拉氏变换练习题(14级)
第4章 拉氏变换作业参考答案
第四章 习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t t e e βα--- （11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s e L at +=+-=-- （2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++ （8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs ss t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222s i n c o s s i n c o s ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
拉普拉斯变换(改)
拉普拉斯变换1. 当系统函数)(s H 的极点位于 时，)(t h 绝对可积，系统稳定。
A 、左半平面 B 、右半平面C 、虚轴D 、实轴2011-2012期末卷B2、当系统函数为()()231KH s s K s =+-+时，K 满足 系统稳定。
A 、1K < B 、3K > C 、03K << D 、3K < 2012-2013期末卷A3. 一个连续LTI 因果系统稳定（不包括临界稳定）的条件不包括（ ） A ．有界输入产生有界输出 B ．()h t dt M∞-∞≤⎰，M 为有界正值C ．s 平面的右半平面没有极点D ．lim ()0t h t →∞=4．某系统的系统函数21()32H s s s K=++-，则常数K 取值范围为（ ）时系统稳定。
A ．2K < B ．2K >- C ．2K <- D ．2K > 5. 如图1所示，电路中()s e t 、()s i t 表示激励源，()u t 、()i t 表示电路的响应，图中a 的网络函数为（ ），图中b 的网络函数为（ ）。
()s e t 1Ω()s i t 1Ω图1A. 211s s s +++B.211s s s +++ C. 2211s ss s ++++D. 221s s s s+++6．象函数()()2211+=+s F s s 的初值()0+f 为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、37．如果一个因果线性时不变系统的系统函数()H s 的所有极点的实部都小于零，则（ ） A 、系统为非稳定系统 B 、()h t <∞ C 、系统为稳定系统D 、()00h t dt ∞=⎰8．象函数()()2211+=+s F s s 的终值()f ∞为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、39．因果系统的系统函数为()2232H s s s =++，则该系统是（ ）A 、稳定的B 、不稳定的C 、临界稳定的D 、不确定10. 函数()1t t e e αββα----的拉氏变换为（ ）A 、11s s αβ+++ B 、s s βα++ C 、s s αβ++D 、()()1s s αβ++11. 象函数()22125s s s s +++的终值为（ ）A 、0B 、1C 、15D 、1212. 函数sin 2cos t t +的拉氏变换为（ ） A 、2211s s ++ B 、()2211s s ++ C 、21s s ++ D 、211s s ++ 13. 象函数231056s s s +++的初值为（ ） A 、0B 、3C 、53D 、8514．0cos ()t t ωε的拉氏变换为（ ）。
拉氏变换详解
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
2t
cost 3e
2t
sin t
18
（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重 极点 p1 ,而其余极点均不相同。 那么
bl bl 1 M (s) b1 F (s) l l 1 D( s ) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1 cl 1 cn s pl 1 s pn M (s) 式中b l [ ( s p1 ) l ]s p1 D( s) d M ( s) l bl 1 [ ( s p1 ) ] ds D( s ) s p1
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
4
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
式中 f
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
拉氏变换习题集1 (1)(1)
因此r1Leabharlann t2 3et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
dt
s2 1
s2 1
t d costu(t) d ( s2 ) 2s
dt
ds s2 1 (s2 1)2
5
拉普拉斯变换
4. 求函数 sin tu(t ) 的拉氏变换
解：
sin tu(t ) sin(t )u(t )
sin tu(t ) 1 es
s2 1
6
拉普拉斯变换
a. 解：
t cos t
t cos cost t sin sin t
s cos s2 2
'
s2
sin 2
'
s2 2 cos 2s sin
s2 2 2
4
拉普拉斯变换
3. 求函数 t d cos tu(t) 的拉氏变换 dt
解：
cos tu(t)
s s2 1
d costu(t) s s f (0 ) s2
2r1 (t )
r2
(t )
e(t )
r1 (t )
dr2 (t) dt
2r2 (t)
0
解：对方程组两边应用单边拉式变换得
sR1 s r1(0 ) 2R1 s R2 s 1 s
R1
s
sR2
s
r2
(0
拉氏变换习题课
2.( 4 )因为L f ( t) = F ( s) , 由相似性质，有 t L f = aF ( as) a 在利用位移性质， - at t L e f = aF ( as)|s→s+ a s→s+ a = aF ( a(s+ a)
3.
(1)因为（由位移性质）L
s + w0
2 2
|s=β +iw =
β + iw
(β + iw) + w0
2 2
5) f (t ) = e u(t t0 )
iw0t
解： （e u(t t0 ) = F（u(t t0 ) |w→ww ） ） F
iw0t
0
1 ) = e ( + πδ（w）|w→ww iw 1 it ( ww ) ( =e + πδ(w w0 )) i(w w0 )
s2t
s s 1 11 s =L 2 2 2 (10) L 2 2 ( s +1)( s + 4) 3 s +1 s + 2 1 1 s 1 1 s 1 1 L 2 L 2 2 = cost cos2t 3 3 s +1 3 s + 2 3
p100 3.( 2) L
)=
)
u
(t)
L
( f(t)) = L
1 ( u (t)) = s
i 1 snt 2.(1)因为 ct ， ， L = ar an s 所以由相似性质 有 t 1 1 ar an , ct s a a 1 snat 1 i a 即 L ct = aar an s, a t i a snat 所以 L ct = ar an s t i snat L = at
拉氏变换习题课
at
F (1) 2 ( w )
1 F ( u( t )) ( w ) iw F ( ( t )) 1
F (e ) 2 ( w a )
te- 3tsi 4 由积分性质，L n2tdt 0 1 1 4 s+ 3 - 3t = L te si n2t 2 2 s s s+ 3 + 4
t
1 利用象函数的微分性质，有
sinkt ∞ L = s L sinkt ds= t ∞ k s∞ π s s s s2 + k 2 ds= arctan k |s = 2 - arctan k = arccotk
p100 2.求下列函数的Lapl ace逆变换：
2 F s =
s
s- a s- b
1 a b a - b s- a s- b b aeat - bebt 1 s- b = a - b
st
解：A 部分分式法 : F s = 1 1 L F s = a- b L
e- 3tsin2t ∞ e- 3tsin2t ds 2L = s L t ∞ 2 s+ 3 = ds= arccot 2 2 s (s+ 3) + 4 2
3
f t tL
-1
F s dt s 1 1 -1 2 2 s - 1
bs a
s F ( )) a
拉氏变换详解
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0
10
t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e
0 0
s ( )
d d F2 ( s ) F1 ( s )
11
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e
0变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 1 L [ F ( s )] 。 称为拉氏反变换。记为 由F(s)可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 12 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
0
0
0
复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解 将x = 一 判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为 分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e
拉氏变换习题解答
习题一
］．求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果 .
f f .l m6 t t ss nn = . ,
, i, ! 、
t-2
(2)/ (t) =e-21; (6) f(t) =cosh kt; i1
(3)/(t)=t气
(4) f ( t) = sin tcost; (10) f(t) =cos2 t
2) 利用＆ ［勹卫勹及位移性质
sz si
& [f(t)] = &
[分］ ＝ 吕
a a
1 s 2. 若& [f(t)] = F(s), a 为正实数，证明 （ 相似性质） & [/(at)]= - F(一） 。
证
& [急f(at)] =厂f(at)e-s'dt =丿厂f(at)e一； m d(at) o a o
&加）] = &[t cos at] = 一 五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
求下列函数的拉氏变换
B2.1 求下列函数的拉氏变换：B2.2 求下列函数的拉氏反变换：B2.3 求下列矩阵的逆矩阵：B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
图B2.4 电路原理图B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。
图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。
当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。
设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。
(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。
)图B2.5 地震仪原理图图B2.6 机械系统原理图B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。
试分别列写各系统的微分方程。
B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h 0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。
B2.8 设系统的微分方程为试用拉氏变换法进行求解。
B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。
试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节?B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。
B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u•+u=e•+3e和0.5y¨+y•=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。
拉普拉斯变换1例题及详解
５.
F(s)
s2 2s 3 (s 1)2
2021/11/7
自动控制原理
s sn
f (t) kiesit
2021/11/7
i 1
自动控制原理
19
例1
F(s)
s2 s 5 s(s2 3s 2)
s2 s 5
s(s 1)(s 2)
k1 k2 K3 s s1 s2
k1 F(s)s S0 2.5 k2 F(s)(s 1) S1 5
k3 F(s)(s 2) S2 1.5
f (t) 2.5 5et 1.5e2t t 0
2021/11/7
自动控制原理
20
例2
2s2 7s 7 F(s) s2 3s 2
2 s3 (s 1)(s 2)
2 2 1 s 1 s 2
f (t) 2 (t) 2et e2t t 0
2021/11/7
自动控制原理
dn1 dsn1
[(s s1)n
自动控制原理
F ( s)]
S S1
25
７ 复频域中的电路定律、电路元件与模型
u(t) U (s)
运算形式KCL、KVL
i(t) I(s)
U(s) Z(s) I(s) 元件 运算阻抗、运算导纳
运算形式 电路模型
R： i R
+u -
iL L
L:
+ uL
C : iC + uC -
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ u( )d ]
0
L[u(t)] s
1 s2
2021/11/7
SS4_5_拉氏变换习题课
于是
1 F s 2 1 2 e s e 2 s s 1 s 2 2 1e s
方法三：利用微分性质求解
信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求 得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分 性质比较简单。 将 f t 微分两次，所得波形如图所示。
应用频移定理 特别地,
t
F s a
L f t sin 0t 21j F s j0 F s j0
2 s s 2 12 1 2 2 L t 2 cos 2t 3 3 3 2 2 s j 2 s j 2 s 4
f t 1
o
d f t dt
d2 t 2 f dt
1
o o
1
1 2
1
1 2
1
2
t
t
t
1
2
根据微分性质
f t 1
o
d2 f t 2 L s F s f 0 sf 0 2 dt
d f t dt d2 dt
E s
2
s
i L 0
V o s
1 v C 0 s
1 s
1 E s vC 0 iL 0 1 1 s Vo s vC 0 1 s s 2 s s s 2vC 0 iL 0 E s 2 s 2s 1 s2 2s 1 零状态响应 零输入响应
L f t cos0t 1 F s j0 F s j0 2
题四 [解]
求函数的拉氏逆变换
拉氏变换习题解答
(4) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
∫
+∞
0
sin t cos te − st dt =
⎡ −( s −2 i) t +∞ e −( s + 2 i)t +∞ ⎤ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎢e 0 0 ⎥ = − = ⎜ − ⎟= 2 ⎥ ⎢ 4 i − (s − 2 i ) − (s + 2 i ) 4i ⎝ s − 2i s + 2i ⎠ s + 4 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
2
(5) f ( t ) = sinh kt ； (1) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
(6) f ( t ) = cosh kt ； (7) f ( t ) = cos t ;
+∞
解
∫
0
t (e − e )e − st sin e − st dt = ∫ dt 0 2 2i
+∞
it 2
−it 2
（2）& [ f (t )] =
+∞ − st
(4) f (t ) = δ (t ) cos t − u (t )sin t.
f (t )e dt = ∫ 3e dt − ∫ e dt =
2
− st
4
− st
3e − st −s
|
2
0
0
0
2
+
3e − st s
|
4 2
=
1 (3 − 4e −2 s + e −4 s ) s
拉氏变换习题集1 (1)(1)
R1
s
sR2
s
r2
(0
)
2
R2
s
0
解得 R1 s 2 3s 1 s 1 1 3s 3 R2 s 1 3s 1 s 1 1 3s 3
因此
r1
t
2 3
et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
F(s)
s2
s 2s
2
(s
1
s j)(s
1
j)
s
k1 1
j
s
k2 1
j
k1
lim (s
s1 j
1
j)F(s)
lim
s1 j
s
s 1
j
1 2
j
k2
lim (s 1
s1 j
j)F (s)
lim
s1 j
s s 1
j
1 2
j
查表可求得原函数为
f (t) 1 j e(1 j)t 1 j e(1 j)t et (cost sin t)
L
t
t0 u t
t0
1 s2
e st0
因此
F
s
1 s2
1 2 es e2s
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
ROC： Res 0
f t
1
o
2.2拉氏变换练习题及答案
1
e jt e jt estdt
0
0 2j
1
e jt e stdt
1
e jt estdt 1 L[e jt ] L[e jt ]
2j 0
2j
2j
1 2j
1
s
j
1
s
j
1 2j
2 j s2 2
s2
2
留数法的三种情况
情况一：F(s)的分母多项式D(S)=0中无重根
s1
s1
k1 k2
F (s) s2 5s 6 (s 2)( s 3) s 2 s 3
情况二：F(s)的分母多项式D(S)=0中有共轭复数根
F(s)
s1 s(s2 s 1)
k1 s
s s0
1
2s2 12s 6
k2
s(s
2)(s
3)
(s
2) s2
5
k3
2s2 12s 6 s(s 2)(s 3)
(s
3)
s3
4
X (s) 2s2 12s 6 1 5 4 s(s 2)( s 3) s s 2 s 3
s
s(s 2)(s 3)
2s2 12s 6 k1 k2 k3
X(s)
s(s 2)( s 3) s s 2 s 3
求K1、K2、K3的方法有两种：
拉普拉斯变换
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率——算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 三章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
s2
s
2
三、微分性质： 若某函数的象函数为： L[f(t)] = F(s)，则：
L[ df (t)] dt
s F(s)
f (0 )
例4、求 (t) d (t) 的象函数。
dt
解： L[ (t)] 1
s
例5、已知 ：L[sint]
L[
s2 2
(t
)
]
s
1 s
(0
)
，求 L[cosωt]
第十四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
第五章 拉普拉氏变换
第五章 拉普拉氏变换习题参考答案5.1 求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。
（1）(1)u t + （2）22(e e )()t t u t -+ （3）(1)()t u t - （4）(1e )()t t u t -+ 解：（1）1(1):Re[]0S u t e ROC S S+↔> （2）2211(e e)():Re[]222ttu t ROC S S S -+↔+>-+（3）()()()()22R 1111 :e[]0St u t tu t u t ROC S S S S↔--=--=> (4)()()()()2111R 1(1) :e[]tt teu t u t te u t S S ROC S --+=+↔+-+>5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。
（1）0sin (1)(1)t U t ω-- （2）212e ett---+（3）2()e t t δ-- （4）3sin 2cos t t + （5）2e tt -（6）e sin(2)t t -解：（1）[]0022sin (1)(1)st U t e S ωωω---↔+ （2）()()()212112e e12t tSS S ---+↔-+++ （3）12()e21tt S δ--↔-+ （4）22232323sin 2cos 111S St t S S S ++↔+=+++ （5）221e(2)tt S -↔+（6）22e sin(2)(2)4tt S -↔++ 5.3 利用常用函数（如(),e (),sin()(),cos()()at u t u t t u t t u t ββ-等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）[]e ()(2)t u t u t --- （2）[]sin()()sin (1)(1)t u t t u t ππ--- （3）(42)t δ- （4）sin(2)(2)44t u t ππ-- （5）0sin()tx dx π⎰ （6）22sin()()d t u t dtπ （7）22e ()t t u t - （8）e cos()()t t t u t αβ- 解：（1）[]222211e ()(2)(1e )111s ts e u t u t S S S -------↔-=-+++ （2）[]()()2221sin()()sin (1)(1)111SSt u t t u t e e SS ππππππ-----↔-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）121(42)4S t e δ--↔（4）822sin(2)(2)444S t u t e S πππ---↔+ （5）()2222111sin()tS x dx S S S S ππππππ↔-+=++⎰（6）2223322222222sin()()d t S S u t S dt S S S ππππππππππ--↔-==-+++ （7）2232e ()(2)tt u t S -↔+（8）()()2222222()ecos()()(())tS dS S t t u t dsS αααβαββαβ-++++-↔-=++ 5.4一个冲激响应为()h t 的因果LTI 系统具有下列特性：（1）t -∞<<+∞时，系统的输出为21()()e 6ty t =。