－1 或－5，所以点 P 的坐标为(－1,0)或(－5,0)．
(2)设△APB 的 AB 边上高为 h，则由 S△APB＝12×S 四边形 ABCD 得12×10×h＝12 ×24，解得 h＝2.4，又∵P 点在 y 轴上，∴P(0,2.4)或(0，－2.4)．
考点四：坐标与平移 15．将点 P(－3，y)先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度后得 到点 Q(x，－1)，则 xy＝ －10 . 16．如图，把左图中的圆 A 经过平移得到右图中的圆 O.如果左图中圆 A 上一 点 P 的坐标为(m，n)，那么平移后在右图中的对应点 P′的坐标为( D )
期末专项训练
专题一 探索平面直角坐标系 中点的坐标特征
考点一：坐标系内点的坐标特征
1．在平面直角坐标系中，点 P(2，－4)所在象限为( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．坐标平面内，在第二象限内有一点 P，且 P 点到 x 轴的距离是 4，到 y 轴
的距离是 5，则 P 点的坐标为( A )
5．若点 M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点 M 所在象限是( B )
平面直角坐标系中的面积问题
∴OA=4， yB =3
∴ S△AOB
1 OA OB 2
=1 43 2
6 【典型例题】 类型 1 有一边在坐标轴上
∴ S△AOB
1 OA 2
yB
=1 43 2
6
例 1 如图 1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(4，0)，B(-2，0)，C(2，4)，求△ ABC 的面积.
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
【点拨】（1）“补”的思想；（2）三角形的面积公式：
“底乘高除以 2”.
图5
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 6 如图 6，已知△ABC 中，A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC 的 面积.
图6 【分析】采用“补”的思想，将△ABC 补成一个正方形或者梯形. 【方法】
例 7 如图 7，以 OA 为边的△OAB 的面积为 2，试找出符合条件得且顶点是第一象 限格点的点 C，你能找出几个这样的点？
【分析】要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图 1 可知，△ABC 的边 AB 在 x 轴上，容易求得 AB 的长，而 AB 边上的高，恰好是 C 点到 x 轴的距离，也就是 C 点的纵坐标的绝对值.
解：∵A(4，0)，B(-2，0)，
∴AB=4-（-2）=6.
∵C 点坐标为(2，4)，
∴C 点到 x 轴的距离为 4，
【分析】明确底和高，以及利用平行线之间的距 离处处相等进行面积转化.【同底等高模型】
【方法】
图7
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 8 如图所示，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）. （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）求△ABC 的面积； （3）设点 P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点 P 的坐标． 【分析】（1）确定出点 A、B、C 的位置，连接 AC、 CB、AB 即可； （2）过点 C 向 x、y 轴作垂线，垂足为 D、E， S△ABC = S 四边形 DOEC -S△ACE -S△BCD -S△AOB； （3）当点 P 在 x 轴上时，由 S△ABP =4，求得：BP=8， 故此点 P 的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点 P 在 y 轴 上时，S△ABP =4，解得：AP=4．所以点 P 的坐标为（0，5） 或（0，﹣3）． 【解答】 解：（1）如图所示：△ABC 即为所求．
八年级数学上册第3章小专题_平面直角坐标系中计算图形的面积(北师大版)
小专题平面直角坐标系中计算图形的面积——教材P73复习题T14的变式与运用【教材母题】（教材P73复习题T4）在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCDA B C D，确定这个四边形的面积,各个顶点的坐标分别是(0,0),(3,6),(14,8),(16,0)你是怎么做的？与同伴进行交流.方法1：分割法（如图1）【解答】方法指导对于不规则图形，可考虑将图形分割成直角三角形、长方形或梯形，通过求其面积之和，得到要求图形的面积.方法2：补形法（如图2）【解答】方法指导当图形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行时，可考虑将图形补成常见的长方形或梯形，再通过常见图形面积的和差，得到要求图形的面积.【母题变式】如图在平面直角坐标系内，已知点80A （，），点B 的横坐标是2，AOB V 的面积为12.（1）求点B 的坐标；（2）如果P 是直角坐标平面内的点,那么点P 的纵坐标为多少时，2AOP AOB S S =V V ？【解答】方法指导已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将点的横（纵）坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积求得线段长，从而转化为点的坐标.变式训练1.如图，已知(2,0),(4,0),(4,4)A B C --，则ABC V 的面积为__________.2.已知点00O （，），点32A -（，），点B 在y 轴的正半轴上.若AOB V 的面积为12，则点B 的坐标为___________.3.如图，已知点(3,1),(1,3),(3,4)A B C --，则ABC V 的面积为_________.4.（三门峡期中）如图，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是(0,0),(8,0)A B ，(6,4)C ，(3,6)D ，求出四边形ABCD 的面积.参考答案【教材母题】方法1：按如图所示方法将四边形分割成四部分.其中,三个三角形的两条直角边都平行于坐标轴，一个长方形的两条边也平行于坐标轴.从而四边形的面积111361121168294222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=.方法2：按如图所示方法将四边形补成一个梯形，则原四边形的面积可通过梯形的面积减去两个三角形的面积得到，即111(1416)88314294222S =⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 【母题变式】（1）设点B 的纵坐标为y .因为80A （，），所以8OA =. 则1||122AOB S OA y =⋅=V ，解得3y =±.所以点B 的坐标为(23)(2,3)-，或. （2）设点P 的纵坐标为h .因为221224AOP AOB S S ==⨯=V V ，所以1||242OA h ⋅=，解得6h =±.所以点P 的纵坐标为6或6-.变式训练1.122.（0，8）3.184.解：过点D 作DE x ⊥轴，交x 轴于点E ，过点C 作CF x ⊥轴，交x 轴于点F. 因为(8,0),(6,4),(3,6)B C D 所以12AED BCF ABCD DEFC S S S S AE DE =++=⋅+V V 四边形梯形 11111()36(64)3242822222DE CF EF BF CF +⋅+⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.。
中考数学冲刺专题讲义 平面直角坐标系下的图形变化(含答案)
2020中考数学冲刺专题平面直角坐标系下的图形变化（含答案）1. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，－4)，C是x轴上一动点，过C作CD∥AB 交y轴于点D.(∥)求OCOD的值；(∥)若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积等于54，求点C的坐标；(∥)将∥AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到∥AO′B′，设D的坐标为(0，n)，当点D落在∥AO′B′内部(包括边界)时，求n的取值范围．(直接写出答案即可)第1题图解：(∥)∥点A的坐标是(3，0)，B的坐标是(0，－4)，∥OA＝3，OB＝4.∥CD∥AB，∥∥AOB∥∥COD，∥OCOD＝OAOB＝34；(∥)设OC＝3x，则OD＝4x，则AC＝3＋3x，BD＝4＋4x，当点C 在x 轴负半轴上时： ∥四边形ABCD 的面积是54，∥12AC ·BD ＝54，即12(3＋3x )(4＋4x )＝54， 解得：x ＝2或－4(舍去)． 则点C 的坐标是(－6，0)； 当点C 在x 轴的正半轴上时， S 四边形ABCD ＝12×3x ·4x －12×3×4＝54， 解得：x ＝10或x ＝－10(舍去)． 则点C 的坐标是(310，0)； (∥)O ′的坐标是(3，3)，则O ′B ′与y 轴的交点坐标是(0，3)； 则B ′的坐标是(－1，3)．设直线AB ′的解析式是y ＝kx ＋b ， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0－k ＋b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝94，则直线AB ′的解析式是y ＝－34x ＋94， 当x ＝0时，y ＝94.即直线AB′与y轴的交点是(0，94)．则n的范围是94≤n≤3.第1题解图2. 在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D，点E分别是AC，BC的中点，将∥CDE绕点C逆时针旋转得到∥CD′E′，旋转角为α，连接AD′，BE′.(∥)如图∥，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；(∥)如图∥，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∥CBE′的值；(∥)若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围．第2题图解：(∥)∥A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，∥OA＝OB＝OC，∥∥ACB＝90°，∥∥CD′E′是∥CDE旋转得到的，∥∥D ′CE ′＝90°，∥AD ′∥CE ′，∥∥AD ′C ＝∥D ′CE ′＝90°， ∥D 为AC 的中点，∥CD ＝12AC ， ∥CD ＝CD ′，∥CD ′＝12AC ， 在Rt∥ACD ′中，cos α＝CD ′AC ＝12， ∥α＝60°；(∥)设F 为D ′E ′的中点，连接CF ，如解图∥， ∥CD ′＝CE ′，∥E ′CD ′＝90°， ∥CF ∥BE ′，CF ＝12D ′E ′＝1， 又∥BC ＝OB 2＋OC 2＝22，∥在Rt∥BCF 中，sin∥CBE ′＝CF BC ＝24；(∥)如解图∥，以C 为圆心，CD ′为半径作∥C ，当AD ′与∥C 相切时AP 最长，易得四边形CD ′PE ′是正方形，作PH ∥AB 于点H . ∥CD ′＝CD ＝12AC ＝2， ∥∥C 的半径为2， ∥在Rt ∥ACD ′中，AD ′＝（22）2－（2）2＝6，∥AP ＝AD ′＋PD ′＝6＋2，∥cos∥P AB＝APAB＝AHAP，∥AH＝2＋3，∥点P横坐标的最大值为 3.如解图∥，当BE′与∥C相切时AP最短，易得四边形CD′PE′是正方形，作PH∥AB于点H.根据对称性可知OH＝3，∥点P横坐标的最小值为－3，∥点P横坐标的取值范围为－3≤m≤ 3.图∥ 图∥ 图∥第2题解图3. 在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图∥所示放置，已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD(含端点)交于点E，与边OB(含端点)或其延长线交于点F.(∥)如图∥，若点E的坐标为(0，4)，求点A的坐标；(∥)将矩形沿直线y＝－12x＋n折叠，求点A的坐标；(∥)将矩形沿直线y＝kx＋n折叠，点F在边OB上(含端点)，直接写出k的取值范围．第3题图解：(∥)∥点E的坐标为(0，4)，∥OE＝AE＝4，∥四边形OBCD是矩形，∥OD＝BC＝6，∥DE＝2，∥AD＝AE2－DE2＝23，∥点A的坐标为(23，6);(∥)由于直线EF解析式是y＝－12x＋n，∥OE＝n，点F的坐标为(2n，0)，连接OA，如解图∥，则EF垂直平分OA，易得∥AOD∥∥EFO，∥ADOD ＝OEOF＝12，则AD＝12OD＝3，∥点A的坐标为(3，6)；(∥)－1≤k≤－1 3.【解法提示】当点F与点B重合时，AB＝OB＝10，∥AC＝102－62＝8，则AD＝2，易得∥ADE∥∥BCA，则ADBC ＝DEAC，即26＝DE8，∥DE＝83，∥OE＝103，∥n＝103，直线EF的解析式为y＝kx＋103，令x＝10，则y＝0，即0＝10k＋103，∥k＝－13；当点E与点D重合时，如解图∥，点F(6，0)，易得直线EF的解析式为y＝－x＋6，此时k＝－1，综上所述，k的取值范围是－1≤k≤－13.第3题解图4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.(∥)求点A，B的坐标；(∥)在直线AB上是否存在点P，使∥OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(∥)若将Rt∥AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的解析式．第4题图解：(∥)在y＝－x＋4中，令x＝0可得y＝4，令y＝0可求得x＝4，∥A(4，0)，B(0，4)；(∥)如解图∥，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则OP＝P A，即P点即为满足条件的点，∥OA＝4，∥OE＝2，在y＝－x＋4中，当x＝2时，可得y＝2，∥P点坐标为(2，2)；(∥)如解图∥，设C(t，0)，则AC＝OA－OC＝4－t，∥OA＝OB＝4，∥AB＝42，由折叠的性质可得BD＝OB＝4，CD＝OC＝t，∥ADC＝∥BOC＝90°，∥AD ＝AB －BD ＝42－4，在Rt∥ACD 中，由勾股定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2，即(4－t )2＝t 2＋(42－4)2，解得t ＝42－4， ∥C (42－4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ， ∥⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4（42－4）k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1－2b ＝4，∥折痕BC 的解析式为y ＝－(1＋2)x ＋4.第4题解图5. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O ，按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P 、Q .(∥)如图∥，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时，求BPBQ 的值； (∥)如图∥，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求∥OPB ′的面积：(∥)在四边形OABC 旋转过程中，当0°<a ≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝12BQ ？若存在，请直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(∥)∥∥POC＝∥B′OA′，∥PCO＝∥B′A′O＝90°，∥∥POC∥∥B′OA′，∥CPA′B′＝OCOA′，即CP6＝68，∥CP＝92，BP＝BC－CP＝8－92＝72，同理∥B′CQ∥∥B′C′O，∥CQC′O＝B′CB′C′，即CQ6＝10－68，∥CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11，∥BPBQ＝7211＝722；(∥)在∥COP和∥A′B′P中，∥∥CPO＝∥A′PB′，∥OCP＝∥A′＝90°，OC＝B′A′，∥∥COP∥∥A′B′P(AAS)，∥OP＝B′P，设B′P＝OP＝x，在Rt∥COP中，CP2＋CO2＝OP2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x ＝254，∥S ∥OPB ′＝12×254×6＝754；(∥)存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝12BQ ，点P 的坐标是(－9－362，6)，(－74，6)． 【解法提示】过点Q 作QH ∥OA ′于点H ，连接OQ ， 则QH ＝OC ′＝OC ，∥S ∥POQ ＝12PQ ·OC ，S ∥POQ ＝12OP ·QH ， ∥PQ ＝OP .设BP ＝x ，∥BP ＝12BQ ，∥BQ ＝2x ，∥如解图∥，当点P 在点B 左侧时，OP ＝PQ ＝BP ＋BQ ＝3x ， 在Rt∥COP 中，PC 2＋CO 2＝OP 2，即(8＋x )2＋62＝(3x )2， 解得x 1＝1＋362，x 2＝1－362(舍去)， ∥PC ＝BP ＋BC ＝9＋362， ∥P (－9－362，6)；∥如解图∥，当点P 在点B 的右侧时， OP ＝PQ ＝BQ －BP ＝x ，PC ＝8－x ， 在Rt∥COP 中，PC 2＋CO 2＝PO 2， 即(8－x )2＋62＝x 2，解得x ＝254，∥PC＝BC－BP＝8－254＝74，∥P(－74，6)，综上所述，存在点P(－9－362，6)，P(－74，6)，使BP＝12BQ.图∥ 图∥第5题解图6. 如图，在平面直角坐标系中，已知∥AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把∥AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO 与AB重合，得到∥ABD.(∥)求点B的坐标；(∥)当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点D的坐标；(∥)是否存在点P，使∥OPD的面积等于34，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)．第6题图解：(∥)如解图∥，过点B作BE∥y轴于点E，作BF∥x轴于点F，由已知得BF＝OE＝2，OF＝42－22＝23，∥点B的坐标是(23，2)；第6题解图∥(∥)∥∥ABD由∥AOP旋转得到，∥∥ABD∥∥AOP,∥AP＝AD，∥DAB＝∥P AO，∥∥DAP＝∥BAO＝60°，∥∥ADP是等边三角形，∥DP＝AP＝16＋t2，如解图∥，过点D作DH∥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG∥DH，∥在Rt∥BDG中，∥BGD＝90°，∥DBG＝60°，∥BG＝BD·cos60°＝t×12＝t2，DG＝BD·sin60°＝t×32＝32t，∥OH＝EG＝23＋t2，DH＝2＋32t，∥点D的坐标为(23＋t2，2＋32t)；第6题解图∥(∥)存在，点P 的坐标为(21－233，0)，(－33，0)，(－3，0)，(－21－233，0)．【解法提示】假设存在点P ，使∥OPD 的面积等于34，设点P 为(t ，0)，下面分三种情况讨论： ∥当t ＞0时， BD ＝OP ＝t ，DG ＝32t ， ∥DH ＝2＋32t ，∥∥OPD 的面积等于34， ∥12t (2＋32t )＝34， 解得t 1＝21－233，t 2＝－21－233(舍去)，∥点P 1的坐标为(21－233，0 )；∥当－433＜t ≤0时，BD ＝OP ＝－t ，BG ＝－32t ， ∥DH ＝2－(－32t )＝2＋32t ， ∥∥OPD 的面积等于34， ∥－12t (2＋32t )＝34， 解得t 1＝－33，t 2＝－3，∥点P 2的坐标为(－33，0)，点P 3的坐标为(－3，0)； ∥当t ≤－433时，BD ＝OP ＝－t ，DG ＝－32t ， ∥DH ＝－32t －2， ∥∥OPD 的面积等于34， ∥12t (2＋32t )＝34，解得t 1＝21－233(舍去)，t 2＝－21－233，∥点P 4的坐标为(－21－233，0)综上所述，点P 的坐标分别为P 1(21－233，0)、P 2(－33，0)、P 3(－3，0)、P 4(－21－233，0)．7. 如图∥，等腰直角∥ABC 的斜边AB 长为4，矩形ODEF 的边OD 长为2，DE 长为4，将等腰直角∥ABC 沿x 轴向右平移得到等腰直角∥A ′B ′C ′.(∥)当线段A ′C ′所在直线经过点E 时，求此时直线A ′C ′的解析式；(∥)连接C ′F ，C ′E ，当线段C ′F 和线段C ′E 之和最短时，求矩形ODEF 和等腰直角∥A ′B ′C ′重叠部分的面积；(∥)当矩形ODEF 和等腰直角∥A ′B ′C ′重叠部分的面积为2.5时，求直线A ′C ′与y 轴交点的坐标(直接写出答案即可)．第7题图解：(∥)当A ′C ′所在直线经过点E ，如解图∥. ∥∥CAB ＝45°， ∥∥C ′A ′B ′＝45°， 在Rt∥EA ′D 中，DE ＝4， ∥A ′D ＝4， ∥OD ＝2， ∥A ′O ＝2， ∥A ′(－2，0)，设直线A ′C ′的解析式为y ＝kx ＋b ，将两点A ′(－2，0)，E (2，4)代入 得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝02k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝2. ∥A ′C ′此时的解析式为y ＝x ＋2；第7题解图∥(∥)∥点C的运动轨迹为直线y＝2.∥点E关于点C′的运动轨迹的对称点为点D.连接FD，如解图∥，当C运动到FD的中点时，FC′＋C′D最小，即FD的长，即FC′＋EC′最小．∥此时A′C′与OF交于M，B′C′与DE交于N，∥OA′＝OM＝1，B′D＝DN＝1，即S∥B′DN＝S∥A′OM＝1.则S五边形ODNC′M＝S∥A′B′C′－S∥B′DN－S∥A′OM＝4×2×12－1×1×12－1×1×12＝4－1＝3.第7题解图∥(∥)直线A′C′与y轴交点的坐标为(0，2＋22)或(0，2－22)．【解法提示】当C在y轴上时，此时B′与D重合，∥矩形ODEF与∥A′B′C′重合部分为∥COB.∥S ∥COB ＝12×2×2＝2<2.5，故当重叠部分面积为2.5时，C ′必在矩形ODEF 内部，此时重合部分面积S ＝S ∥A ′B ′C ′－S ∥B ′DN －S ∥A ′OM ＝2.5，∥4－S ∥B ′DN －S ∥A ′OM ＝2.5， 即12OM 2＋12DN 2＝1.5， ∥OM 2＋DN 2＝3， 而OM ＝OA ′，DN ＝DB ′， OA ′＋DB ′＝A ′B ′－OD ＝2， ∥OM ＋DN ＝2，DN ＝2－OM ， ∥OM 2＋(2－OM )2＝3， OM 2＋OM 2－4OM ＋4－3＝0， 2OM 2－4OM ＋1＝0，解得OM ＝2＋22或OM ＝2－22， 故当重合部分面积为2.5时，直线A ′C ′与y 轴交点的坐标为(0，2＋22)或(0，2－22)．8. 在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，点D 是边BC 上的动点(与端点B 、C 不重合)，过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交边OA 于点E . (∥)如图∥，求点D 和点E 的坐标(用含b 的式子表示)；(∥)如图∥，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；(∥)矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．第8题图解：(∥)∥四边形OABC是矩形，∥CB∥x轴，由点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，1)可得点D的纵坐标为1，当y＝1时，－12x＋b＝1，解得：x＝2b－2，∥点D的坐标为(2b－2，1)，当y＝0时，－12x＋b＝0，解得：x＝2b，∥点E的坐标为(2b，0)；(∥)如解图，设CB与O1A1的交点为点M，C1B1与OA的交点为点N，∥四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，∥CB∥OA，C1B1∥O1A1，∥四边形DMEN是平行四边形，∥矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，∥∥1＝∥2，∥CB∥OA，∥∥2＝∥3，∥∥1＝∥3，∥DM＝ME，∥平行四边形DMEN是菱形，过点D作DH∥OA于点H，由D(2b－2，1)，E(2b，0)可知CD＝2b－2，OE＝2b，OH＝CD＝2b－2，DH＝1，∥EH＝OE－OH＝2b－(2b－2)＝2，设菱形DMEN的边长为m，在Rt∥DHN中，DH＝1，HN＝EH－NE＝2－m，DN＝m，由DH2＋HN2＝DN2，得：12＋(2－m)2＝m2，解得m＝54，∥S菱形DMEN＝NE·DH＝54×1＝54，∥重叠部分菱形DMEN 的面积不变，为54；第8题解图(∥)当NE ＝1时，菱形面积的最小值是1； 当NE ＝53时，菱形面积的最大值是53.(D 与C 重合，A 与E 重合，设DN ＝AN ＝x ， 在Rt∥DNO 中利用勾股定理列出方程计算)9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(0，2)，∥ABO 为等边三角形，P 是x 轴上的一个动点(不与O 点重合)，将线段AP 绕A 点按逆时针方向旋转60°，P 点的对应点为点Q . (∥)求点B 的坐标；(∥)当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：∥ABQ ＝90°；(∥)连接OQ ，在点P 运动的过程中，当OQ ∥AB 时，求点P 的坐标．第9题图解：(∥)如解图∥，过点B 作BC ∥x 轴于点C ，∥∥AOB 为等边三角形，且OA ＝2， ∥∥AOB ＝60°，OB ＝OA ＝2， ∥∥BOC ＝30°，而∥OCB ＝90°， ∥BC ＝12OB ＝1，OC ＝3， ∥点B 的坐标为B (3，1)；(∥)由题意得AP ＝AQ, AO ＝AB, ∥P AQ ＝∥OAB ， ∥∥P AO ＝∥QAB=60°.在∥APO 与∥AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ∥P AO ＝∥QAB AO ＝AB ，∥∥APO ∥∥AQB ， ∥∥ABQ ＝∥AOP ＝90°； (∥)当点P 在x 轴正半轴上时， ∥∥OAB ＝60°，∥将AP 绕点A 逆时针旋转60°时，点Q 在点B 上方， ∥OQ 和AB 必相交，当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， ∥AB ∥OQ ，∥BQO ＝90°，∥BOQ ＝∥ABO ＝60°. 在Rt∥BOQ 中，OB ＝2，∥OBQ ＝90°－∥BOQ ＝30°， ∥BQ ＝3，由(∥)可知，∥APO∥∥AQB，∥OP＝BQ＝3，∥此时点P的坐标为(－3，0)．第9题解图10. 如图∥，平面直角坐标系中，矩形OABC，B(5，4)，将矩形沿过点C的直线翻折，使点B 落在线段OA上的点D处，折痕交AB于点E，P(m，0)是射线OA上一动点过点P作x轴的垂线，分别交直线CE和直线CB于点Q和点R.(∥)求点E的坐标；(∥)在点P的运动过程中，求CRQR的值；(∥)设直线CE交x轴于点F，直线PR交直线CD于点K，连接KE，当∥CKE＝∥CFO时，求出m的值和线段CQ的长．图∥ 备用图第10题图解：(∥)设E(5，y)，∥AE ＝y ，BE ＝4－y ，由旋转得CD ＝BC ＝5，DE ＝BE ＝4－y ， 在Rt∥COD 中，CO ＝4，OD ＝CD 2－CO 2＝3，∥AD ＝AO －DO ＝5－3＝2， 在Rt∥DAE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∥(4－y )2＝22＋y 2， 解得y ＝32， ∥E (5，32)；(∥)如解图∥，∥PQ ∥x 轴， ∥PQ ∥AB ， ∥∥CQR ∥∥CEB ， ∥CR QR ＝CB EB ＝54－32＝2；图∥ 图∥第10题解图(∥)如解图∥，∥∥CKE ＝∥CFO ，∥KCE ＝∥FCD ，∥∥KCE∥∥FCD，∥CKCF＝CECD.∥C(0，4)，E(5，3 2)，∥直线CE的解析式为y＝－12x＋4，CE＝52＋(4-32)2＝552.∥F(8，0).∥CF＝CO2＋FO2＝4 5.∥C(0，4)，D(3，0)，∥直线CD的解析式为y＝－43x＋4.设K(m，－43m＋4)，∥KR＝|－43m＋4－4|＝43m，∥CR＝m,∥CK＝CR2＋KR2＝m2＋（43m）2＝53m，∥CKCF＝CECD，∥53m45＝5525，解得m＝6；∥Q在直线CE上，∥Q(6，1)，∥CQ＝CR2＋QR2＝62＋（4－1）2＝3 5.。
八年级数学上册第5章平面直角坐标系专题训练12直角坐标系中图形面积问题习题pptx课件新版苏科版
×(2－1)×4＋ ×(5－3)×3＋ ×(3＋4)×(3－2)＝8.5.
1
2
3
4
(3，0)， B (5，2)， C (2，3).求这个四边形的面积.
1
2
3
4
解：分别过 C 点和 B 点作 x 轴和 y 轴的平行线，如图，则
E (5，3)，
易得 S四边形 ABCO ＝ S长方形 OHEF － S△ ABH
－ S△ CBE － S△ OCF ＝5×3－ ×2×2－
×1×3－ ×3×2＝ .
第5章 平面直角坐标系
专题训练12
直角坐标系中图形面积问题
一
用直接法求图形的面积
1. [2024泰州泰兴市期末]如图，已知 A (－3，1)， B (2，1)，
C (－1，－3).
(1)求点 C 到 x 轴的距离；
解：(1)∵ C (－1，－3)，｜－3｜
＝3，∴点 C 到 x 轴的距离为3.
1
2
1
2
3
4
3. [2024连云港连云区期中]如图，写出三角形 ABC 三个顶点
的坐标，并求出三角形 ABC 的面积.
解： A (1，5)， B (－5，－2)， C (7，
3).易得 S△ ABC ＝12×7－ ×6×7－
×12×5－ ×2×6＝27.
1
2
3
4
三
用分割法求图形的面积
3
4
(2)求△ ABC 的面积.
解：(2)∵ A (－3，1)， B (2，1)， C (－1，－3)，∴ AB
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。
[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。
难点：正确画坐标和找对应点。
[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。
水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。
从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。
描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。
表示方法为（a，b）。
a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。
例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。
建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。
你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。
（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。
深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。
专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)
专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法 （1）整式：取全体实数 （2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分 （5）在实际问题中：取值要符合实际意义 【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________． 参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点 因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积 【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6， 所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限． 当点C 在第一象限时，m ＞0， 则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)． 又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)． 技巧3：活用有序数对表示点的位置 【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】 由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ． 【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】 解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1， 可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题． 【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可； 【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意； 故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案． 【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______． 【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可． 【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5， 故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1）， 则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． （1） 解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对 【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种 【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案． 【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种， 故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（ ） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（ ）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
1.面积公式：（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三角形面积的求法题型1 三角形有一边在坐标轴上【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三角形有一边与坐标轴平行【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC 的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.题型3 三角形三边均不与坐标轴平行【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.（1）写出图中所示各顶点的坐标；（2）求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边的三边均不与坐标轴平行时：（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.以上两种方法就是数学几何图形运算中常用的割补法.例题讲授视频三角形面积的求法同学们，例题看明白了吗？方法掌握了吧！快来试试下面的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为．。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
人教版七年级数学下册专题训练(含答案与解析)
人教版七年级数学下册专题训练（含参考答案与解析）说明：本套训练题包含以下7个专题解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题 考点综合专题：一元一次不等式（组）与学科内知识的综合 难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律 解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法 解题技巧专题：解二元一次方程组解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题——类比不同条件，体会异同◆类型一 已知解集求字母系数的值或取值范围1.（2017·毕节中考）关于x 的一元一次不等式m －2x3≤－2的解集为x ≥4，则m 的值为（ ）A.14B.7C.－2D.22.（2017·金华中考）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞3（x －2），x ＜m 的解集是x ＜5，则m 的取值范围是【易错11】（ ）A.m ≥5B.m ＞5C.m ≤5D.m ＜53.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1①，－x ≥－b ②的解集在数轴上表示如图所示，则a b 的值为 .4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1，x －2b >3的解集为－1＜x ＜1，求代数式（b －1）a ＋1的值.◆类型二 已知整数解的情况求字母系数的取值范围5.关于x 的不等式x －b >0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.－3<b <－2 B.－3<b ≤－2 C.－3≤b ≤－2 D.－3≤b <－26.对于任意实数m ，n ，定义一种新运算m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 Ｗ.7.（2017·黄石中考）已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＞3（x －1）①，12x ≤8－32x ＋2a ②恰好有两个整数解，求实数a 的取值范围.◆类型三 已知不等式组有、无解求字母系数的取值范围8.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A.m ≤53B.m ＜53C.m ＞53D.m ≥539.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，5－2x ＞1无解，则实数a 的取值范围是 .10.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<a ①，3x ＋5>x －7②有解，求实数a 的取值范围.【易错11】参考答案与解析1．D 2.A3．1 解析：由不等式②得x ≤b ，由数轴可得，原不等式组的解集是－2≤x ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＝－2，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a b ＝13＝1. 4．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1①，x －2b >3②，解不等式①得x ＜a ＋12 .解不等式②得x ＞2b ＋3.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝1，2b ＋3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 5．D6．4≤a ＜5 解析：根据题意得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1.∴a ＜x ＋1＜7，即a －1＜x ＜6.又∵解集中有两个整数解，∴3≤a －1＜4，∴a 的取值范围为4≤a ＜5.7．解：解不等式①得x ＞－2，解不等式②得x ≤4＋a .∴不等式组的解集是－2＜x ≤4＋a .∵不等式组恰好有两个整数解，∴0≤4＋a ＜1，解得－4≤a ＜－3.8．A 9.a ≥210．解：解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜a －1，∴a ＞－5.考点综合专题：一元一次不等式（组）与学科内知识的综合——综合运用，全面提升◆类型一 不等式（组）与平面直角坐标系1.（2017·江岸区模拟）已知点P （2a ＋1，1－a ）在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）2.（2017·贵港中考）在平面直角坐标系中，点P （m －3，4－2m ）不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知点M （3a －9，1－a ）在第三象限，且它的横、纵坐标都是整数，则a 的值是 Ｗ.4.在平面直角坐标系中，点A （1，2a ＋3）在第一象限.（1）若点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，求a 的值； （2）若点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，求a 的取值范围.◆类型二 不等式（组）与方程（组）的综合5.（2017·宜宾中考）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2m －1，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是 Ｗ.6.（2017·南城县模拟）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜2a ，x －b ＞1的解集是2＜x ＜3，则关于x 的方程ax＋b ＝0的解为 Ｗ.7.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2m ＋1①，x －2y ＝4m －3②的解是一对正数.（1）试确定m 的取值范围；（2）化简|3m －1|＋|m －2|.◆类型三 不等式（组）与新定义型问题的综合8.（2017·东胜区二模）我们定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2345＝2×5－3×4＝10－12＝－2，则不等式组1＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 34＜3的解集是 Ｗ. 9.（2017·龙岩模拟）定义新运算“⊕”如下：当a ＞b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝ab －b .若3⊕（x ＋2）＞0，则x 的取值范围是（ ）A.－1＜x ＜1或x ＜－2B.x ＜－2或1＜x ＜2C.－2＜x ＜1或x ＞1D.x ＜－2或x ＞210.（2017·杭州模拟）阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数.例如：M {－1，2，3}＝－1＋2＋33＝43；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤－1），－1（a ＞－1）.（1）填空：若min{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围是 ； （2）如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，求x 的值.参考答案与解析1．C 2.A3．2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9＜0，1－a ＜0，解得1＜a ＜3.∵横、纵坐标都是整数，∴a 必为整数，∴a ＝2.4．解：(1)∵点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，且点A 在第一象限，∴2a ＋3＝1，解得a ＝－1.(2)∵点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，点A 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＞0，2a ＋3＜1，解得－32＜a ＜－1.5．m ＞－1 6.x ＝－127．解：(1)①＋②，得2x ＝6m －2，x ＝3m －1.①－②得4y ＝－2m ＋4，则y ＝－12m ＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m －1＞0，－12m ＋1＞0，解得13＜m ＜2.(2)由(1)知13＜m ＜2，∴3m －1＞0，m －2＜0，∴|3m －1|＋|m －2|＝3m －1＋[－(m －2)]＝3m －1－m ＋2＝2m ＋1.8.13＜x ＜1 9．C 解析：当3＞x ＋2，即x ＜1时，由题意得3(x ＋2)＋x ＋2＞0，解得x ＞－2，∴－2＜x ＜1；当3＜x ＋2，即x ＞1时，由题意得3(x ＋2)－(x ＋2)＞0，解得x ＞－2，∴x ＞1.综上所述，x 的取值范围是－2＜x ＜1或x ＞1，故选C.10．解：(1)0≤x ≤1 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥2，4－2x ≥2，解得0≤x ≤1.(2)方法一：M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1.当x ≥1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2，则x ＋1＝2，∴x ＝1.当x ＜1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2x ，则x ＋1＝2x ，∴x ＝1(舍去)．∴x ＝1.方法二：∵M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1＝min{2，x ＋1，2x }，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥x ＋1，2x ≥x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥1，∴x ＝1.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三 图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.(1)求点B的坐标；(2)求三角形ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.1523．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D .∵A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)，∴OC ＝2，BD ＝4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO ＝S 梯形OCBD ＋S 三角形ABD ＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11. 4．解：(1)A (－2，0)，B (0，－3)，C (3，－3)，D (4，0)，E (3，3)，F (0，3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S多边形ABCDEF ＝S三角形ABF ＋S长方形BCEF ＋S三角形CDE ＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)．(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF－S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．(2)S 三角形ABC ＝12×3×4＝6.(3)存在这样的点P .设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，203或⎝⎛⎭⎫0，－203.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题。
2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析
专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。
专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)
专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
【人教版】七年级数学下册解题技巧专题
【人教版】七年级数学下册解题技巧专题解题技巧专题：解二元一次方程组——学会选择最优的解法◆类型一 解未知数系数含有1或－1的方程组1.已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝6，则3a ＋b 的值为（ ）A.14B.4C.－4D.－142.以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2①，y ＝x －1②的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若3x m＋2ny 与－13y m －n x 4是同类项，则m ＝ ，n ＝ Ｗ.4.解方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0①，2x ＋y ＝6②；（2）（2017·桂林中考）⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3①，5x ＋y ＝9②.◆类型二 解同一未知数系数互为倍数关系的方程组5.二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，2x －3y ＝1的解为（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 6.解方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝25①，3x ＋4y ＝15②； （2）⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋9y ＝73①，17x －3y ＝74②.◆类型三 解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组7.若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，3x ＋y ＝5，则x －y 的值等于（ ）A.－1B.1C.2D.38.方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝3，3x ＋2y ＝11的解为 Ｗ.9.已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值.◆类型四 含字母系数的方程组的运用10.（2017·余干县校级期末）已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝4，y －5＝m ，则无论m 取何值，x ，y恒有关系式是（ ）A.x ＋y ＝1B.x ＋y ＝－1C.x ＋y ＝9D.x ＋y ＝－911.（2017·枣庄中考）已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝3的解，则a 2－b 2＝ Ｗ.12.已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8的解相同，求（5a ＋b ）2的值.参考答案与解析1．A 2.A 3.2 14．解：(1)①＋②，得3x ＝6，解得x ＝2.把x ＝2代入①得y ＝2，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.(2)②－①，得3x ＝6，解得x ＝2，把x ＝2代入①得y ＝－1，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.5．B6．解：(1)①×2－②，得10x －3x ＝50－15，解得x ＝5.把x ＝5代入②得y ＝0.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.(2)①＋②×3，得8x ＋51x ＝73＋74×3，解得x ＝5.把x ＝5代入②得17×5－3y ＝74，解得y ＝113，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝113.7．A 8.⎩⎨⎧x ＝275，y ＝－1359．解：①＋②，得4x ＋4y ＝2＋2a ，∴x ＋y ＝1＋a 2.∵x ＋y ＝0，∴1＋a2＝0，解得a ＝－1.10．C 11.112．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，3x －y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －6b ＝－4，2b －6a ＝－8.解得⎩⎨⎧a ＝74，b ＝54，∴(5a ＋b )2＝102＝100.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题◆类型一 含一个拐点的平行线问题1．(2017·南充中考)如图，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．32°C ．42°D ．58°第1题图 第2题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD ＝90°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足( ) A ．∠α＋∠β＝180° B ．∠β－∠α＝90° C ．∠β＝3∠α D ．∠α＋∠β＝90°3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB ∥CD ，∠B ＝35°，∠D ＝32°，求∠BED 的度数． 解：过E 作EF ∥AB .∵AB ∥CD ，∴CD ∥EF .∵AB ∥EF ，∴∠1＝∠B ＝35°.又∵CD ∥EF ，∴∠2＝∠D ＝32°，∴∠BED ＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．(1)如图②，已知∠D ＝30°，∠ACD ＝65°，为了保证AB ∥DE ，∠A 应多大？ (2)如图③，要使GP ∥HQ ，则∠G ，∠GFH ，∠H 之间有什么关系？【方法4】◆类型二含多个拐点的平行线问题4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】() A．20° B．30° C．40° D．70°第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．解：7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.4．B解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE ＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P 向右作PN∥CD.∵AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型四 与图形面积相关的点的存在性问题6．(2017·定州市期中)如图，A (－1，0)，C (1，4)，点B 在x 轴上，且AB ＝3. (1)求点B 的坐标；(2)求三角形ABC 的面积；(3)在y 轴上是否存在点P ，使以A ，B ，P 三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.1523．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D .∵A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)，∴OC ＝2，BD ＝4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11.4．解：(1)A (－2，0)，B (0，－3)，C (3，－3)，D (4，0)，E (3，3)，F (0，3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S多边形ABCDEF＝S三角形ABF＋S长方形BCEF＋S三角形CDE＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)．(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF－S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．(2)S 三角形ABC ＝12×3×4＝6.(3)存在这样的点P .设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，203或⎝⎛⎭⎫0，－203.解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题——类比不同条件，体会异同◆类型一 已知解集求字母系数的值或取值范围1.（2017·毕节中考）关于x 的一元一次不等式m －2x3≤－2的解集为x ≥4，则m 的值为（ ）A.14B.7C.－2D.22.（2017·金华中考）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞3（x －2），x ＜m 的解集是x ＜5，则m 的取值范围是【易错11】（ ）A.m ≥5B.m ＞5C.m ≤5D.m ＜53.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1①，－x ≥－b ②的解集在数轴上表示如图所示，则a b 的值为 .4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1，x －2b >3的解集为－1＜x ＜1，求代数式（b －1）a ＋1的值.◆类型二 已知整数解的情况求字母系数的取值范围5.关于x 的不等式x －b >0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.－3<b <－2 B.－3<b ≤－2 C.－3≤b ≤－2 D.－3≤b <－26.对于任意实数m ，n ，定义一种新运算m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 Ｗ.7.（2017·黄石中考）已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＞3（x －1）①，12x ≤8－32x ＋2a ②恰好有两个整数解，求实数a 的取值范围.◆类型三 已知不等式组有、无解求字母系数的取值范围8.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A.m ≤53B.m ＜53C.m ＞53D.m ≥539.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，5－2x ＞1无解，则实数a 的取值范围是 .10.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<a ①，3x ＋5>x －7②有解，求实数a 的取值范围.【易错11】参考答案与解析1．D 2.A3．1 解析：由不等式②得x ≤b ，由数轴可得，原不等式组的解集是－2≤x ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＝－2，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a b ＝13＝1. 4．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1①，x －2b >3②，解不等式①得x ＜a ＋12.解不等式②得x ＞2b ＋3.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝1，2b ＋3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 5．D6．4≤a ＜5 解析：根据题意得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1.∴a ＜x ＋1＜7，即a －1＜x ＜6.又∵解集中有两个整数解，∴3≤a －1＜4，∴a 的取值范围为4≤a ＜5.7．解：解不等式①得x ＞－2，解不等式②得x ≤4＋a .∴不等式组的解集是－2＜x ≤4＋a .∵不等式组恰好有两个整数解，∴0≤4＋a ＜1，解得－4≤a ＜－3.8．A 9.a ≥210．解：解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜a －1，∴a ＞－5.考点综合专题：一元一次不等式（组）与学科内知识的综合——综合运用，全面提升◆类型一 不等式（组）与平面直角坐标系1.（2017·江岸区模拟）已知点P （2a ＋1，1－a ）在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）2.（2017·贵港中考）在平面直角坐标系中，点P （m －3，4－2m ）不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知点M （3a －9，1－a ）在第三象限，且它的横、纵坐标都是整数，则a 的值是 Ｗ.4.在平面直角坐标系中，点A （1，2a ＋3）在第一象限.（1）若点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，求a 的值； （2）若点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，求a 的取值范围.◆类型二 不等式（组）与方程（组）的综合5.（2017·宜宾中考）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2m －1，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是 Ｗ.6.（2017·南城县模拟）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜2a ，x －b ＞1的解集是2＜x ＜3，则关于x 的方程ax ＋b ＝0的解为 Ｗ.7.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2m ＋1①，x －2y ＝4m －3②的解是一对正数.（1）试确定m 的取值范围；（2）化简|3m －1|＋|m －2|.◆类型三 不等式（组）与新定义型问题的综合8.（2017·东胜区二模）我们定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2345＝2×5－3×4＝10－12＝－2，则不等式组1＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 34＜3的解集是 Ｗ.9.（2017·龙岩模拟）定义新运算“⊕”如下：当a ＞b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝ab －b .若3⊕（x ＋2）＞0，则x 的取值范围是（ ）A.－1＜x ＜1或x ＜－2B.x ＜－2或1＜x ＜2C.－2＜x ＜1或x ＞1D.x ＜－2或x ＞210.（2017·杭州模拟）阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数.例如：M {－1，2，3}＝－1＋2＋33＝43；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤－1），－1（a ＞－1）.（1）填空：若min{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围是 ； （2）如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，求x 的值.参考答案与解析1．C 2.A3．2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9＜0，1－a ＜0，解得1＜a ＜3.∵横、纵坐标都是整数，∴a 必为整数，∴a ＝2.4．解：(1)∵点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，且点A 在第一象限，∴2a ＋3＝1，解得a ＝－1.(2)∵点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，点A 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＞0，2a ＋3＜1，解得－32＜a ＜－1.5．m ＞－1 6.x ＝－127．解：(1)①＋②，得2x ＝6m －2，x ＝3m －1.①－②得4y ＝－2m ＋4，则y ＝－12m ＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m －1＞0，－12m ＋1＞0，解得13＜m ＜2.(2)由(1)知13＜m ＜2，∴3m －1＞0，m －2＜0，∴|3m －1|＋|m －2|＝3m －1＋[－(m －2)]＝3m －1－m ＋2＝2m ＋1.8.13＜x ＜1 9．C 解析：当3＞x ＋2，即x ＜1时，由题意得3(x ＋2)＋x ＋2＞0，解得x ＞－2，∴－2＜x ＜1；当3＜x ＋2，即x ＞1时，由题意得3(x ＋2)－(x ＋2)＞0，解得x ＞－2，∴x ＞1.综上所述，x 的取值范围是－2＜x ＜1或x ＞1，故选C.10．解：(1)0≤x ≤1 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥2，4－2x ≥2，解得0≤x ≤1.(2)方法一：M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1.当x ≥1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2，则x ＋1＝2，∴x ＝1.当x ＜1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2x ，则x ＋1＝2x ，∴x ＝1(舍去)．∴x ＝1.方法二：∵M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1＝min{2，x ＋1，2x }，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥x ＋1，2x ≥x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥1，∴x ＝1.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三 图形变化中的点的坐标探究 5．(2017·河南模拟)如图，点A (2，0)，B (0，2)，将扇形AOB 沿x 轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O 的对应点依次记为点O 1，点O 2，点O 3…，则O 10的坐标是( )A ．(16＋4π，0)B ．(14＋4π，2)C ．(14＋3π，2)D ．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则A 4的坐标是__________，B 4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB 进行了n 次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180° B．160° C．140° D．120°第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18° B．126°C．18°或126° D．以上都不对6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________．7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________．8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．第9题图10．(2017·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.第10题图11．(2017·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到一般的思想13．(2017·蔡甸区月考)如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．14．(2017·楚雄州期末)如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：(1)∠1＋∠2＝________；(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝____________．15．(2017·丛台区期末)如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F.(1)如图①，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；(2)如图②，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，设∠E ＝m °，直接用含有n ，m °的代数式表示∠M ＝________．参考答案与解析1．B 2.120°3．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.∵FC ∥AB ∥DE ，∴∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，∴∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，∴∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.4．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 5．C 解析：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补．设∠α＝x °，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x ＝3x －36，解得x ＝18.若∠α与∠β互补，则x ＝3(180－x )－36，解得x ＝126，∴∠α的度数是18°或126°.故选C.6．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠MPB ＝50°，∴∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四种情况：(1)AC ∥DE ，如图①，此时点B 在AE 上，∴∠BAD ＝45°；(2)AB ∥DE ，如图②，∴∠EAB ＝∠E ＝90°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝135°；(3)BC ∥AD ，如图③，∴∠BAD ＝∠B ＝60°；(4)BC ∥AE ，如图④，∴∠BAE ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝105°.综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°.8．解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2.∴∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，∴∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.∵l 2∥l 1，∴PF ∥l 1.∴∠FPB ＝∠3，∠FP A ＝∠1，∴∠2＝∠FPB －∠FP A ＝∠3－∠1.(3)当点P 在l 2下方运动时，如图③，过点P 向左作PM ∥l 2.∵l 1∥l 2，∴PM ∥l 1，∴∠APM ＝∠1，∠BPM ＝∠3，∴∠2＝∠APM －∠BPM ＝∠1－∠3.9．100 10.6 11.24cm 212．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)． (2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．13．6 2414．(1)180° (2)360°(3)540° 解析：过点E ，F 向右作EG ，FH 平行于AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥FH ∥CD ，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFC ＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)180°(n －1) 解析：易知有n 个角，需作(n －2)条辅助线，运用(n －1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°(n －1)．15．解：(1)如图，过点E 向左作EG ∥AB ，过点F 向右作FH ∥AB .∵AB ∥CD ，∴EG ∥AB ∥FH ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFH ，∠CDF ＝∠DFH ，∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∠GED ＋∠CDE ＝180°，∴∠ABE ＋∠BEG ＋∠GED ＋∠CDE ＝360°.∵∠BEG ＋∠DEG ＝∠BED ＝80°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝280°.∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∴∠ABF ＝12∠ABE ，∠CDF ＝12∠CDE ，∴∠ABF ＋∠CDF ＝12(∠ABE ＋∠CDE )＝140°，∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝∠ABF ＋∠CDF ＝140°.(2)∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM .∵∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F ，∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM ，由(1)知∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝360°，∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°.过点M 向右作MN ∥AB ，易证∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴6∠M ＋∠E ＝360°.(3)360°－m °2n解析：由(2)可得，2n ∠ABM ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴∠M ＝360°－m °2n .故答案为360°－m °2n.。
沪科版八年级上册数学解题技巧精炼专题
沪科版数学解题技巧精炼专题八年级上册目录沪科版八年级上册数学解题技巧精炼专题 (3)解题技巧专题一：平面直角坐标系中的图形面积 (3)◆类型一直接利用面积公式求图形的面积 (3)◆类型二利用分割法求图形的面积 (3)◆类型三利用补形法求图形的面积 (3)◆类型四探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性 (4)难点探究专题二：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做) (5)◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究 (5)◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究 (5)◆类型三图形变化的点的坐标的探究 (6)解题技巧专题三：一次函数的图象信息题 (6)◆类型一根据实际问题判断函数图象 (6)◆类型二根据函数图象进行判断 (7)◆类型三一次函数图象与字母系数的关系 (7)难点探究专题四：一次函数与几何的综合问题(选做) (8)◆类型一一次函数与面积问题 (8)◆类型二一次函数与几何图形综合的探究性问题 (9)类比归纳专题五：三角形中内、外角的有关计算 (10)◆类型一直接利用内角和或结合方程思想求角的度数 (10)◆类型二利用外角的性质求角的度数 (11)◆类型三综合内外角求角的度数 (11)◆类型四在三角板或直尺中求角的度数 (11)◆类型五与平行线相结合求角的度数 (12)◆类型六与截取或折叠相关求角的度数 (12)解题技巧专题六：利用全等解决问题的模型与技巧 (13)◆类型一全等三角形的基本模型 (13)◆类型二证明线段间的等量关系 (14)难点探究专题七：动态变化中的三角形全等(选做) (15)◆类型一动点变化与全等三角形 (15)◆类型二图形变换与三角形全等 (15)易错专题八：等腰三角形中易漏解或多解的问题 (16)◆类型一求边长(或周长)时忽略三边关系 (16)◆类型二当腰或底不明时求角度时没有分类讨论 (17)◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论 (17)难点探究专题九：等腰三角形中辅助线的作法(选做) (17)◆类型一利用“三线合一”作辅助线【方法18】 (17)◆类型二巧用等腰三角形构造全等 (19)◆类型三截长补短构造等腰三角形 (19)模型构建专题十：共顶点的等腰三角形 (20)◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形 (20)◆类型二共顶点的等边三角形 (20)类比归纳专题十一：证明线段相等的基本思路 (21)◆类型一已知边的关系或边角关系用全等三角形的性质 (21)◆类型二已知角度、平行关系在同一三角形中用“等角对等边” (21)◆类型三已知线段的垂直平分线或角的平分线＋垂直用相应性质 (22)◆类型一求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数 (22)◆类型二求两内角平分线的夹角的度数 (23)◆类型三求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数 (23)◆类型四求两外角平分线的夹角的度数【方法5】 (24)解题技巧专题一：平面直角坐标系中的图形面积参考答案与解析 (25)难点探究专题二：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)参考答案与解析 (26)解题技巧专题三：一次函数的图象信息题参考答案与解析 (27)难点探究专题四：一次函数与几何的综合问题(选做)参考答案与解析 (27)类比归纳专题五：三角形中内、外角的有关计算参考答案与解析 (28)解题技巧专题六：利用全等解决问题的模型与技巧参考答案与解析 (30)难点探究专题七：动态变化中的三角形全等(选做)参考答案与解析 (30)易错专题八：等腰三角形中易漏解或多解的问题参考答案与解析 (32)难点探究专题九：等腰三角形中辅助线的作法(选做)参考答案与解析 (33)模型构建专题十：共顶点的等腰三角形参考答案与解析 (36)类比归纳专题十一：证明线段相等的基本思路参考答案与解析 (37)类比归纳专题十二：与三角形的高、角平分线有关的计算模型参考答案与解析 (38)沪科版八年级上册数学解题技巧精炼专题解题技巧专题1：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积．◆类型四 探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)．(1)求S 四边形ABCO ；(2)连接AC ，求S △ABC ；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0.(1)求a 、b 、c 的值；(2)如果在第二象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．难点探究专题二：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A 3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚点A对应点记为A1，经过2次翻滚点A对应点记为A2……依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为() A．(5，2) B．(6，0) C．(8，0) D．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB变换成△OA1B1，第2次将△OA1B1变换成△OA2B2，第3次将△OA2B2变换成△OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是________，B n的坐标是__________．解题技巧专题三：一次函数的图象信息题——数形结合，快准解题◆类型一根据实际问题判断函数图象1．小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分钟)之间的关系()◆类型二根据函数图象进行判断2．小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与北京时间t(时)的函数图象如图所示．根据图象得到下列结论，其中错误的是() A．小亮骑自行车的平均速度是12km/hB．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家C．妈妈在距家12km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮第2题图第3题图3．某复印店复印收费y(元)与复印面数x(面)的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费()A．0.2元B．0.4元C．0.45元D．0.5元◆类型三一次函数图象与字母系数的关系4．如图为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则下列正确的是()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<05．直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则直线y＝bx－a的图象只能是图中的()6．下列表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n为常数，且mn≠0)的图象正确的是()7．若函数y＝(a－2)x＋b－3在直角坐标系中的图象如图所示．化简：|b－a|－|3－b|－|2－a|＝________.8．如图，一次函数y＝(m－3)x－m＋1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于A、B.(1)求m的取值范围；(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象．试求这个正比例函数的解析式．难点探究专题四：一次函数与几何的综合问题(选做)◆类型一一次函数与面积问题一、由一次函数图象求面积1．直线y＝2x－4与两坐标轴所围成的三角形面积等于()A．8 B．6 C．4 D．162．已知直线l1：y1＝2x＋3与直线l2：y2＝kx－1交于A点，A点横坐标为－1，且直线l1与x轴交于B点，与y轴交于D点，直线l2与y轴交于C点．(1)求出A点的坐标及直线l2的解析式；(2)连接BC，求出S△ABC.二、由面积求一次函数关系式3．若直线y ＝－2x ＋b (b >0)与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则该直线的解析式为__________．4．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点A (1，2)的直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点B ，且S △AOB ＝4.则该直线的解析式为____________________．三、一次函数上的动点与面积问题5．(盐城中考)如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B )，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是( )6．如图所示，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，OB OC ＝12. (1)求B 点坐标和k 的值；(2)若点A (x ，y )是直线y ＝kx －1在第一象限内的部分上的一个动点，试写出在点A 运动过程中，三角形AOB 的面积S 与x 的函数表达式；(3)探索：当动点A (x ，y )可在直线y ＝kx －1上任意移动时，若S △AOB ＝14，试确定点A 的位置．【易错4】◆类型二 一次函数与几何图形综合的探究性问题7．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1交于点A 2，得到第1个梯形A 1OC 1A 2；再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1交于点A 3得到第2个梯形A 2C 1C 2A 3；再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，延长C 3B 3，得到第3个梯形……则第2个梯形A 2C 1C 2A 3的面积是________；第n (n 是正整数)个梯形的面积是____________(用含n 的式子表示)．第7题图 第8题图8．★如图，直角坐标系中，点P (t ，0)是x 轴上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，分别与直线y ＝12x ，直线y ＝－x 交于A 、B 两点，以AB 为边向右侧作正方形ABCD .(1)当t ＝2时，正方形ABCD 的周长是________；(2)当点(2，0)在正方形ABCD 内部时，t 的取值范围是__________________．类比归纳专题五：三角形中内、外角的有关计算◆类型一 直接利用内角和或结合方程思想求角的度数1．△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，则∠B 的度数是( ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．90°2．(太和县期末)在△ABC 中，已知∠A ＝2∠B ＝3∠C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状无法确定 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC ＝________度．4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)∠BAE 的度数为________； (2)∠DAE 的度数为________；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【方法10】◆类型二利用外角的性质求角的度数5．(柳州中考)如图，图中∠1的大小等于()A．40°B．50°C．60°D．70°第5题图第6题图6．如图，BD 、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是【方法10】()A．20°B．30°C．40°D．60°◆类型三综合内外角求角的度数7．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．第7题图第8题图8．(和县期末)如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为()A．62°B．68°C．78°D．90°9．★如图，△ABC的∠ABC、∠ACB的外角的平分线交于点P.(1)若∠ABC＝50°，∠A＝70°，求∠P的度数；(2)若∠A＝68°，求∠P的度数；(3)根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系．◆类型四在三角板或直尺中求角的度数10．如图所示，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝________.第10题图第11题图11．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．120°B．105°C．90°D．75°12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．◆类型五与平行线相结合求角的度数13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB 的度数为()A．80°B．100°C．110°D．120°第13题图第14题图14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________度．15．如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向．(1)试证明△ABC为直角三角形；(2)求∠ACB的度数．◆类型六与截取或折叠相关求角的度数16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．第16题图第17题图17．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．18．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出图②中∠DAE与∠2、图③中∠DAE与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．解题技巧专题六：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证明◆类型一全等三角形的基本模型1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，∠B＝90°，则∠C＝________．【方法12】第1题图第2题图第3题图2．如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为________．3．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为()A．2 B．4 C．4.5 D．34．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)猜想BD、CE有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？并说明理由．【方法13】二、截长补短法6．★如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．【方法12】三、倍长中线法7．★在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是()A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定难点探究专题七：动态变化中的三角形全等(选做)◆类型一动点变化与全等三角形1．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8厘米，AC＝4厘米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动______________秒时，△DEB与△BCA 全等．2．★如图，点A的坐标为(－2，0)，P为y轴负半轴上一个动点，当点P向y轴负半轴下方运动时，以P为顶点作△APD，并使P A＝PD，∠APD＝90°，过点D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．【方法13】◆类型二图形变换与三角形全等3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．4．如图甲，已知A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且AB ＝CD .(1)试问OE ＝OF 吗？请说明理由；(2)若△DEC 沿AC 方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．★如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB .试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法12】易错专题八：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳，各个击破◆类型一 求边长(或周长)时忽略三边关系1．(盐城中考)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( ) A ．12 B ．9C ．12或9D ．9或72．学习了三角形的有关问题后，王老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另外两条边的长．”同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3，6或4.5，4.5”．你认为小明回答是否正确：________，理由是______________________．3．已知一个等腰三角形的两边长a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝11，2a ＋b ＝13.(1)求a 、b 的值；(2)求这个等腰三角形的周长．4．已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．【易错8】◆类型二当腰或底不明时求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°6．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是________．7．★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数(要求画出相应图形，写出求解过程)．◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论8．等腰三角形的一内角为80°，则它的一腰上的高与底边的夹角的度数是________．【易错8】9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数是20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．【易错8】难点探究专题九：等腰三角形中辅助线的作法(选做)——形成精准解题思维◆类型一利用“三线合一”作辅助线【方法18】一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝________．2．(庐江县期末)如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M .求证：M 是BE 的中点．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在CA 的延长线上，∠E ＝∠AFE .求证：EF ⊥BC .二、构造等腰三角形4．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为( )A ．0.4cm 2B ．0.5cm 2C ．0.6cm 2D ．0.7cm 25．★如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 从点B 出发沿线段BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D .(1)如图①，当点P 为AB 的中点时，求证：PD ＝QD ；(2)如图②，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．◆类型二巧用等腰三角形构造全等6．★如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连接MN.求证：MN＝BM＋NC.◆类型三截长补短构造等腰三角形7．★如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB＝BC＋CD.8．★如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.模型构建专题十：共顶点的等腰三角形——明模型，记结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.(1)求∠AEB的度数；(2)探究线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是等边三角形．(1)求证：AE＝AF；(2)求∠EAF的度数．类比归纳专题十一：证明线段相等的基本思路——分类型、理条件、定思路◆类型一已知边的关系或边角关系用全等三角形的性质1．如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠ADC＝180°，BC＝DC，延长AD到E点，使DE＝AB，连接AC，CE.求证：AC＝CE.2．★如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD，求证：AD＝CE.【方法19】◆类型二已知角度、平行关系在同一三角形中用“等角对等边”3．如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，DF∥BC交AC 于点E.求证：DE＝EF.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD 交AD于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知线段的垂直平分线或角的平分线＋垂直用相应性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.6．★如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由．类比归纳专题十二：与三角形的高、角平分线有关的计算模◆类型一求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．◆类型二 求两内角平分线的夹角的度数2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点． (1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出理由．◆类型三 求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1. (1)求证：∠A 1＝12∠A ；(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝_____________.◆类型四求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC 与∠A的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．解题技巧专题1：平面直角坐标系中的图形面积参考答案与解析1．B 2.7.53．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S四边形ABCD ＝S △CDE ＋S梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15.4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2.方法一：S △ABC ＝S长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292.方法二：S △ABC ＝S梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292.方法三：S △ABC ＝S 梯形CAEF －S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292.方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积．5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12×1×4＝11；(2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12×2×4＝7；(3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)．6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4；(2)∵P ⎝⎛⎭⎫m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；(3)存在．由B (3，0)，C (3，4)，A (0，2)，得S △ABC ＝12×3×4＝6.由(2)可知S 四边形ABOP ＝3－m ，∴3－m ＝6，∴m ＝－3，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12. 难点探究专题二：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．解题技巧专题三：一次函数的图象信息题参考答案与解析1．D2．D 解析：根据图象知9：00妈妈追上小亮，故D 选项错误． 3．B 4.C5．B 解析：由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a <0，b >0，∴－a >0.∴y ＝bx －a 的图象经过第一、二、三象限．故选B.6．A 解析：当mn >0时，直线y ＝mnx 经过第一、三象限，m ，n 同号．m ，n 同正时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、二、三象限；m ，n 同负时，直线y ＝mx ＋n 经过第二、三、四象限，故B 、D 错；当mn <0时，直线y ＝mnx 经过第二、四象限，mn 异号．m >0，n <0时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、三、四象限；m <0，n >0时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、二、四象限，故A 正确，C 错误．故选A.7．1 解析：由图可知y ＝(a －2)x ＋b －3的图象经过第一、二、四象限，∴a －2<0，b －3>0，∴a <2，b >3.∴|b －a |－|3－b |－|2－a |＝b －a －(b －3)－(2－a )＝1.8．解：(1)由图可知y ＝(m －3)x －m ＋1经过第一、三、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，－m ＋1<0，∴m >3；(2)将y ＝(m －3)x －m ＋1的图象向上平移4个单位得y ＝(m －3)x －m ＋5，由题意，得－m ＋5＝0，∴m ＝5，∴这个正比例函数的解析式为y ＝2x .难点探究专题四：一次函数与几何的综合问题(选做)参考答案与解析1．C2．解：(1)当x ＝－1时，y 1＝－2＋3＝1，∴A 点的坐标为(－1，1)．∵直线l 2：y 2＝kx －1经过点A (－1，1)，∴1＝－k －1，∴k ＝－2，∴y 2＝－2x －1；(2)∵直线y 1＝2x ＋3与y 轴交于D (0，3)，直线y 2＝－2x －1与y 轴交于C (0，－1)，∴CD ＝4，∴S △ADC ＝12×4×1＝2.∵直线y 1＝2x ＋3与x 轴交于B ⎝⎛⎭⎫－32，0，∴S △BCD ＝12×4×32＝3，∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD ＝3－2＝1.3．y ＝－2x ＋24．y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85 解析：设B 点坐标为(m ，0)，则S △AOB ＝12·|m |·2＝|m |.又∵S △AOB＝4，∴|m |＝4，∴m ＝±4.当m ＝4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一直接利用面积公式求图形的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是()
A．2 B．4 C．8 D．6
第1题图第2题图
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________．
◆类型二利用分割法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积．
◆类型三利用补形法求图形的面积
4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积．
◆类型四探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性
5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)．
(1)求S 四边形ABCO ；
(2)连接AC ，求S △ABC ；
(3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0.
(1)求a 、b 、c 的值；
(2)如果在第二象限内有一点P ⎝
⎛⎭⎫m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.7.5
3．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S 四边形ABCD ＝S △CDE ＋S 梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15.
4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2.
方法一：S △ABC ＝S 长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12
BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292
. 方法二：S △ABC ＝S 梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12
×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292
. 方法三：S △ABC ＝S 梯形CAEF －S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292
. 方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积．
5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO ＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12
×1×4＝11； (2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12
×2×4＝7； (3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12
×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)．
6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4；
(2)∵P ⎝
⎛⎭⎫m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12
×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；
(3)存在．由B (3，0)，C (3，4)，A (0，2)，得S △ABC ＝12
×3×4＝6.由(2)可知S 四边形ABOP ＝3－m ，∴3－m ＝6，∴m ＝－3，∴点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎫－3，12.。