质心与质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
4.4 质心 质心运动定理
解根据火箭速度公式,在第一级火箭燃料耗尽时 达到的速度为 v1 uln N1
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
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ri
rc
mi
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
§2-4质心 质心的运动定律
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
太原理工大学物理系
例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们 将在何处相遇？
y
o
解：
l
x
人和船组成系统，水平方向上不受外力。原来质 心静止，在人走动过程中质心始终静止，因而质 心的坐标值不变。 太原理工大学物理系
m1 x1 m2 x2 当人站在船的左端时 xc m1 m2 m1 x'1 m2 x'2 当人站在船的右端时 x'c m1 m2
m1x1 m2 x2 m2 x2 xc xc y x 1 x l d x x
m2 O m1
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，系统在水平 方向不受外力作用，水平方向质心速度不变。开 始时质心静止，两个孩子在运动过程中质心的位 置始终不变，所以在质心处相遇。
太原理工大学物理系
m2 O
C
m1
x20
xC
x10
x
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
在初始位置时，取 x20 0
F Mac 质心运动定理
质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质 心的运动情况。
太原理工大学物理系
质心处的质点（质点系总质量）代替质点系 整体的平动.
4.合外力为零时质心的运动 如果系统所受的外力之和为零
由质心运动定理 F Ma c 得到 ac 0
Fi 0
太原理工大学物理系
质心和质心运动定律
2 M+m
根据质心位置不变，有 xC = xC0。
∴ M l = m(l + s) + M( l + s)
2
2
∴ s = − m l = − 50 × 4 = − 4 m
M + m 500 + 50
11
质心与质心运动定律
【例题 2】一质量为 M 的箱子内有一质量为 m 的物 体，通过一根轻弹簧与箱子顶连接，如图所示。现将挂 箱子的绳剪断，求剪断瞬间物块相对箱子的加速度。
)
+
+ m1 + m2
M ∆l
质心与质心运动定律
【解析】
=
(m1
−
m2
)
l 2
+
(M
+
m1
+
m2
)∆l
M + m1 + m2
由质心位置不变，得
(m2
−
m1 )
l 2
=
(m1
−
m2
)
l 2
+
(M
+
m1
+
m2 )∆l
∴(m2 − m1)l = (M + m1 + m2 )∆l
∴ m2
=
(M
+
m1 )∆l l − ∆l
【解析】
当小球全部发射到车厢右壁处后，
nm(l + s) + M ( l + s)
xC =
2 M + nm
Q xC = xC 0
∴ nm(l +
s) +
l M(
+
__3.3 质心 质心运动定理
同理， 同理，
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为 。 ，质量为M。 它的质心位置。 质心位置 求 它的质心位置。 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
M dl = Rdθ dm= Rdθ dm = λdl πR x = Rcosθ y = Rsinθ
yc
dm
θ
∫ ydm = ∫ =
M
π
0
M Rsinθ dθ 2R π = (< R) M π
1. 质心速度与质点系的总动量 质心速度与质点系的总动量
r rc = r ∑ mi ri
i
∑m
i
i
v v dr v υ c = c = ∑ miυ i dt i
v ∑ mi = P m
i
r v P = mυc
v
r v P = ∑ miυi
i
mυ c
C
m
2. 质心运动定理 质心运动定理 运动定理——质点系的动量定理 质点系的动量定理 v v v dυ c v v F外 ac = = ∑ mi ai ∑ mi = F外 m dt i i
dυc r =m ＝mac dt
v
r r dP F外 = dt
∫
t2
t1
r r P r F外 dt = ∫ r dP P0
讨论
r F外
1）质心运动定理（质点系动量定理） ）质心运动定理（质点系动量定理） 微分形式和积分形式： 微分形式和积分形式： r r r dP r r t2 r = mac （F外 = ） ∫ F外dt = P P0
(1)
( 2)
m X = l (1 cosθ ) M +m
课后问题： 课后问题： 选一个参考系， 选一个参考系，使得质心在此参考系中 那么质点系的总动量恒为零， 静 止，那么质点系的总动量恒为零， 这说法正确吗？ 这说法正确吗？
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
3_3质心及质心运动定理
dm
x
在直角坐标系中，有
xc
xdm m
yc
ydm z m
zc
zdm m
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
2、质心的速度
3、质心的动量
注意
drc N mi i m i 1 dt mii pi P P c mc
人与船组成的系统在人没有走时的质心
人与船组成的系统在人走到船尾时的质心
人与船（也看成是质点）组成的系统可看成 是质点系。
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
y
x1
x2
x2
x1
x
人与船组成的系统在人没有走时的质心
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
m2 x2 m1 x1 xc m1 m2
xc
m x
i i
i
m
,
yc
m y
i i
i
m
,
zc
m z
i i
i
m
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
（4）连续物体的质心： 可以认为是由许多质元组成的，以 dm 表示其中任 一质元的质量，以 r 表示其位矢，则大物体的质心 y 为：
r dm r dm rc dm m
人与船组成的系统在人走到船尾时的质心
3-3 质心及质心运动定理
第3章 动量与角动量
xc xc
x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 m1
) m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2
m2 d m1 (l d )
质心-质心运动定理
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
03-4质心和质心运动定理
3-2 质心和质心运动定理 ——基于整体运动的视角 基于整体运动的视角—— 基于整体运动的视角
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
3-9 质心 质心运动定律
坐标为x=R cos
O
α
x
4
第三章 运动定理（2）
物理学
3-9 质心
质心运动定律
则圆弧质心坐标为
xC
xdm dm
xRd Rd
2 R
cos d
R d
Rsin
注意：质心相对于质点系内各点的相对位置不会随 坐标系的选择而发生变化，即质心是相对于质点系 本身的一个特定的位置。
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
第三章 运动定理（2）
3
物理学
3-9 质心
质心运动定律
注意： 1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；
2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心
位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。（区别） 例 ：求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。 解：选择如图所示的坐标系，圆弧关于x 轴对称。 dθ 设圆弧的线密度为 ， dl α 取质量元dm = R d θ
分析：补偿法
此黄色开孔圆盘可设想由质量为 m1，半径为 R 的无 孔大圆盘和质量为 – m2 (不妨称为负质量)，半径为r 的小圆盘所组成，两者的质量之和 m1 + (– m2) 即为 开孔大圆盘的质量。
R
O O
2017/3/22 12
d
r
x
解：设圆盘的质量面密度为σ，则无孔大圆盘的质量 为： m1 R 2 其质心在原点：x1 = 0
物理学
3-9 质心
n
质心运动定律
n dpi ex Fi 根据质点系动量定理 i 1 dt i 1 n in （因质点系内 Fi 0 ）
3.6 质心 质心运动定理
x
52.3o
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
9
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心。
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ O
Rcos θ
x
解 选如图所示的坐标系 在半球壳上取一如图圆环
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
10
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
19
15
大学物 理学 根据质点系动量定理
3.6 质心 质心运动定理
n i 1
dpi dt
n i 1
Fi
ex
（因质点系内
n
Fi
in
0）
i 1
F ex
m dvC dt
maC
作用在系统上的合外力等于系统的总质 量乘以质心的加速度——质心运动定律。
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
第三章
守恒定律及其在力学 中的应用
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
1
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
本节内容概要
质心 质心运动定律
本节教学要求
了解质心的概念。 了解质心运动定律。
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
2
大学物 理学
一 质心
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
12
大学物 理学
52.3o
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
9
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心。
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ O
Rcos θ
x
解 选如图所示的坐标系 在半球壳上取一如图圆环
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
10
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
19
15
大学物 理学 根据质点系动量定理
3.6 质心 质心运动定理
n i 1
dpi dt
n i 1
Fi
ex
（因质点系内
n
Fi
in
0）
i 1
F ex
m dvC dt
maC
作用在系统上的合外力等于系统的总质 量乘以质心的加速度——质心运动定律。
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
第三章
守恒定律及其在力学 中的应用
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
1
大学物 理学
3.6 质心 质心运动定理
本节内容概要
质心 质心运动定律
本节教学要求
了解质心的概念。 了解质心运动定律。
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
2
大学物 理学
一 质心
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 守恒定律及其在力学中的应用
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大学物 理学
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，忽略重力和地面的支持力
dm dx v0dt
m
l
v
由单个物体的动量定理
x
F
F1dt v0dm 0 v02dt
F1 v02
F
F1
x l
mg
v02
x l
mg
uuv v0
v N
o
m l
v02
x l
mg
两项的意义很明显
x dx
解法二：利用物体系的动量定理
v (m1 r1
m2
v r2
)
uv
F 1 m1
vv r1 rc v
m2 uv F2
r2
O
vvΒιβλιοθήκη (m1m2 ) v
d2 dt 2
( m1 r1 m1
m2 r 2 uuvm2
)
M
d2rc dt 2
M
avc
d Pc dt
即
v F矢量和
MavC称作
质心运动定理
vv
其中质心
v rc
m1 r1
t0
t0
tv
tv
uv uv
v
v
F2dt f12dt P2 P20 m2 v2 m1v10
t0
t0
相加：
t
v (F1
v F2
)dt
uv (P1
uv P2
)
uv uv P10 P20
t0
tv
uv uv
F矢量和dt P P0
t0
推广：n个物体组成的系统，仍然有
抛手榴弹的过程： Y
C
O
X
v F矢量和
MavC
二、质心系
F
Mac
M
dvc dt
M
d 2rc dt 2
dMvc dt
dpc dt
质心的速度：
vc
drc dt
d dt
i
miri
mi
i
mi
dri dt
M
mivi
i
M
质心的加速度： i
(2)体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选取 无关．
(3)质量均匀的规则物体的质心在几何中心
(4)质心与重心不一样，物体尺寸不十分大 时， 质心与重心位置重合。
2.质心运动定理
Fi
Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
Fdt
P2
P1
2.质点系的动量定理
对两物体系统： v
v uv
10
F1
uuv f12
v v 20 uv
F2 uuv f21
uv uuv
v1
v2
m1
m2
分别对m1，m2应用动量定理
m1: m2:
tv
tv
uv uv
vv
F1dt f21dt P1 P10 m1v1 m1v10
质心参考系的坐标原点在质心，在质心系中，
vc/=0, Pc/＝0
相对于质心系，质点系的总动量为零，所以又
叫零动量系
说明：
（1）系统的动量守恒和质心保持匀速直线运 动等效；在质心系，即质心速度不变；
（2）质心系的优点在于它具有最大的对称性
例1： 一质量m1＝50kg的人站在一条质量为m2＝ 200kg，长度l＝4m的船的船头上。开始时船静止，
台面支持力l x mg l
F
mg l x mg l
m
d 2 xc dt 2
m v02 l
uuv v0
v N
o
x dx
F
m l
v0 2
x l
mg
m加2 r权2 平均值
m1 m2
v
uv uv
F矢量和 F1 F 2
推广：对n个质点组成的系统
rvC
i
mi rvi
mi
mi rvi
i
M
i
v
n uv
F矢量和 F i
i 1
质心位置的计算（直角系中的分量式）:
质点组:
连续分布:
xC
mi xi
i
力，因而在水平方向 的质心速度不变。又
x1
x1
因为原来质心静止，
所以在人走动过程中
质心始终静止，因而 o
质心的坐标值不变。
x2 x2
cb cb d
x
xc xc
m1xl-1d m2x2 m1x1 d m2x2
m1(x1 x1) m2 (x2 x2 )
d
m1 m1 m2
tv
uv uv
F矢量和dt P系 P0系
t0
当且
Fv矢量和＝0
uv P系＝恒矢量
一、质心与质心运动定理 对质点系而言,空间总存在一点 C（质心）:
v F矢量和
MavC
其中
n
M＝ mi i 1
1. 质心的计算
以两质点系统为例
Fv矢量和＝
dd（t m1
v v1
m2
v v2
)
＝
d2 dt 2
质心与质心运动定理
关于动量定理的回顾 1. 单个质点的动量定理
出发点：牛顿第二定律
r F
dpr
dt
特例
r F
mar
v c
动量定理的微分式： Fdt dP
动量定理的积分式：
v I
t2
v Fdt
t1
v P2 v P1
v dP
v P2
v P1
定义冲量：
I
t2 t1
v02
x l
mg
解法三：利用质心运动定理
以绳子(体系)为研究对象，提起x时，绳 子的质心坐标为
xc
(l
l
x)
mg0
x l
mgx 2
m
x2 2l
dxc dt
x l
dx dt
x l v0
,
d 2 xc dt 2
v02 l
x
v F
体系受三个力：提力F，重力－mg
ac
d vc dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
质心的动量：
就是系统的总动量
pc Mvc
mivi
i
当
F 0, M
dvc
dpc
0
dt dt
即动量守恒表现为pc 恒量，或vc 恒量
质心系（动量中心系，零动量系）
试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻
力不计。）
解：
y
x1
x1
设cb表示船 本身的质心
o x2 x2
cb cb d
x
x 当人站在船的左端时
c
m1x1 m2 x2 m1 m2
当人站在船的右端时 对船和人这一系统，
x m1x1 m2x2
c
m1 m2
在水平方向上不受外 y
l
0.8(m)
y
x1
x1
o x2 x2
cb d
cb
x
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上，
用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x < l ） 。
v
x
F
uuv v0
v
x
N dx
o
解法一：利用单个物体的动量定理
以 dt 时间内上升（由静止变为运动）的绳索为研究对象
以整条绳子为研究对象
x
设t时刻提起x时，体系的总动量为 P m l v0
在t 时t 刻，提起 x＋dx，体系的总动量为
P'
m
(x
dx) l
v0
由体系的动量定理：
v
x
F
uuv v0
(F
N
mg)dt
P'
P
m l
v0dx
v
x
N dx
o
而
v0
dx dt
,
N
l
l
x
mg
F
m l
mi
i
rvC
i
mi rvi mi
yC
mi yi
i
mi
i
i
zC
mi zi
i
mi
i
xC
xdm dm
rvC
rvdm dm
yC
ydm dm